11.2 平面的基本事实与推论-【名师导航】2025-2026学年高中数学必修第四册教师用书word（人教B版）

本讲义聚焦高中数学“平面的基本事实与推论”核心知识点，从生活现象（三脚架、自行车侧撑等）切入，系统梳理3个基本事实（确定平面、直线在平面内、两平面相交）与3个推论，通过表格对比公理内容、符号表示及作用，搭建从概念到应用（点线共面、线共点、点共线证明）的学习支架。 资料以生活情境激发兴趣，体现“用数学的眼光观察现实世界”，表格化呈现助学生抽象数学概念，例题与跟进训练强化逻辑推理能力。课中辅助教师清晰授课，课后分层作业及回顾问题助学生查漏补缺，深化对基本事实逻辑关系的理解。

11.2　平面的基本事实与推论 1．能够了解用数学语言表达的3个基本事实和3个推论．(数学抽象) 2．了解3个基本事实和3个推论的条件与结论之间的逻辑关系．(逻辑推理) 3．掌握一些基本命题的证明，并有条理地表述论证过程．(逻辑推理) 日常生活中存在如下的现象：固定照相机或测量用的平板仪的支撑架都设计成三脚架；自行车、摩托车加一个侧撑就可平稳地放在地面上；一扇门用两个合页和一把锁就可以固定了．你知道这些设计的原理吗？ 思考：空间中的3个点需具备怎样的条件才能确定一个平面？ 知识点1　平面的基本事实 公理 内容 图形 符号 作用 基本事实1 经过不在一条直线上的3个点，有且只有一个平面 A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平面α使A，B，C∈α ①确定平面的依据； ②判定点、线共面 基本事实2 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 A∈α，B∈α⇒直线AB⊂α ①判定直线是否在平面内； ②判断一个面是否是平面 基本事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 P∈α，P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l ①判定两个平面相交的依据； ②判定点在直线上； ③证明三点共线或三线共点 知识点2　平面基本事实的推论 推论1　经过一条直线与直线外一点，有且只有一个平面(图①)． 推论2　经过两条相交直线，有且只有一个平面(图②)． 推论3　经过两条平行直线，有且只有一个平面(图③)． 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)一条直线和一个点可以确定一个平面． (　　) (2)五边形是平面图形． (　　) (3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合． (　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)× [提示]　(1)错误．一条直线和直线外一个点可以确定一个平面． (2)错误．五边形不一定是平面图形． (3)如三点共线，这两个平面有可能相交，也可能重合，所以该命题错误． 2．“直线a经过平面α外一点P”用符号表示为(　　) A．P∈a，a∥α B．a∩α＝P C．P∈a，P∉α D．P∈a，a⊂α C　[“直线a经过平面α外一点P”用符号表示为P∈a，P∉α．] 3．已知直线m⊂平面α，P∉m，Q∈m，则一定有(　　) A．P∉α，Q∈α B．P∈α，Q∉α C．P∉α，Q∉α D．Q∈α D　[∵Q∈m，m⊂α，∴Q∈α． ∵P∉m，∴有可能P∈α，也有可能P∉α．] 4．下列命题中正确命题的个数是(　　) ①三角形是平面图形； ②四边形是平面图形； ③四边相等的四边形是平面图形； ④圆是平面图形． A．1 B．2 C．3 D．4 B　[在①中，由不共线的三点确定一个平面，得三角形是平面图形，故①为真命题； 在②③中，若这四条边不在同一平面内，例如空间四边形，则该四边形不是平面图形， 所以②③为假命题； 在④中，圆是平面图形，所以④为真命题．] 类型1　文字、图形、符号三种语言的转化 【例1】　如图所示，根据图形用符号表示下列点、直线、平面之间的关系． (1)点P与直线AB； (2)点C与直线AB； (3)点A1与平面AC； (4)直线AB与直线BC； (5)直线AB与平面AC； (6)平面A1B与平面AC． [解]　(1)点P∈直线AB． (2)点C∉直线AB． (3)点A1∉平面AC． (4)直线AB∩直线BC＝点B． (5)直线AB⊂平面AC． (6)平面A1B∩平面AC＝直线AB． 　(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示． (2)要注意符号语言的意义．如点与直线的位置关系只能用“∈”或“∉”，直线与平面的位置关系只能用“⊂”或“⊄”． [跟进训练] 1．用文字语言表示下列符号语言，并画图表示(其中P是点，a，b，m是直线，α，β是平面)： α∩β＝m，a⊂α，b⊂β，a∩m＝P，b∩m＝P． [解]　用文字语言表示为：分别在两个相交平面α，β内的两条直线a和b相交，且交点P在平面α，β的交线m上．图形如图所示(画法不唯一)． 类型2　多线共面问题 【例2】　【链接教材P94例1】 求证：如果两两平行的三条直线a，b，c都与另一条直线l相交，那么这四条直线共面． [证明]　如图所示， 因为a∥b，可知直线a与b确定一个平面， 设为平面α． 因为l∩a＝A，l∩b＝B，所以A∈a，B∈b，则A∈α，B∈α． 又因为A∈l，B∈l，所以由基本事实2可知l⊂α． 因为b∥c，所以直线b与c确定一个平面β，同理可知l⊂β． 因为平面α和平面β都包含着直线b与l，且l∩b＝B，而由经过两条相交直线，有且只有一个平面，可知平面α与平面β重合，所以直线a，b，c和l共面． 【教材原题·P94例1】 例1　证明：两两相交且不过同一个点的3条直线必在同一个平面内． [证明]　设直线AB，BC，AC两两相交，交点分别为A，B，C． 显然，A，B，C 3点不共线，因此它们能确定一个平面α． 因为A∈α，B∈α，那么直线AB⊂α． 同理AC⊂α，BC⊂α． 即直线AB，BC，AC都在平面α内． 　证明点、线共面问题的常用方法 (1)先由部分点、线确定一个面，再证其余的点、线都在这个平面内，即用纳入法． (2)先由其中一部分点、线确定一个平面α，其余点、线确定另一个平面β，再证平面α与β重合，即用同一法． (3)假设不共面，结合题设推出矛盾，用反证法． [跟进训练] 2．过直线l外一点P，引两条直线PA，PB和直线l分别交于A，B两点．求证：三条直线PA，PB，l共面． [证明]　如图所示，∵PA∩PB＝P， ∴过PA，PB确定一个平面α． ∴A∈α，B∈α． ∵A∈l，B∈l，∴l⊂α． ∴三条直线PA，PB，l共面． 类型3　线共点问题 【例3】　如图，在四面体ABCD中，E，G分别为BC，AB的中点，F在CD上，H在AD上，且有DF∶FC＝DH∶HA＝2∶3，求证：EF，GH，BD交于一点． [思路引导]　先证明两条直线交于一点，再证明第三条直线过该点即可． [证明]　如图可知，平面ABD∩平面BCD＝BD． 易知FH∥AC，且FH＝AC，GE∥AC，且GE＝AC， 所以FH∥GE，且GH，EF交于点O． 因为GH⊂平面ABD，O∈GH， 所以O∈平面ABD． 因为EF⊂平面BCD，O∈EF， 所以O∈平面BCD． 所以O∈BD．所以EF，GH，BD交于一点． [母题探究] 1．(变结论)例3中将“证明EF，GH，BD交于一点”改为“判断E，F，G，H四点是否共面并证明”． [解]　因为DF∶FC＝DH∶HA＝2∶3， 所以FH∥AC，且FH＝AC， 因为点E，G分别为BC，AB的中点， 所以GE∥AC，且GE＝AC， 故GE∥HF且GE≠HF， 所以E，F，G，H四点共面． 2．(变条件)例3中如果将条件改为“在AB，BC，CD，DA上分别取点G，E，F，H并且满足GH与EF相交于一点O”，结论如何？ [解]　EF，GH，BD交于点O． 因为GH与EF相交于一点O，GH在平面ABD内，EF在平面BCD内，所以O在两平面的交线上，而平面ABD与平面BCD交于直线BD， 所以O在BD上，即EF，GH，BD交于点O． 　证明线共点问题的方法 (1)方法一：可把其中一条作为分别过其余两条直线的两个平面的交线，然后再证两条直线的交点在此直线上． (2)方法二：先将其中一条直线看作某两个平面的交线，证明该交线与另两条直线分别交于两点，再证点重合，从而得三线共点． [跟进训练] 3．如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2，求证： (1)E，F，H，G四点共面； (2)EG与HF的交点在直线AC上． [证明]　(1)因为BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2， 所以GH∥BD． 因为E，F分别为AB，AD的中点，所以EF∥BD，所以EF∥GH． 所以E，F，H，G四点共面． (2)因为G，H不是BC，CD的中点， 所以EF∥GH，且EF≠GH， 所以EG与FH必相交，设交点为M， 因为EG⊂平面ABC，HF⊂平面ACD， 所以M∈平面ABC，且M∈平面ACD， 因为平面ABC∩平面ACD＝AC， 所以M∈AC， 所以EG与HF的交点在直线AC上． 类型4　点共线问题 【例4】　如图，点E，F，G，H分别是空间四边形的棱AB，BC，CD，DA上的点，且EH与FG相交于点O．求证：点B，D，O三点共线． [证明]　由题图可知，平面ABD∩平面CBD＝BD， 又EH∩FG＝O，故有O∈EH， 且EH⊂平面ABD， 进一步有O∈平面ABD， 同理有O∈FG，且FG⊂平面CBD， 进一步有O∈平面CBD， 因此O∈BD，故点B，D，O三点共线． 　点共线的证明方法 (1)方法一：证明多点共线通常利用基本事实3，即两相交平面交线的唯一性，通过证明点分别在两个平面内，证明点在相交平面的交线上． (2)方法二：选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在此直线上． [跟进训练] 4．(源自人教A版教材)如图，△ABC在平面α外，AB∩α＝P，BC∩α＝Q，AC∩α＝R，求证：P，Q，R三点共线． [证明]　因为AB∩α＝P，AB⊂平面ABC． 所以P∈平面ABC，P∈α，所以P在平面ABC与平面α的交线上， 同理可证，Q和R均在这条交线上，所以P，Q，R三点共线． 1．如图所示，用符号语言可表示为(　　) A．α∩β＝l B．α∥β，l∈α C．l∥β，l⊄α D．α∥β，l⊂α D 　[显然题干图中α∥β，且l⊂α．] 2．能确定一个平面的条件是(　　) A．空间三个点 B．一个点和一条直线 C．无数个点 D．两条相交直线 D　[不在同一条直线上的三个点可确定一个平面，A，B，C中的条件不能保证有不在同一条直线上的三个点，故不正确．] 3．下列说法错误的是(　　) A．平面α与平面β相交，它们只有有限个公共点 B．经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面 C．经过两条相交直线，有且只有一个平面 D．两两平行的三条直线可以确定1个或3个平面 A　[对于A，平面与平面相交成一条直线，因此它们有无数个公共点，A错误；对于B，直线和直线外一点确定一个平面，B正确；对于C，两条相交直线确定一个平面，C正确；对于D，两两平行的三条直线共面时确定一个平面，不共面时确定三个平面，D正确．] 4．(1)空间任意4点，没有任何3点共线，它们最多可以确定________个平面． (2)空间5点，其中有4点共面，它们没有任何3点共线，这5个点最多可以确定________个平面． (1)4　(2)7　[(1)可以想象三棱锥的4个顶点，它们总共确定4个平面． (2)可以想象四棱锥的5个顶点，底面4个点可以构成6条不同的直线，平面内每一条直线与第五个点都会确定一个不同的平面，加上四棱锥的底面，故它们总共确定7个平面．] 回顾本节知识，自主完成以下问题： 1．“直线l不在平面α内”的意思是“直线l与平面α平行”对吗？ [提示]　不对，直线l不在平面α内说明直线l与平面α平行或者直线l与平面α相交． 2．三个基本事实的作用各是什么？ [提示]　基本事实1及平面基本事实的推论——确定平面及判定点共面、线共面的依据． 基本事实2——判定直线在平面内的依据． 基本事实3——判定点共线、线共点的依据． 3．对于基本事实2及平面基本事实的三个推论，你是怎样理解的？ [提示]　基本事实2和平面基本事实的三个推论可作为确定平面的依据，还可作为判定两个平面重合的依据．“确定”和“有且只有一个”是同义词．“有”说明存在性，“只有一个”说明唯一性．数学中的“只有一个”并不保证符合条件的图形一定存在，所以不能用“只有一个”来代替“有且只有一个”．符合某一条件的图形既存在，而且只能有一个，就说明这个图形是完全确定的． 欧几里得《原本》与公理化方法 古希腊最为重要的数学著作《原本》是由古希腊数学家欧几里得编著，大约在公元前300年左右完成的．欧几里得将公元前7世纪以来希腊几何学家积累起来的丰富成果收集、整理起来，并且加以系统化．他从少数已被经验反复验证的公理出发，运用逻辑推理以及数学运算方法演绎出一系列定理与推论，写成了十三卷数学巨著《原本》，使几何学成为一门独立的、演绎的科学． 欧几里得《原本》在人类数学史中第一次给出了公理化的数学体系．过去所积累下来的数学知识是零碎的、片断的，欧几里得借助逻辑方法，把这些知识组织起来，加以分类、比较，揭示彼此间的内在联系，把它们组织在一个严密的系统之中．《原本》体现的理性精神对数学的发展产生了深远影响，它跨越地域、民族、语言、时间的障碍传播到了整个世界，其中公理化方法作为一种理论形式为人们普遍接受．按照数学的定义、公理与三段论的逻辑论证来组织数学理论已成为人们的共识．《原本》为数学发展树起一面旗帜，并成为理性思维的象征． 什么是公理化方法呢？ 公理化方法就是从尽可能少的原始概念(基本概念)和尽可能少的一组不加证明的原始命题(公理、公设)出发，通过严格的逻辑推理，推导出其余的命题，使某一数学分支成为演绎系统的一种方法． 基本概念是不加定义的，它们必须是真正基本的，无法用更原始、更基本的概念定义．如中学数学中的点、直线、平面、集合等概念都是基本概念． 公理是对基本概念间的相互关系和基本性质所作的一种阐述和规定．如“两点确定一条直线”“过不在同一条直线上的三个点，有且只有一个平面”等都是作为公理的命题． 公理化方法主要有以下三个作用： 1．概括整理数学知识．《原本》就是欧几里得用公理化的方法把零散的几何知识归为一体，树立了以公理化方法研究数学的典范． 2．促进新理论的创立．由于公理化方法把数学分支的基础分析得十分清楚，结构严谨有序，这就有利于比较数学各分支实质上的异同，从而推动和促进数学新理论的产生，促进数学基础的研究与探索．例如，非欧几何就是在研究和应用公理化的过程中产生的． 3．对其他学科有示范作用．由于数学公理化方法表述数学理论的简捷性、条理性，以及结构的和谐性，为其他科学理论的表述起了示范作用．其他科学纷纷效法，建立了自己的公理化系统．例如，牛顿仿效欧氏几何，把哥白尼到开普勒时期所积累的力学知识用公理化方法组成一个逻辑体系，使得人们能够从万有引力定律(公理)和牛顿三定律(公理)出发，依逻辑方法把力学定律逐条推出．杰弗逊的《独立宣言》、马克思的《资本论》、马尔萨斯的《人口论》也都借鉴了公理化的思想方法． 《原本》是一部影响人类文明进程的不朽之作．两千多年来，它一直是几何学的标准教材，哥白尼、伽利略、笛卡儿、牛顿等伟大的科学家都对它做过深入钻研，深刻体会了其中的公理化方法，并借鉴到自己的科学工作中，从而对人类文明作出了伟大贡献． 课时分层作业(十五)　平面的基本事实与推论 一、选择题 1．下列空间图形画法错误的是(　　) A　 　B　 　C　 　 D D　[遮挡部分应画成虚线或不画，故D错．] 2．下列命题正确的是(　　) A．一条线段和不在这条线段上的一点确定一个平面 B．圆心和圆上两点可确定一个平面 C．三角形上不同的三个点确定一个平面 D．圆上不同的三个点确定一个平面 D　[对A，若这个点位于这条线段所在的直线上，则无法确定一个平面，故A错误；对B，若圆心和圆上两点共线，此时过三点的平面有无数个，故B错误；对C，若三点位于一条直线上，则无法确定一个平面 ，故C错误；对D，圆上不同的三点一定构成一个三角形，则可确定一个平面．故选D．] 3．如图，α∩β＝l，A，B∈α，C∈β，且C∉l，直线AB∩l＝M，过A，B，C三点的平面记作γ，则γ与β的交线必通过(　　) A．点A B．点B C．点C但不过点M D．点C和点M D　[∵直线AB∩l＝M，过A，B，C三点的平面记作γ，∴β∩γ＝MC， ∴γ与β的交线必通过点C和点M．故选D．] 4．(多选)已知A，B，C表示不同的点，l表示直线，α，β表示不同的平面，则下列推理正确的是(　　) A．如果A∈l，A∈α，B∈l，B∈α，则l⊂α B．如果l⊄α，A∈l，则A∉α C．如果A∈α，A∈l，l⊄α，则l∩α＝A D．如果A∈α，A∈β，B∈α，B∈β，则α∩β＝AB ACD　[对于A，由A∈l，A∈α，B∈l，B∈α，根据平面的基本事实2，可得l⊂α，所以A正确；对于B，由l⊄α，A∈l，根据直线与平面的位置关系，则A∉α或A∈α，所以B不正确；对于C，由A∈α，A∈l，l⊄α，根据直线与平面位置关系，则l∩α＝A，所以C正确；对于D，由A∈α，A∈β，B∈α，B∈β，根据平面的基本事实3，可得α∩β＝AB，所以D正确．] 5．(多选)给出以下说法，其中正确的是(　　) A．不共面的四点中，其中任意三点不共线 B．若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则点A，B，C，D，E共面 C．若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面 D．过直线外一点和直线上三点的三条直线共面 AD　[在A中，假设其中有三点共线，则该直线和直线外的另一点确定一个平面，这与四点不共面矛盾，故其中任意三点不共线，故A正确；在B中，如图两个相交平面有三个公共点A，B，C，且点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，但A，B，C，D，E不共面，故B不正确；选项C，显然不正确；在D中，过直线与直线外一点可确定一个平面，设为α，因此这三条直线都在平面α内，即三条直线共面，故D正确．故选AD． ] 二、填空题 6．若平面α∩β＝l，直线a⊂α，直线b⊂β，a∩b＝M，则点M与l的位置关系为________． M∈l　[因为a∩b＝M，所以M∈直线a，M∈直线b，因为直线a⊂α，直线b⊂β， 所以M∈平面α，M∈平面β，又平面α∩β＝l，所以M∈l．] 7．三个平面至少可将空间分成________部分，最多可将空间分成________部分． 4　8　[当这三个平面平行时，可将空间分成4部分；当这三个平面共线或有两个平面平行且与第三个平面相交时，可将空间分成6部分；当这三个平面两两相交时，可将平面分成7部分或8部分．综上可知：三个平面至少可将空间分成4部分，最多可将空间分成8部分．] 8．用一个平面去截几何体，如果截面是三角形，那么这个几何体可能是________(填序号)． ①棱柱　②棱锥　③棱台　④圆柱　⑤圆锥　⑥圆台　⑦球 ①②③⑤　[无论是棱柱，还是棱锥，或者棱台，总存在过一个顶点出发的三条棱，在这三条棱上各取一个靠近顶点的点，经过这三点的截面便为三角形．用轴截面去截圆锥，则截面是三角形． 另外，对于圆柱、圆台、球，无论怎样去截这些几何体，其截面均不可能为三角形．] 三、解答题 9．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是CC1和AA1的中点，画出平面BED1F与平面ABCD的交线并说明理由． [解]　如图，在平面AA1D1D内，延长D1F，因为D1F与DA不平行，因此D1F与DA必相交于一点，设为P，则P∈FD1，P∈AD． 又因为D1F⊂平面BED1F， DA⊂平面ABCD， 所以P∈平面BED1F，P∈平面ABCD． 所以P∈(平面BED1F∩平面ABCD)， 即P为平面BED1F与平面ABCD的公共点．又B为平面ABCD与平面BED1F的公共点， 所以连接PB，PB即为平面ABCD与平面BED1F的交线． 10．(多选)如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为DB的中点，直线A1C交平面C1BD于点M，则下列结论正确的是(　　) A．C1，M，O三点共线 B．C1，M，O，C四点共面 C．C1，O，A，M四点共面 D．D1，D，O，M四点共面 ABC　[连接A1C1，AC，由于平面A1C∩平面C1BD＝OC1，故有C1，M，O三点共线，C1，M，O，C四点共面，C1，O，A，M四点共面，而D1，D，O，M四点不共面． ] 11．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱D1C1的靠近D1上的三等分点．设AE与平面BB1D1D的交点为O，则(　　) A．三点D1，O，B共线，且OB＝2OD1 B．三点D1，O，B共线，且OB＝3OD1 C．三点D1，O，B不共线，且OB＝2OD1 D．三点D1，O，B不共线，且OB＝3OD1 B　[连接AD1，BC1， ∵O∈直线AE， AE⊂平面ABC1D1， ∴O∈平面ABC1D1． 又∵O∈平面BB1D1D，平面ABC1D1∩平面BB1D1D＝BD1，∴O∈直线BD1， ∴三点D1，O，B共线，∵△ABO∽△ED1O， ∴OB∶OD1＝AB∶ED1＝3∶1，∴OB＝3OD1． 故选B．] 12．如图所示的正方体中，P，Q，M，N分别是所在棱的中点，则这四个点共面的图形是________(填序号)． ①③　[图形①中，连接MN，PQ(图略)，则由正方体的性质得MN∥PQ，可知两条平行直线可以确定一个平面，故图形①正确．分析可知③中四点与另外两棱中点构成正六边形，所以四点共面，②④中四点均不共面．] 13．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为8，M，N，P分别是AB，A1D1，BB1的中点，设过M，N，P三点的平面与B1C1交于点Q，则PQ的长为________． 　[设M，N，P三点确定的平面为α，则α与平面AA1B1B的交线为直线MP． 设直线MP与直线A1B1交于点R，连接RN，如图所示， 则直线RN是α与平面A1B1C1D1的交线． 由题意知，RN与B1C1的交点为Q，连接PQ， 则直线PQ是平面α与平面BB1C1C的交线． 由题意知A1B1＝8，B1P＝B1R＝A1N＝4． 因为B1Q∥A1N， 所以， 所以B1Q＝， 在Rt△PB1Q中，B1P＝4，B1Q＝， 所以PQ＝．] 14．如图，已知正四棱柱ABCP-A′B′C′P′． (1)请在正四棱柱ABCP-A′B′C′P′中，画出经过P，Q，R三点的截面(无需证明)； (2)若Q，R分别为A′B′，B′C′的中点，证明：AQ，CR，BB′三线共点． [解]　(1)作直线QR分别交P′A′，P′C′的延长线于M，N，连接MP交AA′于S，连接PN交CC′于点T，连接SQ，TR，如图所示，则五边形PSQRT即为所求截面． (2)证明：如图，连接QR，AC，A′C′， 则AC＝A′C′，AC∥A′C′， ∵Q，R分别为A′B′，B′C′的中点， ∴QR∥A′C′，又AC∥A′C′， ∴QR∥AC，而AC＝2QR，可得四边形AQRC为梯形， 设AQ∩CR＝O，则O∈AQ， ∵AQ⊂平面A′ABB′，∴O∈平面A′ABB′，同理O∈平面C′CBB′， 又平面A′ABB′∩平面C′CBB′＝BB′，∴O∈BB′，即AQ，CR，BB′三线共点． 15．棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是AB，BC的中点，过平面D1MN作正方体的截面，则这个截面的面积为________． 　[如图，延长DA，DC，与MN分别交于G，H，连接D1G与AA1交于F点，连接D1H与CC1交于E点，连接MF，NE，根据正方体的性质， 可知，CH＝AG＝1，根据勾股定理，D1H＝，又因为△CHE∽△C1D1E，可得，所以，D1E＝，由勾股定理可得，NE＝MF＝，所以，过平面D1MN作正方体的截面为五边形，如图所示，连接EF，作MH1⊥EF，D1O⊥EF，可得EF＝2，根据勾股定理，可得MH1＝，综合以上数据，可以得到所示图形， 所以，该五边形的面积为S＝．] 18 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $