期末复习专题讲义：实际问题与二元一次方程组-2024-2025学年七年级下册数学人教版

期末复习专题讲义：实际问题与二元一次方程组 【考点预览】 · 一、二元一次方程组的应用-和差倍分问题 · 二、二元一次方程组的实际应用-销售问题 · 三、二元一次方程组的实际应用-方案选择题问题 · 四、二元一次方程组的实际应用-配套问题 · 五、二元一次方程组的实际应用-工程问题 · 六、二元一次方程组的应用-几何问题 · 七、二元一次方程组的应用-古代数学问题 · 八、二元一次方程组的其他应用 【核心知识与方法体系】 1. 解题四步法（规范流程）： 步骤 操作要点 审 划关键词： ①显性关系（和/差/倍/分/配套） ②隐性条件（“同时出发”“提前到达”） 设 设两个未知数（直接设所求量），单位明确（如：A产品数量 件） 列 找两个独立等量关系： ①总量关系 ②比例/效率/时间关系 解 只用代入法或加减法 验 ①检验解是否满足方程组 ②符合实际意义（人数≥0，速度>0） 2. 五大题型及等量关系 类型 等量关系 易错点 和差倍分 ① 总量： ② 倍数：（区分“多k倍”=) 混淆“是2倍”与“多2倍” 配套问题 核心： 例：螺钉：螺母=1:2 → 螺母数=2×螺钉数 错设比例（如列 ) 行程问题 ① 相遇： ② 追及： ③ 时间相等（同时出发/到达） 单位未统一（km/h与m/s混淆） 利润问题 ① 售价=标价×折扣率 ② 利润=售价－进价 ③ 总利润=单件利润×数量 混淆“折扣率”与“利润率” 工程问题 ① 工作量=效率×时间 ② 合作效率： （常设总量为1） 未设总工作量为1 【高频易错点避坑指南】 典型错误案例与正确解法： 1.配套比例错误 错解：设螺栓 个，螺母 个，列 正解：螺母数=2×螺栓数 → 2.单位不统一 错解：速度5 km/h，时间10分钟，直接算路程 正解：10分钟=小时 → 路程= km 3.验根缺失 错解：解得人数 ，直接写答案 正解：舍去负解，检查是否满足“人数为正整数” 【考点练习】 一、二元一次方程组的应用-和差倍分问题 1．“体育承载着国家强盛、民族振兴的梦想，体育强则中国强，国运兴则体育兴”．为引导学生在体育锻炼中享受乐趣、增强体质，某校开展了大课间活动，七年级一班拟组织学生参加跳绳活动，最初男生报名人数比女生多3人，后来又有15名女生报名参加了跳绳活动，这时女生人数恰好是男生人数的2倍，求最初报名时女生与男生各有多少人？ 2．某学校为了增强学生体质开展“阳光大课间活动”，鼓励学生加强体育锻炼，决定给各班购买跳绳和毽子作为活动器材，已知购买3根跳绳和2个毽子共需26元；购买2根跳绳和5个毽子共需32元． （1）求购买一根跳绳和一个毽子分别需要多少元？ （2）为了更好地开展好这个活动，该校需要购买40根跳绳和35个毽子，请求出该校这次活动，购买的跳绳和毽子共花费多少钱？ 二、二元一次方程组的实际应用-销售问题 1．“预防为主，生命至上”．商场计划购进一批消防器材进行销售，已知购进15个干粉灭火器和20个消防自救呼吸器共需1500元，购进20个干粉灭火器和25个消防自救呼吸器共需1950元． （1）求一个干粉灭火器和一个消防自救呼吸器的进价分别是多少元； （2）该商场计划用4800元购进干粉灭火器和消防自救呼吸器共100个，销售时，干粉灭火器在进价的基础上加价进行销售；消防自救呼吸器每件加价10元进行销售，求全部售出后共可获利多少元． 2．随着中国传统节日“端午节”的临近，东方红商场决定开展“欢度端午，回馈顾客”的让利促销活动，对部分品牌粽子进行打折销售，其中甲品牌粽子打八折，乙品牌粽子打七五折，已知打折前，买6盒甲品牌粽子和3盒乙品牌粽子需660元；打折后，买50盒甲品牌粽子和40盒乙品牌粽子需要5200元． （1）打折前甲、乙两种品牌粽子每盒分别为多少元？ （2）阳光敬老院需购买甲品牌粽子80盒，乙品牌粽子100盒，问打折后购买这批粽子比不打折节省了多少钱？ 三、二元一次方程组的实际应用-方案选择题问题 1．装商店决定购进A、B两种纪念品，若购进种纪念品10件，种纪念品5件，需要2000元：若购进种纪念品5件，种纪念品3件，需要1050元。 （1）求购进A、B两种纪念品每件各需多少元？ （2）若该商店决定出4000元全部用来购进这两种纪念品，其中各纪念品至少购进12件，那么该商店共有几种进货方案？ 2．列方程组解应用题：用3辆型车和2辆型车载满货物一次可运货17吨；用2辆型车和3辆型车载满货物一次可运货18吨，某物流公司现有35吨货物，计划同时租用型车辆，型车辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物. （1）1辆型车和1辆型车都载满货物一次可分别运货多少吨？ （2）若型车每辆需租金200元/次，型车每辆需租金240元/次，请你帮该物流设计最省钱的租车方案，并求出最少租车费. 3．某校准备组织七年级400名学生参加综合实践活动，已知用1辆小客车和2辆大客车均满载，每次可运送学生110名；用3辆小客车和1辆大客车均满载，每次可运送学生105名。 （1）每辆小客车和每辆大客车各能坐多少名学生？ （2）若学校计划租用小客车x辆，大客车y辆，一次送完，且恰好每辆车都坐满。 ①请你设计出所有的租车方案； ②若小客车每辆需租金1600元，大客车每辆需租金2700元，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租金。 四、二元一次方程组的实际应用-配套问题 1．学校乐队193人准备参加文艺会演。现已预备了大客车和中巴车共8辆，其中大客车每辆可坐51人，中巴车每辆可坐8人，刚好坐满。学校预备了几辆大客车，几辆中巴车? 2．某机械厂共有120名生产工人，每个工人每天可生产螺栓50个或螺母20个，如果一个螺栓与两个螺母配成一套，那么每天安排多少名工人生产螺栓，多少名工人生产螺母，恰好能是每天生产出来的产品配成一套？ 3．某中学在“读书日”期间购进一批图书，需要用大小两种规格的纸箱来装运，3个大纸箱和2个小纸箱一次可以装130本书，2个大纸箱和3个小纸箱一次可以装120本书． （1）一个大纸箱和一个小纸箱一次分别可以装多少本书？ （2）如果一共购进100本书，每个纸箱恰好装满，且两种规格的纸箱都有，分别需要用多少个大、小纸箱？ 五、二元一次方程组的实际应用-工程问题 1．某港口码头使用A，B两种型号的机器人搬运货物. 在24h内，3台A型机器人和2台B型机器人共搬运货物450t，且每台A 型机器人比B型机器人多搬运货物25t，每台 A型机器人和每台B型机器人24h的搬运量分别是多少? 2．为打造河道风光带， 现有一项长为 180 米的河道整治任务， 由 两个工程小组先后接力完成． 工程小组每天整治 12 米， 工程小组每天整治 8 米，共用时 20 天． （1） 两工程小组分别用时多少天？ （2） 两工程小组分别整治河道多少米？ 六、二元一次方程组的应用-几何问题 1．如图，在长为10米，宽为8米的长方形空地上，沿平行于长方形边的方向分割出三个形状、大小完全一样的小长方形花圃（阴影部分）．求其中一个小长方形的长和宽． 2．在长方形中，放入个形状大小相同的小长方形，其中 （1）求小长方形的长和宽； （2）求阴影部分图形的总面积 七、二元一次方程组的应用-古代数学问题 1．我国古代算术名著《算法统宗》中有这样一道题，原文如下：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大、小和尚各几丁?”大意为：有 100 个和尚分 100 个馒头，正好分完.如果大和尚一人分3个，小和尚 3 人分一个，大、小和尚各有几人? 请解答这个问题。 2．我国古代数学著作《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五，屈绳量之，不足一尺，问木长几何？”大致意思是：“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺，将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？”请你用二元一次方程组的方法求出绳子、木条各多少尺． 八、二元一次方程组的其他应用 1．七年级 （1）班的同学去参加科技体验活动，第一组有2人选择“九天揽月”活动，3人选择“深海探幽”活动，共花费130元； 第二组有4人选择“九天揽月”活动，2人选择“深海探幽”活动，共花费140元. 每张“九天揽月”和“深海探幽”活动的票价各为多少元? 2．某一天，蔬菜经营户老李用了145元从蔬菜批发市场批发一些黄瓜和茄子，到菜市场去卖，黄瓜和茄子当天的批发价与零售价如下表所示： 品名 黄瓜 茄子 批发价（元/千克） 3 4 零售价（元/千克） 4 7 当天他卖完这些黄瓜和茄子共赚了90元，这天他批发的黄瓜和茄子分别是多少千克？ 3．小亮、小红和笑笑三个人玩飞镖游戏，各投6支飞镖，规定在同一圆环内得分相同，三人中靶和得分情况如图，则小红得分多少？请写出推导过程． 4．一根金属棒在时的长度是，在一定温度范围内，温度每升高，它就伸长当温度为时，金属棒的长度可用公式计算．已测得当时，；当时，． （1）求，的值． （2）若这根金属棒受热后长度伸长到，则这时金属棒的温度是多少？ 5．商店里把塑料凳整齐地叠放在一起，已知3张凳子叠放在一起的高度是，5张凳子叠放在一起的高度是，请你完成以下问题： （1）求一张凳子中凳脚、凳面的高度； （2）当有20张塑料凳整齐地叠放在一起时，总高度是多少厘米？ 第 1 页 共 13 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末复习专题讲义：实际问题与二元一次方程组 【考点预览】 · 一、二元一次方程组的应用-和差倍分问题 · 二、二元一次方程组的实际应用-销售问题 · 三、二元一次方程组的实际应用-方案选择题问题 · 四、二元一次方程组的实际应用-配套问题 · 五、二元一次方程组的实际应用-工程问题 · 六、二元一次方程组的应用-几何问题 · 七、二元一次方程组的应用-古代数学问题 · 八、二元一次方程组的其他应用 【核心知识与方法体系】 1. 解题四步法（规范流程）： 步骤 操作要点 审 划关键词： ①显性关系（和/差/倍/分/配套） ②隐性条件（“同时出发”“提前到达”） 设 设两个未知数（直接设所求量），单位明确（如：A产品数量 件） 列 找两个独立等量关系： ①总量关系 ②比例/效率/时间关系 解 只用代入法或加减法 验 ①检验解是否满足方程组 ②符合实际意义（人数≥0，速度>0） 2. 五大题型及等量关系 类型 等量关系 易错点 和差倍分 ① 总量： ② 倍数：（区分“多k倍”=) 混淆“是2倍”与“多2倍” 配套问题 核心： 例：螺钉：螺母=1:2 → 螺母数=2×螺钉数 错设比例（如列 ) 行程问题 ① 相遇： ② 追及： ③ 时间相等（同时出发/到达） 单位未统一（km/h与m/s混淆） 利润问题 ① 售价=标价×折扣率 ② 利润=售价－进价 ③ 总利润=单件利润×数量 混淆“折扣率”与“利润率” 工程问题 ① 工作量=效率×时间 ② 合作效率： （常设总量为1） 未设总工作量为1 【高频易错点避坑指南】 典型错误案例与正确解法： 1.配套比例错误 错解：设螺栓 个，螺母 个，列 正解：螺母数=2×螺栓数 → 2.单位不统一 错解：速度5 km/h，时间10分钟，直接算路程 正解：10分钟=小时 → 路程= km 3.验根缺失 错解：解得人数 ，直接写答案 正解：舍去负解，检查是否满足“人数为正整数” 【考点练习】 一、二元一次方程组的应用-和差倍分问题 1．“体育承载着国家强盛、民族振兴的梦想，体育强则中国强，国运兴则体育兴”．为引导学生在体育锻炼中享受乐趣、增强体质，某校开展了大课间活动，七年级一班拟组织学生参加跳绳活动，最初男生报名人数比女生多3人，后来又有15名女生报名参加了跳绳活动，这时女生人数恰好是男生人数的2倍，求最初报名时女生与男生各有多少人？ 【答案】解：设最初报名时女生有x人，男生有y人， 依题意，得：， 解得：， 答：最初报名时男生有12人，女生有9人． 【解析】设最初报名时女生有x人，男生有y人，由题意：男生报名人数比女生多3人，后来又报了15名女生，这时女生人数恰好是男生人数的2倍，列出方程组，计算即可解答． 2．某学校为了增强学生体质开展“阳光大课间活动”，鼓励学生加强体育锻炼，决定给各班购买跳绳和毽子作为活动器材，已知购买3根跳绳和2个毽子共需26元；购买2根跳绳和5个毽子共需32元． （1）求购买一根跳绳和一个毽子分别需要多少元？ （2）为了更好地开展好这个活动，该校需要购买40根跳绳和35个毽子，请求出该校这次活动，购买的跳绳和毽子共花费多少钱？ 【答案】（1）解：设购买一根跳绳为元，一个毽子为元，依题意可知： 解之得： 答：购买一根跳绳为6元，一个毽子为4元． （2）解：（元） 【解析】(1)根据题意和差倍关系列出二元一次方程组，解之即可； (2)在(1)计算单价的基础上，求出总价即可. 二、二元一次方程组的实际应用-销售问题 1．“预防为主，生命至上”．商场计划购进一批消防器材进行销售，已知购进15个干粉灭火器和20个消防自救呼吸器共需1500元，购进20个干粉灭火器和25个消防自救呼吸器共需1950元． （1）求一个干粉灭火器和一个消防自救呼吸器的进价分别是多少元； （2）该商场计划用4800元购进干粉灭火器和消防自救呼吸器共100个，销售时，干粉灭火器在进价的基础上加价进行销售；消防自救呼吸器每件加价10元进行销售，求全部售出后共可获利多少元． 【答案】（1）解：设一个干粉灭火器的进价为元，一个消防自救呼吸器的进价为元， 由题意得，， 解得：， 答：一个干粉灭火器的进价为60元，一个消防自救呼吸器的进价为30元． （2）解：设购进干粉灭火器个，购进消防自救呼吸器个， 由题意得，， 解得：， 购进干粉灭火器60个，购进干粉灭火器的40个， 全部售出后共可获利（元）， 答：全部售出后共可获利1480元． 【解析】（1）设一个干粉灭火器的进价为元，一个消防自救呼吸器的进价为元，根据题中的两个相等关系“ 15个干粉灭火器费用+20个消防自救呼吸器的费用=1500，20个干粉灭火器的费用+25个消防自救呼吸器的费用=1950 ”列关于x、y的方程组，解方程组即可求解； （2）设购进干粉灭火器个，购进消防自救呼吸器个，根据题中的两个相等关系“干粉灭火器的个数+消防自救呼吸器的个数=100，m个干粉灭火器费用+n个消防自救呼吸器的费用=4600”列出关于m、n的方程组，解方程组求出m、n的值，再根据利润=干粉灭火器的利润+干粉灭火器的利润即可求解． 2．随着中国传统节日“端午节”的临近，东方红商场决定开展“欢度端午，回馈顾客”的让利促销活动，对部分品牌粽子进行打折销售，其中甲品牌粽子打八折，乙品牌粽子打七五折，已知打折前，买6盒甲品牌粽子和3盒乙品牌粽子需660元；打折后，买50盒甲品牌粽子和40盒乙品牌粽子需要5200元． （1）打折前甲、乙两种品牌粽子每盒分别为多少元？ （2）阳光敬老院需购买甲品牌粽子80盒，乙品牌粽子100盒，问打折后购买这批粽子比不打折节省了多少钱？ 【答案】解：（1）设打折前甲、乙两种品牌粽子每盒分别为x元，y元， 根据题意，得， 解得：， ∴打折前甲、乙两种品牌粽子每盒分别为70元，80元； （2）（元）， ∴打折后购买这批粽子比不打折节省了3120元． 【解析】（1）设打折前甲、乙两种品牌粽子每盒分别为x元，y元，根据“ 打折前，买6盒甲品牌粽子和3盒乙品牌粽子需660元；打折后，买50盒甲品牌粽子和40盒乙品牌粽子需要5200元”列出关于x、y的二元一次方程组，解方程组即可； （2）分别求出甲、乙两种粽子折扣节省部分的价钱，再求和即可. 三、二元一次方程组的实际应用-方案选择题问题 1．装商店决定购进A、B两种纪念品，若购进种纪念品10件，种纪念品5件，需要2000元：若购进种纪念品5件，种纪念品3件，需要1050元。 （1）求购进A、B两种纪念品每件各需多少元？ （2）若该商店决定出4000元全部用来购进这两种纪念品，其中各纪念品至少购进12件，那么该商店共有几种进货方案？ 【答案】（1）解：设购进A种纪念品每件需x元，B种纪念品每件需y元， ，解得， 答：购进A种纪念品每件需150元，B种纪念品每件需100元. （2）解：设购进A种纪念品a件，B种纪念品b件， ， 化简得， ， 当a=12时，b=22；当a=14时，b=19；当a=16时，b=16；当a=18时，b=13， 答：共有4种方案：购进A种纪念品12件，B种纪念品22件；购进A种纪念品14件，B种纪念品19件；购进A种纪念品16件，B种纪念品16件；购进A种纪念品18件，B种纪念品13件. 【解析】(1)设购进A种纪念品每件需x元，B种纪念品每件需y元，根据购进种纪念品10件，种纪念品5件，需要2000元可得10x+5y=2000；根据购进种纪念品5件，种纪念品3件，需要1050元可得5x+3y=1050，进而解得. (2)设购进A种纪念品a件，B种纪念品b件，根据该商店决定出4000元全部用来购进这两种纪念品可列出二元一次方程，再根据各纪念品至少购进12件可得当a=14时，b=19；当a=16时，b=16；当a=18时，b=13，故共有3种方案：购进A种纪念品14件，B种纪念品19件；购进A种纪念品16件，B种纪念品16件；购进A种纪念品18件，B种纪念品13件. 2．列方程组解应用题：用3辆型车和2辆型车载满货物一次可运货17吨；用2辆型车和3辆型车载满货物一次可运货18吨，某物流公司现有35吨货物，计划同时租用型车辆，型车辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物. （1）1辆型车和1辆型车都载满货物一次可分别运货多少吨？ （2）若型车每辆需租金200元/次，型车每辆需租金240元/次，请你帮该物流设计最省钱的租车方案，并求出最少租车费. 【答案】解：（1）设每辆A型车、B型车都装满货物一次可以分别运货x吨、y吨， 依题意列方程组得： ， 解方程组，得： ， 答：1辆A型车装满货物一次可运3吨，1辆B型车装满货物一次可运4吨． （2）结合题意和（1）得：3a+4b=35， ∴a= ∵a、b都是正整数 ∴或 或 方案一：A型车9辆，B型车2辆； 方案二：A型车5辆，B型车5辆； 方案三：A型车1辆，B型车8辆． ∵A型车每辆需租金200元/次，B型车每辆需租金240元/次， ∴方案一需租金：9×200+2×240=2280（元） 方案二需租金：5×200+5×240=2200（元） 方案三需租金：1×200+8×240=2120（元） ∵2280＞2200＞2120 ∴最省钱的租车方案是方案三：A型车1辆，B型车8辆，最少租车费为2120元． 【解析】（1）设每辆A型车、B型车都装满货物一次可以分别运货x吨、y吨，根据题意列方程组，解方程组即可；（2）由题意理解出：3a+4b=35，解此二元一次方程，求出其整数解，得到三种租车方案；分别三种方案的租车费用，进而比较大小即可求得最省钱的租车方案以及最少租车费． 3．某校准备组织七年级400名学生参加综合实践活动，已知用1辆小客车和2辆大客车均满载，每次可运送学生110名；用3辆小客车和1辆大客车均满载，每次可运送学生105名。 （1）每辆小客车和每辆大客车各能坐多少名学生？ （2）若学校计划租用小客车x辆，大客车y辆，一次送完，且恰好每辆车都坐满。 ①请你设计出所有的租车方案； ②若小客车每辆需租金1600元，大客车每辆需租金2700元，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租金。 【答案】（1）解：设每辆小客车能坐α名学生，每辆大客车能坐b名学生，由题意得： ， 解得 答：每辆小客车能坐20名学生，每辆大客车能坐45名学生. （2）解：①根据题意，得20x+45y=400， 所以 因为х，y为非负整数， ∴y是4的倍数， ∴，， 答：租车方案有3种： 方案1：小客车20辆，大客车0辆； 方案2：小客车11辆，大客车4辆； 方案3：小客车2辆，大客车8辆. ②方案1：1600×20=32000(元)； 方案2：1600×11+2700×4=28400(元)； 方案3：1600×2+2700×8=24800(元)， 因为32000>28400>24800， 所以最省钱的租车方案为2辆小客车，8辆大客车. 【解析】（1）由题意得等量关系“ 1辆小客车可载的人数+2辆大客车可载的人数＝110”，“3辆小客车可载的人数+1辆大客车可载的人数＝105”，设每辆小客车能坐α名学生，每辆大客车能坐b名学生，再根据等量关系列方程并求解即可； （2）根据等量关系“ x辆小客车可载的人数+y辆大客车可载的人数＝400”可列方程20x+45y=400，再根据х，y为非负整数，确定满足条件的租车方案即可； （3）分别计算出每种情况下的租车费用，再比较大小，即可得到最划算的方案. 四、二元一次方程组的实际应用-配套问题 1．学校乐队193人准备参加文艺会演。现已预备了大客车和中巴车共8辆，其中大客车每辆可坐51人，中巴车每辆可坐8人，刚好坐满。学校预备了几辆大客车，几辆中巴车? 【答案】解：设学校预备了辆大客车，辆中巴车. 由题意，得解得 答：学校预备了3辆大客车，5辆中巴车. 【解析】设学校预备了辆大客车，辆中巴车，根据条件“ 大客车和中巴车共8辆 ”可列方程，根据条件“ 大客车每辆可坐51人，中巴车每辆可坐8人，刚好坐满 ”以及总人数193人可列方程，然后联合求解即可. 2．某机械厂共有120名生产工人，每个工人每天可生产螺栓50个或螺母20个，如果一个螺栓与两个螺母配成一套，那么每天安排多少名工人生产螺栓，多少名工人生产螺母，恰好能是每天生产出来的产品配成一套？ 【答案】解：设每天安排x名工人生产螺栓，y名工人生产螺母。 解得 答：每天安排20名工人生产螺栓，100名工人生产螺母，恰好能是每天生产出来的产品配成一套。 【解析】根据等量关系：生产螺栓的人数+生产螺母的人数=120；2×生产螺栓的人数×每个工人每天生产螺栓的数量=生产螺母的人数×每个工人每天生产螺母的数量，设未知数，列方程组求解即可。 3．某中学在“读书日”期间购进一批图书，需要用大小两种规格的纸箱来装运，3个大纸箱和2个小纸箱一次可以装130本书，2个大纸箱和3个小纸箱一次可以装120本书． （1）一个大纸箱和一个小纸箱一次分别可以装多少本书？ （2）如果一共购进100本书，每个纸箱恰好装满，且两种规格的纸箱都有，分别需要用多少个大、小纸箱？ 【答案】（1）解：设一个大纸箱可以装x本书，一个小纸箱可以装y本书， 依题意得：， 解得：， 答：一个大纸箱可以装30本书，一个小纸箱可以装20本书． （2）解：设需要用m个大纸箱，n个小纸箱， 依题意得：30m+20n＝100， ∴n＝5﹣m． 又∵两种规格的纸箱都有， ∴m，n均为正整数， ∴， 答：需要5个小纸箱或者需要2个大纸箱、2个小纸箱． 【解析】（1）设一个大纸箱可以装x本书，一个小纸箱可以装y本书，根据 3个大纸箱和2个小纸箱一次可以装130本书，2个大纸箱和3个小纸箱一次可以装120本书，可得出方程组，解方程组，即可得出答案； （2）设需要用m个大纸箱，n个小纸箱，根据书本总数为100本，可得方程30m+20n＝100，根据m，n均为正整数，求得m，n的值即可。 五、二元一次方程组的实际应用-工程问题 1．某港口码头使用A，B两种型号的机器人搬运货物. 在24h内，3台A型机器人和2台B型机器人共搬运货物450t，且每台A 型机器人比B型机器人多搬运货物25t，每台 A型机器人和每台B型机器人24h的搬运量分别是多少? 【答案】解： 设每台A型机器人24h的搬运量为x 吨，每台B型机器人24h的搬运量为y吨。 ，解得 ∴ 每台A型机器人24h的搬运量是100吨，每台B型机器人24h的搬运量是75吨。 【解析】本题根据条件“ 3台A型机器人和2台B型机器人共搬运货物450t ”和“ 每台A 型机器人比B型机器人多搬运货物25t ”，分别列出方程并组成方程组，然后求解即可。 2．为打造河道风光带， 现有一项长为 180 米的河道整治任务， 由 两个工程小组先后接力完成． 工程小组每天整治 12 米， 工程小组每天整治 8 米，共用时 20 天． （1） 两工程小组分别用时多少天？ （2） 两工程小组分别整治河道多少米？ 【答案】（1）解：设 工程队 天， 工程队 天， 由题意， 得 解得 . 即A工程小组用时5天，B工程小组用时15天. （2）解：由（1）可知A工程小组用时5天，B工程小组用时15天. 因此A工程队整治河道 12×5=60 米， 工程队整治河道 8×15=120 米. 【解析】设 工程队 天， 工程队 天，根据条件河道长180米以及共用时20天，列出方程组，即可求解出两小组分别的实际用时. 然后又已知各小组每天的整治速度，根据（1）的结论即可计算出两小组分别整治河道长度. 六、二元一次方程组的应用-几何问题 1．如图，在长为10米，宽为8米的长方形空地上，沿平行于长方形边的方向分割出三个形状、大小完全一样的小长方形花圃（阴影部分）．求其中一个小长方形的长和宽． 【答案】解：设小长方形的长为 x 米，宽为y米． 依题意有： 解此方程组得： 故，小长方形的长为 4米，宽为2米． 【解析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，设小长方形的长为 x 米，宽为y米，结合图形，列出二元一次方程组，求得方程组的解，即可得到答案. 2．在长方形中，放入个形状大小相同的小长方形，其中 （1）求小长方形的长和宽； （2）求阴影部分图形的总面积 【答案】解：（1）设小长方形的长为xcm，宽为ycm，由题意得 ， 解得 ， 答：小长方形的长为4cm，宽为1cm； （2）5×7-5×1×4=15cm2． 答：阴影部分图形的总面积15cm2． 【解析】（1）设小长方形的长为xcm，宽为ycm，由大长方形的长BC=小长方形的长+3个小长方形的宽及大长方形的宽AB=小长方形的长+小长方形宽列方程组求解即可； （2）用大长方形的面积减去5个小长方形的面积即可得到阴影部分的面积． 七、二元一次方程组的应用-古代数学问题 1．我国古代算术名著《算法统宗》中有这样一道题，原文如下：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大、小和尚各几丁?”大意为：有 100 个和尚分 100 个馒头，正好分完.如果大和尚一人分3个，小和尚 3 人分一个，大、小和尚各有几人? 请解答这个问题。 【答案】解：设大和尚有x人，小和尚有y人， 由题意得： 解得： 答：大和尚有 25人，小和尚有 75人 【解析】设大和尚有x人，小和尚有y人，根据相等关系“大和尚的人数+小和尚的人数=100，大和尚一人分3个所需馒头+小和尚 3 人分一个所需馒头=100”可列方程组求解. 2．我国古代数学著作《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五，屈绳量之，不足一尺，问木长几何？”大致意思是：“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺，将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？”请你用二元一次方程组的方法求出绳子、木条各多少尺． 【答案】解：设绳子长x尺，木条长y尺， 依题意得： ， 解得： ． 答：绳子长11尺，木条长6.5尺． 【解析】设绳子长x尺，木条长y尺， 依题意列出方程组，解之即可。 八、二元一次方程组的其他应用 1．七年级 （1）班的同学去参加科技体验活动，第一组有2人选择“九天揽月”活动，3人选择“深海探幽”活动，共花费130元； 第二组有4人选择“九天揽月”活动，2人选择“深海探幽”活动，共花费140元. 每张“九天揽月”和“深海探幽”活动的票价各为多少元? 【答案】解： 设“九天揽月”活动的票价为x元，“深海探幽”活动的票价为y元 ，根据题意可列方程组 ，解得， 答： “九天揽月”活动的票价为20元，“深海探幽”活动的票价为30元 . 【解析】 设“九天揽月”活动的票价为x元，“深海探幽”活动的票价为y元 ，根据题意可列方程组，求得方程组的解即可求得每张“九天揽月”和“深海探幽”活动的票价. 2．某一天，蔬菜经营户老李用了145元从蔬菜批发市场批发一些黄瓜和茄子，到菜市场去卖，黄瓜和茄子当天的批发价与零售价如下表所示： 品名 黄瓜 茄子 批发价（元/千克） 3 4 零售价（元/千克） 4 7 当天他卖完这些黄瓜和茄子共赚了90元，这天他批发的黄瓜和茄子分别是多少千克？ 【答案】解：设批发的黄瓜是x千克，茄子是y千克，由题意得 解得 答：这天他批发的黄瓜15千克，茄子是25千克． 【解析】设批发的黄瓜是x千克，茄子是y千克，根据“用了145元从蔬菜批发市场批发一些黄瓜和茄子，卖完这些黄瓜和茄子共赚了90元，”列出方程组解答即可． 3．小亮、小红和笑笑三个人玩飞镖游戏，各投6支飞镖，规定在同一圆环内得分相同，三人中靶和得分情况如图，则小红得分多少？请写出推导过程． 【答案】33 【解析】【解答】解：设投中小圈得x分，投中大圈得y分， 根据题意得：， 得：， ∴小红得分为33分． 故答案为：33. 设投中小圈得x分，投中大圈得y分，利用图形，可列出关于x，y的二元一次方程组，利用，即可求出小红的得分． 4．一根金属棒在时的长度是，在一定温度范围内，温度每升高，它就伸长当温度为时，金属棒的长度可用公式计算．已测得当时，；当时，． （1）求，的值． （2）若这根金属棒受热后长度伸长到，则这时金属棒的温度是多少？ 【答案】（1）解：由题意列二元一次方程组： ， 解得： 所以，． （2）解：， 当时，有，解得：． 答：这时金属棒的温度是． 【解析】（1）直接利用待定系数法求解即可； （2）代入金属棒的长度L，即可得到关于温度的一元一次方程并解方程即可. 5．商店里把塑料凳整齐地叠放在一起，已知3张凳子叠放在一起的高度是，5张凳子叠放在一起的高度是，请你完成以下问题： （1）求一张凳子中凳脚、凳面的高度； （2）当有20张塑料凳整齐地叠放在一起时，总高度是多少厘米？ 【答案】（1）解：设一张凳子中凳脚的高度是，凳面的高度是， 根据题意得：， 解得：． 答：一张凳子中凳脚的高度是，凳面的高度是； （2）解：根据题意得： 答：总高度是99.2厘米． 【解析】（1）设一张凳子中凳脚的高度是，凳面的高度是，由题意得等量关系：①一张凳子腿的高度+3张凳面的高度=，②一张凳子腿的高度+5张凳面的高度=，根据等量关系列出关于x、y的方程组，解方程组即可求解； （2）根据一张凳子腿的高度+20张凳面的高度即可求出20张塑料凳整齐地叠放在一起时的总高度． 第 1 页 共 13 页 学科网（北京）股份有限公司 $$