精品解析：北京市第五十五中学2025-2026学年度第二学期期中调研试卷七年级数学

北京市第五十五中学2025－2026学年度第二学期期中调研试卷 初一数学 本试卷共6页，共100分，调研时长100分钟 第一部分（选择题共24分） 一、选择题（共24分，每题3分）第1－8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 9的算术平方根是（ ） A. B. 3 C. D. 81 2. 在平面直角坐标系中，点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 如图，利用工具测量角，则的大小为（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 4. 不等式 的解集在数轴上可以表示为（ ） A. B. C. D. 5. 已知点在直线外，要求过点画直线的平行线．某位同学先过点画直线交于点，并使得，然后他通过将含有角的三角板从点处沿着直线平移画出所要求作的直线．在点处，他的三角板摆放方法正确的是（　　） A. B. C. D. 6. 如果，那么下列不等关系一定成立的是（ ） A. B. C. D. 7. 下列语句正确的是（ ） A. 一条直线的平行线有且只有一条 B. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C. 相等的角叫对顶角 D. 过直线上一点只能作一条直线和这条直线相交 8. 随着新能源汽车技术的飞速发展，越来越多新能源汽车是由后轮驱动的，所以后轮胎的磨损程度比前轮胎严重．设每个新轮胎报废时的总磨损量为，如某轮胎可行驶公里，则每公里的磨损量为，现有某品牌的轮胎安装在前轮时行驶达到万公里时报废，安装在后轮时行驶达到万公里时报废．如果该汽车行驶若干公里后，将前后轮胎进行对换，那么这两对轮胎最多可以行驶（ ） A. 万公里 B. 万公里 C. 万公里 D. 万公里 第二部分（非选择题共76分） 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 的相反数是__________． 10. 与2的差大于，用不等式表示为______． 11. 写出一个比大且比小的整数______． 12. 若是关于，的二元一次方程的一个解，则的值为________． 13. 如图，下列条件：①；②；③；④．其中能判定的是________（填序号）． 14. 某公园部分景点位置示意图如图所示，其中景点都在正方形网格的格点上．如果分别以正东、正北方向为轴、轴的正方向建立平面直角坐标系，表示望春亭的点的坐标为，表示中心广场的点的坐标为，那么表示玫瑰园的点的坐标为________． 15. 已知点的坐标是，直线轴并且，则点的坐标为______． 16. 小云想用7天的时间背诵若干首诗词，背诵计划如下： ①将诗词分成4组，第组有首，，2，3，4； ②对于第组诗词，第天背诵第一遍，第天背诵第二遍，第天背诵第三遍，三遍后完成背诵，其它天无需背诵，，2，3，4； 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 第6天 第7天 第1组 第2组 第3组 第4组 ③每天最多背诵10首，最少背诵3首． 解答下列问题： （1）若，，，则的取值为________； （2）7天后，小云背诵的诗词最多为________首． 三、解答题（共60分，第17题4分，第18题8分，第19题4分，第20题6分，第21题5分，第22题5分，第23－24题每题4分，第25题6分，第26－27题每题7分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 18. 解方程组： （1）； （2）． 19. 解不等式：． 20. 解不等式组，写出这个不等式组的所有整数解． 21. 补全解答过程： 如图，∠1+∠2＝180°，∠3＝∠A． 求证：∠B＝∠C． 证明：∵∠1+∠2＝180°， ∴　 　（同旁内角互补，两直线平行）． ∴∠3＝∠D（　 　）． 又∵∠3＝∠A， ∴　 　． ∴AB∥CD（　 　）． ∴∠B＝∠C（　 　）． 22. 下面是证明三角形内角和定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明． 三角形内角和定理：三角形三个内角和等于180°， 已知：如图，, 求证： 方法一 证明：如图，过点A作 方法二 证明：如图，过点C作 23. 如图，直线与直线相交于点，是平面内一点，请根据下列语句画图并解答问题： （1）过点画交于点； （2）过点画的垂线，垂足为点； （3）比较线段与的长短_________（用“”连接），并说明依据________． 24. 如图，在三角形中，点，的坐标分别为，，将三角形向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度得到三角形，点，，的对应点分别为，，． （1）画出三角形，并写出点的坐标； （2）直接写出三角形的面积． 25. 2026年3月北京市第五十五中学第20届校园体育节暨“班超”比赛热闹开场．学校需要购买A种品牌的排球20个，B种品牌的排球30个，共花费2100元，已知B种品牌排球的单价比A种品牌排球的单价高20元． （1）求A、B两种品牌排球的单价各多少元？ （2）根据需要，学校决定再次购进A、B两种品牌的排球50个，正逢体育用品商店“优惠促销”活动，A种品牌的排球单价优惠5元，B种品牌的排球单价打8折．如果此次学校购买A、B两种品牌排球的总费用不超过1550元，且购买B种品牌的排球不少于18个，则有几种购买方案？ （3）在(2)的条件下，为了节约资金，学校应选择哪种方案？为什么？ 26. 如图，已知直线，分别是直线上的点. （1）在图1中，判断和之间的数量关系，并证明你的结论； （2）在图2中，请你直接写出和之间的数量关系（不需要证明）； （3）在图3中，平分，平分，且，求的度数. 27. 阅读材料： 在平面直角坐标系中，二元一次方程的一个解可以用一个点表示，二元一次方程有无数个解，对于一个方程，如果把与的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个方程的图象．例如：以方程的解为坐标的点的全体叫作方程的图象．如图所示，在平面直角坐标系中，任何一个二元一次方程的图象都是一条直线，我们可以把方程的图象称为直线． 直线把坐标平面分成直线上方区域，直线上，直线下方区域三部分，如果点的坐标满足不等式，那么点就在直线的上方区域内．特别地，（为常数）表示横坐标为纵坐标为任意实数的点的全体组成的一条直线，（为常数）表示纵坐标为的点的全体组成的一条直线． 请根据以上材料，探索完成以下问题： （1）已知点、、、，其中在直线上的点有________； （2）已知点的坐标满足不等式组，则所有的点组成的图形的面积是________； （3）已知点的坐标满足不等式组，记所有的点组成的图形为图形，点在直线上，以点为顶点在直线上方构造面积为2的正方形，且该正方形至少有一条边与坐标轴平行．若正方形及其内部所有点都在图形内部，直接写出点的横坐标的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市第五十五中学2025－2026学年度第二学期期中调研试卷 初一数学 本试卷共6页，共100分，调研时长100分钟 第一部分（选择题共24分） 一、选择题（共24分，每题3分）第1－8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 9的算术平方根是（ ） A. B. 3 C. D. 81 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了求算术平方根， 算术平方根定义为非负数的非负平方根，因此9的算术平方根应为非负数． 【详解】解：9的算术平方根是3． 故选：B． 2. 在平面直角坐标系中，点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了判断点所在的象限，坐标系中每个象限内点的符号特点如下：第一象限，第二象限，第三象限，第四象限，据此即可求解 【详解】解：∵，横坐标小于0，纵坐标大于0 ， ∴点位于第二象限， 故选：B． 3. 如图，利用工具测量角，则的大小为（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 【答案】A 【解析】 【分析】利用对顶角相等求解． 【详解】解：量角器测量的度数为30°， 由对顶角相等可得，． 故选A． 【点睛】本题考查量角器的使用和对顶角的性质，掌握对顶角相等是解题的关键． 4. 不等式 的解集在数轴上可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：不等式 的解集在数轴上表示为 ． 5. 已知点在直线外，要求过点画直线的平行线．某位同学先过点画直线交于点，并使得，然后他通过将含有角的三角板从点处沿着直线平移画出所要求作的直线．在点处，他的三角板摆放方法正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定是解题关键．根据同位角相等，两直线平行即可得． 【详解】解：将三角板中的角与重合，再从点处沿着直线平移，当三角板中的角的顶点与点重合时，画出的直线即为直线的平行线．理由是：同位角相等，两直线平行． 故选：C． 6. 如果，那么下列不等关系一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查不等式的基本性质，解答关键是熟知不等式的基本性质①不等式基本性质1：不等式的两边同时加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号的方向不变；②不等式基本性质2：不等式的两边同时乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变； ③不等式基本性质3：不等式的两边同时乘(或除以)同一个负数，不等号的方向变．利用不等式的基本性质逐项判断即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 故选项A不符合题意； ∵， ∴， 故选项B不符合题意； ∵， 当，， 当，， 故选项C不符合题意； ∵， ∴， 故选项D符合题意； 故选：D． 7. 下列语句正确的是（ ） A. 一条直线的平行线有且只有一条 B. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C. 相等的角叫对顶角 D. 过直线上一点只能作一条直线和这条直线相交 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，垂线的性质，对顶角的性质，相交线的性质，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． 利用平行线的性质，垂线的性质，对顶角的性质，相交线的性质逐项进行判定即可． 【详解】解：A. 一条直线的平行线有无数条，该选项说法错误，不符合题意； B. 该选项说法正确，符合题意； C. 相等的角不一定是对顶角，该选项说法错误，不符合题意； D. 过直线上一点能作无数条直线和这条直线相交，该选项说法错误，不符合题意； 故选：B． 8. 随着新能源汽车技术的飞速发展，越来越多新能源汽车是由后轮驱动的，所以后轮胎的磨损程度比前轮胎严重．设每个新轮胎报废时的总磨损量为，如某轮胎可行驶公里，则每公里的磨损量为，现有某品牌的轮胎安装在前轮时行驶达到万公里时报废，安装在后轮时行驶达到万公里时报废．如果该汽车行驶若干公里后，将前后轮胎进行对换，那么这两对轮胎最多可以行驶（ ） A. 万公里 B. 万公里 C. 万公里 D. 万公里 【答案】B 【解析】 【分析】本题利用总磨损量的关系求解，当两对轮胎同时报废时，行驶总里程最远，根据每个轮胎报废时总磨损量为，列方程相加即可求出总行驶里程． 【详解】解：设换轮胎前行驶万公里，换胎后再行驶万公里刚好全部报废，总行驶里程万公里. ∵每个新轮胎总磨损量为，前轮每公里磨损量为，后轮每公里磨损量为，原前轮胎换胎后在后轮行驶，总磨损为，原后轮胎换胎后在前轮行驶，总磨损为， ∴可得方程组： ， 将两个方程相加得： ， 即 ， 解得 ， 因此最多可以行驶万公里． 第二部分（非选择题共76分） 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 的相反数是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数，相反数的定义，掌握知识点是解题的关键． 根据相反数的定义，即可解答． 【详解】解：的相反数是． 故答案为：． 10. 与2的差大于，用不等式表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可直接进行求解． 【详解】解：由题意得：； 故答案为． 【点睛】本题主要考查列不等式，解题的关键是理解题意． 11. 写出一个比大且比小的整数______． 【答案】2（或3） 【解析】 【分析】先分别求出与在哪两个相邻的整数之间，依此即可得到答案． 【详解】∵1＜＜2，3＜＜4， ∴比大且比小的整数是2或3． 故答案为：2（或3） 【点睛】本题主要考查了实数的大小比较，也考查了无理数的估算的知识，分别求出与在哪两个相邻的整数之间是解答此题的关键． 12. 若是关于，的二元一次方程的一个解，则的值为________． 【答案】1 【解析】 【分析】把x与y的值代入二元一次方程，得到关于a的一元一次方程，即可求出a的值． 【详解】解：把代入方程中，得：， 解得：． 13. 如图，下列条件：①；②；③；④．其中能判定的是________（填序号）． 【答案】 ④ 【解析】 【分析】根据平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；逐一判断即可得答案． 【详解】解：①：和是被所截的内错角，只能推出，无法判定，不符合要求； ②：这组同旁内角互补，只能推出，无法判定，不符合要求； ③：仅这组对角相等，无法推出，不符合要求； ④：和是被所截的内错角，根据内错角相等，两直线平行，可以推出，符合要求； 因此只有条件④满足要求． 14. 某公园部分景点位置示意图如图所示，其中景点都在正方形网格的格点上．如果分别以正东、正北方向为轴、轴的正方向建立平面直角坐标系，表示望春亭的点的坐标为，表示中心广场的点的坐标为，那么表示玫瑰园的点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据表示望春亭的点的坐标为，表示中心广场的点的坐标为，建立平面直角坐标系，确定坐标原点的位置，进而可确定表示玫瑰园的点的坐标，解题的关键就是确定坐标原点和，轴的位置． 【详解】解：如图，可以确定坐标系， 则表示玫瑰园的点的坐标为． 15. 已知点的坐标是，直线轴并且，则点的坐标为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形．根据平行于轴的点的纵坐标相同，两点间的距离为横坐标的差值的绝对值，进行求解即可． 【详解】解：∵点的坐标为，轴，且， ∴点的坐标为或， ∴点的坐标为或； 故答案为：或． 16. 小云想用7天的时间背诵若干首诗词，背诵计划如下： ①将诗词分成4组，第组有首，，2，3，4； ②对于第组诗词，第天背诵第一遍，第天背诵第二遍，第天背诵第三遍，三遍后完成背诵，其它天无需背诵，，2，3，4； 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 第6天 第7天 第1组 第2组 第3组 第4组 ③每天最多背诵10首，最少背诵3首． 解答下列问题： （1）若，，，则的取值为________； （2）7天后，小云背诵的诗词最多为________首． 【答案】 ①. 3 ②. 16 【解析】 【分析】（1）根据题意列出每天背诵数量的不等式，结合每天最多背诵10首，最少背诵3首，即可求出的取值； （2）根据每天最多背诵10首列出不等式，利用不等式的性质求出总背诵数量的范围，即可得到最多背诵的数量． 【详解】（1）解：由题意，每天最多背诵10首，最少背诵3首，且 ， 第1天背诵数量为，满足 ，符合要求； 第2天背诵数量为 ，满足 ，符合要求； 第3天背诵数量为 ，满足 ，符合要求； 第4天背诵数量为，可得 ，解得 ； 第5天背诵数量为，可得 ，解得 ； 第6天背诵数量为，满足 ，符合要求； 第7天背诵数量为，可得 ； 综上可得 ，故； （2）解：设总背诵数量为， 由题意得不等关系：， ∵要求的最大值， ∴取， 由，得 ， 整理，得 ⑤， 由③，得 ，两边同乘2，得 ⑥， ，得 ， 解得 ， 且存在正整数解 ，满足所有约束条件，总数量为16， 故7天后，小云背诵的诗词最多为16首． 三、解答题（共60分，第17题4分，第18题8分，第19题4分，第20题6分，第21题5分，第22题5分，第23－24题每题4分，第25题6分，第26－27题每题7分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】根据绝对值、算术平方根、立方根定义进行计算即可． 【详解】解： ． 18. 解方程组： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：将①代入②，得 ，解得， 把代入①，得， ∴原方程组的解为； 【小问2详解】 解：①②，得 ，即，解得， 把代入①，得，解得， ∴原方程组的解为． 19. 解不等式：． 【答案】 【解析】 【详解】解：， 去括号得：， 移项合并同类项得：． 20. 解不等式组，写出这个不等式组的所有整数解． 【答案】1，2，3 【解析】 【分析】根据不等式的性质将两个不等式的解集求出来，按照大小小大取中间即可求出不等式组的解集，从而知道不等式组的整数解． 【详解】解： 将①移项得， 合并同类项得， 系数化为1得． 将②去分母得， 移项得， 系数化为1得． 结合①和②可知，不等式组的解集为． 这个不等式组的所有整数解为: 1，2，3． 21. 补全解答过程： 如图，∠1+∠2＝180°，∠3＝∠A． 求证：∠B＝∠C． 证明：∵∠1+∠2＝180°， ∴　 　（同旁内角互补，两直线平行）． ∴∠3＝∠D（　 　）． 又∵∠3＝∠A， ∴　 　． ∴AB∥CD（　 　）． ∴∠B＝∠C（　 　）． 【答案】AD∥EF；两直线平行，同位角相等；∠A=∠D；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等． 【解析】 【分析】依据平行线的判定，即可得到AD∥EF，得出∠3=∠D，进而得出∠A=∠D，再根据平行线的判定，即可得到AB∥CD，最后根据平行线的性质得出结论． 【详解】∵∠1+∠2=180°， ∴AD∥EF（同旁内角互补，两直线平行）． ∴∠3=∠D（两直线平行，同位角相等）． 又∵∠3=∠A， ∴∠A=∠D． ∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）． ∴∠B=∠C（两直线平行，内错角相等）． 故答案为：AD∥EF；两直线平行，同位角相等；∠A=∠D；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等． 【点睛】此题主要考查平行线的判定与性质，熟练掌握，即可解题. 22. 下面是证明三角形内角和定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明． 三角形内角和定理：三角形三个内角和等于180°， 已知：如图，, 求证： 方法一 证明：如图，过点A作 方法二 证明：如图，过点C作 【答案】答案见解析 【解析】 【分析】方法一：依据平行线的性质，即可得到，，从而可求证三角形的内角和为． 方法二：由平行线的性质得：∠A=∠ACD，∠B+∠BCD=180°，从而可求证三角形的内角和为． 【详解】证明： 方法一：过点作， 则，． 两直线平行，内错角相等） ∵点，，在同一条直线上， ∴．（平角的定义） ． 即三角形的内角和为． 方法二： 如图，过点C作 ∵CD//AB， ∴∠A=∠ACD，∠B+∠BCD=180°， ∴∠B+∠ACB+∠A=180°． 即三角形的内角和为． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及三角形内角和定理的运用，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 23. 如图，直线与直线相交于点，是平面内一点，请根据下列语句画图并解答问题： （1）过点画交于点； （2）过点画的垂线，垂足为点； （3）比较线段与的长短_________（用“”连接），并说明依据________． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3），两点之间垂线段最短 【解析】 【分析】本题考查了作图复杂作图、垂线、垂线段最短、平行线的性质． （1）根据平行线的画法作图即可； （2）利用直角三角板一条直角边与重合，沿平移，直到另一直角边过点，画出垂线即可； （3）根据垂线段最短即可判断． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 如图，即为所求； 【小问3详解】 ，依据：两点之间垂线段最短， 故答案为：，两点之间垂线段最短． 24. 如图，在三角形中，点，的坐标分别为，，将三角形向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度得到三角形，点，，的对应点分别为，，． （1）画出三角形，并写出点的坐标； （2）直接写出三角形的面积． 【答案】（1）见解析， （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意分别作，，，顺次连接即可，再写出点的坐标； （2）利用割补法即可解答． 【小问1详解】 解：如图，三角形即为所求， 可得； 【小问2详解】 解：三角形的面积． 25. 2026年3月北京市第五十五中学第20届校园体育节暨“班超”比赛热闹开场．学校需要购买A种品牌的排球20个，B种品牌的排球30个，共花费2100元，已知B种品牌排球的单价比A种品牌排球的单价高20元． （1）求A、B两种品牌排球的单价各多少元？ （2）根据需要，学校决定再次购进A、B两种品牌的排球50个，正逢体育用品商店“优惠促销”活动，A种品牌的排球单价优惠5元，B种品牌的排球单价打8折．如果此次学校购买A、B两种品牌排球的总费用不超过1550元，且购买B种品牌的排球不少于18个，则有几种购买方案？ （3）在(2)的条件下，为了节约资金，学校应选择哪种方案？为什么？ 【答案】（1） A种品牌排球的单价是30元，B种品牌排球的单价是50元 （2） 共有3种购买方案 （3） 为了节约资金，学校应选择购买A种品牌的排球32个，购买B种品牌排球18个，理由见解析 【解析】 【分析】(1)设A种品牌排球的单价是x元，则B种品牌排球的单价是y元，再根据购买A种品牌的排球20个，B种品牌的排球30个，共花费2100元；B种品牌排球的单价比A种品牌排球的单价高20元，列出关于的二元一次方程组求解即可； (2)设购买A种品牌排球m个，则购买B种品牌排球个，根据商店“优惠促销”活动及学校给出的已知条件，列出关于m的一元一次不等式组，解不等式组求出m的取值范围，又由m为整数，确定购买方案即可； (3)由(2)得三种购买方案及总购买资金，比较数值大小即可得出资金最少的购买方案． 【小问1详解】 解：设A种品牌的排球的单价是x元，则B种品牌的排球的单价是y元， 根据题意，得，解得， 答：A种品牌的排球的单价是30元，则B种品牌的排球的单价是50元； 【小问2详解】 解：设购买A种品牌的排球m个，则购买B种品牌的排球个， 根据题意，得，解得，即， 又∵m为整数， ∴m的值为30，31，32， ∴共有3种购买方案； 【小问3详解】 解：为了节约资金，学校应该选择购买A种品牌的排球32个，购买B种品牌排球18个．理由如下： 由(2)知3种购买方案及总购买资金分别为 方案一：购买A种品牌的排球30个，则购买B种品牌排球20个，购买资金为 (元)； 方案二：购买A种品牌的排球31个，则购买B种品牌排球19个，购买资金为 (元)； 方案三：购买A种品牌的排球32个，则购买B种品牌排球18个，购买资金为 (元)； ∵ ， ∴为了节约资金，学校应该选择方案三：购买A种品牌的排球32个，购买B种品牌排球18个． 26. 如图，已知直线，分别是直线上的点. （1）在图1中，判断和之间的数量关系，并证明你的结论； （2）在图2中，请你直接写出和之间的数量关系（不需要证明）； （3）在图3中，平分，平分，且，求的度数. 【答案】（1），证明见析；（2）；（3） 【解析】 【分析】(1)如图，过点作直线，由平行线的性质得到，，即可求得； (2)如图，记AB与NE的交点为G，由平行线的性质得∠EGM=∠DNE，由三角形外角性质得∠BME=∠MEN+∠EGM，由此即可得到结论； (3)由角平分线的定义设，设，由(1)，得，由(2)，得，再根据，可求得，继而可求得. 【详解】(1)，证明如下： 如图，过点作直线， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； (2)，理由如下： 如图，记AB与NE的交点为G， 又∵AB//CD， ∴∠EGM=∠DNE， ∵∠BME是△EMG的外角， ∴∠BME=∠MEN+∠EGM， ∴∠MEN=∠BME-∠DNE； (3)∵平分， ∴设， ∵平分， ∴设， 由(1)，得， 由(2)，得， 又∵， ∴， ∴， 即， ∴. 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，三角形外角的性质，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键. 27. 阅读材料： 在平面直角坐标系中，二元一次方程的一个解可以用一个点表示，二元一次方程有无数个解，对于一个方程，如果把与的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个方程的图象．例如：以方程的解为坐标的点的全体叫作方程的图象．如图所示，在平面直角坐标系中，任何一个二元一次方程的图象都是一条直线，我们可以把方程的图象称为直线． 直线把坐标平面分成直线上方区域，直线上，直线下方区域三部分，如果点的坐标满足不等式，那么点就在直线的上方区域内．特别地，（为常数）表示横坐标为纵坐标为任意实数的点的全体组成的一条直线，（为常数）表示纵坐标为的点的全体组成的一条直线． 请根据以上材料，探索完成以下问题： （1）已知点、、、，其中在直线上的点有________； （2）已知点的坐标满足不等式组，则所有的点组成的图形的面积是________； （3）已知点的坐标满足不等式组，记所有的点组成的图形为图形，点在直线上，以点为顶点在直线上方构造面积为2的正方形，且该正方形至少有一条边与坐标轴平行．若正方形及其内部所有点都在图形内部，直接写出点的横坐标的取值范围． 【答案】（1）、 （2）16 （3） 【解析】 【分析】（1）分别把A、B、C、D各点的坐标代入验证即可； （2）画出符合题意的点的集合组成的图形，根据图象的性质求解即可； （3）画出图形，根据图象的性质，列出不等式组，求解即可． 【小问1详解】 解：对于点，此时， ∴点不在直线上； 对于，此时， ∴点在直线上； 对于，此时， ∴点在直线上； 对于，此时， ∴点不在直线上； 综上所述，在直线上的点为、； 【小问2详解】 解：如图， 所有的点组成的图形的面积是 ； 【小问3详解】 解：如图， ∵正方形的面积为2， ∴正方形的边长为，即， ∴点， ∴点，， ∵正方形及其内部所有点都在图形内部， ∴点，均在直线上的下方区域内，点在直线上或其上方区域内， ∴， 解得：． 即点的横坐标的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $