甘肃甘南藏族自治州临潭县第二中学2026年5月份高三模拟预测数学试题

临潭县第二中学2026年5月份高三模拟预测考试 高三 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 班级： 姓名： 成绩： 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：高考所有内容 第一部分（选择题 共58分） 1、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据绝对值不等式性质得：，不等式两边同时加1可得：， 即，又因为集合，所以. 2．已知复数满足，则（   ） A． B． C．2 D．1 【答案】B 【详解】因为，所以，则. 3．已知向量，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用平面向量平行的坐标表示即可求解. 【详解】当时，向量，，则，即,故充分性成立； 当时，满足,即，解得：或,所以必要性不成立；所以“”是“”的充分不必要条件 4．已知数列的前n项和为，，，则的值是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据整理得，令，进而证明数列为等比数列，再结合等比数列通项公式得，最后代入公式求解即可. 【详解】因为，， 所以，即， 等式两边同时除以得：，即， 令，则，， 所以，即数列为等比数列，公比为，首项为， 所以，即，所以，即， 所以. 5．已知三角形ABC中，，则三角形ABC的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，利用两角和的正弦公式，求得，得到三角形ABC为直角三角形，结合直角三角形的面积公式，即可求解. 【详解】在三角形ABC中，因为，所以均为锐角， 可得，， 所以， 又因为，所以，所以三角形ABC为直角三角形， 因为，可得， 所以三角形ABC的面积为. 6．小张的停车位被其它车辆占据，小张准备拨打车上的联系电话，可是电话号码的最后一位被遮挡，小张准备随机尝试，则小张在第一次拨打错误的条件下，第三次恰好拨打正确的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】记“小张第一次拨打错误”为事件，“第三次恰好拨打正确”为事件； 易知,因此小张在第一次拨打错误的条件下， 第三次恰好拨打正确的概率是. 7．双曲线：的右焦点为，过点且斜率为的直线与y轴交于点A，线段与E交于点B，若B为的中点，则E的离心率为（   ） A． B． C． D．5 【答案】C 【分析】写出直线 方程，求出点与中点的坐标，再将点坐标代入双曲线方程，利用并令求解出，进而得到离心率. 【详解】记，则：，整理得， 则，因为为的中点，所以， 因为点B在双曲线E上，则，令，得， 化简得，又，则，故离心率. 8．函数在上存在最大值，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用导数判断函数的单调性，再根据单调性和临界值，求参数的取值范围. 【详解】，令，得或. 当时，，递增，当时，，递减， 当时，，递增. 因此， 是极大值点， 是极小值点.要使上存在最大值，需，又因为，且，若，函数在递增，会超过，因此需.综上：. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．某高端茶饮品牌推出一款新品冷泡茶，为优化产品配方，品牌对该款茶的“最佳饮用时长”x（单位：小时，指冲泡后风味最佳的时长区间）进行市场调研.从全国门店随机抽取了100名消费者进行试饮测试，统计结果如下表： 最佳饮用时长x（小时） 消费者人数y 2 38 a b 6 已知最佳饮用时长x的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表），根据调研数据可认为x近似服从正态分布，用样本平均值作为的值，样本标准差s作为的值.则下列说法正确的是（    ）. （参考数据：若随机变量，则，，） A．， B．饮用时长在小时内的消费者占比估计值为13.59% C．饮用时长超过5.5小时的消费者占比估计值为2.275% D．若规定概率低于0.27%的事件为小概率事件，则本次调研中未发生小概率事件，即该款茶的最佳饮用时长符合品牌预设标准 【答案】ABD 【分析】对于A，由题可得，由，可得，据此可判断选项正误；对于BCD，由题可得，则，然后由正态分布知识可判断选项正误. 【详解】对于A，由题可得， ， 解得：，故A正确； 对于B，由题可得，则， 由正态分布知识，， 则，故B正确； 对于C，因，则，故C错误；对于D，由题可得， 从而或 ， 因小概率事件范围与题目所涉及范围无交集， 则该调查中未发生小概率事件，故D正确. 10．如图（1），在长方形ABCD中，，，E，F分别为AB，CD的中点，连接AF，CE，分别交BD于点M，N，将沿直线BD折起到的位置，如图（2），则下列说法正确的是（   ）    A．在翻折的过程中，恒有平面PEN B．若G为直线PN上一点，则点G到直线AM的最短距离为 C．当二面角的大小为时， D．当平面平面ABD时，三棱锥外接球的表面积为 【答案】ABD 【分析】结合相似三角形及勾股定理可得，，对于A，结合翻折的知识可得，结合可得平面PEN，进而判断即可；对于B，与A同理可得平面AMF，进而得到，，可得MN为AM，PN的公垂线段，所以点G到直线AM的最短距离为MN，进而求解判断即可；对于C，结合空间向量的线性运算可得，根据二面角的大小为可得，进而利用空间向量的数量积的运算律求解判断即可；对于D，分析可得BD的中点为三棱锥外接球的球心，进而求解判断即可. 【详解】在长方形ABCD中，，，E，F分别为AB，CD的中点， 计算可得，，易知， 又，所以，则，， 所以，所以，同理可得． 对于A，由上述过程可知在翻折的过程中，，而， 因为，PN，平面PEN，所以平面PEN，故A正确； 对于B，与A同理可得平面AMF，因为平面AMF，所以， 由平面PEN，平面PEN，可得， 所以MN为AM，PN的公垂线段，所以点G到直线AM的最短距离为MN， 而，故B正确； 对于C，因为，二面角的大小为，则， 所以 ，所以，故C错误； 对于D，因为和都是直角三角形，且BD为公共边， 所以BD的中点为其所在三角形的外心，同时也是三棱锥外接球的球心， 所以外接球半径，所以三棱锥外接球的表面积，故D正确．故选：ABD. 11．已知O为坐标原点，、为椭圆的左、右焦点，，P是椭圆C上异于顶点的一点，点Q是以为底的等腰的内切圆的圆心，过作于点M，，则下列选项正确的是（   ） A．此椭圆的长轴长为10 B．的面积为 C．椭圆C的离心率为 D．椭圆C的短轴长为4 【答案】ABC 【分析】延长，交于点，根据内切圆的概念可得平分，再结合可得，所以，再结合椭圆的定义可求的值，即可逐项判断选项的真假. 【详解】如图： 延长，交于点，连接，因为点是内切圆的圆心，所以平分． 因为，所以为的中点， 又因为为的中点，．即，又，所以， 故，，，故AC正确； 的面积为，故B正确； 因为，，所以．故，故D错误． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．的展开式中的系数是_________（用数字作答）． 【答案】20 【分析】利用二项式通项公式找到含项，再从这些项中找到含的项. 【详解】由二项式的通项公式得：的通项公式为：， 令，得 的通项公式为： 令，解得：， , 项为 的系数是20. 13．已知为抛物线的焦点，直线与交于两点，则的最小值是____________. 【答案】9 【分析】直线方程与抛物线方程联立，求得，利用抛物线定义可得，再根据基本不等式得结果. 【详解】由题知，的焦点，准线为，， 如图，作准线，准线，联立，得， 设，则，又， ，等号成立时， 故的最小值是. 14．已知锐角三角形ABC的内角的对边分别为，若且，则三角形ABC的面积的取值范围为_________． 【答案】 【分析】根据正弦定理角化边以及余弦定理可得，从而求得的外接圆半径，再利用正弦定理和三角形面积公式，将边化成角，替换掉，根据锐角三角形求出的范围即可求解. 【详解】由得，，所以，即， 所以，所以. 设三角形ABC的外接圆半径为，由正弦定理得. 所以，又，所以 由三角形ABC是锐角三角形得，，解得， 所以，所以.故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知数列的前项和为，，设. (1)证明：数列是等比数列； (2)设数列的前项和为，若数列的前项和为，求证：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据之间的关系，结合等比数列的定义进行运算证明即可. （2）根据（1）的结论，结合错位相减法进行求解即可；运用裂项相消法进行运算证明即可. 【详解】（1）由，得， ，得，故，所以数列是等比数列； （2）由， 由（1）可知数列是以为首项，为公比的等比数列，所以， 因为，所以， ， ，得， ； 故， 则. 16．（15分）平面四边形是指在同一个平面内，由四条线段首尾顺次连接围成的封闭图形，它有四个顶点、四条边和四个内角．如图1，在平面四边形中，，，，，将沿折起，形成如图2所示的三棱锥，且． (1)证明：平面平面． (2)在三棱锥中，点分别为线段的中点． （i）证明：平面． （ii）设，求平面与平面夹角的余弦值的取值范围． 【答案】(1)证明见解析； (2)（i）证明见解析；（ii） 【分析】（1）利用线面垂直、面面垂直的判定，结合勾股定理的逆定理推理得证. （2）（i）利用线面平行的判定推理得证；（ii）以为原点建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，利用面面角的向量法求解. 【详解】（1）在平面四边形中，，，则， 在中，， 翻折后，，则，即， 又，平面，因此平面，而平面， 所以平面平面. （2）（i）由分别为线段的中点，得，而平面平面， 所以平面. （ii）在三棱锥中，，则， 即，由（1）知，而平面， 于是平面ABD，又，则直线两两垂直， 以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，而， 则，， 设平面的法向量为，则，取，得，而平面的法向量为，设平面与平面的夹角为， 因此， 由，得，则，， 所以平面与平面夹角的余弦值的取值范围为. 17．（15分）已知椭圆的左､右焦点分别为，点在上，轴，且点到直线的距离为. (1)求的方程； (2)过点的直线交于不同的两点. （i）求的取值范围； （ii）若于点，证明：直线过定点. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）证明见解析 【分析】（1）先求出，再利用椭圆的定义以及等面积求出即可； （2）（i）设，与椭圆方程联立，根据韦达定理化简即可求出； （ii）求出直线的方程，利用即可化简求出定点. 【详解】（1）由题意知，，令，则，得，则， 由椭圆的定义可知，，因为点到直线的距离为， 所以，则，即， 又，得，故的方程为； （2）（i）由题意可知，直线的斜率存在，设，， 联立，得，则， ，得， 则 ， 因为，所以，则，则， 故的取值范围为； （ii）因为，所以，若，即，则直线的方程为，即， 因为，所以， 因为， 所以， 即，恒过点， 若，即，则，则，也过点，故直线过定点. 18．（17分）2026年央视马年春晚节目《武BOT》将传统武术与现代科技完美融合，“人机共武”完成了棍术攻防、醉拳互动、双节棍对练及极限空翻等高难度表演动作，不仅展示了我国人工智能技术的飞速发展，也体现了科技赋能传统文化的实践创新，其中高空弹射空翻转体完成后，稳准落地让人震撼.研究人员将机器人极限空翻动作划分为空翻转体和稳准落地两个环节，在空翻转体环节中，每个机器人完成空翻转体的概率均为0.9；在落地环节，机器人的表现存在差异：若空翻转体完成，则稳准落地的概率为0.8；若空翻转体未完成，则稳准落地的概率为0.1.在极限空翻这个表演中，假设每个机器人完成动作互不影响. (1)如果随机抽取3个机器人，记为完成空翻转体的机器人人数，求的分布列及数学期望； (2)如果随机抽取一个机器人，已知其稳准落地，求其空翻转体完成的概率. 【答案】(1)的分布列为： 0 1 2 3 0.001 0.027 0.243 0.729 数学期望为 2.7 (2) 【分析】（1）分析可知，利用二项分布求分布列和期望即可； （2）设相应事件，利用全概率公式可得，结合条件概率公式运算求解. 【详解】（1）由题意可知：，则有： ；； ；； 则的分布列为： 0 1 2 3 0.001 0.027 0.243 0.729 数学期望为. （2）设事件为“一个机器人空翻转体完成”，事件为“一个机器人稳准落地”. 则，，，， 由全概率公式可得：， 所以. 19．（17分）已知函数． (1)当时，求的单调区间； (2)设，当时，证明． 【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为 (2)证明见解析 【分析】（1）利用导数研究函数的单调性即可； （2）构造新函数，利用导数分析新函数的单调性及最值，通过证明的最小值大于等于零，证明． 【详解】（1）当时，，则. 当时，，所以在单调递增； 当时，，所以在单调递减． 所以的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）设，则. 因为，所以当时，，所以)在单调递减； 当时，，所以)在单调递增． 所以当时，取得极小值，即最小值，最小值为. 设，则. 当时，，所以在上单调递增； 当时，，所以在上单调递减． 所以当时，取得极小值，即最小值，最小值为. 即的最小值为0，即.综上所述，，即. 故得证. 学科网（北京）股份有限公司 $临潭县第二中学2026年5月份高三模拟预测考试 高三 数学 (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 班级： 姓名： 成绩： 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答 题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.考试范围：高考所有内容 第一部分（选择题共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的 1.已知集合A={-2,-1,0,1,B={x‖x-1<2},则A∩B=() A.{-1,0} B.{-2,-1,0} C.{-1,0,1} D.{0,1} 2.已知复数z满足(i+1)=2i,则日=() A.2√5 B.2 C.2 D.1 3.已知向量m=(a-1,a-5),元=(-1，a-2),则“a=-1”是“m∥i的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.己知数列{a}的前n项和为S,S1n+a1+2Sn=0,4=1,则Si的值是（) A.1 n. 5.已知三角形ABC中，AB=3,cos4= 3.cosB= ,则三角形ABC的面积为() 2W2 A.√2 B.√6 C.2W2 D.2W5 6.小张的停车位被其它车辆占据，小张准备拨打车上的联系电话，可是电话号码的最后一 位被遮挡，小张准备随机尝试，则小张在第一次拨打错误的条件下，第三次恰好拨打正确的 概率是() B.g C. 1 D. 3 8 10 7.双曲线B:xy2 京三1（α0.b>0)的右焦点为P，过点F且斜率为5的直线与y扭 交于点A,线段AF与E交于点B,若B为AF的中点，则E的离心率为() A.25 B C.5 D.5 8.函数f(x)=(x-1)e-x2在(-l,a上存在最大值，则实数a的取值范围为() A.a>-1 B.a>0 C.-1<a<1 D.0<a≤1 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.某高端茶饮品牌推出一款新品冷泡茶，为优化产品配方，品牌对该款茶的最佳饮用时长”x (单位：小时，指冲泡后风味最佳的时长区间)进行市场调研.从全国门店随机抽取了100 名消费者进行试饮测试，统计结果如下表： 最佳饮用时长x(小时) [2,3) [3,4) [4,5) [5,6) [6,7) 消费者人数y 38 a 6 6 己知最佳饮用时长x的平均值x=4.5(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)，根据调 研数据可认为x近似服从正态分布N(山，σ)，用样本平均值x作为4的值，样本标准差s 作为σ的值则下列说法正确的是(). (参考数据：若随机变量x~N(4,σ2)，则P(u-o≤x≤+σ)=0.6827， P(-2o≤x≤+2o）=0.9545,P(u-3o≤x≤+3σ)=0.9973) A.a=24,b=30 B.饮用时长在[5.5,6.5]小时内的消费者占比估计值为13.59% C.饮用时长超过5.5小时的消费者占比估计值为2.275% D.若规定概率低于0.27%的事件为小概率事件，则本次调研中未发生小概率事件，即该 款茶的最佳饮用时长符合品牌预设标准 10.如图(1)，在长方形ABCD中，AB=2,BC=√2，E,F分别为AB,CD的中点，连 接AF,CE,分别交BD于点MN,将△CBD沿直线BD折起到△PBD的位置，如图(2)， 则下列说法正确的是() F D E B E 图(1) 图(2) A.在翻折的过程中，恒有BDL平面PEW B.若G为直线PN上一点，则点G到直线4M的最短距离为√6 C.当面角P-BD-A的大小为写时，PA=V5 D.当平面PBDL平面ABD时，三棱锥P-ABD外接球的表面积为6π 山.已知0为坐标原点，不、g为椭圆C若+若-a>b>0的左、右焦点，因=6， P是椭圆C上异于顶点的一点，点Q是以P耳为底的等腰△PF,的内切圆的圆心，过乃作 M⊥PO于点M,OM=1,则下列选项正确的是() A.此椭圆的长轴长为10 B.△PFF的面积为8√2 C.椭圆C的离心率为亏 D.椭圆C的短轴长为4 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分， 12.（x2+x+y的展开式中xy的系数是 (用数字作答). 13.已知F为抛物线C:y2=4x的焦点，直线y=k(x+1)与C交于A,B两点，则4AF+BF到 的最小值是 14.己知锐角三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若C sin4-simB且 a+b sinC-sinB a=2√5，则三角形ABC的面积的取值范围为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.(13分)已知数列{a}的前n项和为Sn,2a=S,+n(n∈N),设b.=a,+1. (1)证明：数列b}是等比数列； (2)设数列{bn·logb}的前n项和为Tn,若数列 T2-T+ 的前n项和为Pn,求证： (TH-2(T+2-2) 16.（15分)平面四边形是指在同一个平面内，由四条线段首尾顺次连接围成的封闭图形， 它有四个顶点、四条边和四个内角.如图1，在平面四边形ABCD中，AB=√3，AD=1, ∠A=90,CD-2,co∠BDC-},将△BCD沿BD折起，形成如图2所示的三棱锥C-D4B, 且AC=√5. C C B 、 A B G E 图1 图2 (1)证明：平面ACD⊥平面ABD. (2)在三棱锥C-DAB中，点E,F,G分别为线段AB,BD,AD的中点. (i)证明：AD//平面CEF. (i)设C0-D<3,求平面GBr与平面QG站夹角的余弦值的取值范围. 1 I7.15分)已知椭圆c若芳-1a>bs0)的左，右焦点分别为R10.RL0,点M在 c上，M瓜1x轴，且点R到直线M四的距离为兮 6 (1)求C的方程； (2)过点(4,0)的直线交C于不同的两点A,B. (i)求PAPB的取值范围： (ii)若AH⊥M于点H,证明：直线HB过定点 18.(17分)2026年央视马年春晚节目《武B0T》将传统武术与现代科技完美融合，“人机 共武”完成了棍术攻防、醉拳互动、双节棍对练及极限空翻等高难度表演动作，不仅展示了 我国人工智能技术的飞速发展，也体现了科技赋能传统文化的实践创新，其中高空弹射空翻 转体完成后，稳准落地让人震撼研究人员将机器人极限空翻动作划分为空翻转体和稳准落 地两个环节，在空翻转体环节中，每个机器人完成空翻转体的概率均为0.9：在落地环节， 机器人的表现存在差异：若空翻转体完成，则稳准落地的概率为0.8；若空翻转体未完成， 则稳准落地的概率为0.1.在极限空翻这个表演中，假设每个机器人完成动作互不影响， (1)如果随机抽取3个机器人，记X为完成空翻转体的机器人人数，求X的分布列及数学期 望； (2)如果随机抽取一个机器人，己知其稳准落地，求其空翻转体完成的概率， 19.(17分)己知函数fx)=号nx++X(a≠0，aeR). x 2a (1)当a=-1时，求f(x)的单调区间： a派8间=会+立立当a>0时.F明/g州1，临潭县第二中学2026年5月份高三模拟预测考试 高三 数学 (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 班级： 姓名： 成绩： 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答 题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.考试范围：高考所有内容 第一部分（选择题共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的， 1.已知集合A={-2,-1,0,1,B={x‖x-1<2},则A∩B=（) A.{-1,0} B.{-2,-1,0} C.{-1,0,1} D.{0,1} 【答案】D 【详解】根据绝对值不等式性质得：-2<x-1<2,不等式两边同时加1可得：-1<x<3, 即B={x-1<x<3},又因为集合A={-2,-1,0,1},所以A⌒B={0,1} 2.已知复数z满足(1+1)三=2i,则=() A.2√5 B.√5 C.2 D.1 【答案】B 【详解】因为+)：=2i,所以：=21 则司方 21=2-√2 i+1 3.已知向量m=(a-1,a-5),i=(-1,a-2),则“a=-1”是“m∥i的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用平面向量平行的坐标表示即可求解 【详解】当a=-1时，向量=（-2，-6)，元=(-1，-3)，则m=2i,即m/1i,故充分性成立： 当m/1元时，满足(a-1)(a-2)+1×(a-5)=0,即(a-3)(a+1)=0,解得：a=3或a=-1,所以 必要性不成立：所以“a=-1”是“元∥的充分不必要条件 4.已知数列{a}的前n项和为S,S1Sn+a1+2Sn=0,4=1,则S的值是() 3 A.1 B.- c D. 2 2 【答案】B 【分析】根据a=S-S,整理得及 1. -1-1,令b=8 进面证明数列么+分为等 2 比数列，再结合等比数列通项公式得83（一，最后代入公式求解S。即可 【详解】因为aH=Sn+H-Sn,Sm41Sn+a41+2Sn=0, 所以SwS,nt+(S,t-Sn)+2Sn=0,即SnSn+1+Sn+1+Sn=0, 等式两边同时除以SS(仪，≠0)得：1+日+。=0，即 1 SaSn+ 令a=支，则b=-b,-1,4= 1=1-1, S a 所以么+号6》即数列：么+司骨为等比数列，公比为-1，首现为4+号 2 所以4+分（广，即6子(，所拟-3(1，即8 2 S 2 3(-1)-1-1 2 2 21 所以S0= 3×1)9-13×(←1)-1-42 5:已知三角形ABC中，AB=3,cos4=cosB=22 ,则三角形ABC的面积为() 3 A.√2 B.√6 C.2√2 D.2W5 【答案】A 【分析】根据题意，利用两角和的正弦公式，求得nC=1,得到三角形ABC为直角三角 形，结合直角三角形的面积公式，即可求解 【详解】在三角形ABC中，因为c0s4=osB=2 31 3 ,所以A,B均为锐角， 所以simC=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B= 5291 3 3 又因为Ce(0,),所以C-,所以三角形ABC为直角三角形， 因为l-3,可得4C=48卧cowA=3x1BC叶Ho=3x2525, 3 所以三角形ABC的面积为S=4GBd-1×22-V5 6.小张的停车位被其它车辆占据，小张准备拨打车上的联系电话，可是电话号码的最后一 位被遮挡，小张准备随机尝试，则小张在第一次拨打错误的条件下，第三次恰好拨打正确的 概率是() 1 1 A. B. C. 3 10 9 8 D. 10 【答案】B 【详解】记“小张第一次拨打错误”为事件A,“第三次恰好拨打正确”为事件B; 易知P心利-品P4列=品号风比小米在第一次接打错误的条竹下 1 第三次恰好拨打正确的概率是P(BA)= P(AB)_10-1 P(A)99 10 7.双曲线E: x2 y2 =1(a>0,b>0)的右焦点为F,过点F且斜率为 2W5 的直线与y轴 2 交于点A,线段AF与E交于点B,若B为AF的中点，则E的离心率为() 4.25 B. 4 C.5 D.5 5 【答案】C 【分析】写出直线AB方程，求出点A与中点B的坐标，再将B点坐标代入双曲线方程，利 用b2=c2-d2并令a=1求解出c,进而得到离心率 【详解】记F(c,0),则le:y= 2W5 (x-c),整理得2x+V5y-2c=0, 则0)，因为8为的中点，所以5) 2c 因为点B在双曲线E上，则cc。 c2 c2 a苏1，令a=1,得45C-可1， 化简得(5c2-4)(c2-5)=0,又c>a=1,则c=√5，故离心率e=√5 8.函数f(x)=(x-1)e-x在（←l,a上存在最大值，则实数a的取值范围为(） A.a>-1 B.a>0 C.-1<a<1 D.0<a≤1 【答案】D 【分析】利用导数判断函数的单调性，再根据单调性和临界值f(0)=f(I)=-1,求参数的 取值范围 【详解】f'(x)=xe-2x=x(e-2),令f(x)=0,得x=0或x=n2 当x∈(-1,0)时，f'(x)>0,f(x)递增，当x∈(0，ln2)时，f'(x)<0,f(x)递减，当 xe(ln2,+o)时，f'(x)>0,f(x)递增. 因此，x=0是极大值点，x=ln2是极小值点要使(-1,4)上存在最大值，需a>0,又因为 fo)=-1,且f(1)=(1-1)e-12=-1,若a>1,函数在(n2,a)递增，会超过f(0),因此 需a≤1.综上：0<a≤1 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.某高端茶饮品牌推出一款新品冷泡茶，为优化产品配方，品牌对该款茶的“最佳饮用时长”x (单位：小时，指冲泡后风味最佳的时长区间)进行市场调研从全国门店随机抽取了100 名消费者进行试饮测试，统计结果如下表： 最佳饮用时长x(小时) [2,3) [3,4) [4,5) [5,6) [6,7) 消费者人数y 2 38 b 6 己知最佳饮用时长x的平均值x=4.5(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)，根据调 研数据可认为x近似服从正态分布N(山，σ)，用样本平均值下作为4的值，样本标准差5 作为σ的值则下列说法正确的是()· (参考数据：若随机变量x~N(u,o2),则P(-o≤x≤u+o)=0.6827, P(u-2o≤x≤u+2o)=0.9545,P(u-3o≤x≤u+3o)=0.9973) A.a=24,b=30 B.饮用时长在[5.5,6.5]小时内的消费者占比估计值为13.59% C.饮用时长超过5.5小时的消费者占比估计值为2.275% D.若规定概率低于0.27%的事件为小概率事件，则本次调研中未发生小概率事件，即该 款茶的最佳饮用时长符合品牌预设标准 【答案】ABD 【分析】对于A,由题可得a+b=54,由x=4.5,可得4.5a+5.5b=273,据此可判断选 项正误；对于BCD,由题可得s2=σ2=1，则 P(2.5≤x≤6.5)=0.9545，P(3.5≤x≤5.5)=0.6827，然后由正态分布知识可判断选项正误 【详解】对于A,由题可得a+b=54, x-2×2.5+3.5x38+45a+5.5b+6.5x6=4.545a+5.56=273, 100 解得：a=24,b=30,故A正确： 对于B,由题可得=2×2+38×1+30×1P+6×2 =1,则σ2=1， 100 由正态分布知识，P(4.5-2≤x≤4.5+2)=0.9545，P(4.5-1≤x≤4.5+1)=0.6827， 则P55≤x65)=09545,0627=01359=1359%.故B正确： 2 对于C,因P35≤x≤55)=0.6827，则Px>55)-1-06827=0.15865=15865%,故C 错误；对于D,由题可得P(4.5-3≤x≤4.5+3)=0.9973， 从而P(x<1.5或x>7.5)=1-0.9973=0.0027, 因小概率事件范围[0,1.5)(7.5，+∞)与题目所涉及范围[2,7]无交集， 则该调查中未发生小概率事件，故D正确】 10.如图(1)，在长方形ABCD中，AB=2,BC=√2，E,F分别为AB,CD的中点，连 接AF,CE,分别交BD于点M,N,将△CBD沿直线BD折起到△PBD的位置，如图(2)， 则下列说法正确的是() D F D M E B E B 图1) 图(2) A.在翻折的过程中，恒有BDL平面PEN B.若G为直线PN上一点，则点G到直线4M的最短距离为Y6 C.当二面角P-BD-A的大小为时，PA=5 D.当平面PBDL平面ABD时，三棱锥P-ABD外接球的表面积为6π 【答案】ABD 【分析】结合相似三角形及勾股定理可得AF⊥BD,BD⊥EC,对于A,结合翻折的知识 可得BD⊥PN,结合BD⊥EN可得BDI平面PEN,进而判断即可；对于B,与A同理可 得BD⊥平面AMF,进而得到AM⊥BD,BD⊥PN,可得MN为AM,PN的公垂线段，所 以点G到直线AM的最短距离为N,进而求解判断即可：对于C,结合空间向量的线性运 算可得=丽+M+M,根据二面角P-BD-A的大小为智可得（瓜，）=号，进而 3 利用空间向量的数量积的运算律求解判断即可；对于D,分析可得BD的中点为三棱锥 P-ABD外接球的球心，进而求解判断即可 【详解】在长方形ABCD中，AB=2,BC=√2，E,F分别为AB,CD的中点， 计算可得BD=√6，AF=√3，易知△DMF∽△BMA, 又gn以瑞-专则w52g 3 3 所以AMP+DMP=AD2,所以AF⊥BD,同理可得BD⊥EC. 对于A,由上述过程可知在翻折的过程中，BD⊥PN,而BD⊥EN, 因为PN∩EN=N,PN,ENc平面PEN,所以BDL平面PEN,故A正确： 对于B,与A同理可得BDL平面AMF,因为AMc平面AMF,所以AM⊥BD, 由BDL平面PEN,PNC平面PEN,可得BD⊥PN, 所以N为AM,PN的公垂线段，所以点G到直线AM的最短距离为MN, 而w=}BD=6 ,故B正确： 31 3 对于C,因为A=成++通，三面角P-BD-A的大小为行则(PN,团)-开。 所以PA=(PN+M+MA=P+M+M+2PN.M+2P.MA+2NM.MA 1 3 33 2 02,所以PA=√2，故C错误： 对于D,因为△PBD和△ABD都是直角三角形，且BD为公共边， 所以BD的中点为其所在三角形的外心，同时也是三棱锥P-ABD外接球的球心， 所以外接球半径R=上BD=6,所以三棱锥P-4BD外接球的表面积S=4R=6m,故D 2 正确.故选：ABD 1.已知0为坐标顶点，、乃为椭圆c+芳-1a>b>0)的左、右焦点，K引=6， P是椭圆C上异于顶点的一点，点Q是以P耳为底的等腰△耳PF,的内切圆的圆心，过作 FM⊥PQ于点M,OM=1,则下列选项正确的是() A.此椭圆的长轴长为10 B.△PFF,的面积为8√2 C.椭圆C的离心率为 5 D.椭圆C的短轴长为4 【答案】ABC 【分析】延长P耳，M交于点N,根据内切圆的概念可得PQ平分∠P耳，再结合 M⊥Pg可得P=|PW,所以EN=2OM=2,再结合椭圆的定义可求a,b的值，即可 逐项判断选项的真假. 【详解】如图： 延长PE,FM交于点N,连接OM,因为点2是△P耳内切圆的圆心，所以P9平分∠耳PF, 因为RM⊥PQ,所以PW=P→M为N的中点， 又因为0为的中点，loM=RM=0PWM-Ps=号0P-PRD=1.即 P-PF=2,又P=耳=6，所以P=4, +P|=10-2a.a=5,e-C_3 故AC正确： △PB乃的面积为×4x4W2=8W5,故B正确： 因为a=5,c=3,所以b=4.故2b=8,故D错误， 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.(x2+x+y)的展开式中xy的系数是 (用数字作答). 【答案】20 【分析】利用二项式通项公式找到含y项，再从这些项中找到含x的项 【详解】由二项式的通项公式得：(2+x+y)的通项公式为：1=C贴(x2+x)少， 令k=3,得T4=C(x2+xy=10(x2+xy (x2+x)的通项公式为：S1=C(x2mx0=Cx+m 令4-m=3,解得：m=1, S2=Cx3=2x3, x3y3项为10(2x3)y=20x2y2 x3y的系数是20 13.已知F为抛物线C:y2=4x的焦点，直线y=k(x+1)与C交于A,B两点，则4AF+BF 的最小值是」 【答案】9 【分析】直线方程与抛物线方程联立，求得x=1,利用抛物线定义可得 4AF=|BF=4:+5+5,再根据基本不等式得结果 【详解】由题知，C的焦点F(1,0),准线为x=-1,k≠0， 如图，作AM⊥准线，BN⊥准线，联立 y2=4x y=k+1)' 得k2x2+(2k2-4)x+k2=0, 设A(,),B(3,为)，则x5=1,又：AF=AM=5+1,|BF=|BN=飞3+1 .4AF+BF=4x1+4+x2+1=4x1+x2+5≥24xx2+5=9,等号成立时4x=x2, 故4AF+BF的最小值是9. 14,已知锐角三角形ABC的内角AB,C的对边分别为a,b.c,若_C=siA-sim迟且 a+b sinC-sinB a=2√3，则三角形ABC的面积的取值范围为 【答案】(2W5,33 【分析】根据正弦定理角化边以及余弦定理可得A,从而求得△ABC的外接圆半径，再利用 正弦定理和三角形面积公式，将边化成角，替换掉C,根据锐角三角形求出B的范围即可求 解。 【群解】由器器得，ab名合所以c-加=r-b,即cC6-Gk 所以csA=c2+bB2-a21 2be 一2，所以4三 3 b a=25-4 设三角形ABC的外接圆半径为R,由正弦定理得2R=mCA8 2 所以SAc= bcnA=}2RsnB-2 RsinCinA=-45n8mC,又C=2万-B,所以 3 2 =23(sin B+3sin B cosB =251g28+925 =25sm285, 0<B<号 由三角形ABC是锐角三角形得， 解得B∈ ππ -B 62 0< 3 2 所以Ssc∈(2V5,35故答案为：(25,35 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.(13分)已知数列{a}的前n项和为S,2a=Sn+n(neN),设b,=a,+1. (1)证明：数列b}是等比数列： (2)设数列b.·logb}的前n项和为T.,若数列 T+2-T+1 的前n项和为n,求证： (Tn1-2)(T+2-2) 只5 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】(1)根据S,a,之间的关系，结合等比数列的定义进行运算证明即可 (2)根据(1)的结论，结合错位相减法进行求解即可；运用裂项相消法进行运算证明即可. 【详解】(1)由2a.=S+n(*),得2aH=SnH+n+1(*(n∈N), 四)，用一品山，会计-2，两以数列锁足等北数那 (2)由20.=Sn+n→24=4+1→4=1→h=1+1=2, 由(1)可知数列b}是以2为首项，2为公比的等比数列，所以b,=2·21=2”, 因为b·l0g2bn=2.l0g22”=n2"，所以Tm=12+2×22+3×23++n2”e*), 2Tn=122+2×22+3×24++n21e**）, (**)-(**,得-Tn=1·2+2+23++2-11, -五-21-2…52=6-12州2： 1-2 故。 T+2-T (n+1)2+3-n.2+2 1 (TH-2)(T2-2②n-2*-01+1)）-2*.20m+1）-2雨' 1111 1 11 1 则B京22+2232++n20+)-28n+1-2*市8 16.（15分)平面四边形是指在同一个平面内，由四条线段首尾顺次连接围成的封闭图形， 它有四个顶点、四条边和四个内角.如图1，在平面四边形ABCD中，AB=√3，AD=1, ∠A=90,CD=2,cos∠BDC=},将△BCD沿BD折起，形成如图2所示的三棱锥C-DAB, 4 且AC=√5. D G A 图1 图2 (1)证明：平面ACD⊥平面ABD. (2)在三棱锥C-DAB中，点E,F,G分别为线段AB,BD,AD的中点. (i)证明：AD//平面CEF, 求平面GEF与平面QGE夹角的余弦值的取值范围. 【答案】(1)证明见解析： (2)(i)证明见解析；(i) W145V65 145’65 【分析】(1)利用线面垂直、面面垂直的判定，结合勾股定理的逆定理推理得证 (2)()利用线面平行的判定推理得证：()以A为原点建立空间直角坐标系，求出平面GEF 与平面QGB的法向量，利用面面角的向量法求解 【详解】(1)在平面四边形ABCD中，AB=√3，AD=1,∠A=90°，则BD=2, 在△BCD中，BC2=BD+CD-2BD.CDeos.∠BDC=4+4x2x2x号=6， 翻折后，AC=√5，AB=√5，BC=√6，则AC2+AB2=BC2,即AC⊥AB, 又AD LAB,AC∩AD=A,AC,ADC平面ACD,因此AB⊥平面ACD,而ABC平面ABD, 所以平面ACD⊥平面ABD (2)(i)由E,F分别为线段AB,BD的中点，得EF//AD,而EFC平面CEF,ADC平面CEF, 所以AD//平面CEF. (i)在三棱锥C-DAB中，AD=1,AC=V3,CD=2,则AD2+AC2=CD2, 即AD⊥AC,由(I)知AC⊥AB,而AB∩AD=A,AB,ADC平面ABD, 于是AC⊥平面ABD,又AD LAB,则直线AB,AD,AC两两垂直， 以A为原点，直线AB,AD,AC分别为x,y,2轴建立空间直角坐标系， 127 : B→x y 则4a0,.c0aw6201o,c0吃0.9 00,1。 号50，而c面=MD=20,10=(0,元，0)， 则c0-6c+00+2010=a.=当专0， 2,2 m0西-a-+6e=0 设平面QGB的法向量为m=(x,y,),则 丽-=0 取x=1,得 2 M-45,号习，而平面G5F的法向量为n=0.0),设平面GBF与平面QG五的夹角为0， - ·n cos=cos(m,n)= 因此 nn V4+( 4 +1 4 -<144 36 ，cos e4V6⑤ 14562, 所以平面GBF与平面OGB夹角的余弦值的取值范围为（④，√⑤ 145’65 1n.c15分)已知脑圆C若+茶=1a办>0)的无右集点分别为天10，RL0,点y在 C上，尔1x轴，且点尽到直线的距离为号 (1)求C的方程： (2)过点P(4,0)的直线交C于不同的两点A,B. (i)求PAPB的取值范围： (ii)若AH⊥M于点H,证明：直线HB过定点. 【答案】)+ 一=1 43 (2)(i) (?1]:回运明见解折 【分析】(1)先求出M引，再利用椭圆的定义以及等面积求出a,b即可： (2)(i)设AB:y=k(x-4),与椭圆方程联立，根据韦达定理化简PAPB即可求出： ()求出直线B的方程，利用x5+4=(x+5)即可化简求出定点。 【详1①由想意：6=1，令-，则号+会=1，利会则g:二 十 由精圆的定义可知，M=2a立，因为点R到直线M的距离为 8a专不网-5则ga名)日即如. 又=b公+1，得a2=4,B2=3,故C的方程为+ =1: 43 (2)(i)由题意可知，直线AB的斜率存在，设AB:y=k(x-4),A(:,片)，B(5,2), 联立 y=k(x-4) 32k2 3x+412得B+)r-32+6-12=0,则+-310= 64k2-12 3+4k2 a=(62广-404楼〔6120，得<子 则PAP8=V+R1下-4V1+1为-4=(1+)x为-4+)+16 =-%m2-4-90-933 3+4k3+4k21 因为0子所以34.则片分则p3货2] 故PAPB的取值范围为 4 B (ii)因为M:x=1,所以H(1,片)，若为≠y2,即k≠0，则直线HB的方程为 x-1=50,即=y--811+- V-V y2-4”2-y2-为y2-4 因为+弥 32k2 所以6+4=西+小 , 因为y2=k(5-4),乃=k(5-4), 所以为.(4)-低-4多-45- y3-1 k(B2-x1) X2-X1 X2- 即HB:x=-1 5 y+ y2-4° ,恒过点 若片=为，即k=0,则AB:y=0,则HB:y=0,也过点 ，故直线过定点( 18.(17分)2026年央视马年春晚节目《武B0T》将传统武术与现代科技完美融合，“人机 共武”完成了棍术攻防、醉拳互动、双节棍对练及极限空翻等高难度表演动作，不仅展示了 我国人工智能技术的飞速发展，也体现了科技赋能传统文化的实践创新，其中高空弹射空翻 转体完成后，稳准落地让人震撼研究人员将机器人极限空翻动作划分为空翻转体和稳准落 地两个环节，在空翻转体环节中，每个机器人完成空翻转体的概率均为0.9；在落地环节， 机器人的表现存在差异：若空翻转体完成，则稳准落地的概率为0.8；若空翻转体未完成， 则稳准落地的概率为0.1.在极限空翻这个表演中，假设每个机器人完成动作互不影响 (1)如果随机抽取3个机器人，记X为完成空翻转体的机器人人数，求X的分布列及数学期 望； (2)如果随机抽取一个机器人，己知其稳准落地，求其空翻转体完成的概率」 【答案】(1)X的分布列为： X 0 1 2 3 P 0.001 0.027 0.243 0.729 数学期望为2.7 【分析】(1)分析可知X~B(3,0.9),利用二项分布求分布列和期望即可： (2)设相应事件，利用全概率公式可得P(B)=0.73,结合条件概率公式运算求解 【详解】(1)由题意可知：X~B(3,0.9),则有： P(X=0)=C9×0.9°×(1-0.9)=0.001；P(X=1)=C3×0.9×1-0.9)=0.027: P(X=2)=C×0.92×1-0.9)=0.243:P(X=3)=C×0.93×(1-0.9)=0.729: 则X的分布列为： X 0 2 3 0.001 0.027 0.243 0.729 数学期望为E(X)=3×0.9=2.7. (2)设事件A为“一个机器人空翻转体完成”，事件B为一个机器人稳准落地” 则P(A)=0.9,P(A=0.1,P(B|A)=0.8,P(B1A=0.1, 由全概率公式可得：P(B)=P(A)P(BA)+PAPBA上0.9x0.8+0.1x0.1=0.73, 所以P(A|B)= P(AB)P(A)P(B1A)0.9×0.872 P(B)P(B) 0.7373 19,(17分)已知函数f()-血x+之(a≠0，aeR. x 2a (1)当a=-1时，求f(x)的单调区间： ®设e0-+益 -,当a>0时，证明f(x)≥g(x)+1. 【答案】(1)单调递增区间为(0,2)，单调递减区间为(2，+o) (2)证明见解析 【分析】(1)利用导数研究函数的单调性即可： (2)构造新函数h(x)=f(x)-g(x)-1,利用导数分析新函数的单调性及最值，通过证明 h(x)的最小值大于等于零，证明f(x)之g(x)+1. 【解】0当a=-1时，-x-片e>0,则 2 }2“0 2x2 当0<x<2时，∫'(x)>0,所以f(x)在(0,2)单调递增： 当x>2时，f'(x)<0,所以f(x)在(2，+o)单调递减. 所以f(x)的单调递增区间为(0,2)，单调递减区间为(2，+∞) 2)设-的-1h+会岛10.则)京是2器20 因为a>0,所以当x∈(0，a时，1(x)<0,所以h(x)在(0，a)单调递减： 当x∈(a,+o)时，h(x)>0,所以h(x)在(a,+o)单调递增 所以当x=a时，h(r)取得极小值，即最小值，最小值为h(a)=na+ 11 2 2a2 11x-1 股u⑧)nt2>0,则uw2x2x2x0 当x>1时，m(x)>0,所以n(x)在(1，+o)上单调递增： 当0<x<1时，1(x)<0,所以n(x)在(0,1)上单调递减. 所以当x=1时，m(x)取得极小值，即最小值，最小值为m(1)=0. 即h(a)的最小值为0，即h(a)≥0.综上所述，h(x)≥h(a)≥0，即f(x)-g(x)-1≥0 故f(x)≥g(x)+1得证. 临潭县第二中学2026年5月份高三模拟预测考试 高三 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 班级： 姓名： 成绩： 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：高考所有内容 第一部分（选择题 共58分） 1、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 2．已知复数满足，则（   ） A． B． C．2 D．1 3．已知向量，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知数列的前n项和为，，，则的值是（   ） A．1 B． C． D． 5．已知三角形ABC中，，则三角形ABC的面积为（ ） A． B． C． D． 6．小张的停车位被其它车辆占据，小张准备拨打车上的联系电话，可是电话号码的最后一位被遮挡，小张准备随机尝试，则小张在第一次拨打错误的条件下，第三次恰好拨打正确的概率是（    ） A． B． C． D． 7．双曲线：的右焦点为，过点且斜率为的直线与y轴交于点A，线段与E交于点B，若B为的中点，则E的离心率为（   ） A． B． C． D．5 8．函数在上存在最大值，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．某高端茶饮品牌推出一款新品冷泡茶，为优化产品配方，品牌对该款茶的“最佳饮用时长”x（单位：小时，指冲泡后风味最佳的时长区间）进行市场调研.从全国门店随机抽取了100名消费者进行试饮测试，统计结果如下表： 最佳饮用时长x（小时） 消费者人数y 2 38 a b 6 已知最佳饮用时长x的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表），根据调研数据可认为x近似服从正态分布，用样本平均值作为的值，样本标准差s作为的值.则下列说法正确的是（    ）. （参考数据：若随机变量，则，，） A．， B．饮用时长在小时内的消费者占比估计值为13.59% C．饮用时长超过5.5小时的消费者占比估计值为2.275% D．若规定概率低于0.27%的事件为小概率事件，则本次调研中未发生小概率事件，即该款茶的最佳饮用时长符合品牌预设标准 10．如图（1），在长方形ABCD中，，，E，F分别为AB，CD的中点，连接AF，CE，分别交BD于点M，N，将沿直线BD折起到的位置，如图（2），则下列说法正确的是（   ）    A．在翻折的过程中，恒有平面PEN B．若G为直线PN上一点，则点G到直线AM的最短距离为 C．当二面角的大小为时， D．当平面平面ABD时，三棱锥外接球的表面积为 11．已知O为坐标原点，、为椭圆的左、右焦点，，P是椭圆C上异于顶点的一点，点Q是以为底的等腰的内切圆的圆心，过作于点M，，则下列选项正确的是（   ） A．此椭圆的长轴长为10 B．的面积为 C．椭圆C的离心率为 D．椭圆C的短轴长为4 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．的展开式中的系数是_________（用数字作答）． 13．已知为抛物线的焦点，直线与交于两点，则的最小值是____________. 14．已知锐角三角形ABC的内角的对边分别为，若且，则三角形ABC的面积的取值范围为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知数列的前项和为，，设. (1)证明：数列是等比数列； (2)设数列的前项和为，若数列的前项和为，求证：. 16．（15分）平面四边形是指在同一个平面内，由四条线段首尾顺次连接围成的封闭图形，它有四个顶点、四条边和四个内角．如图1，在平面四边形中，，，，，将沿折起，形成如图2所示的三棱锥，且． (1)证明：平面平面． (2)在三棱锥中，点分别为线段的中点． （i）证明：平面． （ii）设，求平面与平面夹角的余弦值的取值范围． 17．（15分）已知椭圆的左､右焦点分别为，点在上，轴，且点到直线的距离为. (1)求的方程； (2)过点的直线交于不同的两点. （i）求的取值范围； （ii）若于点，证明：直线过定点. 18．（17分）2026年央视马年春晚节目《武BOT》将传统武术与现代科技完美融合，“人机共武”完成了棍术攻防、醉拳互动、双节棍对练及极限空翻等高难度表演动作，不仅展示了我国人工智能技术的飞速发展，也体现了科技赋能传统文化的实践创新，其中高空弹射空翻转体完成后，稳准落地让人震撼.研究人员将机器人极限空翻动作划分为空翻转体和稳准落地两个环节，在空翻转体环节中，每个机器人完成空翻转体的概率均为0.9；在落地环节，机器人的表现存在差异：若空翻转体完成，则稳准落地的概率为0.8；若空翻转体未完成，则稳准落地的概率为0.1.在极限空翻这个表演中，假设每个机器人完成动作互不影响. (1)如果随机抽取3个机器人，记为完成空翻转体的机器人人数，求的分布列及数学期望； (2)如果随机抽取一个机器人，已知其稳准落地，求其空翻转体完成的概率. 19．（17分）已知函数． (1)当时，求的单调区间； (2)设，当时，证明． 学科网（北京）股份有限公司 $