精品解析：甘肃省临潭县第二中学2024-2025学年高三下学期模拟考试数学试题

临潭县第二中学2024-2025学年度第二学期高三模拟考试 高三数学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数的实部与虚部相等，则实数（ ） A. 7 B. -7 C. 1 D. -1 2. 已知集合满足，则集合的个数是（ ） A 4 B. 3 C. 2 D. 1 3. 对于实数，“”是“方程表示双曲线”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知向量，，，为向量在向量上投影向量，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图，斜线段 与平面 所成的角为， 为斜足，平面上的动点 满足 ，则点的轨迹是（ ） A. 直线 B. 圆 C. 抛物线 D. 椭圆 6. 已知等差数列前项和为，若，则数列的公差是（ ） A. B. C. D. 7. 函数在区间上存在最值，则实数a的取值范围为（ ）． A. B. C. D. 8. 如图，在同一平面内沿平行四边形ABCD两边AB、AD向外分别作正方形ABEF、ADMN，其中，，，则( ) A. B. C. 0 D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分. 9. 下列命题：其中正确命题数是（ ） A. 在线性回归模型中，相关系数表示解释变量对于预报变量变化的贡献率，越接近于1，表示回归效果越好 B. 两个变量相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于1 C. 在回归直线方程中，当解释变量每增加一个单位时，预报变量平均减少0.5个单位 D. 对分类变量与，它们的随机变量的观测值来说，观测值越小，“与有关系”的把握程度越大 10. 设函数，已知在有且仅有个零点，对于下列个说法正确的是（ ） A. 在上存在，，满足 B. 在有且仅有个最大值点 C. 在单调递增 D. 的取值范围是 11. 已知点F是抛物线的焦点，是经过F且相互垂直的弦，已知AB斜率为k，且，两点在x轴上方，则下列结论中一定成立的是（ ） A. B. 若则 C. D. 四边形ACBD的面积的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在等比数列中，，，则公比______； ______． 13. 已知，且，则的最小值为_____________. 14. 在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直四棱锥称之为阳马．如图，若四棱锥P－ABCD为阳马，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA＝3，BC＝AB＝4，设该阳马的外接球半径为R，内切球半径为r，则R＝________；内切球的体积V＝________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图所示，在四棱锥中，底面四边形ABCD是菱形，是边长为2的等边三角形，,. Ⅰ求证：底面ABCD； Ⅱ求直线CP与平面BDF所成角的大小； Ⅲ在线段PB上是否存在一点M，使得平面BDF？如果存在，求的值，如果不存在，请说明理由． 16. 在中，设，，分别是角，，的对边，已知向量，，且 （1）求角的大小 （2）若，求的周长的取值范围． 17. 人民日报客户端2020年6月23日消息，由国际组织“TOP500”编制的新一期全球超级计算机500强榜单6月23日揭晓榜单显示，在全球浮点运算性能最强的500台超级计算机中，中国部署的超级计算机数量继续位列全球第一，达到226台，占总体份额超过45%；“神威·太湖之光”和“天河二号”分列榜单第四、第五位.超算，即超级计算或高性能计算，是计算机界“皇冠上的明珠”，也被视为科技突破的“发动机”.在目前最需要突破的研究领域——COVID—19新型冠状病毒的防治中，超算正在发挥力量.为了了解国产品牌处理器打开文件的速度，某调查公司对两种国产品牌处理器进行了12次测试，结果如下：（数值越小，速度越快，单位是MIPS） 测试1 测试2 测试3 测试4 测试5 测试6 测试7 测试8 测试9 测试10 测试11 测试12 品牌A 3 6 9 10 4 1 12 17 4 6 6 14 品牌B 2 8 5 4 2 5 8 15 5 12 10 21 （1）从品牌A的12次测试结果中，随机抽取一次，求测试结果小于7的概率； （2）在12次测试中，随机抽取三次，记X为品牌A的测试结果大于品牌B的测试结果的次数，求X的分布列和数学期望E（X）； （3）经过了解，前6次测试是打开含有文字与表格的文件，后6次测试是打开含有文字与图片的文件.请你依据表中数据，运用所学的统计知识，对这两种国产品牌处理器打开文件的速度进行评价. 18. 在平面直角坐标系中，椭圆：的离心率为，直线被椭圆截得的线段长为. （1）求椭圆的方程； （2）过原点直线与椭圆交于，两点（，不是椭圆的顶点），点在椭圆上，且，直线与轴、轴分别交于两点，设直线的斜率分别为，证明存在常数使得，并求出的值. 19. 已知函数． （1）求函数的单调区间； （2）当 时，求的值域； （3）若关于的不等式（）恒成立，求实数的取值范围； （4）若，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 临潭县第二中学2024-2025学年度第二学期高三模拟考试 高三数学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数的实部与虚部相等，则实数（ ） A. 7 B. -7 C. 1 D. -1 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简，再由实部与虚部相等求得a值. 【详解】因，依题意，实部与虚部相等，而a是实数， 则，解得， 所以实数. 故选：B 2. 已知集合满足，则集合的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】利用列举法，求得集合的所有可能，由此确定正确选项. 【详解】由于集合满足，所以集合的可能取值为，共种可能. 故选：B 【点睛】本小题主要考查子集和真子集的概念，属于基础题. 3. 对于实数，“”是“方程表示双曲线”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据方程表示双曲线求出m的范围，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】由题意，方程表示双曲线，则，得， 所以“”是“方程表示双曲线”的充要条件， 故选C． 【点睛】本题主要考查了充分条件和必要条件的判断，其中解答中结合双曲线方程的特点求出m的取值范围是解决本题的关键，着重考查了运算与求解能力，以及推理、论证能力，属于基础题. 4. 已知向量，，，为向量在向量上的投影向量，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先计算，再根据投影公式计算投影向量的模. 【详解】 由投影公式可知. 故选：A 【点睛】本题考查投影的计算，属于基础题型. 5. 如图，斜线段 与平面 所成的角为， 为斜足，平面上的动点 满足 ，则点的轨迹是（ ） A. 直线 B. 圆 C. 抛物线 D. 椭圆 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意得点运功轨迹结合平面截圆锥截面判断即可. 【详解】平面上的动点 满足 ，可以理解为在以 为轴的圆锥的侧面上， 再由斜线段 与平面 所成的角为，可得 的轨迹为：以 为轴线的圆锥侧面与 平面的交线， 如图所示： 所以点的轨迹是椭圆． 故选：D． 【点睛】结论点睛：用垂直于圆锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面渐渐倾斜，得到椭圆；当平面和圆锥的一条母线平行时，得到抛物线. 6. 已知等差数列的前项和为，若，则数列的公差是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合条件根据等差数列前n项和的基本量运算求解即可. 【详解】由题意为等差数列，前项和为， ，得 ，即， 设的公差为，则 ． 故选：B． 7. 函数在区间上存在最值，则实数a的取值范围为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对函数求导，结合题中条件得即，解不等式即得答案 【详解】因为， 因为函数，在上单调递增， 所以题中问题等价于即解得， 故选：D. 8. 如图，在同一平面内沿平行四边形ABCD两边AB、AD向外分别作正方形ABEF、ADMN，其中，，，则( ) A. B. C. 0 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量加法法则，，再利用数量积的运算法则计算即可. 【详解】 . 故选：C. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分. 9. 下列命题：其中正确命题数是（ ） A. 在线性回归模型中，相关系数表示解释变量对于预报变量变化的贡献率，越接近于1，表示回归效果越好 B. 两个变量相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于1 C. 在回归直线方程中，当解释变量每增加一个单位时，预报变量平均减少0.5个单位 D. 对分类变量与，它们的随机变量的观测值来说，观测值越小，“与有关系”的把握程度越大 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据相关系数的意义，可判定A正确；根据相关系数的意义，可判定B正确；根据回归直线方程中的的意义，可判定C正确；根据独立性检验中的观测值的意义，可判定D不正确. 【详解】对于A中，根据相关系数的意义，可知在线性回归模型中，相关系数表示解释变量对于预报变量变化的贡献率，越接近于1，表示回归效果越好，所以是正确的； 对于B中，根据相关系数的意义，可知两个变量相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于1，所以是正确的； 对于C中，根据回归直线方程中的的意义，可得在回归直线方程中，当解释变量每增加一个单位时，预报变量平均减少0.5个单位，所以是正确的； 对于D中，对分类变量与，它们的随机变量的观测值来说，观测值越小，“与有关系”的把握程度越小，所以不正确， 故选：ABC. 【点睛】本题主要考查了以命题的真假为背景考查了独立性检验和回归分析等知识点，其中解答中熟记相关系数、回归系数的意义，以及独立性检验的判定是解答的关键，属于基础题. 10. 设函数，已知在有且仅有个零点，对于下列个说法正确的是（ ） A. 在上存在，，满足 B. 在有且仅有个最大值点 C. 在单调递增 D. 的取值范围是 【答案】AD 【解析】 【分析】利用三角函数图象及周期的计算，由有且仅有个零点来得区间长度的大致位置，进而解的范围，再判断区间单调性．由题意根据在区间有个零点画出大致图象，可得区间长度介于周期，再用表示周期，得的范围，进而求解即可． 【详解】画出大致图象如下图， 当时而， 所以时先单调递增， 函数在仅有个零点时，则的位置在之间包括，不包括， 令，则得， ， 轴右侧第一个零点为，周期， 所以， 所以D正确． 在区间上，函数可达到最大值和最小值， 所以存在，，满足，所以A正确， 由大致图象得，可能有两个最大值，不一定正确； 因为最小值为，所以时，，但， 所以，函数不单调递增， 所以不正确． 故选：． 11. 已知点F是抛物线的焦点，是经过F且相互垂直的弦，已知AB斜率为k，且，两点在x轴上方，则下列结论中一定成立的是（ ） A. B. 若则 C. D. 四边形ACBD的面积的最小值为 【答案】AC 【解析】 【分析】本题主要考查了向量的数量积、直线与抛物线的位置关系、抛物线的性质以及利用基本不等式求最值等知识点，属于较难题，由题意可得到直线AB与CD的方程，与抛物线联立，逐项计算验证即可得到答案. 【详解】解：设，， ，AB的斜率为k，的斜率为， 点F是抛物线的焦点，， 直线AB的方程为， 直线CD的方程为， 联立，整理得， ，， 同理可得， ， 所以 故C选项正确； ，， ， 故A选项正确； ， 由此可得， ， ， 当且仅当，即时取等号， 四边形ACBD面积最小值为，故D选项错误； 由抛物线性质可知，，， ， ，解得， 故B错误 故选：AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在等比数列中，，，则公比______； ______． 【答案】 ①. 2 ②. 【解析】 【分析】根据等比数列基本量的运算求解公比，然后根据等比数列求和公式求解即可. 【详解】因为，，所以，所以，， 所以. 故答案为：2； 13. 已知，且，则的最小值为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意首先求得的值，然后结合均值不等式的结论整理计算即可求得最终结果，注意等号成立的条件. 【详解】由可知， 且：，因为对于任意，恒成立， 结合均值不等式的结论可得：. 当且仅当，即时等号成立 综上可得的最小值为. 【点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误． 14. 在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．如图，若四棱锥P－ABCD为阳马，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA＝3，BC＝AB＝4，设该阳马的外接球半径为R，内切球半径为r，则R＝________；内切球的体积V＝________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】在四棱锥P－ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，且底面为矩形，将该“阳马”补成长方体，利用长方体求外接球直径即可，利用正视图将内切球半径转化为内切圆的半径求解即可. 【详解】在四棱锥P－ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，且底面为矩形，将该“阳马”补成长方体， 则， 因此． 依题意，则内切球O在侧面PAD内的正视图是△PAD的内切圆， 故内切球的半径， 其体积． 故答案为：；. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图所示，在四棱锥中，底面四边形ABCD是菱形，是边长为2的等边三角形，,. Ⅰ求证：底面ABCD； Ⅱ求直线CP与平面BDF所成角的大小； Ⅲ在线段PB上是否存在一点M，使得平面BDF？如果存在，求的值，如果不存在，请说明理由． 【答案】Ⅰ见解析；ⅡⅢ. 【解析】 【详解】试题分析： (Ⅰ) 由题意可得，从而可得底面ABCD． (Ⅱ)建立空间直角坐标系，利用坐标法求解即可得到所求的线面角．Ⅲ根据坐标法求解探索性问题，假设存在点M满足条件，并设且，求得点点M坐标后，根据与平面BDF的法向量垂直可得，从而得到符合题意的点M存在． 试题解析： Ⅰ证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴O为中点 又， ∴， 又， ∴底面 Ⅱ解：由底面ABCD是菱形可得，又由Ⅰ可知． 建立如图所示的空间直角坐标系． 由是边长为2的等边三角形，，可得． 所以 ∴． 由已知可得， 设平面BDF的法向量为， 由，可得， 令，则． 设直线CP与平面BDF所成角为， 则， 又， ∴． ∴直线CP与平面BDF所成角的大小为． Ⅲ解：假设存在点M满足条件，且， 则. 若使平面BDF，需且仅需且平面BDF， 由，解得符合题意． ∴在线段PB上存在一点M，使得平面BDF，且 16. 在中，设，，分别是角，，的对边，已知向量，，且 （1）求角的大小 （2）若，求的周长的取值范围． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】 （1）由向量平行性质，正弦定理可得，由余弦定理得：，即可得解的值． （2）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求周长为：，由，利用正弦函数的性质即可求解． 【详解】解：（1）由向量，，且， 得： 由正弦定理，得： 化为：，由余弦定理，得：， 所以，； （2）因为，所以，，由，得：， 由正弦定理，得：， 的周长为： ， 由，得：，， 所以，周长，． 【点睛】本题主要考查了向量平行的性质，正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变换的应用在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题． 17. 人民日报客户端2020年6月23日消息，由国际组织“TOP500”编制的新一期全球超级计算机500强榜单6月23日揭晓榜单显示，在全球浮点运算性能最强的500台超级计算机中，中国部署的超级计算机数量继续位列全球第一，达到226台，占总体份额超过45%；“神威·太湖之光”和“天河二号”分列榜单第四、第五位.超算，即超级计算或高性能计算，是计算机界“皇冠上的明珠”，也被视为科技突破的“发动机”.在目前最需要突破的研究领域——COVID—19新型冠状病毒的防治中，超算正在发挥力量.为了了解国产品牌处理器打开文件的速度，某调查公司对两种国产品牌处理器进行了12次测试，结果如下：（数值越小，速度越快，单位是MIPS） 测试1 测试2 测试3 测试4 测试5 测试6 测试7 测试8 测试9 测试10 测试11 测试12 品牌A 3 6 9 10 4 1 12 17 4 6 6 14 品牌B 2 8 5 4 2 5 8 15 5 12 10 21 （1）从品牌A的12次测试结果中，随机抽取一次，求测试结果小于7的概率； （2）在12次测试中，随机抽取三次，记X为品牌A的测试结果大于品牌B的测试结果的次数，求X的分布列和数学期望E（X）； （3）经过了解，前6次测试是打开含有文字与表格的文件，后6次测试是打开含有文字与图片的文件.请你依据表中数据，运用所学的统计知识，对这两种国产品牌处理器打开文件的速度进行评价. 【答案】（1） （2）答案见解析. （3）答案见解析. 【解析】 【分析】（1）利用古典概型的概率公式直接计算； （2）先求出各个概率，写出分布列，求出数学期望； （3）进行数据分析，从不同的角度得到合理的结论即可. 【小问1详解】 记事件A：品牌A的12次测试结果中，测试结果小于7. 一共有：3，6，4，1，4，6，6共7种情况. 所以. 【小问2详解】 在12次测试中，品牌A的测试结果大于品牌B的测试结果的次数为6. X的所有可能取值为：0，1，2，3. ；； ；. 所以X的分布列为： X 0 1 2 3 P 数学期望为. 【小问3详解】 本题答案不唯一. 结论一：品牌B处理器对含有文字与表格的文件的打开速度快一些，品牌A处理器对含有文字与图片的文件的打开速度快一些. 理由如下：从前6次测试(打开含有文字与表格的文件)来看，对于含有文字与表格的相同文件，品牌A的测试有2次打开速度比品牌B快(数值小)，品牌B有4次比品牌A快，从后6次测试(打开含有文字与图片的文件)来看，对于含有文字与图片的相同文件，品牌A有4次打开速度比品牌B快(数值小). 结论二：品牌A打开文件的速度快一些. 理由如下：品牌A处理器测试结果的平均数为，品牌B处理器测试结果的平均数为，所以品牌A打开文件的速度快一些. 18. 在平面直角坐标系中，椭圆：的离心率为，直线被椭圆截得的线段长为. （1）求椭圆的方程； （2）过原点的直线与椭圆交于，两点（，不是椭圆的顶点），点在椭圆上，且，直线与轴、轴分别交于两点，设直线的斜率分别为，证明存在常数使得，并求出的值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）由离心率可得，由对称性直线被椭圆截得弦长为可求得点坐标为，代入椭圆方程可求得得椭圆标准方程； （2）直线与椭圆相交，设，，有，由直线垂直得直线的斜率为，为了简便设直线的方程为，代入椭圆方程消元得的一元二次方程，可得，于是有，而，于是写出直线方程，求出点坐标，可得，比较可得． 【详解】（1）∵， ∴，， ∴.① 设直线与椭圆交于，两点，不妨设点为第一象限内的交点. ∵， ∴代入椭圆方程可得.② 由①②知，， 所以椭圆的方程为. （2）设，则， 直线的斜率为， 又，故直线的斜率为. 设直线方程为， 由题知，联立，得， ∴，，由题意知， ∴直线的斜率，直线的方程为. 令，得，即，可得， ∴，即. 因此存在常数使得结论成立. 19. 已知函数． （1）求函数的单调区间； （2）当 时，求的值域； （3）若关于的不等式（）恒成立，求实数的取值范围； （4）若，求证：． 【答案】（1）单调递增区间为，，单调递减区间为 （2） （3） （4）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求出函数的导函数，令导函数大于0，小于0即可得到单调区间； （2）由（1）得到在的单调性，即可求出的值域； （3）将不等式转化为当时，恒成立，即； （4）当，求出的取值范围，代入即可证明. 【小问1详解】 由已知，由 ，得 或 ，由 ，得 ．所以，函数的单调递增区间为，，单调递减区间为． 【小问2详解】 结合（1）可知，当 时，的最小值为． 又因为 ，，所以的最大值为 ； 所以，当 时，函数的值域为 ． 【小问3详解】 关于的不等式恒成立，即当时，恒成立， 应小于等于函数在区间上的最小值，所以． 小问4详解】 函数的单调递增区间为 ，，单调递减区间为 ． 所以，若 ，有 ，即 ， 同理，，所以 ，即 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$