精品解析：甘肃陇南市西和县第二中学、第三中学、西和成名中学2025-2026学年高三三诊（数学）试卷

绝密★启用前 2025-2026学年西和第二中学、第三中学、西和成名中学 高三三诊（数学）试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解集合，则． 2. 已知复数z满足，则的虚部是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由复数的乘除法结合共轭复数的概念计算即可. 【详解】， 所以. 故选：B 3. “曲线在处的切线的倾斜角为”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】由，得． 由曲线在处的切线的倾斜角为， 可得，解得或． 故“曲线在处的切线的倾斜角为”是“”的必要不充分条件． 4. 已知函数在区间的图象如下图所示，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合函数图像，根据函数的奇偶性及特殊点的函数值可判断结果. 【详解】当时，，所以，由图可知A错误； 由偶函数定义，得为偶函数，由题给图象可知函数是奇函数，故B错误； 当时，，由图可知D错误； 由奇函数定义可知函数为奇函数，当时， 当时，，选项C均符合图像特征，故C正确； 故选：C. 5. 椭圆的左、右焦点分别为，经过的直线交椭圆于两点，若的周长为，则该椭圆的离心率为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据椭圆的定义求出，即可求出，从而求出离心率. 【详解】由题意及椭圆的定义可知，即， 又，， 则离心率为. 故选：D. 6. 已知圆台的母线与下底面所成角的正弦值为，则此圆台的表面积与其内切球（与圆台的上下底面及每条母线都相切的球）的表面积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设上底面半径为，下底面半径为，根据圆台的内切球的性质以及线面角可得，且母线长为，以及内切球的半径，再结合圆台和球的面积公式运算求解. 【详解】设上底面半径为，下底面半径为， 如图，取圆台的轴截面，作，垂足为， 设内切球与梯形两腰分别切于点， 可知，， 由题意可知：母线与底面所成角为， 则，可得， 即，，可得， 可知内切球的半径， 可得，， 所以. 故选：D. 7. 设函数，若恒成立，且在上存在零点，则的最小值为（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】由辅助角公式化简函数解析式，再由正弦函数的最小正周期与零点即可求解. 【详解】函数， 设函数的最小正周期为T，由可得， 所以，即； 又函数在上存在零点，且当时，， 所以，即； 综上，的最小值为4. 故选：C. 8. 已知非零平面向量，满足，，若与的夹角为，则的最小值为（      ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将向量问题几何化，设终点为定点（距原点），终点在与夹角的射线上，终点在以为圆心、半径为的圆上；则即点到圆上点的距离，其最小值为点到射线的距离减去圆半径，即可得答案． 【详解】 如图，令，，，则，， 又，所以点在以为圆心，为半径的圆上， 所以的最小值为， 又，， 所以当时，取得最小值，最小值为， 所以的最小值为，即的最小值为． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知抛物线的焦点到准线的距离为4，过焦点的直线与抛物线交于两点，为坐标原点，则（ ） A. B. 以线段为直径的圆与抛物线的准线相切 C. 若是线段的中点，则直线的斜率的最大值为 D. 若直线与抛物线的准线相交于点，则轴 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，根据根与系数的关系及向量的数量积计算可得；对于B，证明线段的中点到准线的距离等于线段长度的一半即可；对C，运用基本不等式可求其最大值；对于D，利用直线方程与准线方程联立求出点坐标，证明即可. 【详解】由抛物线的焦点到准线的距离为4，可得，则，. 设两点的坐标为，直线的方程为. 联立方程，消去后整理为， 显然有，则， 可得. 对于A，由，故A错误； 对于B，由，设线段的中点为， 则点D到准线的距离为， 即以为直径的圆与抛物线的准线相切，故B正确； 对于C，由B项可得直线的斜率为， 因（当且仅当时取等号）， 所以，故直线的斜率的最大值为，故C正确； 对于D，因直线的斜率为，可得直线的方程为， 令可求得点的坐标为， 又因，所以轴，故D正确. 故选：BCD. 10. 数列满足：，，，下列说法正确的是（ ） A. 数列为等比数列 B. C. 数列是递减数列 D. 的前项和 【答案】AB 【解析】 【分析】推导出，，从而数列为首项为，公比为3的等比数列，由此利用等比数列的性质能求出结果． 【详解】解：数列满足：，，， ，， ， 数列为首项为，公比为3的等比数列，故正确； ，，故正确； 数列是递增数列，故错误； 数列的前项和为：， 的前项和，故错误． 故选：． 11. 已知函数在处取得极大值，的导函数为，则（ ） A. B. 当时， C. D. 当且时， 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据极值的定义可得，进而求出可判断A；结合函数的单调性判断B；代式计算判断C；由，可得，再结合函数的单调性可得，进而得到，再验证可得，进而判断D. 【详解】由，则， 则函数的定义域为， 则，， 则， 因为函数在处取得极大值， 所以，即， 此时， 则， 令，得或； 令，得， 所以函数在和上单调递减，在上单调递增， 则函数在处取得极大值，符合题意，即，故A正确； 由上述可知函数在上单调递减， 当时，，则，故B错误； 由， 则， ， 所以，故C正确； 因为，，则， 又函数在上单调递增，则， 所以， 又， 则，故D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 曲线在点处的切线方程为__________． 【答案】 【解析】 【分析】求得函数y的导数，可得x＝1处切线的斜率，由点斜式方程可得所求切线方程． 【详解】y＝x3的导数为y′＝3x2， 即有曲线在x＝1处的切线的斜率为5， 切线方程为y+1＝5（x﹣1）， 即为5x﹣y﹣6＝0， 故答案为5x﹣y﹣6＝0． 【点睛】本题考查导数的运用：求切线方程，考查直线方程的应用，考查运算能力，属于基础题． 13. 二项式的展开式中的常数项为________． 【答案】60 【解析】 【分析】利用展开式的通项公式，可求常数项. 【详解】展开式的通项为． 令，得，则的常数项为． 故答案为：． 14. 已知某盒中装有个大小、质地一致的乒乓球，其中有个新球（从未被使用过）个旧球，第一次比赛时从此盒中任取个球来使用，赛后仍将两球放回盒中，第二次比赛时再从此盒中任取个球使用．第二次比赛时取出的个球都是新球的概率为______； 【答案】## 【解析】 【分析】本题采用全概率公式求解，先按第一次取球的三种情况（取个新球）计算各自概率，再分别计算每种情况下第二次取个新球的条件概率，最后将各情况的概率与对应条件概率相乘后求和，得到第二次取到个新球的总概率． 【详解】第一次取到0个新球的概率为， 第一次取到1个新球的概率为， 第一次取到2个新球的概率为， 所以第二次所取出的球都是新球的概率 ； 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角所对的边分别为，，为的角平分线，且． （1）若，求的大小； （2）设为中点，连接，面积取得最小值时，求线段的长度. 【答案】（1）； （2）2 【解析】 【分析】（1）由正弦定理得到，根据，结合三角形面积公式建立关于的方程，再结合余弦定理求解； （2）同（1）建立关于的方程，再结合基本不等式求解最值，进而根据等腰三角形性质求解即可. 【小问1详解】 因为，由正弦定理得. 因为的角平分线交于点，所以， 由，得， 则， 即，所以. 在中，由余弦定理得， 即； 【小问2详解】 由，得， 得， 化简得，即， 所以，即， 当且仅当时等号成立，取得最小值，面积取得最小值， 此时为等腰三角形，为中点，则既是中线也是角平分线. 即重合，故. 16. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若，证明不等式恒成立． 【答案】（1） 函数的定义域为 ①当时，令，得，令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减． ②当时，令，得，令，得， 所以在上单调递增，上单调递减， 综上所述，当时，在上单调递增，在上单调递减， 当时，在上单调递增，上单调递减． （2） 时，由（1）知在上单调递增，上单调递减， 所以， 要证，即证，即证， 因为，即证 ①当时，成立，符合题意； ②当时，设，则， 所以在上单调递增，要证，即证，即证， 即证，即证， 设在上单调递增，上单调递减． 又，所以恒成立，得证． 综上所述，时，． 【解析】 【分析】（1）先求导并因式分解，再根据参数的正负分类讨论导数的符号，从而确定函数的单调区间； （2）先求出时函数的最小值，将不等式转化为关于的形式，再通过构造辅助函数，利用函数单调性和最值完成证明. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 17. 习近平总书记在十九大报告中指出，必须树立和践行“绿水青山就是金山银山”的生态文明发展理念，某城市选用某种植物进行绿化，设其中一株幼苗从观察之日起，第天的高度为，测得一些数据图如下表所示: 第天 1 2 3 4 5 高度 1.3 1.7 2.2 2.8 3.5 （1）由表中数据可看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以证明； （2）求关于的回归直线方程，并预测第7天这株幼苗的高度. 参考数据:. 参考公式:相关系数， 回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为. 【答案】（1）由，，， 所以， 因为与1非常接近，故可用线性回归模型拟合与的关系． （2），预测当年份序号为第7天这株幼苗的高度为4.5 【解析】 【分析】（1）求出，结合公式求出r，即可下结论； （2）利用最小二乘法求出回归直线方程，令计算，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意可得：， 所以关于的回归直线方程为． 当时，， 由此预测当年份序号为第7天这株幼苗的高度为4.5. 18. 如图，在平行六面体中，四边形是边长为的正方形，，分别为平面和平面的中心，且在平面上的射影是. （1）求证：平面； （2）已知，直线与平面所成角的正弦值为. （i）求平面与平面的距离； （ii）在线段上是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为.若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）连接， 则为的交点，为的交点，连接， 因为平行六面体的底面为正方形， 分别为面和面的中心，且在底面的射影是， 得且， 所以四边形为平行四边形，则． 又因为面面，所以面． （2）（i）；（ii）存在，为线段的中点. 【解析】 【分析】（1）要证明线面平行，则需要通过证明线线平行得到线面平行，即证明； （2）（i）建立以为坐标原点的空间直角坐标系，求出平面的法向量，根据线面角的空间向量求法即可得到方程，解出即可； （ii）求出平面的法向量，再根据面面角的空间向量求法即可得到方程，解出即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）因为平面，得，又因为， 以为坐标原点，以所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系. 设，则， 所以， 设平面法向量，则，取， 设与平面所成的角为， 则， 解得或． 又因为，所以，所以， 所以平面与平面的距离为． （ii）由（i）得，，所以，平面的法向量 设，则， , 设平面的法向量为，， 解得，设平面与平面夹角为， 则，解得， 所以当为线段的中点，平面与平面夹角的余弦值为． 【点睛】 19. 已知中心在原点、焦点在x轴上的圆锥曲线E的离心率为2，过E的右焦点F作垂直于x轴的直线，该直线被E截得的弦长为6． （1）求E的方程； （2）若面积为3的的三个顶点均在E上，边过F，边过原点，求直线的方程： （3）已知，过点的直线l与E在y轴的右侧交于不同的两点P，Q，l上是否存在点S满足，且？若存在，求点S的横坐标的取值范围，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）或； （3） 若直线l斜率不存在，此时直线l与双曲线右支无交点，不合题意， 故直线l斜率存在，设直线l方程，联立方程，得， 化简整理，得， 依题意有，因为恒成立， 所以，故，解得：， 设，，则由韦达定理，得， 设点S的坐标为，由，得， 则，变形得到， 将，代入，解得， 将代入中，解得， 消去k，得到点S的轨迹为定直线：上的一段线段（不含线段端点，，设直线与双曲线切于，直线与渐近线平行时于交点为）． 因为，，且，取中点， 因为， 所以， 所以，故， 即S的轨迹方程为，表示以点H为圆心，半径为的圆H， 设直线与y轴，x轴分别交于，，依次作出直线，，，， 且四条直线的斜率分别为：，，，， 因为，所以线段是线段的一部分 经检验点，均在圆H内部，所以线段也必在圆H内部， 因此线段也必在圆H内部，所以满足条件的点S始终在圆H内部， 故不存在这样的点S，使得，且成立． 【解析】 【分析】（1）依题意设出双曲线方程，根据条件即可得结果； （2）根据直线与双曲线相交，由弦长公式及三角形面积公式可得结果； （3）根据直线与双曲线相交，由条件得出点S的轨迹可判断结果. 【小问1详解】 圆锥曲线E的离心率为2，故E为双曲线， 因为E中心在原点、焦点在x轴上，所以设E的方程为， 令，解得，所以有 ① 又由离心率为2，得 ②，由①②解得， 所以双曲线E的标准方程是． 【小问2详解】 设，，由已知，得，根据直线过原点及对称性， 知， 联立方程，得，化简整理，得， 所以，且， 所以，解得， 所以直线的方程是或． 【小问3详解】 略 【点睛】直线与圆锥曲线相交，常利用“设而不求”的方法解决弦长，面积，数量积，斜率等问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绝密★启用前 2025-2026学年西和第二中学、第三中学、西和成名中学 高三三诊（数学）试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数z满足，则的虚部是（ ） A. B. C. D. 3. “曲线在处的切线的倾斜角为”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知函数在区间的图象如下图所示，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 5. 椭圆的左、右焦点分别为，经过的直线交椭圆于两点，若的周长为，则该椭圆的离心率为（　　） A. B. C. D. 6. 已知圆台的母线与下底面所成角的正弦值为，则此圆台的表面积与其内切球（与圆台的上下底面及每条母线都相切的球）的表面积之比为（ ） A. B. C. D. 7. 设函数，若恒成立，且在上存在零点，则的最小值为（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 3 8. 已知非零平面向量，满足，，若与的夹角为，则的最小值为（      ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知抛物线的焦点到准线的距离为4，过焦点的直线与抛物线交于两点，为坐标原点，则（ ） A. B. 以线段为直径的圆与抛物线的准线相切 C. 若是线段的中点，则直线的斜率的最大值为 D. 若直线与抛物线的准线相交于点，则轴 10. 数列满足：，，，下列说法正确的是（ ） A. 数列为等比数列 B. C. 数列是递减数列 D. 的前项和 11. 已知函数在处取得极大值，的导函数为，则（ ） A. B. 当时， C. D. 当且时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 曲线在点处的切线方程为__________． 13. 二项式的展开式中的常数项为________． 14. 已知某盒中装有个大小、质地一致的乒乓球，其中有个新球（从未被使用过）个旧球，第一次比赛时从此盒中任取个球来使用，赛后仍将两球放回盒中，第二次比赛时再从此盒中任取个球使用．第二次比赛时取出的个球都是新球的概率为______； 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角所对的边分别为，，为的角平分线，且． （1）若，求的大小； （2）设为中点，连接，面积取得最小值时，求线段的长度. 16. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若，证明不等式恒成立． 17. 习近平总书记在十九大报告中指出，必须树立和践行“绿水青山就是金山银山”的生态文明发展理念，某城市选用某种植物进行绿化，设其中一株幼苗从观察之日起，第天的高度为，测得一些数据图如下表所示: 第天 1 2 3 4 5 高度 1.3 1.7 2.2 2.8 3.5 （1）由表中数据可看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以证明； （2）求关于的回归直线方程，并预测第7天这株幼苗的高度. 参考数据:. 参考公式:相关系数， 回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为. 18. 如图，在平行六面体中，四边形是边长为的正方形，，分别为平面和平面的中心，且在平面上的射影是. （1）求证：平面； （2）已知，直线与平面所成角的正弦值为. （i）求平面与平面的距离； （ii）在线段上是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为.若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由. 19. 已知中心在原点、焦点在x轴上的圆锥曲线E的离心率为2，过E的右焦点F作垂直于x轴的直线，该直线被E截得的弦长为6． （1）求E的方程； （2）若面积为3的的三个顶点均在E上，边过F，边过原点，求直线的方程： （3）已知，过点的直线l与E在y轴的右侧交于不同的两点P，Q，l上是否存在点S满足，且？若存在，求点S的横坐标的取值范围，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $