2026年广东省汕头市潮阳区初中学业水平模拟考试 数学

2026年汕头市潮阳区初中学业水平模拟考试 数学 注意事项： 1．全卷共6页，满分为120分，考试用时为120分钟． 2．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡上填写自己的准考证号、姓名、试室号、座位号．用2B铅笔把对应该号码的标号涂黑． 3．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试题上． 4．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔或涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 5．考生务必保持答题卡的整洁．考试结束时，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分． 1．下列各数中，是无理数的是（ ） A． B． C． D．0.1 2．在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形，下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ） A． B． C． D． 3．2026年1月7日《2026年中国“人工智能+”应用趋势报告（精华版）》显示目前超过1500万知识工作者将使用工具辅助创作与编程，其中数字1500万用科学记数法表示为（ ） A． B． C． D． 4．下列计算正确的是（ ） A． B． C． D． 5．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A． B． C． D． 6．计算的结果等于（ ） A． B． C． D． 7．图1是《墨经》中记载的“小孔成像”实验图，图2是其示意图，其中物距，像距．若像的高度是，则物体的高度为（ ） A． B． C． D． 8．小李一家计划寒假去成都看三星堆．手机导航系统推荐两条线路，第一条线路全程约460公里，第二条线路全程约456公里．因路况不同，第二条线路的平均时速比第一条线路提高20%，因此用时节约1小时，假设汽车在第一条线路的平均时速为，则下面所列方程正确的是（ ） A． B． C． D． 9．如图，取直线上一点，①过点作x轴的垂线，交于点；②过点作y轴的垂线，交于点；如此循环进行，按照上面的操作，若点的坐标为，则点的坐标是（ ） A． B． C． D． 10．我们规定，例如，，，如果，那么y的最大值是（ ） A．0 B．1 C．3 D．4 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11．因式分解：__________． 12．若二次根式在实数范围内有意义，则x的最小整数值是__________． 13．声音在空气中传播的速度随温度的变化而变化，科学家测得一定温度下声音在空气中传播的速度与温度部分对应数值如下表所示： 温度 0 10 20 声音传播的速度v 331 337 343 研究发现，在一定条件下，v是t的一次函数，函数关系为（a，b为常数，且．温度t为15℃时，声音传播的速度v为__________． 14．如图，将扇形翻折，使点A与圆心O重合．展开后折痕所在直线l与交于点C，连接、若，则图中阴影部分的面积是__________． 15．如图，在正方形中，点E是中点，连接，点F为上一点，．若，则的面积为__________． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16．先化简后求值：，其中． 17．关于x的方程有两个不等的实数根． （1）求k的取值范围； （2）取一个你喜欢的k值，解这个方程． 18．小陆提出这样一个猜想：对于任意两个连续的正整数m，n，它们的乘积与较大数的和一定为某个正整数的平方． 【举例验证】当，，则． 【推理证明】小陆同学做了如下的证明： 设， ∵m，n是连续的正整数， ∴． ∵， ∴(__________)． ∴一定是正整数的平方数·请你补上小陆同学的证明过程的空格所缺内容： （1）请你补上小陆同学证明过程的空格所缺内容__________． 【类比探究】 （2）小柒同学类比小陆同学的证明方法，提出：任意两个连续正整数的乘积与较小数的差也为某个正整数的平方，请证明该结论． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19．百度推出了“文心一言”聊天机器人（以下简称甲款），抖音推出了“豆包”聊天机器人（以下简称乙款），有关人员开展了对甲，乙两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并分别随机抽取20份评分数据，对数据进行整理、描述和分析，评分分数用x表示，分为四个等级： A：，B：，C：，D：， 下面给出了部分信息： 甲款评分数据中“满意”的数据：64，70，75，76，78，78，85，85，85，85，86，89，90，90，94，95，98，98，99，100． 乙款评分数据中C组包含的所有数据：84，86，87，87，87，88，90，90． 甲、乙款评分统计表： 设备 平均数 中位数 众数 甲 86 85.5 a 乙 86 b 87 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中a=__________，b=__________，m=__________． （2）在此次测验中，有280人对甲款进行评分、300人对乙款进行评分，请通过计算，估计其中对甲、乙两款聊天机器人非常满意()的用户总人数． （3）DeepSeek（简称丙款）推出后引发广泛讨论．现有甲、乙、丙三款聊天机器人，小明和小红各自随机选择其中一款进行体验测评．请用列表法或树状图法，求两人都选择同款聊天机器人的概率． 20、已知：O是的对称中心，与相切于点E． （1）如图1，求证：直线是的切线． 小明建议：可以过点O作的垂线…… 小红建议：也可以连接并延长…… 选择其中一位同学的建议，完成证明： （2）如图2，当与相切时，是菱形吗？说明理由． 21．综合与实践：请根据以下素材，完成探究任务． 素材 随着城镇化建设的加快，高层建筑逐渐增多，为防患于未然，更快更有效预防火灾，开辟新的救援通道，某城市消防中队新增添一台高空消防救援车．图1是高空救援消防车实物图，图2、图3是其侧面示意图，点O、A、C在同一直线上，可绕着点O旋转，为云梯的液压杆，点O，B，D在同一水平线上，其中可伸缩，已知套管米，且套管的长度不变． 已知条件 米，，，（参考数据：，，，，，） 任务一 求此时液压杆的长度； 任务二 若消防人员在云梯末端工作台点C处高空救援时，将伸长到最大长度，云梯绕着点O逆时针旋转，即，过点作垂足为G，过点C作，垂足为E，，垂足为H．如图3，测得铅直高度升高了3米（即米），求伸长到的最大长度． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22．定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到该边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形在该边上的“平方点”．如图1，在中，D是边上一点，连接，若，则称点D是在边上的“平方点”． （1）如图2，的顶点是的小正方形网格图的格点，请仅用直尺画出边上的一个“平方点” （2）如图3，是的内接三角形，是的直径，于点D，连接并延长，交于点E，连接． ①求证：点D是在边上的“平方点”． ②若的半径为5，，求的长． （3）如图4，矩形的边在x轴上，点A在反比例函数的图象上，连接，交反比例函数的图象于点E，连接，已知，．若点E是在边上的“平方点”，请直接写出k的值． 23．在平面直角坐标系中，点C是y轴上的点，点A的坐标为，点B的坐标为，矩形与矩形相似，矩形绕点O逆时针旋转，旋转角为，连接、． 【问题发现】（1）如图1，在矩形绕点O旋转的过程中，若，直线与直线的位置关系保持不变．请判断它们的位置关系，并说明理由． 【解决问题】（2）①在（1）的条件下，当旋转角时，与y轴相交于点M，求的面积； ②在（1）的条件下，求的最小值． 【拓展问题】（3）如图2，当点D是矩形的对角线上一动点，点E在矩形边上．若点D到x轴的距离为a，的面积为y，求y与a的函数关系式． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年潮阳区初中学业水平模拟考试 数学 答案 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A D B C D C D A C 二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分) 11.（a+5)(a-5) 12. -2 13． 340 14. 15. 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16.解：………………………（2分） ，即当m…………………（5分） ………………………（7分） ………………………（1分） 17.解：(1)其中a=1, b= -1, c=4-k =4k-15 因为方程有两个不等的实数根，所以>0，即 解得k >。………………………（3分） 所以，的取值范围是。 ………………………（4分） ………………………（4分） (2)由(1)知，不妨取 k = 4。 当k = 4时，原方程化为， 因式分解：x(x-1)=0。……………………（5分） 则 x=0 或 x-1=0， 解得 ………………………（7分） 所以，当k = 4时，方程的解为 ………………………（2分） 18.解：(1)答案为：；（也可以m+1）………………………（3分） （2）证明：设，是连续的正整数，且， ， ，………………………（6分） ，……………（7分） 一定是平方数，即任意两个连续正整数的乘积与较小数的差为平方数． 19.（1）解：，，．………………………（3分） ………………………（4分） （2）解：甲款评分数据中“非常满意”的人数占比， 对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数为： 280×30%+280×20%=144（人）．………………………（6分） ………………………（5分） 答：估计其中对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数为144人． （3）解：画树状图为： ………………………（8分） 由树状图可知，共有种等可能的结果数，其中两人都选择同款聊天机器人的结果为种，所以两人都选择同款聊天机器人的概率为………………………（9分） 20.证明：（1）解：小明同学的思路： 过点O作，连接，，如图： ∴， ∵是▱ABCD的对称中心， ∴三点共线，且，， ∴， ∵与⊙0相切于点， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴直线是⊙0的切线； ………………………（1分） 小红同学的思路： 连接，并延长交于点F，如图： ∵是▱ABCD的对称中心， ∴三点共线，且，，………………………（2）分） ∴， ∵与⊙0相切于点， ∴， ∵， ∴， ∵，，…………………………（3分） ∴， ∴， ∵， ∴是切点，………………………（4分） 即直线是⊙0的切线；………………………（5分） （2）解：▱ABCD是菱形，理由如下：……（4分） 当与⊙0相切时，切点记为点，如图所示： ∵与⊙0相切于点．与⊙0相切于点， ∴，………………………（6分） ………………………（6分） ∵， ∴， ∴，………………………（7分） ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴，………………………（8分） ∴，………………………（9分） ∵四边形是平行四边形， ∴▱ABCD是菱形． 21.（1）解：过点作， 在中，，，………………………（6分） ∴，………………………（2分） 在中，， ∴；………………………（4分） （2）由题意，得：， 在中， ∴，………………………（5分） ∴， ∵，，………………………（6分） ∴， 在中，，………………………（7分） ∴， ∵，………………………（8分） ∴， ∴，………………………（9分） 故：伸长到的最大长度为6米． 22．（1）解：如图1，点D 即为所求．（或如图2，点E 即为所求．） 图2 图1 ………………………（2分） （2） ①证明：如图3，连接AE.∵=,∴∠DAE=∠DBC.又∠ADE=∠BDC, ∴ ADEBDC.图3 ∴，即AD DC=BDDE.………………………（4分） ∵∴，∴………………………（6分） ∴点D是BCE 在BE 边上的“平方点”. ②解：在RtAOD中，由勾股定理，得………………………（7分） 由①可得 又 OA=OB, ∴ OD是ABC的中位线.∴ BC=2OD=6. ∵AB是的直径，∴，即………………………（8分） 在RtBCD中，由勾股定理，得………………………（9分） ∴………………………（13分） （3）k的值为 6 或 (只要答对一个得2分，共4分)………………………（9分） 23.解:（1）结论：，位置关系不变.理由如下：………………………（1分） ∵矩形 与矩形 相似，P Q ∴ ，即 . ∵ ∴ ………………………（2分） ∴Δ 设 与 轴交于点 ，与 交于点 在 中，， 又 ，∴ ，………………………（3分） ∴ ，即 .………………………（4分） （2）①已知 ，，由 得 ，由 得 。H M 矩形 中，，，. ∵∴ ， 在 中，，， ， ，………………………（5分） 过点F作FHOC于 点H， 在RtFOH中，,= ∴ FH=OF ∴ - - 3P ………………………（7分） ②由（1）可知，在OA上取OP=OD, ∴,且………………………（8分） ∴ ∴PD =AD ∴BD+AD=BD+PD 当P、D、B三点共线时有最小值，即BD+PD=BP 在RtABP中，AP = OA－OP = 4－1 = 3，AB = 6， ∴BP =………………………（10分） ∴BD+AD的最小值为 (3) ，，对角线 的解析式为：y= - ∵ DH=………………………（11分） ∴D） 过点D分别作DHX轴交于点H，延长HD并交BC于点G ∴ ∵ ∴ ∵H G ∴ ∴ ∵矩形与 相似 ∴ ∴ ∴EG = ………………………（12分） ∴CE =CG-EG =- -= ∴………………………（13分） 即y = =………………………（14分） ∴y与a的函数关系式为 y= 附：22题第三问详解 根据题意得,当E是BD边的中点，或AE⟂BD时，，即点E是ABD在BD边上的“平方点”. 分以下两种情况讨论： ①如题图4，当E是BD边的中点时，设点A的横坐标为m. ∵四边形ABCD是矩形，AB=3,BC=4,图4 ∴∴ ∵点A,E都在反比例函数的图象上， ∴ ∴ ②如题图5，当AEBD时，过点E作EFAB于点F. ∵四边形ABCD是矩形，AB=3,BC=4, 图5 ∴ ∵∠EBA=∠ABD,∠BEA=∠BAD, ∴EBAABD. ∴即∴ ∴ ∵∠EAF=∠BAE,∠EFA=∠BEA,∴EAFBAE. ∴，即∴ ∴ 设点A的横坐标为n， ∴，点A,E都在反比例函数的图象上， ∴∴综上所述，k的值为6或 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $