第二十一章 四边形 单元练习 2025-2026学年人教版八年级数学下册

**基本信息** 本卷为初中数学“四边形”单元复习卷，含选择（10题30分）、填空（6题18分）、解答（8题52分），覆盖多边形、平行四边形及特殊四边形核心知识，通过几何直观与推理能力考查，适配单元复习巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|多边形内角和、平行四边形性质、特殊四边形性质比较|结合图形辨析，考查空间观念| |填空题|6/18|平行四边形角平分线、矩形阴影面积、菱形角度计算|设置机器人行走情境，体现应用意识| |解答题|8/52|多边形内角和计算、平行四边形证明、矩形菱形综合、正方形探究|分层设计，从证明到探究（如24题特例-一般-应用），发展推理能力与创新意识|

第二十一章 四边形 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1、将一个五边形纸片，剪去一个角后得到另一个多边形，则得到的多边形的内角和是（     ） A． B． C．或 D．或或 【答案】D 【详解】解：如图，将一个五边形沿虚线裁去一个角后得到的多边形的边数是或或， 其中四边形内角和为， 五边形内角和为， 六边形内角和为， 得到的多边形的内角和是或或， 2、如图，的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， 3、如图，在ABCD中，对角线AC，BD交于点O，则下列结论正确的是（    ） A．AB＝CD B．OA＝OD C．AD＝CD D．AC⊥BD 【答案】A 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，OA=OC，AD=BC，对角线互相平分，但不一定垂直， ∴ 所以A正确，B、C、D错误． 4、如图，湖边有三条公路，其中公路，互相垂直，公路的中点M与点C被湖隔开．测得的长为，则M，C两点间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由题意可知，△ABC中，，M是的中点， ∴， 5、如图，已知平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AC＝16cm，BD＝10cm，AD＝12cm，则△BOC的周长等于（    ） A．30cm B．26cm C．32cm D．25cm 【答案】D 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝16cm，BD＝10cm，AD＝12cm， ∴OC=OA=AC=8cm，OB=OD=BD=5cm，BC=AD=12cm， ∴△BOC的周长为OB+OC+BC=5+8+12=25（cm）， 6、如图，△ABC中，，点D，E分别是边的中点，点F在线段上，且，则的长为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【详解】解：∵点D、E分别是边的中点， ∴是△ABC的中位线， ∵， ∴． ∵，D是的中点，， ∴， ∴． 7、矩形、正方形、菱形都具有的性质是（　　） A．对角线互相垂直 B．对角线互相平分 C．对角线长度相等 D．一组对角线平分一组对角 【答案】B 【详解】解：A、只有正方形和菱形的对角线垂直，矩形的对角线不一定垂直，不符合题意； B、矩形、正方形、菱形的对角线都互相平分，符合题意； C、只有矩形和正方形的对角线长度相等，菱形的对角线长度不一定相等，不符合题意； D、只有正方形和菱形的对角线平分一组对角，矩形的对角线不一定平分一组对角，不符合题意； 8、 如图，四边形是平行四边形，对角线与相交于点O，下列结论正确的是（  ） A．当平行四边形是矩形时， B．当平行四边形是正方形时， C．当平行四边形是菱形时， D．当平行四边形是矩形时， 【答案】A 【详解】解：A、当平行四边形是矩形时，，结论正确，符合题意； B、当平行四边形是正方形时，，而，原结论错误，不符合题意； C、当平行四边形是正方形时，，原结论错误，不符合题意； D、当平行四边形是矩形时，对角线不垂直，原结论错误，不符合题意； 9、如图，在正方形中，点为上一动点，点为的中点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：连接，，，，如图， ∵四边形是正方形， ∴点D和点B关于对称， ∴， ∴， ∵ ∴当点B、P、E三点共线时，值最小，最小值是， ∵四边形是正方形，，点E为的中点， ∴，， ∴ 10、如图，在中，，是斜边上的高，为角平分线交于，交于，，交于，过作于，连接，给出以下结论：①；②四边形是菱形；③；④若，则．其中正确结论的序号为（   ） A．①②③④ B．②③④ C．①③④ D．①②③ 【答案】A 【详解】解：，，， ， ，①正确； ， 是的角平分线，， ， ， 又∵，， ∴， 四边形是平行四边形， 结合可得四边形是菱形，②正确； ∴，又，即， ∴四边形是平行四边形， ∴，③正确； ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴，④正确． 综上，①②③④正确． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11、科技馆为某机器人编制一段程序，如果机器人在平地上按照图中所示的步骤行走，那么该机器人所走的总路程为 ．    【答案】 【详解】解：根据题意得，机器人所走过的路线是正多边形， ∵每一次都是左转， ∴多边形的边数， 周长（）． 故答案为：． 12、如图，在平行四边形中，平分，交于点，平分，交于点，，，则的长为 ． 【答案】4 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∴平分， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴． 故答案为：4． 13、 如图，点P是矩形的对角线上一点，过点P作，分别交，于E、F，连接、．若，，则图中阴影部分的面积为 ．  【答案】12 【详解】解：作于M，交于N．    则有四边形，四边形，四边形都是矩形， ∴，，，，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：12 14、 如图，四边形是菱形，对角线、相交于点于点，连接，则的度数是 ．  【答案】 【详解】解：如下图所示， 四边形是菱形， ， ， ， 是菱形的对角线， ， ， ， 在中，， ， 点是的中点， ， ． 故答案为： 15、如图，矩形纸片的对角线，相交于点，，将矩形纸片翻折，使点恰好落在点处，折痕为，点在边上，则的长为 ．   【答案】 【详解】解：四边形是矩形， ，， 由翻折性质可知：，， ， 是等边三角形， ， ，，则 ,， ， 故答案为：6． 16、如图，在正方形中，，对角线上的有一动点（点不与点、点重合），以为边作正方形． 在点运动过程中，点始终在射线上； 在点运动过程中，可能为； 若是的中点，连接，则的最小值为； 为等腰三角形时，的值为或． 以上结论正确的是 【答案】 【详解】解：如图，连接，过点作交于， ， 四边形和四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， 点，点，点三点共线，故正确； ， 则点与点重合， 此时不存在，故错误； 如图，取的中点，连接， ， 点是的中点，点是中点， ， ， ， 又， ， ， 点是线段上一点， 当时，有最小值为， 有最小值为，故错误； ， ， 当点是中点时，，则是等腰三角形， 当时，是等腰三角形， ，故④错误； 故答案为：． 三、解答题：本题共8小题，17-18，每题6分，19-21，每题8分, 22-24，每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、已知一个多边形的边数为n． (1)若，求这个多边形的内角和； (2)若这个多边形的每个内角都比与它相邻的外角的4倍多，求这个多边形的边数． 【答案】(1) (2)12 【详解】（1）解：当时， 多边形的内角和； （2）解：设这个多边形的每个外角为，则每个内角为， 由题意，得， 解得， ． 这个多边形的边数是12. 18、已知：如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为BC和AD上的点，BD和EF相交于点O，且OE＝OF．求证：四边形AECF为平行四边形． 【答案】见详解 【详解】证明：由题意知 ， ∴∠ODF＝∠OBE 在△DOF和△BOE中 ∵ ∴△DOF≌△BOE（AAS） ∴DF＝BE ∴AD﹣DF＝BC﹣BE 即AF＝EC ∴四边形AECF为平行四边形． 19、如图，为矩形的对角线，于点E，于点F．求证： (1)； (2)四边形是平行四边形． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∴． 又∵，， ∴． 在和中， ∴． （2）∵， ∴． 又∵，， ∴． ∴四边形是平行四边形． 20、在学完矩形的判定后，善于钻研的小壮、小刚和小强同学有自己独到的见解： 已知：如图，四边形中，，对角线、相交于点O，． 小壮说：若，则四边形为矩形； 小刚说：若，则四边形为矩形． 小强说：若，则四边形为矩形． 请对三人的说法任选其一进行判断并证明． 【答案】小壮的说法是正确的（三人的观点都正确，可任选其一判断），理由见解析 【详解】解：小壮的说法是正确的（三人的观点都正确，可任选其一判断），理由如下： 证明：若选择小壮： ∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 又， ∴四边形为平行四边形． ∵， ∴， ∴四边形是矩形． 若选择小刚： 证明：∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为矩形； 若选择小强： 证明：∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为矩形． 21、如图，已知为菱形对角线的交点，过点作，过点作，且、相交于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)36 【详解】（1）证明∶，， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形， ， ， 四边形是矩形； （2）解：∵，， 则在矩形中，，， 又∵边形是菱形， ∴，， ∴菱形的面积为． 22、如图，四边形是平行四边形，连接对角线，过点作与的延长线交于点，连接交于． （1）求证：； （2）连结，若，且，求证：四边形是正方形． 【答案】（1）证明见解析，（2）证明见解析． 【详解】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD=BC， ∵AC∥DE， ∴四边形ACED是平行四边形， ∴AD=CE， ∴BC=CE； （2）由（1）知：四边形ACED是平行四边形， ∴DF=CF=AB，EF=AF， ∵AD=2CF， ∴AB=AD， 四边形为平行四边形， 四边形为菱形， ∵AD∥EC， ∴ ∴四边形ABCD是正方形． 23、问题解决：如图①，在矩形中，点E，F分别在边上，于点G． （1）求证：四边形是正方形； （2）延长到点H，使得，连接，判断的形状，并说明理由． 类比迁移：如图②，在菱形中，点E，F分别在边上，与相交于点G，，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）等腰三角形，见解析；类比迁移：9 【详解】（1）解：证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴ 在△ADE和中， ∴， ∴， ∴四边形是正方形． （2）是等腰三角形， 理由：由（1）得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰三角形． 类比迁移：如图，延长到点H，使，连接， ∵四边形是菱形， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴ ∴是等边三角形， ， ∴． 24、解答下列各题． (1)特例探究：如图，正方形中，、分别为、上两点，，探究、、之间的数量关系．小明是这么思考的：延长，截取连接，易证，从而得到，再由证明，从而得出结论： ________________________； (2)一般探究：如图，四边形中，，与互补，、分别是、上两点，且满足，探究、、之间的数量关系； (3)实际应用：如图，四边形中，，，，直接写出四边形的面积为________． 【答案】(1) (2) (3)18 【详解】（1）解： 如图①：延长到点使，连接， 在正方形中，，， 在和中， ， ，， ， 在和中 ， ， ． （2）解：如图，延长至，使，连接． ，， ． 又，， ． ，． ． 又， ． ． 又，， ≌． ， ∴． （3）解：如图，延长，截取，连接， ， ， ， ， 在和中 ， ，， ， ． —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十一章 四边形 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1、将一个五边形纸片，剪去一个角后得到另一个多边形，则得到的多边形的内角和是（     ） A． B． C．或 D．或或 2、如图，的度数为（　　） A． B． C． D． 3、如图，在ABCD中，对角线AC，BD交于点O，则下列结论正确的是（    ） A．AB＝CD B．OA＝OD C．AD＝CD D．AC⊥BD 4、如图，湖边有三条公路，其中公路，互相垂直，公路的中点M与点C被湖隔开．测得的长为，则M，C两点间的距离为（    ） A． B． C． D． 5、如图，已知平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AC＝16cm，BD＝10cm，AD＝12cm，则△BOC的周长等于（    ） A．30cm B．26cm C．32cm D．25cm 6、如图，△ABC中，，点D，E分别是边的中点，点F在线段上，且，则的长为（    ） A．1 B．2 C． D． 7、矩形、正方形、菱形都具有的性质是（　　） A．对角线互相垂直 B．对角线互相平分 C．对角线长度相等 D．一组对角线平分一组对角 8、 如图，四边形是平行四边形，对角线与相交于点O，下列结论正确的是（  ） A．当平行四边形是矩形时， B．当平行四边形是正方形时， C．当平行四边形是菱形时， D．当平行四边形是矩形时， 9、如图，在正方形中，点为上一动点，点为的中点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 10、 如图，在中，，是斜边上的高，为角平分线交于，交于，，交于，过作于，连接，给出以下结论：①；②四边形是菱形；③；④若，则．其中正确结论的序号为（   ） A．①②③④ B．②③④ C．①③④ D．①②③ 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11、科技馆为某机器人编制一段程序，如果机器人在平地上按照图中所示的步骤行走，那么该机器人所走的总路程为 ．    12、如图，在平行四边形中，平分，交于点，平分，交于点，，，则的长为 ． 13、如图，点P是矩形的对角线上一点，过点P作，分别交，于E、F，连接、．若，，则图中阴影部分的面积为 ．  14、 如图，四边形是菱形，对角线、相交于点于点，连接，则的度数是 ．  15、如图，矩形纸片的对角线，相交于点，，将矩形纸片翻折，使点恰好落在点处，折痕为，点在边上，则的长为 ．   16、如图，在正方形中，，对角线上的有一动点（点不与点、点重合），以为边作正方形． 在点运动过程中，点始终在射线上； 在点运动过程中，可能为； 若是的中点，连接，则的最小值为； 为等腰三角形时，的值为或． 以上结论正确的是 ． 三、解答题：本题共8小题，17-18，每题6分，19-21，每题8分, 22-24，每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、已知一个多边形的边数为n． (1)若，求这个多边形的内角和； (2)若这个多边形的每个内角都比与它相邻的外角的4倍多，求这个多边形的边数． 18、已知：如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为BC和AD上的点，BD和EF相交于点O，且OE＝OF．求证：四边形AECF为平行四边形． 19、如图，为矩形的对角线，于点E，于点F．求证： (1)； (2)四边形是平行四边形． 20、在学完矩形的判定后，善于钻研的小壮、小刚和小强同学有自己独到的见解： 已知：如图，四边形中，，对角线、相交于点O，． 小壮说：若，则四边形为矩形； 小刚说：若，则四边形为矩形． 小强说：若，则四边形为矩形． 请对三人的说法任选其一进行判断并证明． 21、如图，已知为菱形对角线的交点，过点作，过点作，且、相交于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求菱形的面积． 22、如图，四边形是平行四边形，连接对角线，过点作与的延长线交于点，连接交于． （1）求证：； （2）连结，若，且，求证：四边形是正方形． 23、问题解决：如图①，在矩形中，点E，F分别在边上，于点G． （1）求证：四边形是正方形； （2）延长到点H，使得，连接，判断的形状，并说明理由． 类比迁移：如图②，在菱形中，点E，F分别在边上，与相交于点G，，求的长． 24、解答下列各题． (1)特例探究：如图，正方形中，、分别为、上两点，，探究、、之间的数量关系．小明是这么思考的：延长，截取连接，易证，从而得到，再由证明，从而得出结论： ________________________； (2)一般探究：如图，四边形中，，与互补，、分别是、上两点，且满足，探究、、之间的数量关系； (3)实际应用：如图，四边形中，，，，直接写出四边形的面积为________． —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $