第03讲：三角函数和解三角形【十四题型】训练-2026届高考数学三轮冲刺

第03讲：三角函数和解三角形 【题型归纳】 · 题型一：三角函数定义的应用 · 题型二：三角函数的基本关系 · 题型三：齐次化求值 · 题型四：弦切互化法求值 · 题型五：三角恒等式变换及其应用 · 题型六：代入法妙解三角函数性质问题 · 题型七：三角函数的平移变换问题 · 题型八：三角函数的w范围问题 · 题型九:正余弦定理应用问题 · 题型十：解三角形中边角互化 · 题型十一：三角形周长或者边长范围问题 · 题型十二：三角形面积范围问题 · 题型十三：几何图形计算问题 · 题型十四：三角函数和解三角的综合性问题 【题型归纳】 题型一：三角函数定义的应用 【典例1】．（2026·河北沧州·模拟预测）已知角的终边过点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三角函数的定义以及诱导公式、正弦二倍角公式求解即可. 【详解】因为角的终边过点，所以， 所以. 【变式1】．（2026·重庆渝中·模拟预测）已知角的终边与圆交于点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为在圆上，所以， 所以， 所以． 【变式2】．（2026·北京丰台·一模）已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆的交点为，且，若点为角的终边所在直线上的一点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得，,， 解得，则，即，，且，即,即, 则. 题型二：三角函数的基本关系 【典例2】．（2026·湖北黄冈·模拟预测）若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可得，. 两式相比得，即， 整理得. 【变式1】．（2026·天津南开·二模）已知时，的最小值为（   ） A． B．3 C． D． 【答案】B 【详解】由可知，易知，且， 所以 ， 当且仅当时，即时，等号成立， 因此的最小值为3. 【变式2】．（2026·湖南永州·三模）已知，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以， 两边同除以，得， 所以，因为，所以， 所以 ，当且仅当，即时取等号，所以最大值为． 题型三：齐次化求值 【典例3】．（2025·云南·三模）已知角的终边过点，则__________． 【答案】 【详解】因为的终边过点，根据三角函数的定义，可得， .故答案为：. 【变式1】．（2025·陕西榆林·模拟预测）若，则__________. 【答案】 【详解】 故答案为：. 【变式2】．（2025·广东江门·一模）若，则________. 【答案】/ 【详解】因为，所以， 所以 . 因为，所以，所以. 所以. 故答案为：. 题型四：弦切互化法求值 【典例4】．（2026·湖南湘潭·二模）已知，，则______. 【答案】/ 【详解】由， 因为，所以，则， 由，解得，， 则. 【变式1】．（2026·河北·二模）已知，则_____． 【答案】2 【分析】根据和差角公式展开，即可得求解. 【详解】由可得，故， 则. 【变式2】．（2025·山东·三模）已知，则______. 【答案】 【详解】因为，所以，即， 又， 所以， 所以． 故答案为： 题型五：三角恒等式变换及其应用 【典例5】．（2026·河南开封·模拟预测）已知，若，则（   ） A．0 B．1 C． D．-1 【答案】B 【详解】由，可得， 故，因此， 故，化简得， 故. 【变式1】．（2026·河北承德·模拟预测）已知，，且，，则的值为_______． 【答案】24或 【详解】 由角范围得：,. 由,所以 得,. 由,,得. 若,则 . 代入目标式：. 若 . 代入目标式：. 综上所述, 或 【变式2】．（2026·湖北鄂州·模拟预测）若，则___________． 【答案】 【详解】由同角三角函数关系可得：，代入右侧通分整理得： 因此得： 由二倍角余弦公式得： . 题型六：代入法妙解三角函数性质问题 【典例6】．（2026·云南昆明·二模）已知函数．则下列结论正确的有（    ） A．的最大值为 B．在区间上单调递减 C．把函数的图象上所有点向右平移个单位长度，可得到函数的图象． D．若函数的图象关于轴对称，则正数的最小值为 【答案】BD 【详解】因为，，所以的最大值为，故A错误； 若，则， 所以得在区间上单调递减，故B正确； 将的图象上所有点向右平移个单位长度， 得到的图象，故C错误； 若的图象关于轴对称， 则， 所以，所以的最小正值为，故D正确. 【变式1】．（2026·河北·二模）已知函数，，则下列结论正确的是（   ） A． B．的图象关于直线对称 C．在上的值域为 D．若的图象与的图象在上有公共点，则的取值范围为 【答案】ACD 【详解】函数，，A正确． 由，得，所以的图象不关于直线对称，B错误． 由，得，得，所以在上的值域为C正确． 在上的图象如图所示，．易得．因为的图象与的图象在上有公共点，所以，即的取值范围为D正确． 【变式2】．（2026·山东日照·二模）将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若是的一个单调递增区间，则（   ） A．的最小正周期为 B．在上单调递增 C．函数的最大值为1 D．方程在上有5个实数根 【答案】ABD 【详解】函数的图象向右平移个单位长度后得到： ， 显然的最小正周期为，则长度是的半个最小正周期， 又是的一个单调递增区间，则， 即有，，解得，， 而，解得，于是， 对于A，函数的最小正周期，A正确； 对于B，由，得，函数在上单调递增， 因此函数在上单调递增，B正确； 对于C，， 则， 因此函数的最大值为，C错误； 对于D，对方程，即 ， 得或， 当时，， ，且有两个解， 所以方程在上有5个实数根，D正确. 题型七：三角函数的平移变换问题 【典例7】．（2026·河南开封·模拟预测）已知函数与函数的图象关于直线对称，将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则下列说法正确的是（   ） A． B．在上单调递增 C．的图象与的图象重合 D．若的图象关于y轴对称，则的最小值为 【答案】AD 【分析】对于A，由关于直线对称得计算即可；对于B，根据余弦函数单调性判断即可；对于C，根据平移变换得出解析式与解析式比较即可；对于D，由图象关于y轴对称得计算即可. 【详解】对于A，函数与函数的图象关于直线对称， 则，所以， 所以，又因为，所以，A正确； 对于B，由A可知，当时，， 故在上单调递减，B错误； 对于C ，， 与的图象不重合，C错误； 对于D，， 若的图象关于y轴对称，则满足, 所以，由可知，的最小值为，故D正确. 【变式1】．（2026·甘肃金昌·三模）将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（    ） A．在上单调递减 B．的图象关于直线对称 C．的图象关于点对称 D．函数在内有5个零点 【答案】AC 【分析】根据给定的变换求出的解析式，再利用余弦函数的图象性质逐项分析判断. 【详解】依题意，， 对于A，当时，，而余弦函数 在上单调递减，因此在上单调递减，A正确； 对于B，，的图象关于直线不对称，B错误； 对于C，，的图象关于点对称，C正确； 对于D，依题意，，而不成立， 则，解得， 由，得，则可取， 因此函数在内有4个零点，D错误. 【变式2】．（2026·河北沧州·二模）将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则下列说法正确的是（    ） A．直线是曲线的一条对称轴 B．点是曲线的一个对称中心 C．若和在上的单调性相同，则的最大值为 D．的最大值为 【答案】BC 【详解】将函数的图象向左平移个单位长度后得到，，由题意，所以或， ， 所以，或（不恒成立，舍去），又，所以， 所以，，由， 则直线不是曲线的一条对称轴，A错； 因为， 所以点是曲线的一个对称中心，B对； 由，则， 要使在上单调，由正弦函数在上单调递减，可知，所以， 若和在上的单调性相同，由余弦函数在上单调递减， 可知，所以，则的最大值为，C对； 因为，， 所以，其最大值为，D错. 题型八：三角函数的w范围问题 【典例8】．（2026·北京昌平·二模）设函数（是常数，），若在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】函数，.由正弦函数单调性，令，， 解得单调递减区间为，.已知在上单调递减，故.即，，即当时(取)以代入得 既要大于等于又要小于等于,无交集,无解. 时,,不等式永远矛盾,无解.当(取)以代入得 因为,而此处要求为负数,与矛盾,无解. 同理时,不可能满足.所以取得，化简得. 综上，的取值范围是. 【变式1】．（2026·陕西铜川·三模）已知函数，，假如，，是曲线，上从左往右依次连续相邻的三个交点，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 所以将的图象向左平移个单位长度后可得到的图象，如图所示： 是与图象从左往右依次连续相邻的三个交点， 为等腰三角形，， 由，得 ，即 ， 又因为 解得， 故交点的纵坐标为， 过作交于点，由对称性可知， 为等腰三角形， ，， ，，得， ，解得 实数的取值范围为. 故选：B. 【变式2】．（2026·河北承德·一模）已知把函数（）的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变得到函数的图象，若在区间上有三个零点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题可知，令，即，即， 所以，或，解得，或，则非负根从小到大依次为，，，，⋯， 又因为在区间上有三个零点，所以，解得. 题型九:正余弦定理应用问题 【典例9】．（2026·山东烟台·二模）在中，角A，B，C所对的边分别为，且，若的面积为，则的值为（   ） A．10 B．5 C． D． 【答案】D 【详解】由，结合二倍角正弦公式得， 又，且，则或， 所以或， 当，则，此时，且，显然不存在， 当，则，且且，则， 由， 又， 所以，则，故（负值舍去）. 【变式1】．（2026·陕西榆林·三模）已知的内角的对边分别为．若，且，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由正弦定理：，所以，又，所以，， 因为，所以是锐角，，当是锐角时，，与条件不符，所以是钝角， ， 所以． 【变式2】．（2026·江苏苏州·二模）已知中，分别是角的对边，的面积，角的平分线交于点，且，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以， 又，则，化简得， 由正弦定理得， 因为， 所以，整理得， 又，，所以或， 若，即，不满足条件，则，即， 因为为的平分线，所以， 因为，所以， 在中，① 又因为，， 所以， 即， 化简得② ①代入②得，解得，（舍去）， 所以， 在中，由余弦定理， 所以． 题型十：解三角形中边角互化 【典例10】．（2026·江苏·模拟预测）记的三个内角所对的边分别为，已知，，,则的面积为__________． 【答案】 【详解】已知，则， 又由正弦定理有， 又由余弦定理有，化简得①， 已知， 则由余弦定理有，化简得②， 联立①②及，解得，， 又由余弦定理有， 又在中，，所以， 故的面积为． 【变式1】．（2026·云南昭通·二模）记的面积为，的外接圆半径为，且，则___________． 【答案】4 【分析】根据正弦定理、余弦定理及三角形面积公式求解即可. 【详解】由正弦定理知，所以，，. 则， 由余弦定理知，则 又，所以. 又，，所以， 所以. 【变式2】．（23-24高三上·四川成都）已知面积为的锐角其内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且，则边c的最小值为______． 【答案】2 【详解】， , 由正余弦定理可得：， 化简得， 由余弦定理可得，即， 又，故， 所以，其中， 令，， 当时，，则，单调递减， 当时，，则，单调递增，、 所以，所以， 即，当时，等号成立. 故答案为：2 题型十一：三角形周长或者边长范围问题 【典例11】．（2026·河南·模拟预测）在中，角、、所对的边分别为、、，且. (1)求角的大小； (2)若点是上一点，且平分 ①用，表示的长； ②求的取值范围. 【答案】(1) (2)①② 【详解】（1）由和正弦定理，可得， 又，所以， 代入式得，因为，所以， 可得，即，又，所以； （2）如下图：①因为平分，则， 由，可得 化简得，则； ②因为平分，所以，即，解得， 则由正弦定理， ， 因，则，，则，即， 故的取值范围是. 【变式1】．（2026·安徽合肥·三模）记的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若是锐角三角形，求的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【详解】（1）由正弦定理， 为外接圆半径. 因为，所以， 即，化简为， 即，因为，所以． （2）因为，所以， 又， 所以． 又是锐角三角形，则，解得， 所以，. 所以的取值范围为． 【变式2】．（2026·重庆北碚·模拟预测）在锐角中，角的对边分别为， . (1)求角； (2)已知，求周长的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题设及正弦边角关系知，得， 整理得，故，又，所以； （2）由（1）知，， 由于是锐角三角形，则，则， 由正弦定理得，即，. 又，故的周长为， .，而在上单调递减， 所以的周长的取值范围为. 题型十二：三角形面积范围问题 【典例12】．（2026·湖南浙江·模拟预测）在中，角的对边分别为，且． (1)求的大小； (2)若为锐角三角形且，求面积的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，所以， 所以，， 整理得， 在中，，所以， 故， 因为，所以， 又，故. （2）由正弦定理得， 所以，. 因为，所以. 三角形为锐角三角形，故， 解得. 三角形面积， 又， 所以 ， 因为，所以，则. 因此. 【变式1】．（2026·四川德阳·二模）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知该三角形的面积． (1)求角B的大小； (2)若时，求△ABC面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）在中，，而，即， ，由余弦定理得， 所以. （2）由（1）知，，，而，于是， 即，当且仅当时取等号， 因此的面积， 所以当时，面积取得最大值. 【变式2】．（25-26高三上·广东深圳·月考）记锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. (1)证明：； (2)若， （i）求周长的最大值； （ii）求面积的取值范围. 【详解】（1）由余弦定理得， 又，所以，即 由正弦定理得， 因为，所以， 由为锐角三角形， 得， 两边取倒数得. （2）（i） 因为，所以，即，当且仅当时等号成立， 所以，即， 所以，当且仅当时等号成立，满足为锐角三角形， 所以周长的最大值为. （ii）成立，即为锐角，且， 由为锐角得及， 解得，即 的面积为， 因为， 令，，则二次函数开口向下，对称轴为， 在上单调递增，在上单调递减，又，， 所以，即， 所以，即， 所以，即面积的取值范围为. 题型十三：几何图形计算问题 【典例13】．（2026·河南郑州·二模）如图，在中，为边上的一点，满足，且． (1)求； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）在中，由正弦定理可得，则， 在中，由正弦定理可得，则， 故， 由，则， 则，故； （2）设，则，， 在中，由余弦定理可得， 在中，由余弦定理可得，由（1）知，则，故，解得. 【变式1】．（2026·吉林·三模）在平面四边形中，，. (1)若. （i）若A，B，C，D四点共圆M，求； （ii）求四边形面积S的最大值. (2)若，，与交于点.记，求当为何值时，. 【答案】(1)（i）；（ii） (2) 【详解】（1）设，，其中， 在中，由余弦定理可得； 在中，由余弦定理可得； 即，可得. （i）若A，B，C，D四点共圆M，则， 可得，， 由可得，即， 则，即； （ii）因为四边形面积， 即，且， 又因为， 当且仅当时，等号成立 即，解得， 所以四边形面积S的最大值为. （2）在中，由余弦定理可得， 即， 则，即， 因为，可知A，B，C，D四点共圆，且圆的半径， 则， 且，可知， 若，则， 即，可得， 又因为，则，可得，解得， 所以当时，. 【变式2】．（25-26高三上·山东德州·期中）如图，在中，角，，的对边分别为，，，且，，为内一点，． (1)求角的大小； (2)若，求； (3)若，求 【答案】(1) (2) (3)或 【详解】（1）因为，所以，即. 又因为，所以，由余弦定理， 所以，又，所以. （2）在中，因为， 所以，，设，易知,故，，在中，由正弦定理得， 化简得，所以，即. （3）设， 在中，由余弦定理得： 即，所以， 由，得：， 解得：或， 若，得：，由，则，所以 若，得：，由，则，所以. 题型十四：三角函数和解三角的综合性问题 【典例14】．（2026·广东广州·模拟预测）如图，在中，内角的对边分别为．若， (1)求证：； (2)求面积的最大值； (3)，为直线上的两个动点，连接，．记点在每个位置时，的最小值为．若，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)3 (3) 【详解】（1）由可得， 化简得 ，即，再结合正弦定理得. （2） 以中点为原点建系，则，设 由，即，有 化简得点轨迹方程：， 所以当点在时，面积有最大值. 面积的最大值为. （3）由余弦定理可知： 当且仅当时，有最小值. 由图：设边上的高为， , 当时，，此时， 当时，此时， 当时，此时 ， ，． 【变式1】．（2026·上海普陀·二模）设的内角，，的对边分别为，，，且. (1)求角的大小； (2)点、分别满足，，，，求的值. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）因为， 设外接圆半径为，由正弦定理，，， 代入可得， 所以,即， 因为在中，，所以，即， 因为，所以，所以，化简得：， 解得，即，因为，所以. （2）由，所以， 所以，即，同理由得， 所以是的外心，所以， 因为同弧所对的圆周角是圆心角的一半， 所以，，所以, 所以 ， ， ， 得到， 而，所以， 因为，所以，得， 而，所以， 由正弦定理，所以， 又因为，所以， 化简得，所以， 所以， 因为，所以， 代入计算，所以. 【变式2】．（2026·广东汕头·二模）函数在的大致图象如图所示，将曲线向右平移个单位，再把所得曲线上各点的横坐标伸长为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象. (1)求函数的解析式； (2)设，解不等式； (3)设，若关于的方程有解，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：由函数图象可知， 又因为附近函数单调递增， 所以，解得， 故， 所以，. （2）, , 即，化简，得 因为恒成立，所以，, 又，，解得，，或， 所以，，或，解集为 （3）即 , 运用和差化积公式化简，得 ，，即 因为，，由于时，，不满足题意，故， 所以，，故 由，可得, ，解得， 的取值范围是 【高考达标】 一、单选题 1．（2026·广东汕头·二模）的值为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】根据结合两角和差的正切公式运算求解. 【详解】因为， 整理可得. 2．（2026·广东广州·模拟预测）已知函数的最小正周期为，若，是偶函数，则的值可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题目条件，推导出函数的表达式，进而求出的可能值. 【详解】已知函数的最小正周期为，则根据正弦函数的周期公式，有，解得， 所以函数，又因为，且，即，解得， 因此，则， 由于是偶函数，则，解得， 则的可能值为，故A正确. 3．（2026·甘肃张掖·模拟预测）某船行驶到甲地看1号灯塔时，在甲地的北偏东方向上，两地相距n mile；在甲地看2号灯塔时，在甲地的南偏西方向上，两地相距4n mile．该船由甲地向正南航行到乙地时，再看1号灯塔，则1号灯塔在乙地的北偏东方向上，则2号灯塔与乙地之间的距离是（    ） A．6n mile B．7n mile C．n mile D．n mile 【答案】D 【分析】先在中，利用正弦定理求得AC，再在中，利用余弦定理求解BC即可. 【详解】在中，， 由正弦定理得 n mile， 在中，， 由余弦定理得， 所以 n mile. 4．（2026·广东广州·模拟预测）在中，，点在线段上，，则面积的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过设角表示线段长度，将面积转化为三角函数形式，利用三角函数的取值范围确定面积的最小值，从而得到取值范围. 【详解】设，，则. 由，得，，故. 所以面积的取值范围是. 5．（2026·湖北·模拟预测）已知函数，若使得的图象在点处的切线与轴平行，则的最小值是（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】由题意可得，使得点为的最高点或最低点，再利用正弦型函数性质计算即可得. 【详解】当时，， 若的图象在点处的切线与轴平行， 则点为的最高点或最低点， 由，要使得最小，则或， 分别解得或，由，故的最小值是. 6．（2026·陕西宝鸡·模拟预测）已知函数的最小正周期为，将的图象向下平移2个单位长度后，再将横坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象，则的一个单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 最小正周期，得， 即，图象向下平移2个单位长度后得到函数，横坐标伸长到原来的2倍后得到函数， A.当，，此区间先减后增，故A错误； B. 当，，是正弦函数减区间的子集，故B错误； C. 当，，是正弦函数增区间的子集，故C正确； D.当，，此区间先增后减，故D错误； 7．（2026·天津北辰·二模）已知函数，的部分图象如图所示，给出下列命题： ①的图象关于直线对称 ②的图象关于点对称 ③将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象 ④若方程在上有两个不相等的实数根，则m的范围是 则上述命题中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【详解】由题意得，最小正周期满足，即， 则，即， 代入得，即， 由此可得，解得， 因为，令，则， 综上，， 对于①，若为对称轴，则或， 代入得， 因为或，故①错误； 对于②，若的图象关于点对称，则， 代入得， 因为，故②错误； 对于③，设， 则，故③错误； 对于④，若，则，设，， ，即， 则与在上有两个交点， 即，解得，故④错误. 所以有0个命题正确. 二、多选题 8．（2026·宁夏银川·模拟预测）已知函数，的部分图象如图所示，下列选项正确的是（ ） A．的图象关于直线对称 B．的图象关于点对称 C．将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象 D．若方程在上有两个不相等的实数根，则m的范围是 【答案】CD 【详解】由题意得，最小正周期满足，即，则，即， 代入得，即，由此可得，解得， 因为，令，则，综上可得， 对A，若为对称轴，则或， 代入得， 因为或，故A错误； 对B，若的图象关于点对称，则， 而代入得， 因为，故B错误； 对C，函数的图象向左平移个单位得到的函数为，故C正确； 对D，若，则， 令，即， 则与在上有两个交点，如下图可得， 解得，故D正确.    9．（2026·湖南湘潭·三模）已知，且，则下列结论正确的是（    ） A．“”是“”的充要条件 B．的取值范围为 C．若，则的最大值为 D．的最大值为 【答案】ABD 【详解】选项，若，则显然；若，则，整理得，由，得，则，则正确． 选项,，由，得，则，则的取值范围为，正确． 选项,由，得，则，不正确． 选项,，当且仅当时，等号成立，正确． 10．（2026·江西·二模）已知函数图象的某个零点与其相邻对称轴间的距离为，且恒成立，则下列结论正确的是（   ） A．在区间上单调递减 B．在区间上有两个极值点 C．直线与的图象相切 D．在的图象与函数的图象所有交点的横坐标之和为 【答案】BCD 【详解】由函数图象的某个零点与其相邻对称轴间的距离为，得，解得， 由恒成立，得当时，函数取得最小值， 则，而，因此，函数， 对于A，由，得，而函数在上不单调， A错误； 对于B，，由，得， 函数在上有两个变号零点，因此在上有两个极值点，B正确； 对于C，设直线与的图象相切于点， 则，即，， 解得或， 当时，切点为， 于是，解得，即直线与的图象相切，切点为； 当时，切点为，于是， 即，此方程整数无解， 综上，直线与的图象相切，切点为，C正确； 对于D，函数的图象关于点对称，函数， 由，得，即函数的图象关于点对称， 而区间的中点为，因此在上两函数图象有8个交点， 它们两两关于点对称，设这8个交点的横坐标分别为， 因此，D正确. 11．（2026·江苏·二模）已知在中，.设函数，则（    ） A． B．在区间上单调递增 C． D．在区间上有且仅有3个零点 【答案】AC 【分析】A根据求出；B、D利用辅助角公式化简，结合正弦函数的性质判断；C计算即可. 【详解】因为，所以， 所以， 因为，所以， 则在中，，故A正确； ， 若，则， 因为正弦函数在上不单调，所以在区间上不单调，故B错误； 因为， 所以，故C正确； 若，则， 因为正弦函数在上存在个零点， 所以在区间上有且仅有2个零点，故D错误. 12．（2026·河南开封·模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中，角A的平分线交BC于点D，且，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．的最小值为 D．内切圆半径的最大值为 【答案】ABD 【详解】选项A，由， 可得： 因为 所以，是三角形内角，故，即，A正确； 选项B，是角平分线，，， 由可得： ， 代入，整理得：，即，B正确； 选项C，由，利用基本不等式：， 当且仅当时，最小值为，C错误； 选项D，设内切圆半径为，是面积，是半周长， ，， 由内切圆半径公式，可得. 由余弦定理：， 设，， ， 随减小而增大，当取最小值时， 代入得， D正确. 三、填空题 13．（2026·湖南长沙·模拟预测）若，且，则______. 【答案】或 【分析】由，利用两角和余弦公式化简求解. 【详解】 ， 结合， 所以，即或. 因为，得或，即或. 14．（2026·辽宁铁岭·模拟预测）在中，，点D满足，，，则的内切圆半径为________． 【答案】 【分析】记，根据已知有，结合余弦定理、二倍角余弦公式得、，最后应用等面积法求内切圆半径即可. 【详解】显然，记，则， 所以，可知， 由等腰三角形性质得，即，且为锐角，得， 由余弦定理得， 则， 故的内切圆半径． 15．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知函数在内恰好有一个极值点，则正实数的取值范围是_____. 【答案】 【详解】利用辅助角公式：得， 极值点出现在的对称轴处， 令， 解得：， 当时，， 当时，， 当时，，更大， 当时，，不在区间内， 要使在区间内恰好有一个极值点， 必须满足：，解得：. 16．（2026·湖北武汉·一模）在锐角中，角，，的对边分别为，，．已知，，成等差数列，且，若是外接圆的圆心，则的取值范围为_________________. 【答案】 【详解】由题意得，， 则由正弦定理得， 因为，所以，则，则， 因为，所以， 则， 因为，所以， 设的外接圆半径为，，则，则， 又因为， 故和面积之差为 ， 因为，所以，则， 故当时，；当时，当时， 故和面积之差的取值范围为 四、解答题 17．（2026·重庆渝中·三模）在锐角 中，角 所对边分别为 且满足 . (1)求 ； (2)若的角平分线交 于点 ，求 的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角变换可得，从而可求； （2）根据面积关系可得，结合基本不等式可求 的最小值. 【详解】（1）因为， 故， 整理得，而为锐角三角形， 故，故，故. （2）因为， 所以， 而，故， 故，即， 故，故， 当且仅当时等号成立，故的最小值为. 18．（2026·湖北·模拟预测）中，为边上一点，且，，． (1)若，求的长； (2)若，求的长． 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）在中，设，则， 由余弦定理得，即， 整理得，解得或， 当时，，符合题意， 当时，，符合题意， 所以的长为或. （2）由，得，所以， 因为，，所以，设，则， 由余弦定理得，， 即①，②， 因为，所以， 所以由①②可得，解得，所以. 19．（2026·吉林长春·三模）在中，内角的对边分别为，且满足. (1)求角的大小； (2)若为锐角三角形，且外接圆的半径为，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，由正弦定理可得 ， 则 ，即， 又因为， 则， 即， 且，则，即，可得， 又因为，则， 可得，所以. （2）由正弦定理得，则， 由余弦定理得，即， 可得， 又因为 ， 因为为锐角三角形，则，解得， 则，可得， 则，可得，即， 所以的取值范围为. 20．（2026·湖南长沙·二模）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，. (1)求B； (2)若D为外一点，B，D分别位于直线的两侧，，，，求的面积. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，所以 ， 由正弦定理可得， 所以，所以， 又，则，所以， 则，，所以． （2）由（1）知，，，在中，由正弦定理得，， 所以. 又，，，所以， 故，即. 又，所以，所以. 又， 所以的面积为. 21．（2026·浙江温州·二模）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求B； (2)若，点D在AC上，直线BD上一点P满足，在点C和点D的变化过程中， （ⅰ）求的最小值； （ⅱ）当最小时，求的值． 【答案】(1) (2)（i） （ii） 【详解】（1）在中，因为，所以，代入得到， 由正弦定理得，由余弦定理得， 化简得，又，，所以 （2）（i）因为，所以，所以 如图，建立平面直角坐标系 此时， 设， 因为，所以 设， 代入得， 整理得，解得 ，当且仅当取得等号 又因为，当且仅当取得等号， 所以的最小值为 （ii）此时，所以直线， ，所以直线， 联立，解得，所以 22．（2026·安徽安庆·二模）在中，角的对边分别为， ，点为边上一点. (1)求角的大小； (2)若是边上靠近点的一个三等分点，，求实数的取值范围. 【答案】(1)；(2). 【详解】（1）因为， 即， 所以， 即， 所以， 即， 由余弦定理可得， 又因为，所以； （2）由题意可得， 所以, 所以, 即， 又因为， 所以， 即， 所以， 即 ， ， 因为，所以， 所以， 所以， 即， 所以，即， 又因为， 所以， 所以实数的取值范围为. 23．（2026·陕西榆林·三模）已知函数的图象与函数的图象的一个交点为，且函数的最小正周期是函数最小正周期的2倍． (1)求函数的单调递增区间； (2)若在等比数列中，，数列的前项和为，求满足的的最小值． 【答案】(1) (2)7. 【详解】（1），的最小正周期为； 函数的最小正周期是函数最小正周期的2倍，的最小正周期为； ，； 函数的图象与函数的图象的一个交点为，. ，即，解得或； ，； . 令，得； 的单调递增区间为． （2）设等比数列的公比为. ，，由，得，解得； ． ，； ； 当时，；当时，；当时，； . ，，即； ； ，的最小值为7. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲：三角函数和解三角形 【题型归纳】 · 题型一：三角函数定义的应用 · 题型二：三角函数的基本关系 · 题型三：齐次化求值 · 题型四：弦切互化法求值 · 题型五：三角恒等式变换及其应用 · 题型六：代入法妙解三角函数性质问题 · 题型七：三角函数的平移变换问题 · 题型八：三角函数的w范围问题 · 题型九:正余弦定理应用问题 · 题型十：解三角形中边角互化 · 题型十一：三角形周长或者边长范围问题 · 题型十二：三角形面积范围问题 · 题型十三：几何图形计算问题 · 题型十四：三角函数和解三角的综合性问题 【题型归纳】 题型一：三角函数定义的应用 【典例1】．（2026·河北沧州·模拟预测）已知角的终边过点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式1】．（2026·重庆渝中·模拟预测）已知角的终边与圆交于点，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】．（2026·北京丰台·一模）已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆的交点为，且，若点为角的终边所在直线上的一点，则（   ） A． B． C． D． 题型二：三角函数的基本关系 【典例2】．（2026·湖北黄冈·模拟预测）若，，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】．（2026·天津南开·二模）已知时，的最小值为（   ） A． B．3 C． D． 【变式2】．（2026·湖南永州·三模）已知，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 题型三：齐次化求值 【典例3】．（2025·云南·三模）已知角的终边过点，则__________． 【变式1】．（2025·陕西榆林·模拟预测）若，则__________. 【变式2】．（2025·广东江门·一模）若，则________. 题型四：弦切互化法求值 【典例4】．（2026·湖南湘潭·二模）已知，，则______. 【变式1】．（2026·河北·二模）已知，则_____． 【变式2】．（2025·山东·三模）已知，则______. 题型五：三角恒等式变换及其应用 【典例5】．（2026·河南开封·模拟预测）已知，若，则（   ） A．0 B．1 C． D．-1 【变式1】．（2026·河北承德·模拟预测）已知，，且，，则的值为_______． 【变式2】．（2026·湖北鄂州·模拟预测）若，则___________． 题型六：代入法妙解三角函数性质问题 【典例6】．（2026·云南昆明·二模）已知函数．则下列结论正确的有（    ） A．的最大值为 B．在区间上单调递减 C．把函数的图象上所有点向右平移个单位长度，可得到函数的图象． D．若函数的图象关于轴对称，则正数的最小值为 【变式1】．（2026·河北·二模）已知函数，，则下列结论正确的是（   ） A． B．的图象关于直线对称 C．在上的值域为 D．若的图象与的图象在上有公共点，则的取值范围为 【变式2】．（2026·山东日照·二模）将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若是的一个单调递增区间，则（   ） A．的最小正周期为 B．在上单调递增 C．函数的最大值为1 D．方程在上有5个实数根 题型七：三角函数的平移变换问题 【典例7】．（2026·河南开封·模拟预测）已知函数与函数的图象关于直线对称，将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则下列说法正确的是（   ） A． B．在上单调递增 C．的图象与的图象重合 D．若的图象关于y轴对称，则的最小值为 【变式1】．（2026·甘肃金昌·三模）将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（    ） A．在上单调递减 B．的图象关于直线对称 C．的图象关于点对称 D．函数在内有5个零点 【变式2】．（2026·河北沧州·二模）将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则下列说法正确的是（    ） A．直线是曲线的一条对称轴 B．点是曲线的一个对称中心 C．若和在上的单调性相同，则的最大值为 D．的最大值为 题型八：三角函数的w范围问题 【典例8】．（2026·北京昌平·二模）设函数（是常数，），若在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．（2026·陕西铜川·三模）已知函数，，假如，，是曲线，上从左往右依次连续相邻的三个交点，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2】．（2026·河北承德·一模）已知把函数（）的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变得到函数的图象，若在区间上有三个零点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 题型九:正余弦定理应用问题 【典例9】．（2026·山东烟台·二模）在中，角A，B，C所对的边分别为，且，若的面积为，则的值为（   ） A．10 B．5 C． D． 【变式1】．（2026·陕西榆林·三模）已知的内角的对边分别为．若，且，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（2026·江苏苏州·二模）已知中，分别是角的对边，的面积，角的平分线交于点，且，，则（   ） A． B． C． D． 题型十：解三角形中边角互化 【典例10】．（2026·江苏·模拟预测）记的三个内角所对的边分别为，已知，，,则的面积为__________． 【变式1】．（2026·云南昭通·二模）记的面积为，的外接圆半径为，且，则___________． 【变式2】．（23-24高三上·四川成都）已知面积为的锐角其内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且，则边c的最小值为______． 题型十一：三角形周长或者边长范围问题 【典例11】．（2026·河南·模拟预测）在中，角、、所对的边分别为、、，且. (1)求角的大小； (2)若点是上一点，且平分 ①用，表示的长； ②求的取值范围. 【变式1】．（2026·安徽合肥·三模）记的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若是锐角三角形，求的取值范围． 【变式2】．（2026·重庆北碚·模拟预测）在锐角中，角的对边分别为， . (1)求角； (2)已知，求周长的取值范围. 题型十二：三角形面积范围问题 【典例12】．（2026·湖南浙江·模拟预测）在中，角的对边分别为，且． (1)求的大小； (2)若为锐角三角形且，求面积的取值范围． 【变式1】．（2026·四川德阳·二模）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知该三角形的面积． (1)求角B的大小； (2)若时，求△ABC面积的最大值． 【变式2】．（25-26高三上·广东深圳·月考）记锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. (1)证明：； (2)若， （i）求周长的最大值； （ii）求面积的取值范围. 题型十三：几何图形计算问题 【典例13】．（2026·河南郑州·二模）如图，在中，为边上的一点，满足，且． (1)求； (2)若，求的值． 【变式1】．（2026·吉林·三模）在平面四边形中，，. (1)若. （i）若A，B，C，D四点共圆M，求； （ii）求四边形面积S的最大值. (2)若，，与交于点.记，求当为何值时，. 【变式2】．（25-26高三上·山东德州·期中）如图，在中，角，，的对边分别为，，，且，，为内一点，． (1)求角的大小； (2)若，求； (3)若，求 题型十四：三角函数和解三角的综合性问题 【典例14】．（2026·广东广州·模拟预测）如图，在中，内角的对边分别为．若， (1)求证：； (2)求面积的最大值； (3)，为直线上的两个动点，连接，．记点在每个位置时，的最小值为．若，求的取值范围． 【变式1】．（2026·上海普陀·二模）设的内角，，的对边分别为，，，且. (1)求角的大小； (2)点、分别满足，，，，求的值. 【变式2】．（2026·广东汕头·二模）函数在的大致图象如图所示，将曲线向右平移个单位，再把所得曲线上各点的横坐标伸长为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象. (1)求函数的解析式； (2)设，解不等式； (3)设，若关于的方程有解，求的取值范围. 【高考达标】 一、单选题 1．（2026·广东汕头·二模）的值为（   ） A． B． C．1 D． 2．（2026·广东广州·模拟预测）已知函数的最小正周期为，若，是偶函数，则的值可以是（   ） A． B． C． D． 3．（2026·甘肃张掖·模拟预测）某船行驶到甲地看1号灯塔时，在甲地的北偏东方向上，两地相距n mile；在甲地看2号灯塔时，在甲地的南偏西方向上，两地相距4n mile．该船由甲地向正南航行到乙地时，再看1号灯塔，则1号灯塔在乙地的北偏东方向上，则2号灯塔与乙地之间的距离是（    ） A．6n mile B．7n mile C．n mile D．n mile 4．（2026·广东广州·模拟预测）在中，，点在线段上，，则面积的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（2026·湖北·模拟预测）已知函数，若使得的图象在点处的切线与轴平行，则的最小值是（    ） A． B．1 C． D．2 6．（2026·陕西宝鸡·模拟预测）已知函数的最小正周期为，将的图象向下平移2个单位长度后，再将横坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象，则的一个单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 7．（2026·天津北辰·二模）已知函数，的部分图象如图所示，给出下列命题： ①的图象关于直线对称 ②的图象关于点对称 ③将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象 ④若方程在上有两个不相等的实数根，则m的范围是 则上述命题中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、多选题 8．（2026·宁夏银川·模拟预测）已知函数，的部分图象如图所示，下列选项正确的是（ ） A．的图象关于直线对称 B．的图象关于点对称 C．将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象 D．若方程在上有两个不相等的实数根，则m的范围是 9．（2026·湖南湘潭·三模）已知，且，则下列结论正确的是（    ） A．“”是“”的充要条件 B．的取值范围为 C．若，则的最大值为 D．的最大值为 10．（2026·江西·二模）已知函数图象的某个零点与其相邻对称轴间的距离为，且恒成立，则下列结论正确的是（   ） A．在区间上单调递减 B．在区间上有两个极值点 C．直线与的图象相切 D．在的图象与函数的图象所有交点的横坐标之和为 11．（2026·江苏·二模）已知在中，.设函数，则（    ） A． B．在区间上单调递增 C． D．在区间上有且仅有3个零点 12．（2026·河南开封·模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中，角A的平分线交BC于点D，且，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．的最小值为 D．内切圆半径的最大值为 三、填空题 13．（2026·湖南长沙·模拟预测）若，且，则______. 14．（2026·辽宁铁岭·模拟预测）在中，，点D满足，，，则的内切圆半径为________． 15．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知函数在内恰好有一个极值点，则正实数的取值范围是_____. 16．（2026·湖北武汉·一模）在锐角中，角，，的对边分别为，，．已知，，成等差数列，且，若是外接圆的圆心，则的取值范围为_________________. 四、解答题 17．（2026·重庆渝中·三模）在锐角 中，角 所对边分别为 且满足 . (1)求 ； (2)若的角平分线交 于点 ，求 的最小值. 18．（2026·湖北·模拟预测）中，为边上一点，且，，． (1)若，求的长； (2)若，求的长． 19．（2026·吉林长春·三模）在中，内角的对边分别为，且满足. (1)求角的大小； (2)若为锐角三角形，且外接圆的半径为，求的取值范围. 20．（2026·湖南长沙·二模）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，. (1)求B； (2)若D为外一点，B，D分别位于直线的两侧，，，，求的面积. 21．（2026·浙江温州·二模）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求B； (2)若，点D在AC上，直线BD上一点P满足，在点C和点D的变化过程中， （ⅰ）求的最小值； （ⅱ）当最小时，求的值． 22．（2026·安徽安庆·二模）在中，角的对边分别为， ，点为边上一点. (1)求角的大小； (2)若是边上靠近点的一个三等分点，，求实数的取值范围. 23．（2026·陕西榆林·三模）已知函数的图象与函数的图象的一个交点为，且函数的最小正周期是函数最小正周期的2倍． (1)求函数的单调递增区间； (2)若在等比数列中，，数列的前项和为，求满足的的最小值． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $