题型专题02 三角函数、解三角形与恒等变换3类题型解密（抢分专练）（上海专用）2026年高考数学终极冲刺讲练测

专题02 三角函数、解三角形与恒等变换 题型 考情分析 考向预测 1.三角恒等变换 2025年上海卷：T5考查了三角恒等变换；T17考查解三角形 2024年上海卷：T5考查了解三角形；T18考查三角函数性质 2023年上海卷： T4考查三角恒等变换；T15考查三角函数的性质。 三角函数的值域与最值：可能结合函数的单调性、周期性，或是给定区间条件，求解函数的最值，也可能穿插含参问题增加些许难度。 2.三角函数图象及性质 3.解三角形 题型1 三角恒等变换 1.三角函数式化简的原则 2.三角函数式化简的方法 化简三角函数式的常见方法有弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂与升幂等. 3.三角恒等变换常用结论 （1）sin2α＝，cos2α＝； （2）1＋cos 2α＝2cos2α，1－cos 2α＝2sin2α； （3） tan α±tan β＝tan（α±β）（1∓tan αtan β）. 【例1】（2026·上海静安·二模）若，则______． 【答案】 【解析】， 故. 【变式1-1】（25-26高一下·上海普陀·月考）已知为第三象限角，，则________. 【答案】 【解析】因为是第三象限角，所以. 由，解得： 所以. 【变式1-2】（25-26高三下·上海金山·月考）已知，则________. 【答案】/0.6 【解析】因为，所以. 【变式1-3】（25-26高一下·上海·期中）若，，且，，则的值为________. 【答案】 【解析】因为，，则，， 又因为，则， 由二倍角正切公式可得， 所以，， 因为，，则，即， 又因为，所以， 因此，. 题型2三角函数的图象和性质 1.三角函数的单调性 (1)求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式进行化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减” (2)求形如y＝Asin（ωx＋φ）＋B或y＝Acos（ωx＋φ）＋B(其中ω>0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解，如果ω<0，那么一定要先借助诱导公式将x的系数化为正数 (3)已知三角函数的单调区间求参数，先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解. 2.三角函数的奇偶性相关的结论 （1）若y＝Asin（ωx＋φ）为偶函数，则有φ＝kπ＋（k∈Z）；若为奇函数，则有φ＝kπ（k∈Z）； （2）若y＝Acos（ωx＋φ）为偶函数，则有φ＝kπ（k∈Z）；若为奇函数，则有φ＝kπ＋（k∈Z）； （3）若y＝Atan（ωx＋φ）为奇函数，则有φ＝kπ（k∈Z）. 3.三角函数图象的对称轴和对称中心的求法　 求三角函数图象的对称轴及对称中心，须先把所给三角函数式化为y＝Asin（ωx＋φ）＋b或y＝Acos（ωx＋φ）＋b的形式，再把（ωx＋φ）整体看成一个变量. （1）若求f（x）＝Asin（ωx＋φ）（ω≠0）图象的对称轴，则只需令ωx＋φ＝＋kπ（k∈Z），求x； （2）若求f（x）＝Asin（ωx＋φ）（ω≠0）图象的对称中心的横坐标，则只需令ωx＋φ＝kπ（k∈Z），求x. 【例2】（新考法）（2026·上海杨浦·二模）已知函数（常数）. (1)若，在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c.若，，求角B的大小； (2)若的最小正周期为π，将其图像向左平移个单位，再向上平移个单位得到函数的图像.当时恒有，求的取值范围. 【解】（1）时，函数，，， 中，，所以， ，由正弦定理可得，， 由，所以. （2）函数（常数），的最小正周期为π， 所以，得，即， 所以， 时，，则有，此时， 当时恒有，则有，解得， 所以的取值范围为. 【变式2-1】（2026·上海松江·模拟预测）已知函数的表达式为. (1)若将函数的图像向右平移个单位长度，得到函数的图像关于直线对称，求的最小值； (2)若函数在区间上恰有2个极值点和2个零点，求实数m的取值范围. 【解】（1）由， 当函数右移个单位得，则 ， 由关于对称，可得： ， 整理得：，又，取得最小正数， 即的最小值为； （2）由（1）可得：， 当，令， 再由的零点满足：或，， 不妨取，可得两个正数零点是或，依次增大的第三个正数零点是， 再由的极值点满足：，， 同理可得两个正数极值点是，依次增大的第三个正数极值点是， 所以函数在区间上恰有2个极值点和2个零点， 即满足在内取到，，，，不能取到和， 则， 即所求实数m的取值范围. 【变式2-2】（2026·上海闵行·一模）已知函数，（，，），其部分图象如图所示. (1)求的解析式； (2)在中，分别是角的对边，若，成等差数列，判断的形状． 【解】（1）由图知：， ，因为，所以， ，所以，解得， 由得，所以， 所以. （2）因为且，所以， 因为成等差数列，所以， 由正弦定理得， 因为，所以， 将代入得， 展开得， 即， 即， 因为，所以， 所以，所以为等边三角形. 【变式2-3】（2026·上海长宁·一模）已知函数． (1)若函数的最小正周期为，求的值及的单调递减区间； (2)设，求函数在区间上的值域． 【解】（1）因为函数的最小正周期为， 所以，解得. 所以. 要求的单调递减区间，令， 解得，即的单调递减区间为. （2）因为，所以， 所以. 由得， 由正弦函数的性质可得，所以， 所以函数在区间上的值域为． 题型3 解三角形 1.正弦定理：在△ABC中，＝＝＝2R（R为△ABC的外接圆半径）.变形：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C，sin A＝，sin B＝，sin C＝，a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C等. 2.余弦定理：在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccos A.变形：b2＋c2－a2＝2bccos A，cos A＝. 3.三角形的面积公式：S＝absin C＝acsin B＝bcsin A. 4.解与三角形有关的最值（范围）问题的基本步骤 （1）定基本量：根据题意和已知图形，选择相关的边、角作为基本变量，确定基本变量的范围； （2）构建函数：将待求范围变量，利用正、余弦定理或三角恒等变换转化为基本变量的函数； （3）求最值：利用函数有界性、单调性或基本不等式求最值. 【例3】（2026·上海·模拟预测）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 (1)求的值； (2)若，为钝角，求面积的最大值． 【解】（1）由题意可知，， 由正弦定理得， 因为，所以，即； （2）由（1）可知， 所以（不符合题意舍去）或， 在中，由余弦定理得， 因为且，即， 当且仅当时取等号，即， 故的面积， 即面积的最大值为. 【变式3-1】（2026·上海松江一模）在三角形中，内角所对边分别为，已知. (1)求角的大小； (2)若，三角形的面积为，求三角形的周长. 【解】（1）由正弦定理得，所以 所以，整理得， 因为，所以，因此，所以， 所以. （2）由的面积为，得，解得， 又,则，. 由余弦定理得，解得，， 所以的周长为. 【变式3-2】（2026·上海金山·一模）在中，、、分别是内角、、的对边，，，. (1)求的值； (2)求的值. 【解】（1）由余弦定理知，即， 整理得，解得或（舍负），故. （2）∵，且，∴， 由正弦定理知，即，得， ∴. 【变式3-3】（25-26高三下·上海虹口·月考）在中，角的对边分别为，若且． (1)求角的大小； (2)若，在边上取一点，使得，求线段的长． 【解】（1）在中，由，得， 由，得为锐角，即，则，而， 所以. （2）由，得， 在中，由正弦定理得，解得， 在中，由余弦定理得， 即，而，解得， 所以线段的长为. 1．（2026·上海徐汇·二模）若，则______. 【答案】5 【解析】由， 则. 2．（2026·上海青浦·模拟预测）函数的值域是________. 【答案】 【解析】， 其中，则其值域为 3．（2026·上海徐汇·二模）已知，则的值为_____________. 【答案】 【解析】， 所以， 则. 4．（2026·上海浦东新·二模）若，则函数的最小正周期为____________． 【答案】 【解析】， 故最小正周期为. 5．（2026·上海静安·一模）在中，已知，则的值为__________. 【答案】/0.625 【解析】在中，由正弦定理得，而， 因此，即，所以. 6．（25-26高三上·上海浦东新·期末）在中，，，，则__________． 【答案】 【解析】在中，由，，得， 由正弦定理得，. 7．（2026·上海徐汇期末）在中，已知，，则的面积为（   ） A． B．4 C． D． 【答案】A 【解析】由，， 则，， ， 所以， 因，故， 则， 所以的面积为. 故选：A. 8．（2026·福建福州·模拟预测）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以，化简得： . 因为，所以. 所以. 所以. 故选：D. 9．（2026·上海黄浦·二模）已知． (1)求函数的最小正周期与单调增区间； (2)将函数的图象上的所有点沿向量平移，得到的图象．若同时满足：①图象关于点对称；②有且仅有个极大值点在区间上．求的取值范围． 【解】（1）因为， 所以函数的最小正周期为， 由，可得， 所以函数的单调增区间为． （2）由（1）知， 将函数的图象上的所有点沿向量平移，得到的图象， 所以， 由的图象关于点对称，可得， 所以，解得， 又，可知，故， 当时，， 由②知，解得， 故的取值范围是． 10．（2026·上海静安·一模）已知向量，，且． (1)求及； (2)记，求函数的最小值． 【解】（1）由题意得， 由于， 则 ， 因为，所以． （2）， 因为，则，则当，即时，该函数取得最小值． 11．（2026·上海普陀·一模）在中，内角所对的边分别为，且． (1)求角的大小； (2)设，，函数的表达式为，且，若在区间上恰有3次使得函数的值能取遍区间内的所有值，求的取值范围． 【解】（1）由已知条件得， 由正弦定理得， 又，则，因为，所以. （2）由得，， 又，则，又，则， 要在区间上恰有3次使得函数的值能取遍内的所有值， 则，即， 则所求的的取值范围是. 12．（2026·上海闵行·二模）已知. (1)当时，解方程； (2)若函数在上有唯一的极值点，求的取值范围，并判断这个极值点是极大值点还是极小值点. 【解】（1）当时，， 令，得，即，，解得, 故方程的解集为. （2）由题意得， 在区间上，，， 令，则， 在上单调递增，且， 若函数在上有唯一的极值点，则在该区间有唯一解， 即有唯一解，故的取值范围为， 设为该极值点， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以极值点为极大值点. 13．（25-26高三上·上海浦东新·期中）已知函数. (1)求的最小正周期和单调递增区间； (2)当时，求函数的最值（最大值与最小值）及相应的值. 【解】（1）， 则的最小正周期为， 令，则， 故单调递增区间为； （2）因为，则， 则当，即时，的最大值为； 当，即时，的最小值为. 14．（2026·上海金山·三模）已知，函数． (1)求函数的单调递增区间； (2)在中，若，且的面积为，求． 【解】（1）由题意，， ∴ . 由，可得， 所以的单调递增区间为. （2）由，得， 因为，所以，所以，即. 因为，所以，得. 又，所以， 即， 所以 即． 15．（2026·上海松江·三模）已知函数的图像相邻两个零点之间的距离为. (1)求的值及的解集； (2)在中，为的一个内角，若满足，，且，求周长. 【解】（1）由题设，则， 令或，， 所以或，，故解集为． （2）由题设，即，， 所以，，又是三角形内角，故， 由，即， 由，则，所以， 易得，所以周长为． 16．（2026·上海黄浦·二模）在中，，. (1)求的值； (2)若，求的周长和面积. （2）先利用正弦定理求得的的长，进而求得的周长和面积． 【解】（1）在中，，又， 则， 则. （2），又，， 则由正弦定理得， 则的周长为 的面积为． 17．（2026·上海·三模）在中，角，，所对边的边长分别为，，，且满足 (1)求角的值； (2)若，求周长的最大值. 【解】（1）因 ， 利用正弦定理：整理得 由于故 （2）由于利用余弦定理： ， 所以利用基本不等式： 整理得：，(当且仅当 时，等号成立） 所以 故三角形的周长的最大值为 18．（2025·上海普陀·二模）设，函数的表达式为. (1)若，设的内角的对边分别为，，且，求的面积. (2)对任意的，皆有成立，且该函数在区间上不存在最小值，求函数在的单调区间. 【解】（1）因为，所以， 所以，解得或， 所以或， 若，则，不符；所以， 所以，所以， 由， 得，所以， ； （2）由，得，所以，， 令，因为，所以， 又函数在无最小值，所以函数的最小正周期,所以， 所以，则，此时，符合题意， 所以， 令，所以， 当时，， 因为， 所以在单调递减，在单调递增. 19．（2026·上海闵行·二模）已知，函数的部分图像如图所示，图中最高点，最低点．    (1)求函数的解析式； (2)若的内角所对的边分别为，若，，求面积的取值范围． 【解】（1）因为图像经过，， 所以得周期，由得，. 又得，， 又因为， 所以，所以． （2）因为，又， 结合图像对称性可知：，则， 又，由正弦定理得：， 则， 所以 ， 由，，可得， 所以，则， 故， 于是可得的面积为， 故面积的取值范围为. 20．（2026·上海杨浦·一模）已知的内角所对边的长度分别为. (1)若，求的面积； (2)若，求的值. 【解】（1）由，得， 由余弦定理得，即， 所以，即， 所以的面积为. （2）由，由正弦定理得， 可得， 则， 因为，所以， 则，又， 所以. 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 三角函数、解三角形与恒等变换 题型 考情分析 考向预测 1.三角恒等变换 2025年上海卷：T5考查了三角恒等变换；T17考查解三角形 2024年上海卷：T5考查了解三角形；T18考查三角函数性质 2023年上海卷： T4考查三角恒等变换；T15考查三角函数的性质。 三角函数的值域与最值：可能结合函数的单调性、周期性，或是给定区间条件，求解函数的最值，也可能穿插含参问题增加些许难度。 2.三角函数图象及性质 3.解三角形 题型1 三角恒等变换 1.三角函数式化简的原则 2.三角函数式化简的方法 化简三角函数式的常见方法有弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂与升幂等. 3.三角恒等变换常用结论 （1）sin2α＝，cos2α＝； （2）1＋cos 2α＝2cos2α，1－cos 2α＝2sin2α； （3） tan α±tan β＝tan（α±β）（1∓tan αtan β）. 【例1】（2026·上海静安·二模）若，则______． 【变式1-1】（25-26高一下·上海普陀·月考）已知为第三象限角，，则________. 【变式1-2】（25-26高三下·上海金山·月考）已知，则________. 【变式1-3】（25-26高一下·上海·期中）若，，且，，则的值为________. 题型2三角函数的图象和性质 1.三角函数的单调性 (1)求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式进行化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减” (2)求形如y＝Asin（ωx＋φ）＋B或y＝Acos（ωx＋φ）＋B(其中ω>0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解，如果ω<0，那么一定要先借助诱导公式将x的系数化为正数 (3)已知三角函数的单调区间求参数，先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解. 2.三角函数的奇偶性相关的结论 （1）若y＝Asin（ωx＋φ）为偶函数，则有φ＝kπ＋（k∈Z）；若为奇函数，则有φ＝kπ（k∈Z）； （2）若y＝Acos（ωx＋φ）为偶函数，则有φ＝kπ（k∈Z）；若为奇函数，则有φ＝kπ＋（k∈Z）； （3）若y＝Atan（ωx＋φ）为奇函数，则有φ＝kπ（k∈Z）. 3.三角函数图象的对称轴和对称中心的求法　 求三角函数图象的对称轴及对称中心，须先把所给三角函数式化为y＝Asin（ωx＋φ）＋b或y＝Acos（ωx＋φ）＋b的形式，再把（ωx＋φ）整体看成一个变量. （1）若求f（x）＝Asin（ωx＋φ）（ω≠0）图象的对称轴，则只需令ωx＋φ＝＋kπ（k∈Z），求x； （2）若求f（x）＝Asin（ωx＋φ）（ω≠0）图象的对称中心的横坐标，则只需令ωx＋φ＝kπ（k∈Z），求x. 【例2】（新考法）（2026·上海杨浦·二模）已知函数（常数）. (1)若，在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c.若，，求角B的大小； (2)若的最小正周期为π，将其图像向左平移个单位，再向上平移个单位得到函数的图像.当时恒有，求的取值范围. 【变式2-1】（2026·上海松江·模拟预测）已知函数的表达式为. (1)若将函数的图像向右平移个单位长度，得到函数的图像关于直线对称，求的最小值； (2)若函数在区间上恰有2个极值点和2个零点，求实数m的取值范围. 【变式2-2】（2026·上海闵行·一模）已知函数，（，，），其部分图象如图所示. (1)求的解析式； (2)在中，分别是角的对边，若，成等差数列，判断的形状． 【变式2-3】（2026·上海长宁·一模）已知函数． (1)若函数的最小正周期为，求的值及的单调递减区间； (2)设，求函数在区间上的值域． 题型3 解三角形 1.正弦定理：在△ABC中，＝＝＝2R（R为△ABC的外接圆半径）.变形：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C，sin A＝，sin B＝，sin C＝，a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C等. 2.余弦定理：在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccos A.变形：b2＋c2－a2＝2bccos A，cos A＝. 3.三角形的面积公式：S＝absin C＝acsin B＝bcsin A. 4.解与三角形有关的最值（范围）问题的基本步骤 （1）定基本量：根据题意和已知图形，选择相关的边、角作为基本变量，确定基本变量的范围； （2）构建函数：将待求范围变量，利用正、余弦定理或三角恒等变换转化为基本变量的函数； （3）求最值：利用函数有界性、单调性或基本不等式求最值. 【例3】（2026·上海·模拟预测）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 (1)求的值； (2)若，为钝角，求面积的最大值． 【变式3-1】（2026·上海松江一模）在三角形中，内角所对边分别为，已知. (1)求角的大小； (2)若，三角形的面积为，求三角形的周长. 【变式3-2】（2026·上海金山·一模）在中，、、分别是内角、、的对边，，，. (1)求的值； (2)求的值. 【变式3-3】（25-26高三下·上海虹口·月考）在中，角的对边分别为，若且． (1)求角的大小； (2)若，在边上取一点，使得，求线段的长． 1．（2026·上海徐汇·二模）若，则______. 2．（2026·上海青浦·模拟预测）函数的值域是________. 3．（2026·上海徐汇·二模）已知，则的值为_____________. 4．（2026·上海浦东新·二模）若，则函数的最小正周期为____________． 5．（2026·上海静安·一模）在中，已知，则的值为__________. 6．（25-26高三上·上海浦东新·期末）在中，，，，则__________． 7．（2026·上海徐汇期末）在中，已知，，则的面积为（   ） A． B．4 C． D． 8．（2026·福建福州·模拟预测）已知，，则（   ） A． B． C． D． 9．（2026·上海黄浦·二模）已知． (1)求函数的最小正周期与单调增区间； (2)将函数的图象上的所有点沿向量平移，得到的图象．若同时满足：①图象关于点对称；②有且仅有个极大值点在区间上．求的取值范围． 10．（2026·上海静安·一模）已知向量，，且． (1)求及； (2)记，求函数的最小值． 11．（2026·上海普陀·一模）在中，内角所对的边分别为，且． (1)求角的大小； (2)设，，函数的表达式为，且，若在区间上恰有3次使得函数的值能取遍区间内的所有值，求的取值范围． 12．（2026·上海闵行·二模）已知. (1)当时，解方程； (2)若函数在上有唯一的极值点，求的取值范围，并判断这个极值点是极大值点还是极小值点. 13．（25-26高三上·上海浦东新·期中）已知函数. (1)求的最小正周期和单调递增区间； (2)当时，求函数的最值（最大值与最小值）及相应的值. 14．（2026·上海金山·三模）已知，函数． (1)求函数的单调递增区间； (2)在中，若，且的面积为，求． 15．（2026·上海松江·三模）已知函数的图像相邻两个零点之间的距离为. (1)求的值及的解集； (2)在中，为的一个内角，若满足，，且，求周长. 16．（2026·上海黄浦·二模）在中，，. (1)求的值； (2)若，求的周长和面积. （2）先利用正弦定理求得的的长，进而求得的周长和面积． 17．（2026·上海·三模）在中，角，，所对边的边长分别为，，，且满足 (1)求角的值； (2)若，求周长的最大值. 18．（2025·上海普陀·二模）设，函数的表达式为. (1)若，设的内角的对边分别为，，且，求的面积. (2)对任意的，皆有成立，且该函数在区间上不存在最小值，求函数在的单调区间. 19．（2026·上海闵行·二模）已知，函数的部分图像如图所示，图中最高点，最低点．    (1)求函数的解析式； (2)若的内角所对的边分别为，若，，求面积的取值范围． 20．（2026·上海杨浦·一模）已知的内角所对边的长度分别为. (1)若，求的面积； (2)若，求的值. 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $