第4讲 等差数列与等比数列的综合训练-2026届高三数学三轮冲刺

第4讲等差数列与等比数列的综合 高考预测一：等差等比的证明 1.已知数列{a,}和{bn}满足a=1,b=0,对n∈N都有4an1=3an-bn+4,4bn1=3bn-an-4成 立 (I)证明：{an+b,}是等比数列，{a,-b,}是等差数列； (IⅡ)求{a}和{b}的通项公式； ),=∑，1=，求证：$水 i=1 2.已知数列{b,}是首项为1的等差数列，数列{an}满足a1-3a,-1=0，b+1=a2,a1=1. (1)证明数列a,+为等比数列，并求出数列口，)的通项公式： (2)令c.=(a,+与b,求数列c,}的前n项和7 3.已知数列{an}的前n项和Sn=1+元an,其中元≠0. (1)证明{an}是等比数列，并求其通项公式： 2》若果： 4。已如等比数列a的公比g=号 1)若a子求数列a}的前n项和， (2)证明，对任意k∈N,a,ak+2，a+1成等差数列. 高考预测二：等差等比的交汇问题 5.在等差数列{an}中a+a4+a,=84,a,=73. (1)求数列{an}的通项公式； (2)对任意m∈N，将数列{an}中落入区间(9,92m)内的项的个数记为bn,求数列bm}的前m项和Sm· 6.已知{an}是公差为d的等差数列，{b}是公比为g的等比数列. (1)若an=3n+1,是否存在m、k∈N,有am+am1=a:？说明理由； (2)找出所有数列{a}和b,},使对一切n∈N，0u=b,并说明理由； (3)若a,=5,d=4,b=q=3,试确定所有的p,使数列{an}中存在某个连续p项的和是数列bn}中的 一项，请证明. 7已斑数列a}中，a=分且a,产4》 3n --(>1且n∈N). (1)求数列{an}的通项公式； (2)设数列{an}的前n项和为Sn,求满足2S,-3n2+5n>0的所有正整数n的值. 8.设数列{a,}的前n项和为S,4=1,a,=S”+2n-ln∈). n (1)求证：数列{a,}为等差数列，并分别写出an和S关于n的表达式： (2》是否存在自然数m,使得S+2+3+…+如-a-1=2013?若存在，求出m的值；若不存在，睛 23 n 说明理由 (3)设Cn= 2 (n∈{W),，Tn=C+c+C3+…+cn(neN),是否存在最大的整数m,使得对任意 n(a,+7) neN均有T,>”成立？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由. 32 第4讲等差数列与等比数列的综合解析 高考预测一：等差等比的证明 1.己知数列{an}和{bn}满足a1=1,b,=0,对n∈N°都有4a1=3a.-bn+4,4bn1=3b,-an-4成立. (I)证明：{an+bn}是等比数列，{an-bn}是等差数列； (IⅡ)求{an}和{bn}的通项公式： （3》5=2,-立，求证：3，-元<6， 【解析】(I)证明：对n∈N都有4an1=3an-bn+4,4bn1=3bn-an-4成立. a+6u=,+a)小么+a=l. (ab)-(a-b)=2.a-b=1. 数列和，+b}是等比数列，公比为)：a-b}是等差数列，公差为2. (0解：由()可得：an+bn=(台)”. a。-bn=1+2(n-1)=2n-1. a,-(分+22m-0. 6=分”-2m-. (I)解：a2-b=(2i-1宁。 ,=5-工=1+3x)+5x2++(2n-小( .=+3x+…+2-3+2n-xr。 ÷号，-1+2+身++r1-2n-0x=1+2x2 1 --2n-1)x(分》 1-2 Hn=6-2n+1 2<6. 2.已知数列{b}是首项为1的等差数列，数列{an}满足an+1-3an-1=0，b+1=a2,a1=1. (1)证明数列a,+分}为等比数列，并求出数列{a,}的通项公式： (2)令cn=(an+)bn,求数列{cn}的前n项和Tn· 1 【解析】(1)证明：~a1-3a。-1=0,a1=3a,+1,即a1+)=3a。+), 2 数列a+分是首项为号公比为3的等比数列 +5×3,即o,=”1 :a+22 2 (2)由(1)知，b=a2-1 3-1-1=3, 2 又数列{b}是首项为1的等差数列，∴{b}的公差为1， 86=n,C=Q,t=心 2 7.=20x3+2x32++n×3), 37,=21×32+2×3++m×3) 2亚号6+3+3++-3 _1x3x3-0_"3n= -27,=2×3-1 2 81-3)-3=12g1-3」 2 4 4 7=(2n-10-31+3 6 3.已知数列{an}的前n项和S。=1+元an,其中元≠0. (1)证明{an}是等比数列，并求其通项公式： 2)若5，-3， 32’求. 【解析】解：(1)根据题意，若S。=1+入an,2≠0，an≠0. 当n2时，Sn-1=1+元aa-1, 两式相减，得a,=1+元a,-1-元an-1=元an-a-1,即(2-1)an=元an-1, 100-0.1期子a2 :{a,}是等比数列，公比q=元一' 当a=1时，S,=1+a,=4,即a=1-元 1 aa, 1 1 3 1 4.已知等比数列{an}的公比q= 21 )若a子求数列a,}的前n项和： (2)证明，对任意k∈N,a,ak+2,a1成等差数列. 【解析】1)解：由4ag,以及g=可得4=1. 1 4 。1×-(212-2- .数列{an}的前n项和S。= 1 3 1+ 2 (2)证明：对任意k∈N,2a+2-(a+ak1)=2a1g1-a1g-a1g=a1q(2g2-9-1). 把g=号代入可得2g-9-1=0, 故2ak+2-(a:+ag)=0, 故a,a+2，a1成等差数列. 高考预测二：等差等比的交汇问题 5.在等差数列{an}中a+a4+a;=84,a,=73. (1)求数列{an}的通项公式； (2)对任意m∈N°，将数列{an}中落入区间(9”，92m)内的项的个数记为bn,求数列bm}的前m项和Sm· 【解析】解：(1)设等差数列{an}的公差为d, a+a4+a5=84,a,=73. 3a,+9d=84 4+8d=73 解得41 d=9' .an=1+(n-1)×9=9n-8. （2)由9"<9n-8<92m,得9m-+<n<92m-1+8, 0 数列{an}中落入区间(9”，92m)内的项的个数bn=92m--9m-1, ..Sm=b+b2+...+bm =(92m-1+92m-3+…+9)-(9-+9m-2+…+9+10 =992m-）9°-1 92-19-1 92m*1-99"-1 808 6.已知{a,}是公差为d的等差数列，{b}是公比为g的等比数列. (1)若an=3n+1,是否存在m、k∈N,有an+am1=a?说明理由； (2)找出所有数列{a,}和b,},使对一切n∈N,O=b,并说明理由： a. (3)若a,=5,d=4,b=q=3,试确定所有的p,使数列{an}中存在某个连续p项的和是数列bn}中的 一项，请证明. 【解析】解：(1)由an+am1=a,得6m+5=3k+1, 后，可符k-2m三1，m、k∈N，k-2m为藍 .不存在m、k∈N,使等式成立. (2)设a,=nd+c,若0u=b,对neN都成立， a 且也，}为等比数列，则21L=g,对n∈N都成立， an+1 an a,a2=qa,:(dn+c)(dn+2d+c)=g(dn+d+c)2, 对n∈N都成立，.d2=gd2 ()若d=0,则an=c≠0，.bn=1,n∈N. (m若d≠0，则g=1,b,=m(常数)，即血+d+C=m,则d=0,矛盾. dn+c 综上所述，有a,=c≠0，b,=1,使对一切neN,01=b,· a (3)an=4n+1,bn=3",n∈N, 设am1+an2++am*p=b=3，p、k∈N，meN. 4(m+1)+1+4(m+p)+1 -p=3, 3k ∴.4m+2p+3=, p :p、k∈W,p=3,seN 取k=35+2,4m=32+2-2×3”-3=(4-1)2*2-2×(4-1)-30,由 二项展开式可得整数M,、M2, 使得(4-1)2+2=4M,+1,2×(4-1)=8M,+(-1)2 4m=4(M,-2M,)-(-1)3+1)2, ∴.存在整数m满足要求. 故当且仅当p=3,seN,命题成立. 7.已知数列a,}中，a=),且a,=”9 2 =片空(ra>1且e0 (1)求数列{an}的通项公式： (2)设数列{a,}的前n项和为Sn,求满足2S,n-3n2+5n>0的所有正整数n的值. 【解析】解：(1)因为a,=” 所以=0L-3. 则%是+学+导学》*+只 n 1 度 =1*(分 上式对n=1也成立， 故a,=n+m-P∈N: (2)2S,-3m2+5n>0等价为3-3n,5m0. 2 数列3n-4的前n项和为3n-5加 2 令c,=a,-3n+4=n-（2"-2m+4, 其前n项和为C,=3,-3n-加 2 3119 则有G=269=26= 8 故C>0,C2>0,C3<0, 当n4时.c=n(-2n+4=n》-小-n+4<0. 则有Cn<0, 综上可得，不等式成立的n=1或2. 8。设数列a,}的前n项和为3，a=1,a,=如+2n-leN). (1)求证：数列{a,}为等差数列，并分别写出an和Sn关于n的表达式： (2)是否存在自然数1，使得S+S2+S3+.+S0--1=2013?若存在，求出m的值：若不存在， 23 n 请说明理由. (3)设C,=2 (n∈{N),T。=G+G+C+.+c,(neN),是否存在最大的整数m,使得对任意 n(a,+7) meN均有>分成立？若存在，求出m的值：若不存在，说明理由。 【解析】(1)证明：由a,=S+2n-, n 得Sn=na.-2n(n-1)(n∈N`). 当n2时，an=Sn-Sn1=nan-(n-1)am-1-4(n-1), 即an-a-1=4, 故数列{an}是以1为首项，以4为公差的等差数列. 于是，an=4n-3, S.=(a ta,=2n-mn eN"): 2 (2)解：由S.=na,-2nm-1）,得S=2n-1m∈N), n 又S++S++S-m-1=1+3+5+7++2m-》-m-y=m2-0a-=2n-1. 23 n 令2n-1=2013,得n=1007,即存在满足条件的自然数n=1007: (3)解：C,=2 11), n(an+7)n(2n+2)2nn+1 .Tn=C+C2+C3+…+Cn 2 20-n)= n n+12(n+1) 要使工>罗总成立，蜀贺<了=存成立，即m<8且aZ,放适合条件的m的设大值为7。