第6讲 数列的综合训练-2026届高三数学三轮冲刺

第6讲数列的综合 高考预测一：数列不等式的证明 11 L.D当nN时，求证：2n本+n中2++2n, 11,，1 (2)当n∈N时，求证：1++京++ 1+ <2 2.若，=×2+V2x3+.+Vn(n+Du为正整数)， n(n+) (n+1)2 <x< 求证：不等式2 2对一切正整数n恒成立. 3.已知正项数列{a,}的前n项和为S,且4=1，S1+Sn=a(neN*) (I)求a,a的值，并写出数列a}的通项公式； 。1 b= (Ⅱ)设”Va,数列也，3的前n项和为T,求证： 2-<2-aew 4.等比数列a,}的前n项和为S,已知对任意的n∈N,点(n,S,)均在函数y=b+rb>0且b≠1，b, r均为常数)的图象上 (1)求r的值： (2)当b=2时，记b,=2og,a,+1eN),证明：对任意的neN,不等式 b+16+1..B.+l>/n+ b b2 b 成立 5.已知曲线C。:x-2mr+y=0,n=1,2,).从点P(-l,0)向曲线Cn引斜率为k.(k.>0)的切线， 切点为xn,y), (1)求数列{x}与y}的通项公式： x…1+龙30os (2)证明： yn 6.已知函数 国=+-ma>为】 (I)当曲线y=f9在0，f(1))处的切线与直线：y=2x+1垂直时，求a的值； (Ⅱ)求函数四的单调区间. 111 11 (W)求证：234 m0n+D<+)+3+.+0neN*) n+1 n 7.已知函数f(x)=lr-x+l (1)求函数()的单调区间： (2)若f0恒成立，试确定实数k的取值范围： Ini n(n-1) (3)证明：台+14 nEN f(x)=Inx+a(aeR) 8.己知函数 (1)求f)的极值： In2 In2in3 In2ln3...Inn n-1 (2)求证：6 24 n+02n+2'月n∈N 9.已知函数fx)=alnx-x2+1 (I)讨论f)的单调性； m).会2 n2,4n+1) 2 10.设数列a,}的前n项和为S,已知4=1，n 3.neN' (I)求数列a,}的通项公式： 1+1++ ,17 (Ⅱ)证明：对一切正整数n,有aaa。4, 11.己知二次函数f=ar+br的图象过点（-4n,0),且f'(O)=2nn∈N). (1)求fx)的解析式： 1=f) (2)若数列{a}满足am+1 a,,且4=4，求数列a}的通项公式： (3)对于(2)中的数列{a},求证： a,=a+a+4++a<5 12.已知函数fw)=x-1-alx (1)若f.0,求a的值： (2)设m为整数，且对于任意正整数n, .+0+0+m ,求m的最小值. 13.已知函数 )=2x 2 1 a+b,f1)=1,f月-手，令-2，=x) (1)求数列比}的通项公式： 2)证明…> 2e 14.已知函数 网方之数列a满足条件：4，aa,D。试比段 ，1 1+a1+41+a1+a,与1的大小，并说明理由. 15.设数列{a,}的前n项和为S,且2Sn=a-2+1(neN*),a=1 1》求证：数列学+月 为等比数列，并求a； (2)设数列b}满足 26(3-a,)=n+2 nn+),数列也的前n项和为T,求证：T,<1. 16.己知数列{a,}满足：4=a(a∈R且a>-l),(a+1a,+)(an+)=102-(n∈N且2). (1)求数列{a}的通项公式： _1+lg[(a+1)(a2+1)..(an+] C (2)当a=9时，记”g(a+)-l[g(a2+)-刂，设数列c的前n项和为S,求证：S.<1. 17.设二次函数f)满足：)f()>0的解集为(0,1)；对任意x∈R都有-3x-l,frm6xr+2成立.数 列 1 a,}满足：43. 0<a,<2,a=fa,acN. (1)求f(-)的值： (2)求()的解析式： 2+2 30.1-2a1-20+-2a+t上20-3-3 第6讲数列的综合解析 高考预测一：数列不等式的证明 11 1.)当neN*时，求证：2n+in+2…t2n；☐ 11,1 (2)当neN时，求证：1+空+++京 1+ <2 1,11 11,1 111, .1 2m”n+tn+2++ +… <+一+..+ 【解析】解：（1)证明：2n2n2n 2n nn n 11+1+ 1 <1 :.2”n+1n+2 2n,故不等式成立. 11 1 (2)证明：1+2+3京++ 1+ 23<1女11,1 1 1+1x2+2x3+3x4+…+ (n-1)xn =1+1-1+11411, 一十 +1-1=2-1<2 +.+ 22334 n-l n n 11 1 即1++3+…+<2 1+ 2.若，=x2+2x3++Vmn+(n为正整数)， n(n+D)<x< (n+1)2 求证：不等式2 2对一切正整数n恒成立. 【解析】证明： n<(+<n+2 l+2+3++n<x2+2x3++aa+D<+2+2+分+…+0n+岁》 n(n+1）n2+2n <x< 即：2 2 +<x,<a+ .2 2 +<x,<a+ .不等式2 2对一切正整数n恒成立.· 3.已知正项数列{a,的前n项和为Sn,且4=l,Sn1+S,=a(neN*) (I)求a,a的值，并写出数列a}的通项公式： 1 bn=- (Ⅱ)设”Va,,数列也}的前n项和为T,求证： 2n-3<T2n-l10neN 2 【解析】解：(I)解：当n=1时，S+S=,即4-a-2=0,a>0,.a=2, 又S+S,=a,解得4，=3， ∫Sn+Sn=ai 由S.+S=am2),可得，+a1=ai1-am2), aa=(a+a)(an-a )(n...2) an>0.an-an =1(n...2) 又02-4=2-1=1 {a,}是首项为1，公差为1的等差数列， .an=1+(n-1)=n; 11 1 (I)证明：由(1)得：7+++ T= n. 2 当2时，派k-i+派2派-可 将上式对k从1到n求和，得Tm1+2(Wn-)=2n-1, 招而-a可-周 2 =)> 将上式对k从1到n-1求和， -},>2m-0→T>2n+,1-3 得2 2>23 所以26-72G-1 经验证，当n=1时，上式也成立. 4.等比数列{a}的前n项和为S,己知对任意的neN,点(n,S)均在函数y=b+(b>0且b≠1，b, ”均为常数)的图象上. (1)求r的值； (2)当b=2时，记b,=2og,a,+1neN),证明：对任意的neN,不等式 +16+lb,+l>n+ b b2 b 成立 【解析】解：(1)由题意，S。=b+I,当n2时，S=b+, .an=S,-S-1=b"-(b-1) 且b≠1，所以n2时，{a,}是以b为公比的等比数列， az=b b(b-1)=b 又4=b+r,4=bb-),4,即b+r”,解得r=-1, r的值-1： (2)证明：当b=2时，由(1)知4=2，因此b,=2nn∈N), 2+14+12n+1>Nn+1 ∴不等式为242n 3 ①当n=1时，左式2，右式=V2,左式>右式，所以结论成立 2+1,4+1.2k+>k+ ②假设n=kk∈N)时结论成立，即24厂2k 2+14+.2+12k+3>k中i,2k+3=2k+3 则当n=k+1时，24 2k2(k+1)1 2k+1)2√k+1 2k+3 >Vk+2 要证当n=k+1时结论成立，只需证2√k+1 成立， 只需证：4以2+12k+9>42+12k+8成立，显然成立， 2+14+12k+12k+3 当”=k+1时，24 >V(k+1)+1 2k2(k+1) 成立， 么+16+Lb,+>n+ 一. 综合①②可知不等式bb,b, 成立 5.已知曲线C,:x-2r+少=0，n=1,2,小.从点P-l,0)向曲线Cn引斜率为k(,>0)的切线， 切点为P(xn,y). (1)求数列{}与y}的通项公式： <6os (2)证明： xx…+3w. 【解析】解：(1)设直线：y=k,x+),联立x-2x+y=0, 得1+)x2+(2k2-2m)x+=0. 则△=(2k2-2m-41+好)k2=0, n k,=+2n(负值舍去)， =n-k=” 可符龙.儿=+)- n+1; n 1-xm n+1 1 V1+x 1+n V1+2n (2)证明： n+1 2n-11 由4n>4n2-1,即为4n2<2n+, 2n-12n-1 即有2nV2n+1, xxx-1=2×46 1x3x3x.×2m-1L352m-1 ×2××..× 1 2n+1V2n+1, 35X2m-1< 1-x 可得 1+xm: 1 1-n 由。V2n+1V1+x,设 (x)=x-- 3cosx =1+6 1T5 m,自02+号， 3. 可得sinx>0,即f)>0,f)在0,3递增， ，、—60f3-3232(osos3 3 )= -coS- )<0 3 33 33 4 3 + cosx 可得3 1V6.1 和有2m+3co2n+1即i+岁co3 yn, -x6.cos 则 x1+3y f(x)=In(x+1)-ax+ 6.已知函数 1-a(a77 x+1 (I)当曲线y=f0在1，f(1))处的切线与直线：y=2x+1垂直时，求Q的值： (Ⅱ)求函数()的单调区间 +-I.<m+1)<1+++EN) 111 11 (0求证：234 n+1 23 n (x)=-1 -1-a.-ax-(6-21 【解析】解： 中0-+=x+的 ,x>-1,(2分) 1-3a1 (0由题意可得2f'”(1)=-1,即42解得a=1,(3分) 1 11-2=- -2(a-) a> 2<02-2)-←0=1- (0)由“2知：a a (5分) 1 （1,1-2) ,在区间a和(0，+o)上，f()<0: 2.0上，>0.6分 在区间a 数心的莲法Z同定-片-》@，单阿E地区同定合 -2.0.1分) -2m-1 ②当a.l时，a ,在区间(-1,0)上f'(w)>0;在区间0，+o)上f"()<0(8分) 故f)的单调递增区间是一1,0)，单调递减区间是(0，+).(9分) 综上所述： 当2下as1 1 时。函数国的单调递减区间是。和0，+网，单调速拍区间是。 a -2.0 当a1时，函数)的单调递增区间是-1,0)，单调递减区间是(0，+∞)(10分) (四由（Ⅲ）及()知：当a=1时，f=lm(x+)-x,且[f(x]r=f(0)=0 即当x∈（一l,0(0,)时，恒有x+)<x成立 由k∈N*知：k -1水40 -11,<nk+)-nk<k, 名空+小-如宫. 1,111 即234n+1 7.己知函数f(x)=lx-r+1 (1)求函数f()的单调区间： (2)若fx,0恒成立，试确定实数k的取值范围： 5mi<nn-Dm∈N (3)证明：台+14 ,n>). 【解折】解：1)函数的定义暖为0树，)=女 当k,0时， f)=1k>0 f()在(0，+0)上是增函数： 当k>0时， xe0, ，,f=1-k>0 k时，有 若e，+)时，有 )=1-k<0 则心)在0宁上是蹈函数，在庆，四)上是减两数 (2)由(1)知k,0时，f9在(0，+∞)上是增函数， 而f(1)=1-k>0,fxm0不成立，故k>0, 又白4)知的员大值为，要传0恒成立， 则0 即可.，即-k0,得kl (3)由(2)知，当k=1时， 有fx,0在(0，+∞)恒成立， 且f)在，+∞)上是减函数，千(1)=0， 即lmx<x-1在x∈2，+o)上恒成立， 令x=n2,则lmn2<n2-l, Inn n-1 即2mn<(n-1n+),从而n+12, +2+3+.+”-1=1+2+3+…+n-)-nn-0 2 2 4 了m<nn-Dn∈N i+14 n>) f)=m+a(a∈R) 8.己知函 (1)求f)的极值： In2 n2xn32nn (2)求证：624 a+1012+22 且n∈N' 【解析】解：(1)f()的定义域为(0，+o), f"e)=1-r+a) x2,令f')=0,解得：x=ea, 当f'(x)>0时，x<e-,f)在0，e)是增函数， 当f'()<0时，x>e,f在e,+o)是减函数， “f)在x=处取得极大值，f=f(e）=e,无极小值 2)证明：由1)-+en xnea-1 取a=l,.Inxn-l,当x=l时取等号， Inn n-1 令x=n,n.2,故n+1n+1 ln2-ln3.lmn_1lm2bm3lmn11234n-2,n-1_1-1_1 :.(n+0！234n+123456.nn+1n0n+0nn+ In2 11 In2-In3 11 故623：2434；…： In2-In3...Inn 11 (n+1)！nn+1 mn2 In2mn3 In2-In3...Inn n-1 624 m+1012n+2m.2 9.已知函数fx)=alx-x2+1 （I)讨论()的单调性： In2 In3 Inn (n-1)(2n+1) (Ⅱ)求证： 22+3++ n2 n.2) 4(n+1) 【解析】（本小题满分12分） 解：（I)的定义域为0，+四），f)=-2x=0-2 x.(1分) ①当a,0时，f'(x0,f()在(0，+o)上单调递减；(2分) a ②当>0时，由了)<0解得>Y5,由f)>0解得 0<4分 所以在02上单调道箱，在2) 上单调递减.(5分) (Ⅱ)证明：由(I)得当a=2时，f(x)mx=f(1)=2lml-1+1=0, 即2lr-x+l,0当且仅当x=1时等号成立.(6分) 2- 所以2lmm-n+1<0n2).m< -(n.2) 2 ,(7分) ,(9分) 会+会告站好片号报 n2222334 (11分) 即2+g++0<a-2n+少 In2 In3 +n24n+1).(12分) 2 10.设数列a,}的前n项和为S,已知4=1， 2--- 3.neN' (I)求数列a}的通项公式： (Ⅱ)证明：对一切正整数n,有aa, n4 【解析】(I)解：n 3,neN' 人2s=na3n23 3n=01-+1+2 3① 当n2时， 2Sn1=(n-10a,-m-10mn+） 3② 由①-②，得2S-2S1=na1-(n-1)a,-nn+1)， 2a=28,-281, :.2a,na -(n-1)a,-n(n+1). anan=1 .n+1n a =1 数列〔nJ是以首项为1，公差为1的等差数列. am=1+1×(n-1)=n ∴.n .an=n2(n2) 当n=1时，上式显然成立. :a=n,neN': (Ⅱ)证明：由(I)知，a,=n,n∈N 1-1<2 ①当n=1时，44，原不等式成立. ②当n=2时， 2S,1=(n-1)a,-m-10mn+D 3原不等式亦成立. 1 1 ®当3时，：n>-n+》,京-n+功 1 (n-2)n(n-1)(n+1) 为点之 一)+一 =1+-+1+1+.+1-1+1-1 +.+ 2132435 n-2nn-1n+1 ++11)=2+11)<2 =1+ 212nn+142nn+14, 当时，原不等式亦成立. 1+++<☑ 综上，对一切正整数n,有44a。4, 11.己知二次函数f)=ar+br的图象过点(4n,0),且f'(0)=2m(neN). (1)求(x)的解析式： 1=f') (2)若数列a,}满足aa,,且4=4，求数列a}的通项公式： (3)对于(2)中的数列a,},求证： 2a=a+a+a,++a<5 [b=2n 1 【解折】解：1)由f=2ar+6,16a-4h=0解之符-26=2n, a= 即-+2aaEm ； 1=f) (2).an dn, 1=1+2m .an+l an 11=2m 1_1=+n a10。,由累加得014 4 d=(2n-1)(nEN') k-)+1飞k-Dk1无k2) ,当n=1时，显然成立： 当2.2a.4+0-3兮3*+为5-5 n 12.已知函数f(x)=x-1-alx (1)若f.0,求a的值： (2)设m为整数，且对于任意正整致数，+0+宁1+宁<m ,求m的最小值. 【解析】解：(1)因为函数f)=x-1-alr,x>0, '()=1-g=x-a 所以 xx,且f(1)=0. 所以当4,0时'(9>0恒成立，此时y=f9在(0，+0)上单调递增，这与f(0矛盾； 当a>0时令f'(=0,解得x=a, 所以y=f)在(0，a四上单调递减，在(a,+o∞)上单调递增，即f)mm=fa), 若a≠1，则f(a)<f(1)=0,从而与f0矛盾： 所以a=1: (2)由(1)可知当a=1时f=x-1-mx0,即l,x-1, 所以mr+,x当且仅当x=0时取等号， 所以 a++ad++l+宁++ 1、1,1, 2分11 下1 即0+n+2+e ； 因为0为整数，且对于任意正整教”，0+宁0+ .1+ 1 )<m 2 成立 1、 当”=3时， +0+ 0+》-152 64 所以m的最小值为3. 1 g,四，⑤号只 (1)求数列{x}的通项公式： (2)证明水> 1 2e. 【解析】(1)解：·函数 =2x 1 2× 22 2 1 .a+b,2+b3 =1 联立解得：a=b=1, ./(x)=2x +1 1 令=2.1=fc). 2x .xn41= x+1 11+1 两边取倒数可得：x12x。2」 1-1=-01-1=1 变形为：2。, 1-业 1 ∴数列是等比数列，首项为1，公比为2. . x=1+ a质，9H小时用 =24++<22 n-1 m-)+1-() =2[ n-1 n-1 {1+ 数列 m+n=e 单调递增，n→ 1 -<2e x.. .2e 1 14.己知函数 f,数列a满足条件：4，a,a,+。试比较 1 1 1 1 1+a1+a21+a3 十…十十a,与1的大小，并说明理由. 【解析】解：f'()=x2-1,an4f(an+) .an+1(an+1)2-1 :函数8)=(x+1)-1=r+2x在区间，+∞)上单调递增， 于是由l,得4(a+1-122-1. 由此猜想：an2”-1 以下用数学归纳法证明这个猜想： ①当n=1时，1=42-1=1，结论成立： ②假设n=k时结论成立，即42-1， 则当n=k+1时， 由(x)=(x+)-1在区间L,+)上单调递增知， a(a+102-1.22-12-1. 即n=k+1时，结论也成立. 由①、②知，对任意n∈N,都有42”-1. 11 即1+a2,1+a,”2 西。。。岁安*+安 15.设数列a,}的前n项和为Sm,且2S=a1-21+1(n∈N*),a=1, san+13 (1)求证：数列2”为等比数列，并求a: (2)设数列b}满足 6(30-a,)=n+2 nn+),数列}的前n项和为T,求证：Tn<1. 【解析】证明：（1)2S。=a1-2+1(n∈N*),m2时，2S=a.-2”+1,相减可得 2a=a24,化为：2+1=5+D+ ，2 +13 数列2” 为等比数列，首项与公比都为2。：2+1=(P ,化为：an=3”-2” b,(3”-a,)=n+2 a+Db,”+2=12-1)11 (2) m+l)-22片n+}n2m+10-2 1 …数列也}的前n项和为 2×2 m+10-2”<1 .Tn<1 16.己知数列a}满足：a=a(a∈R且a>-),(a+1a,+l).(a.+)=102-(n∈N且n2). (1)求数列{a,}的通项公式： -1+lg[(a1+1)(a2+1)..(a,+1] (2)当a=9时，记”【g(a+)--lg(a2+)-刂，设数列c,的前n项和为S,求证：S,<1. 【解析】解：(1)当n=1时，a+1=a+1>0, 当n=2时，(a+10(a2+1)=103 +1s10 故 a+1; 当3时，(a+1a+1)(a.+)=102-1, (a+l1a2+1)(a-1+)=1021 4,+1=1021 102*102 a,n=1 100 a= -1,n=2 a+1 举 102°-1，n.3」 (2)证明：当a=9时，可验证a.+1=102 (a+10(a2+1).(an+1)=102”-1 1+lg[(a1+1)(a2+1)..(an+1] 故5ge+-您a2- 1+1g102”- (g102”-10lg102"-1) 2” (2”-1)(2"-1） 11 2”-12-1, =1- <1 2-1.证毕 17.设二次函数f)满足：f(四>0的解集为0，)：)对任意x∈R都有-3r-山，fx,6x+2成立.数 列 a满e,4-.0<a 1 2,an1=f(an)n∈N*) (1)求f(-的值： (2)求(x的解析式： 22+,2++ 2-31-3 (3)求证：1-2a1-2a1-2a,.+1-2a 【解析】(1)解：由于对任意x∈R都有-3x-l,fx,6x+2成立，则 令x=-1,得4f1m-4,则f(-)=4: (2)解：由于f)>0的解集为0,1)，可设f四=ax-), 由f八)=-4，可得，a=-2,则f)=-2x+2x; (3)证明：a1=f(a,)=-2a+2a。, 则2a=22a, 1 ,即有l-2a1=1-2a,)2. 令b.=1-2a,则b1=b片，由于】 则有g如=26.4=1子={ 33 即有勉=2，则么= 2=2×32 ,则1-2a 222 则1-2a1-2a1-2a,+ 一十 2-31+3 ++1-20 =230g1-3+3-9-43+3到-子6-8-) 1-9 4 由于1，则上式0，则原不等式成立.