专项06 数列重难点-2026届高考考前数学高频考点专项训练（全国通用）

**基本信息** 以“基础-应用-综合”三级考点为框架，系统整合数列核心方法与逻辑体系，培养逻辑推理与数学运算素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础核心考点|单选1-5/解答22-24|等差等比“知三求二”、Sn与an转化（验证n=1）|从定义公式到性质应用，构建概念基础| |核心应用考点|单选6-10/解答25-28|四大通项求法（累加法/构造法）、四大求和（裂项/错位相减）|方法与题型绑定，形成解题套路链| |高阶综合考点|多选11-15/解答29-30|构造新数列、数列不等式放缩、含参最值|结合函数/不等式思想，实现知识迁移|

专项06 数列重难点 分析维度 具体内容 核心考点 1. 数列基本概念：通项公式、递推公式的定义，项数、前n项和（Sn）的含义，Sn与an的核心关系；2. 等差数列：定义、通项公式、前n项和公式、等差中项，下标和性质、奇偶项规律、连续片段和性质；3. 等比数列：定义、通项公式、前n项和公式、等比中项，下标和性质、公比取值范围（含q=1的特殊情况）；4. 通项求法：公式法、累加法、累乘法、构造法（构造等差等比数列）、Sn与an关系法；5. 数列求和：分组求和、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法；6. 综合应用：数列的单调性、最值求解、恒成立/存在性问题、与不等式结合、实际应用建模。 考查形式 1. 客观题（单选题+多选题）：5-10分，多为第4-9题，考查基本量计算、简单性质应用、通项/求和基础运算，难度低-中档；2. 解答题：12分，固定为基础解答题（多为第17题），命题模式固定：第一问求通项公式，第二问求前n项和，偶尔增加第三问考查最值/范围；3. 新高考特点：弱化复杂偏怪递推，强化基础运算和方法应用，多选题增加性质辨析，常与不等式结合考查范围、最值，极少单独命制压轴题。 命题特点 1. 基础题（送分）：等差/等比数列“知三求二”（已知a1、d/q、n、an、Sn中三项，求其余两项）、简单通项/求和，直接套用公式即可得分；2. 中档题（核心得分）：利用数列性质简化计算、常规通项求法（累加法、累乘法）、核心求和方法（裂项相消、错位相减），侧重方法套路；3. 难题（低频）：构造新数列求通项、错位相减综合运算、数列不等式证明（放缩技巧）、含参数数列的恒成立/存在性问题，难度中等偏上，占比低；4. 命题趋势：整体稳定，重基础、重运算、重方法，题型固定、套路性极强，减少偏题怪题，强调逻辑严谨和步骤规范。 重难点突破 1. 重点：① 等差、等比数列的通项公式、前n项和公式（熟练记忆、灵活套用）；② Sn与an的相互转化（牢记n≥2时an=Sn-Sn-1，必验证n=1）；③ 裂项相消法、错位相减法（高考解答题高频必考，掌握固定步骤）；④ 等差、等比数列的常用性质（下标和、片段和等，简化计算）；2. 难点：① 由递推关系式构造等差/等比数列（掌握常见构造模型）；② 含参数数列的最值、参数范围求解（结合函数单调性或不等式）；③ 数列不等式证明（放缩技巧的灵活运用）；④ 奇偶项分段数列、复杂递推数列的求解（分类讨论思想）。 关联模块 1. 直接关联：函数（数列是特殊的函数，单调性、最值可借助函数思想求解）、不等式（数列不等式证明、范围求解）、三角函数（偶尔结合周期性考查）；2. 间接关联：导数（数列最值的高阶求解）、实际应用（建模求解，如增长率、累加问题）、概率统计（计数问题的辅助）。 备考策略 1. 基础过关：熟记等差、等比数列的所有公式，熟练完成“知三求二”运算，牢记Sn与an转化的核心步骤（必验证n=1）；2. 方法强化：专项突破四大通项求法、四大求和方法，尤其是裂项相消、错位相减，总结固定解题步骤，杜绝计算失误；3. 难点突破：总结构造数列的常见模型（如an+1=pan+q），分类刷题形成思路；针对性练习数列不等式放缩、含参问题，掌握分类讨论思想；4. 规范作答：解答题按步骤书写（通项推导、求和过程分步写），避免跳步导致的计算错误；5. 实战训练：多练基础解答题，兼顾中档综合题，少练偏怪题，重点培养“套路化解题”思维。 易错点提醒 1. 等比数列求和时，忘记讨论公比q=1（q=1时Sn=na1，q≠1时用等比求和公式）；2. 利用Sn求an时，忽略验证n=1的情况（导致首项错误）；3. 裂项相消法中，拆分公式错误、剩余项数判断失误（前后剩余项数搞反）；4. 错位相减运算量大，容易出现系数、常数项计算错误，或最后忘记除以（1-q）；5. 混淆数列单调性与函数单调性（数列自变量为正整数，不能直接套用函数导数判断）；6. 等比数列中，忽略公比q≠0、项的正负性判断，导致取值范围出错；7. 构造新数列时，变形错误（如an+1+1=p(an+1)的构造漏加常数）。 一、基础核心考点（送分题，必拿分） （一）数列基本概念 1. 定义：数列是按一定顺序排列的一列数，项与项数一一对应，项数为正整数。 2. 核心表示： - 通项公式：直接表示第n项an与项数n的关系（如an=2n+1），可直接求任意项。 - 递推公式：通过相邻项的关系表示（如an+1=an+2），需结合首项推导后续项。 3. 前n项和Sn：Sn=a1+a2+…+an，核心关系：an=Sn-Sn-1（n≥2），必须验证n=1时是否成立（n=1时，a1=S1）。 4. 考法：判断数列概念正误、利用Sn与an关系求首项/通项（客观题为主）。 （二）等差数列（基础必考） 1. 定义：从第二项起，每一项与它前一项的差为固定常数d（公差），即an+1-an=d（d为常数）。 2. 核心公式： - 通项公式：an=a1+(n-1)d（a1为首项，n为项数）。 - 前n项和公式：Sn=n(a1+an)/2 或 Sn=na1+n(n-1)d/2。 3. 关键性质： - 等差中项：若a、A、b成等差数列，则2A=a+b。 - 下标和性质：若m+n=p+q，则am+an=ap+aq（m、n、p、q为正整数）。 - 连续片段和：S n、S2n-Sn、S3n-S2n仍成等差数列。 4. 考法：“知三求二”（已知a1、d、n、an、Sn中三项求其余两项）、性质应用（客观题+解答题第一问）。 （三）等比数列（基础必考） 1. 定义：从第二项起，每一项与它前一项的比为固定非零常数q（公比），即an+1/an=q（q≠0）。 2. 核心公式： - 通项公式：an=a1·q^(n-1)（a1为首项，n为项数）。 - 前n项和公式：当q=1时，Sn=na1；当q≠1时，Sn=a1(1-q^n)/(1-q) 或 Sn=a1(q^n-1)/(q-1)。 3. 关键性质： - 等比中项：若a、G、b成等比数列，则G²=ab（G≠0）。 - 下标和性质：若m+n=p+q，则am·an=ap·aq（m、n、p、q为正整数）。 4. 考法：“知三求二”、公比q的取值判断、性质应用（客观题+解答题第一问）。 二、核心应用考点（中档题，核心得分区） （一）通项公式四大求法（高考解答题第一问高频） 1. 公式法：直接判定数列是等差或等比数列，套用对应通项公式（基础送分）。 2. 累加法：适用于an+1-an=f(n)（f(n)为可求和的简单式子，如一次函数、分式），累加消去中间项求an。 3. 累乘法：适用于an+1/an=f(n)（f(n)为可约分的简单式子），累乘消去中间项求an。 4. 构造法：适用于复杂递推式（高频模型）： - 模型1：an+1=pan+q（p、q为常数），构造新数列bn=an+q/(p-1)，转化为等比数列。 - 模型2：an+1=pan+qn（p、q为常数），两边同除以qn+1，转化为等差数列。 （二）数列四大求和方法（高考解答题第二问必考） 1. 分组求和：适用于“等差+等比”型数列（如an=2n+3^n），分开求等差、等比数列的和，再相加。 2. 裂项相消法：高频必考，适用于分式型数列（如an=1/[n(n+1)]），拆分通项为两项之差，消去中间项求和（注意剩余项数）。 3. 错位相减法：高频必考，适用于“等差×等比”型数列（如an=n·2^n），步骤固定：乘公比→错位相减→化简求和（注意计算准确性）。 4. 倒序相加法：适用于对称型数列（如an= n + (n+1)，与倒序后相加可提取公因式），低频考查。 三、高阶综合考点（难题，低频拉分） （一）数列性质综合 1. 单调性与最值：利用函数思想（数列是特殊的正整数函数），结合作差法、作商法判断单调性，求最大项、最小项。 2. 奇偶项分段数列：当递推式含(-1)^n时，分n为奇数、偶数讨论，分别求通项、求和。 （二）综合应用问题 1. 恒成立/存在性问题：含参数数列，求参数范围（结合不等式、函数最值求解）。 2. 数列与不等式结合：证明数列不等式（常用放缩技巧，如1/n²<1/[n(n-1)]=1/(n-1)-1/n）。 3. 实际应用：建模求解（如增长率、存款利息、累加计数问题），转化为等差或等比数列求解。 四、高考考法与易错提醒 （一）考法总结 1. 客观题（5-10分）：侧重基础，考查公式应用、性质辨析、简单通项/求和，难度低-中档。 2. 解答题（12分）：固定模式，第一问求通项，第二问求和，偶尔加第三问考查最值/范围，难度中档。 3. 新高考趋势：弱化复杂递推，强化基础运算和方法套路，极少出现偏怪题。 （二）易错提醒 1. 等比数列求和忘记讨论q=1的情况，导致公式套用错误。 2. 利用Sn求an时，未验证n=1，导致首项错误。 3. 裂项相消拆分错误、剩余项数判断失误；错位相减计算出错。 4. 混淆数列与函数的单调性，忽略数列自变量为正整数。 5. 构造新数列时，变形错误（如漏加、漏乘常数）。 一、单选题 1．（2026·云南曲靖·二模）已知正项数列的前n项和为，，，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知关系式得到数列是首项为2、公差为1的等差数列，从而求得的通项公式，则有，应用放缩法、裂项法求和确定范围. 【详解】因为，所以，且， 因此数列是首项为2、公差为1的等差数列，则， 所以，令，则， 因为， 所以， ， 因此，． 2．（2026·陕西渭南·模拟预测）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：.该数列的特点是：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列称为“斐波那契数列”，该数列有这样一个规律：，称为卡西尼恒等式，根据卡西尼恒等式，（    ） A．2025 B．-1 C．2026 D．1 【答案】D 【分析】利用卡西尼恒等式化简乘积的每一项，再根据指数和的奇偶性判断最终结果. 【详解】因为，所以， 当为奇数时，， 为偶数时，， 所以 ， 其中项中奇数项有1013个，即有个1相乘得，偶数项有个，即有1012个相乘得，故结果为. 3．（2026·江西·二模）在正项数列中，，，，若，为数列的前n项和，若，则正整数n的最大值为（   ） A．21 B．22 C．23 D．24 【答案】B 【分析】由递推公式两边同时除以，再由等差数列的基本量法求出，再由累乘法得到，最后利用裂项相消法可得. 【详解】由，得， 又，所以是首项为2，公差为1的等差数列，所以，又，所以， 所以当时， ， 又，也符合上式，故， 则， 所以， 由，得，所以，解得， 所以正整数n的最大值为22． 4．（2026·河北沧州·二模）已知三个正数，，成等比数列，且，，则（   ） A．6 B．9 C．12 D．15 【答案】D 【分析】根据等比中项的性质结合已知即可求解． 【详解】因为三个正数，，成等比数列， 所以，又，所以，则， 又， 所以． 5．（2026·上海浦东新·三模）已知是公差为的等差数列，是公比为的等比数列，若．已知，记和分别为数列和的前项和，则下列结论正确的是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】B 【分析】通过等差数列、等比数列的通项公式的图像性质作出判断；通过不等式放缩进行证明. 【详解】依题意得，，因为，所以是一条线性增长的直线，增长速度稳定； ，因为，所以是指数增长的曲线，前期增长慢，后期会加速增长， 因为，，所以当，， 当，， 因为，， 所以； ， ， 接下来先证明：． 设， 则， 设， 则， 因为，所以， 所以在上单调递增，所以，所以， 所以在上单调递增， 所以当，，即， 令，所以，所以 ，即， 所以， 所以. 6．（2026·湖南·一模）已知各项均为正数的等比数列的前n项和为，且满足，，成等差数列，则（    ） A．15 B．17 C．80 D．82 【答案】D 【分析】根据等差数列的性质和等比数列的通项公式列方程求解的值，从而利用等比数列的求和公式计算可得结果. 【详解】设各项均为正数的等比数列的公比为， ∵，，成等差数列，∴， ∴，∴，，解得. 则. 7．（2026·山东滨州·二模）若，，成等差数列，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意得，， 即，则， 则. 8．（2026·安徽·模拟预测）已知数列的通项公式为，若是数列的最大项，则（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】根据数列的通项公式，结合为最大项得到关于的不等式组并结合确定的值. 【详解】由题意得，，又因为， 所以， 解得，又因为，所以． 9．（2026·湖南衡阳·模拟预测）已知数列满足是数列的前n项和，则（   ） A．-7 B．-6 C．6 D．7 【答案】B 【分析】通过递推式求出，然后代入求即可. 【详解】由数列满足， 可得， 所以． 10．（2026·广东东莞·二模）等差数列的前项和为，已知，则（   ） A．64 B．56 C．38 D．8 【答案】B 【分析】由等差中项的性质先求出，再代入等差数列的前项和公式计算即可得解. 【详解】由等差中项的性质可知， 所以，解得， 所以. 二、多选题 11．（2026·重庆北碚·模拟预测）已知为等差数列，记的前项和为，前项中所有偶数项的和为，且，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．若，则 【答案】ACD 【分析】根据等差数列的性质求出数列的通项公式，然后依次判断即可. 【详解】已知为等差数列，设等差数列的首项为，公差为，前项和为， 由于，根据等差数列前项和公式，有，化简得， 又因为前项中所有偶数项的和为，且，即，得，化简得， 联立，解得，所以数列的通项公式为， 对于A，，故A正确； 对于B，前项中所有偶数项的和为，即，其中构成首项为，公差为的等差数列， 因此，故B错误； 对于C，由于，， 所以，，即，故C正确； 对于D，已知，， 则，所以， 则，故D正确. 12．（2026·湖北黄石·模拟预测）设数列满足，，记数列的前项和为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】结合二次函数的性质可判断A；由放缩法可得即可判断B；由放缩法可得，再由累乘法可得，可判断C；由累加法可得，即可判断D. 【详解】对于A，， 因为，根据二次函数的性质，所以， 所以，故A正确； 对于B， ， 所以，，， ，， 所以，故B正确； 对于C，， ，，累乘可得 ， 所以，故C错误； 对于D，因为， 所以， 所以， 所以，数列的前项和为， 所以 ，故D正确. 13．（2026·重庆渝中·二模）已知是等差数列的前项和，为公差，且，，则下列说法正确的是（   ） A． B．当时，取最小值 C． D． 【答案】AD 【分析】根据等差数列性质可得，，即可得，即可判断A；结合单调性分析数列的正负性，即可得的最值，即可判断BCD. 【详解】因为数列为等差数列， 则，即， 且，即，可得， 所以公差，故A正确； 可知等差数列为递增数列，当时，；当时，； 所以当时，取最小值，故B错误； 所以，，故C错误，D正确． 14．（2026·山东滨州·二模）已知无穷数列的前n项和为，且对于任意，（且），则下列结论正确的是（   ） A．存在，使得是常数列 B．任意，有最大项，无最小项 C．存在，使得是周期数列 D．任意，不是递增数列 【答案】BCD 【分析】根据给定条件，利用前项和与第项的关系求出通项公式，再逐一判断各个结论即可. 【详解】在无穷数列中，，， 当时，，两式相减得：， 而，即， 对于A，当时，数列是以为首项，为公比的等比数列， 又，所以不是常数列 当时，，当时，，所以不是常数列， 所以不存在，使得是常数列，A错误； 对于B，当时，数列是以为首项，为公比的等比数列， 且，，所以数列是递减数列， 所以数列有最大项为，没有最小项，B正确； 对于C，当，即时，，数列是周期为的周期数列，C正确； 对于D，当时，，当时，，所以不是递增数列， 当时，， 若，则恒成立，是递减数列， 若，则随的增大，正负相间变化，即不可能恒成立， 因此对于任意，不是递增数列，D正确； 15．（2026·湖南衡阳·模拟预测）若数列满足，则下列说法正确的是（   ） A．任意 B．任意 C．任意 D．任意 【答案】ABD 【分析】对A：由可得；对B：由可得、，作差后因式分解，并借助反证法计算即可得；对C：结合B中所得与数列性质，可得；对D：结合C中结论可得，再利用计算即可得. 【详解】对A：由，得，故A正确； 对B：由，得，又因为， 则， 又，当时，则，即，显然与矛盾； 当时，则，即，显然与矛盾； 所以且，即递增，故B正确； 对C：由，根据B的结论知， 随的增大，无限趋近于0，则无限接近于1， 又，令，且递增， 则，即， 综上，，故C错误； 对D：由，根据C的分析可知，则， 又，所以， 所以，即， 综上，，故D正确. 三、填空题 16．（2026·云南曲靖·二模）记为等比数列的前n项和，若，则_____________． 【答案】 【详解】若等比数列的公比为，则， 而，则，其中，解得， 又，解得，故． 17．（2026·重庆北碚·模拟预测）已知等比数列中，，则______；又数列满足，，若为数列的前项和，那么______． 【答案】 【分析】①根据等比数列的性质以及即可求出；②通过变形，可得到数列是一个周期数列，然后通过计算每一个周期内的和，从而求出数列的前项的和. 【详解】①已知数列是等比数列，设数列的首项为，公比为， 由于，则有，解得， 所以； ②由于数列满足，，则有， 因此，，， 说明数列是一个以为周期的周期数列，且一个周期内的项为， 设数列的通项公式为， 由于数列是一个以为周期的周期数列，将数列按每项为一组进行分组求和， 对于第组，即，有， 对应的的值为，，， 则第组的和为， 因此. 18．（2026·湖南·一模）已知数列的通项公式是.设为数列的前n项和，当时，______；若存在n，使得，则m的最小值为______. 【答案】 6 16 【分析】①分和两种情况讨论求解即可；②利用周期性，则的正负只需考查，分奇偶项求和即可求解. 【详解】当，即时，，不符合题意； 当，即时，又为偶数，所以， 即，，，解得； 综上，当时，. 当时，，则数列是周期数列，周期为， 所以的正负，只需考查即可， 当时，奇数项构成首项，公差为的等差数列， 偶数项构成首项为，公比为的等比数列， 当，时， ， ， ∵时，，， 时，，， 所以若存在，使得，则，故的最小值为16. 19．（2026·河北张家口·三模）已知数列的首项，且，则_____． 【答案】 【分析】根据递推关系，分别令和，代入运算求解即可. 【详解】因为，， 所以，. 四、解答题 20．（2026·全国·模拟预测）已知函数. (1)当时，求函数在上的值域； (2)若对任意，都有，求实数的取值范围； (3)证明：. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）利用导数判断在上的单调性即可求解； （2）问题转化为在上恒成立，令，利用二阶导数求的最小值，对二阶导数的符号进行分类讨论，分，，三种情况进行讨论； （3）利用（2）的结论可得，进而利用放缩可得，然后利用裂项相消求和可证明不等式的左半部分，令，利用导数证明当时，，再利用放缩可得，最后利用裂项相消求和可证明不等式的右半部分. 【详解】（1）当时，，则， 令，则，即； 令，则，即. 所以在上单调递增，在上单调递减， 又， 所以的值域为. （2）由，得， 设，则， ， 设，则， 所以当时，，所以在上单调递增， 所以. ①当时，在上单调递减，则，不满足题意； ②当时，，使得， 当时，在上单调递减，则，不满足题意； ③当时，在上单调递增，则，满足题意. 综上可得，即实数的取值范围是. （3）由（2）得，当时，任意恒成立， 即， 所以， 所以 . 令，则， 存在，使得. 则当时，；当时，， 于是在上单调递增，在上单调递减，而， 所以，即当时，. 所以， 所以. 综上所述，. 21．（2026·河南安阳·模拟预测）记数列的前项和为，已知. (1)求数列的通项公式； (2)设为正整数，从集合中随机抽取一个数，若抽到，则记随机变量，假设抽到的概率与的值成正比，求.（用表示） 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由，求解即可； （2）由及，求得，从而得，，利用错位相减求出的值，即可得答案. 【详解】（1）当时，则有， 解得； 当时，由， 可得， 所以， 即， 所以数列是等比数列，首项为，公比为， 所以； （2）由题意可得，为常数， 因为， 即， 所以， 所以， 所以， 设， 即， 所以， 两式相减，得 ， 所以， 所以， 22．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知等差数列的前n项和为，且，． (1)求的通项公式； (2)数列满足，，求的通项公式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设等差数列的首项为，公差为，列出关于和的方程组，解方程组得到和，再代入等差数列通项公式得到的通项； （2）由，利用累加法，将时的，代入得，再验证时是否满足所得表达式，最终得到的通项. 【详解】（1）设等差数列的公差为d， 由题意可得： 解得，， 所以数列的通项公式． （2）由可得： ， ， … ， 通过累加可得， 又，所以， 当时，符合，故． 23．（2026·辽宁铁岭·模拟预测）记为等比数列的前n项和，已知． (1)求的公比； (2)求的前n项和． 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）通过等比中项进行转化，因式分解得到方程，分类讨论舍去矛盾式，进而求得公比. （2）将数列通项写出代入进行裂项，利用裂项相消求得和. 【详解】（1）由等比数列性质得， 整理得， 若，所以， 两式相减，则，这与为等比数列，各项均不为0矛盾，所以舍去. 所以，，两式相减得， 故的公比． （2）由，令则．此时， ， 故的前n项和 24．（2026·陕西西安·三模）已知等差数列满足． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意求出首项与公差，再根据等差数列的通项即可得解； （2）利用错位相减法求解即可. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 因为， 所以，解得， 所以的通项公式为； （2）因为， 所以， 则， 两式相减得 ， 所以． 25．（25-26高二下·江西鹰潭·期中）设数列的前n项和为，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前n项和； (3)令，记数列的前n项和为，求证：． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据，得出是等比数列，即可得结果； （2）利用错位相减法求和即可； （3）利用裂项相消法求出，结合数列单调性即可得结果. 【详解】（1）由，当时，，解得， 当，，则，即， 故是公比为3的等比数列，，所以，也适合此式，. （2）因为所以，. 从而， ， 两式相减得:， ，解得 （3）由（1）可知：，， ， ， 所以{}为递增数列，， 所以. 26．（2022·上海松江·二模）在等差数列中，已知，． (1)求数列的通项公式； (2)若数列是首项为1，公比为3的等比数列，求数列的前项和． 【答案】(1)； (2) 【详解】（1）因为为等差数列，故，故， 设等差数列的公差为，则， 故，故. （2）由题设有，故， 故 . 27．（2026·安徽·模拟预测）已知数列中，，，． (1)求证：数列为等比数列； (2)记，数列的前n项和为，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）整理可得，结合等比数列的定义分析证明； （2）由（1）可得，可得，结合等比数列求和公式分析证明. 【详解】（1）因为，则，可得， 且，则， 所以数列是以2为首项，为公比的等比数列． （2）由（1）可得：，则， 可得． 当时，； 当时， ； 综上所述：． 28．（2026·河北张家口·三模）记等差数列的前n项和为，公差，且，，成等比数列，． (1)求数列的通项公式； (2)设，且数列的前n项和为，若对任意，，求的最小整数值． 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）由等差数列的通项公式、前n项和公式，结合等比中项的定义列出方程组，求解可得； （2）根据裂项相消求和法求得，分析其单调性，可得的最小整数值． 【详解】（1）因为，，成等比数列，所以，则， 即，则，因为，所以， 所以，解得， 则， 所以. （2）由（1）得， 所以， 则， 因为对任意，，且单调递增， 所以，则的最小整数值为1. 29．（2026·辽宁大连·三模）设数列满足，且． (1)证明：数列是等差数列，并求其通项公式； (2)若，求正整数m的值． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）对递推式两边平方，利用三角恒等式转化，证明数列是公差为1的等差数列，结合首项求通项； （2）由求，将连乘积转化为可累乘的形式，解方程可得m的值. 【详解】（1）已知，两边平方得：. 由三角恒等式，代入得：. 因此是公差为的等差数列，首项， 由等差数列通项公式得： . （2）由，，得：，​​ 因此乘积， 由题设​，两边平方得，解得. 30．（2025·天津宝坻·模拟预测）已知数列的前项和为，正项且公差不为零的等差数列满足，且． (1)求数列，的通项公式； (2)若，求数列的前项的和； (3)记，为数列的前项积，证明： 【答案】(1)， (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据的关系求，根据已知及等差数列的通项公式求公差，进而得到的通项公式，即可得； （2）分组求和，结合错位相减法得到当为偶数时，，当为奇数时：，得到答案； （3）计算出，利用放缩证明出不等式左边，利用证明出不等式右边 【详解】（1）由，则时，且， 所以，显然也满足，故， 设的公差且，，而， 所以且， 所以，则， 所以，即. （2） ， 令，则， 两式相减可以得到：， . 令， 当为偶数时：； 当为奇数时：； 故当为偶数时，， 当为奇数时：， . （3）因为，所以， 证明不等式左边： ， 证明不等式右边： ，得证. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项06 数列重难点 分析维度 具体内容 核心考点 1. 数列基本概念：通项公式、递推公式的定义，项数、前n项和（Sn）的含义，Sn与an的核心关系；2. 等差数列：定义、通项公式、前n项和公式、等差中项，下标和性质、奇偶项规律、连续片段和性质；3. 等比数列：定义、通项公式、前n项和公式、等比中项，下标和性质、公比取值范围（含q=1的特殊情况）；4. 通项求法：公式法、累加法、累乘法、构造法（构造等差等比数列）、Sn与an关系法；5. 数列求和：分组求和、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法；6. 综合应用：数列的单调性、最值求解、恒成立/存在性问题、与不等式结合、实际应用建模。 考查形式 1. 客观题（单选题+多选题）：5-10分，多为第4-9题，考查基本量计算、简单性质应用、通项/求和基础运算，难度低-中档；2. 解答题：12分，固定为基础解答题（多为第17题），命题模式固定：第一问求通项公式，第二问求前n项和，偶尔增加第三问考查最值/范围；3. 新高考特点：弱化复杂偏怪递推，强化基础运算和方法应用，多选题增加性质辨析，常与不等式结合考查范围、最值，极少单独命制压轴题。 命题特点 1. 基础题（送分）：等差/等比数列“知三求二”（已知a1、d/q、n、an、Sn中三项，求其余两项）、简单通项/求和，直接套用公式即可得分；2. 中档题（核心得分）：利用数列性质简化计算、常规通项求法（累加法、累乘法）、核心求和方法（裂项相消、错位相减），侧重方法套路；3. 难题（低频）：构造新数列求通项、错位相减综合运算、数列不等式证明（放缩技巧）、含参数数列的恒成立/存在性问题，难度中等偏上，占比低；4. 命题趋势：整体稳定，重基础、重运算、重方法，题型固定、套路性极强，减少偏题怪题，强调逻辑严谨和步骤规范。 重难点突破 1. 重点：① 等差、等比数列的通项公式、前n项和公式（熟练记忆、灵活套用）；② Sn与an的相互转化（牢记n≥2时an=Sn-Sn-1，必验证n=1）；③ 裂项相消法、错位相减法（高考解答题高频必考，掌握固定步骤）；④ 等差、等比数列的常用性质（下标和、片段和等，简化计算）；2. 难点：① 由递推关系式构造等差/等比数列（掌握常见构造模型）；② 含参数数列的最值、参数范围求解（结合函数单调性或不等式）；③ 数列不等式证明（放缩技巧的灵活运用）；④ 奇偶项分段数列、复杂递推数列的求解（分类讨论思想）。 关联模块 1. 直接关联：函数（数列是特殊的函数，单调性、最值可借助函数思想求解）、不等式（数列不等式证明、范围求解）、三角函数（偶尔结合周期性考查）；2. 间接关联：导数（数列最值的高阶求解）、实际应用（建模求解，如增长率、累加问题）、概率统计（计数问题的辅助）。 备考策略 1. 基础过关：熟记等差、等比数列的所有公式，熟练完成“知三求二”运算，牢记Sn与an转化的核心步骤（必验证n=1）；2. 方法强化：专项突破四大通项求法、四大求和方法，尤其是裂项相消、错位相减，总结固定解题步骤，杜绝计算失误；3. 难点突破：总结构造数列的常见模型（如an+1=pan+q），分类刷题形成思路；针对性练习数列不等式放缩、含参问题，掌握分类讨论思想；4. 规范作答：解答题按步骤书写（通项推导、求和过程分步写），避免跳步导致的计算错误；5. 实战训练：多练基础解答题，兼顾中档综合题，少练偏怪题，重点培养“套路化解题”思维。 易错点提醒 1. 等比数列求和时，忘记讨论公比q=1（q=1时Sn=na1，q≠1时用等比求和公式）；2. 利用Sn求an时，忽略验证n=1的情况（导致首项错误）；3. 裂项相消法中，拆分公式错误、剩余项数判断失误（前后剩余项数搞反）；4. 错位相减运算量大，容易出现系数、常数项计算错误，或最后忘记除以（1-q）；5. 混淆数列单调性与函数单调性（数列自变量为正整数，不能直接套用函数导数判断）；6. 等比数列中，忽略公比q≠0、项的正负性判断，导致取值范围出错；7. 构造新数列时，变形错误（如an+1+1=p(an+1)的构造漏加常数）。 一、基础核心考点（送分题，必拿分） （一）数列基本概念 1. 定义：数列是按一定顺序排列的一列数，项与项数一一对应，项数为正整数。 2. 核心表示： - 通项公式：直接表示第n项an与项数n的关系（如an=2n+1），可直接求任意项。 - 递推公式：通过相邻项的关系表示（如an+1=an+2），需结合首项推导后续项。 3. 前n项和Sn：Sn=a1+a2+…+an，核心关系：an=Sn-Sn-1（n≥2），必须验证n=1时是否成立（n=1时，a1=S1）。 4. 考法：判断数列概念正误、利用Sn与an关系求首项/通项（客观题为主）。 （二）等差数列（基础必考） 1. 定义：从第二项起，每一项与它前一项的差为固定常数d（公差），即an+1-an=d（d为常数）。 2. 核心公式： - 通项公式：an=a1+(n-1)d（a1为首项，n为项数）。 - 前n项和公式：Sn=n(a1+an)/2 或 Sn=na1+n(n-1)d/2。 3. 关键性质： - 等差中项：若a、A、b成等差数列，则2A=a+b。 - 下标和性质：若m+n=p+q，则am+an=ap+aq（m、n、p、q为正整数）。 - 连续片段和：S n、S2n-Sn、S3n-S2n仍成等差数列。 4. 考法：“知三求二”（已知a1、d、n、an、Sn中三项求其余两项）、性质应用（客观题+解答题第一问）。 （三）等比数列（基础必考） 1. 定义：从第二项起，每一项与它前一项的比为固定非零常数q（公比），即an+1/an=q（q≠0）。 2. 核心公式： - 通项公式：an=a1·q^(n-1)（a1为首项，n为项数）。 - 前n项和公式：当q=1时，Sn=na1；当q≠1时，Sn=a1(1-q^n)/(1-q) 或 Sn=a1(q^n-1)/(q-1)。 3. 关键性质： - 等比中项：若a、G、b成等比数列，则G²=ab（G≠0）。 - 下标和性质：若m+n=p+q，则am·an=ap·aq（m、n、p、q为正整数）。 4. 考法：“知三求二”、公比q的取值判断、性质应用（客观题+解答题第一问）。 二、核心应用考点（中档题，核心得分区） （一）通项公式四大求法（高考解答题第一问高频） 1. 公式法：直接判定数列是等差或等比数列，套用对应通项公式（基础送分）。 2. 累加法：适用于an+1-an=f(n)（f(n)为可求和的简单式子，如一次函数、分式），累加消去中间项求an。 3. 累乘法：适用于an+1/an=f(n)（f(n)为可约分的简单式子），累乘消去中间项求an。 4. 构造法：适用于复杂递推式（高频模型）： - 模型1：an+1=pan+q（p、q为常数），构造新数列bn=an+q/(p-1)，转化为等比数列。 - 模型2：an+1=pan+qn（p、q为常数），两边同除以qn+1，转化为等差数列。 （二）数列四大求和方法（高考解答题第二问必考） 1. 分组求和：适用于“等差+等比”型数列（如an=2n+3^n），分开求等差、等比数列的和，再相加。 2. 裂项相消法：高频必考，适用于分式型数列（如an=1/[n(n+1)]），拆分通项为两项之差，消去中间项求和（注意剩余项数）。 3. 错位相减法：高频必考，适用于“等差×等比”型数列（如an=n·2^n），步骤固定：乘公比→错位相减→化简求和（注意计算准确性）。 4. 倒序相加法：适用于对称型数列（如an= n + (n+1)，与倒序后相加可提取公因式），低频考查。 三、高阶综合考点（难题，低频拉分） （一）数列性质综合 1. 单调性与最值：利用函数思想（数列是特殊的正整数函数），结合作差法、作商法判断单调性，求最大项、最小项。 2. 奇偶项分段数列：当递推式含(-1)^n时，分n为奇数、偶数讨论，分别求通项、求和。 （二）综合应用问题 1. 恒成立/存在性问题：含参数数列，求参数范围（结合不等式、函数最值求解）。 2. 数列与不等式结合：证明数列不等式（常用放缩技巧，如1/n²<1/[n(n-1)]=1/(n-1)-1/n）。 3. 实际应用：建模求解（如增长率、存款利息、累加计数问题），转化为等差或等比数列求解。 四、高考考法与易错提醒 （一）考法总结 1. 客观题（5-10分）：侧重基础，考查公式应用、性质辨析、简单通项/求和，难度低-中档。 2. 解答题（12分）：固定模式，第一问求通项，第二问求和，偶尔加第三问考查最值/范围，难度中档。 3. 新高考趋势：弱化复杂递推，强化基础运算和方法套路，极少出现偏怪题。 （二）易错提醒 1. 等比数列求和忘记讨论q=1的情况，导致公式套用错误。 2. 利用Sn求an时，未验证n=1，导致首项错误。 3. 裂项相消拆分错误、剩余项数判断失误；错位相减计算出错。 4. 混淆数列与函数的单调性，忽略数列自变量为正整数。 5. 构造新数列时，变形错误（如漏加、漏乘常数）。 一、单选题 1．（2026·云南曲靖·二模）已知正项数列的前n项和为，，，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·陕西渭南·模拟预测）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：.该数列的特点是：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列称为“斐波那契数列”，该数列有这样一个规律：，称为卡西尼恒等式，根据卡西尼恒等式，（    ） A．2025 B．-1 C．2026 D．1 3．（2026·江西·二模）在正项数列中，，，，若，为数列的前n项和，若，则正整数n的最大值为（   ） A．21 B．22 C．23 D．24 4．（2026·河北沧州·二模）已知三个正数，，成等比数列，且，，则（   ） A．6 B．9 C．12 D．15 5．（2026·上海浦东新·三模）已知是公差为的等差数列，是公比为的等比数列，若．已知，记和分别为数列和的前项和，则下列结论正确的是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 6．（2026·湖南·一模）已知各项均为正数的等比数列的前n项和为，且满足，，成等差数列，则（    ） A．15 B．17 C．80 D．82 7．（2026·山东滨州·二模）若，，成等差数列，则（   ） A． B． C． D． 8．（2026·安徽·模拟预测）已知数列的通项公式为，若是数列的最大项，则（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 9．（2026·湖南衡阳·模拟预测）已知数列满足是数列的前n项和，则（   ） A．-7 B．-6 C．6 D．7 10．（2026·广东东莞·二模）等差数列的前项和为，已知，则（   ） A．64 B．56 C．38 D．8 二、多选题 11．（2026·重庆北碚·模拟预测）已知为等差数列，记的前项和为，前项中所有偶数项的和为，且，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．若，则 12．（2026·湖北黄石·模拟预测）设数列满足，，记数列的前项和为，则（   ） A． B． C． D． 13．（2026·重庆渝中·二模）已知是等差数列的前项和，为公差，且，，则下列说法正确的是（   ） A． B．当时，取最小值 C． D． 14．（2026·山东滨州·二模）已知无穷数列的前n项和为，且对于任意，（且），则下列结论正确的是（   ） A．存在，使得是常数列 B．任意，有最大项，无最小项 C．存在，使得是周期数列 D．任意，不是递增数列 15．（2026·湖南衡阳·模拟预测）若数列满足，则下列说法正确的是（   ） A．任意 B．任意 C．任意 D．任意 三、填空题 16．（2026·云南曲靖·二模）记为等比数列的前n项和，若，则_____________． 17．（2026·重庆北碚·模拟预测）已知等比数列中，，则______；又数列满足，，若为数列的前项和，那么______． 18．（2026·湖南·一模）已知数列的通项公式是.设为数列的前n项和，当时，______；若存在n，使得，则m的最小值为______. 19．（2026·河北张家口·三模）已知数列的首项，且，则_____． 四、解答题 20．（2026·全国·模拟预测）已知函数. (1)当时，求函数在上的值域； (2)若对任意，都有，求实数的取值范围； (3)证明：. 21．（2026·河南安阳·模拟预测）记数列的前项和为，已知. (1)求数列的通项公式； (2)设为正整数，从集合中随机抽取一个数，若抽到，则记随机变量，假设抽到的概率与的值成正比，求.（用表示） 22．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知等差数列的前n项和为，且，． (1)求的通项公式； (2)数列满足，，求的通项公式． 23．（2026·辽宁铁岭·模拟预测）记为等比数列的前n项和，已知． (1)求的公比； (2)求的前n项和． 24．（2026·陕西西安·三模）已知等差数列满足． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 25．（25-26高二下·江西鹰潭·期中）设数列的前n项和为，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前n项和； (3)令，记数列的前n项和为，求证：． 26．（2022·上海松江·二模）在等差数列中，已知，． (1)求数列的通项公式； (2)若数列是首项为1，公比为3的等比数列，求数列的前项和． 27．（2026·安徽·模拟预测）已知数列中，，，． (1)求证：数列为等比数列； (2)记，数列的前n项和为，求证：． 28．（2026·河北张家口·三模）记等差数列的前n项和为，公差，且，，成等比数列，． (1)求数列的通项公式； (2)设，且数列的前n项和为，若对任意，，求的最小整数值． 29．（2026·辽宁大连·三模）设数列满足，且． (1)证明：数列是等差数列，并求其通项公式； (2)若，求正整数m的值． 30．（2025·天津宝坻·模拟预测）已知数列的前项和为，正项且公差不为零的等差数列满足，且． (1)求数列，的通项公式； (2)若，求数列的前项的和； (3)记，为数列的前项积，证明： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $