精品解析：重庆忠县拔山中学教共体2025-2026学年九年级下学期期中练习数学试卷

重庆忠县拔山中学教共体2025-2026学年九年级下学期期中练习数学试卷 （全卷共四大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试卷上直接作答． 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项． 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）在每小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡中题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 的绝对值是（ ） A. 8 B. C. D. 2. 下列数学符号中，是中心对称图形的是（ ） A. ⊥ B. ∠ C. △ D. ▭ 3. 下列说法正确的是（ ） A. 掷一枚质地均匀的骰子，骰子停止转动后，朝上一面的点数是是必然事件 B. “明天降雨的概率为”，表示明天有半天都在降雨 C. “射击运动员射击一次，命中靶心”是随机事件 D. 了解某型号电视机的使用寿命，适合用全面调查的方式 4. 点是反比例函数的图象上一点，则m的值为（ ） A. B. C. D. 1 5. 如图，把含有的直角三角板斜边放在直线l上，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，是的直径，点，在上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 的值在两个连续整数，之间，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放，第1个图形有6颗棋子，第2个图形有9颗棋子，第3个图形有12颗棋子，第4个图形有15颗棋子，⋯⋯，以此类推，第8个图形的棋子颗数为（ ） A. 24 B. 27 C. 30 D. 32 9. 如图，在正方形中，点为正方形内部一点，连接、，将线段绕点逆时针旋转得到线段，点落在的延长线上，的延长线交于点，连接交于点，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 已知：，其中为自然数，，，，⋯，，为整数，且，下列说法： ①若，； ②若，且，则满足条件的二次三项式有个； ③若，且与有相同的非零实数根，则． 其中正确的有（ ）． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 一个暗箱中装有个除颜色外其他完全相同的球，其中紫色的球有2个，每次将球搅拌均匀后，任意摸出1个球记下颜色，再放回暗箱，通过大量重复试验后发现，摸到紫色球的频率稳定在，那么可以估算的值是__________． 12. 一个多边形的外角和等于它的内角和，则这个多边形的边数是______． 13. 两个相似三角形的面积之比为，则它们对应边的比是__________． 14. 若实数同时满足，则的值为__________． 15. 如图，矩形中，点E，F分别在边，上，且的外接圆恰好切于点，交于点，连接．若，则的半径为__________，__________． 16. 如果一个四位自然数各数位上的数字均不为0，且满足，那么称这个四位数为“100分数”．例如：四位数，，是“100分数”，则最小的“100分数”为__________；对于“100分数”，记，，当能被13整除时，的最小值为__________． 三、解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 解不等式组：，并求出它的所有整数解的和． 18. 在学习了特殊平行四边形的相关知识以后，某数学兴趣小组进行了更深入的探究与思考． （1）如图，四边形是菱形，，连接．用尺规过点作的垂线，交于点，延长交直线于点，连接（不写作法，保留作图痕迹）； （2）已知：四边形是菱形，，．试探究四边形的形状，并按下列思路完成填空． 证明：∵四边形是菱形， ∴，． ∴ ① ∵， ∴是等边三角形．∴． 又∵， ∴ ② ．（三线合一） ∵，∴． ∴ ③ ∵， ∴四边形是平行四边形． ∵ ④ ∴平行四边形是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形） 四、解答题（本大题共7小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 某中学对七、八年级学生进行“中学生心理健康”的培训，为了解培训效果，随机从七、八年级各抽取了名学生参与“中学生心理健康”知识竞赛，将七、八年级学生中各随机抽取名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均不低于分，用表示，共分为四组：，，，，得分在分及以上为优秀），下面给出了部分信息： 七年级名学生的竞赛成绩是：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 八年级名学生的竞赛成绩在组的数据是：，，，，． 七、八年级抽取学生的竞赛成绩统计表 年级 平均数 众数 中位数 七年级 八年级 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中的__________，__________，__________； （2）根据以上数据分析，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的竞赛成绩更好？请说明理由； （3）若该校七年级有人，八年级有人，估计该校七、八年级学生参加此次竞赛成绩达到优秀的学生人数． 20. 化简求值：．其中． 21. 某食品加工厂根据订单的需求会不定期采购A，B两种食材（单位：件），而两种食材的单价会根据市场变化波动． （1）第一周，该食品加工厂花费7650元一次性采购A，B两种食材共100件，此时A，B两种食材的单价分别是60元、90元，求食品加工厂采购了A，B两种食材各多少件？ （2）第二周，由于采购价格发生了变化，食品加工厂分别花费2000元、4200元一次性购买A，B两种食材，已知采购B种食材的数量是A种食材数量的倍，每件A种食材的单价比每件B种食材的单价少20元，求食品加工厂第二周采购A种食材多少件？ 22. 如图，在矩形中，，点为线段的中点，动点以每秒1个单位长度从点出发，沿着运动．动点同时以每秒个单位长度从点出发，沿方向运动，当点到达点时，点P、Q同时停止运动．设点P、Q的运动时间均为秒，记的面积为，. （1）请直接写出关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出当时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 23. 某区“全民健身跑”活动在人民公园举办，活动主办方开辟出了两条经典路线．如图是两条跑步路线的平面示意图，已知终点在起点的东北方向．路线①从起点出发向北偏东的方向先跑过一段山路到达补给点，再沿正东方向跑一段步道即可到达终点；路线②从起点出发沿北偏东的方向跑过一段山路到达补给点，再沿正北方向的步道跑1800米即可到达终点．（参考数据：） （1）求的长度；（结果精确到1米） （2）我校某班有两位同学小幸和小福参加了跑步活动，小幸选择路线①，小福选择路线②，他们分别到达B，D休息一段时间后，若两人同时分别从B，D出发，小幸的平均速度为90米／分钟，小福的平均速度是小幸的，请通过计算说明经过多少分钟后他们相距900米？（结果精确到0.1） 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点． （1）求抛物线的表达式； （2）是射线上方抛物线上的一个动点，轴交于点于点D，M是直线上的一个动点，连接，当周长取得最大值时，求点的坐标及的最小值； （3）将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线为新抛物线对称轴右侧上的一点，当时，请直接写出所有符合条件的点的横坐标． 25. 在中，是所在平面内一点，连接． （1）如图1，若点在边上，平分，求的度数； （2）如图2，若点在边上，，将线段绕点顺时针旋转得到，连接交边于点．求证：； （3）如图3，若是的中点，是的中点，将沿所在直线翻折到，连接，在上取一点，使得，连接，，当取最小值时，请直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆忠县拔山中学教共体2025-2026学年九年级下学期期中练习数学试卷 （全卷共四大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试卷上直接作答． 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项． 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）在每小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡中题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 的绝对值是（ ） A. 8 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了绝对值，正数的绝对值等于它本身；负数的绝对值等于它的相反数；0的绝对值等于0. 根据正数的绝对值等于它本身；负数的绝对值等于它的相反数；0的绝对值等于0，可得答案． 【详解】解：的绝对值是8． 故选：A． 2. 下列数学符号中，是中心对称图形的是（ ） A. ⊥ B. ∠ C. △ D. ▭ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形的识别，根据中心对称图形的定义，一个平面图形，绕一点旋转后能与原图形重合，这个图形即为中心对称图形．进行判断即可． 【详解】解：A、不是中心对称图形，不符合题意； B、不是中心对称图形，不符合题意； C、不是中心对称图形，不符合题意； D、是中心对称图形，符合题意； 故选D． 3. 下列说法正确的是（ ） A. 掷一枚质地均匀的骰子，骰子停止转动后，朝上一面的点数是是必然事件 B. “明天降雨的概率为”，表示明天有半天都在降雨 C. “射击运动员射击一次，命中靶心”是随机事件 D. 了解某型号电视机的使用寿命，适合用全面调查的方式 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了事件的分类，判断全面调查与抽样调查，概率的意义理解，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、掷一枚质地均匀的骰子，骰子停止转动后，朝上一面的点数是是随机事件，本选项说法不正确，不符合题意； B、“明天降雨的概率为”，表示明天有一半的可能性降雨，本选项说法不正确，不符合题意； C、“射击运动员射击一次，命中靶心”是随机事件，本选项说法正确，符合题意； D、了解某型号电视机的使用寿命，适合用抽样调查的方式，本选项说法不正确，不符合题意． 故选：C． 4. 点是反比例函数的图象上一点，则m的值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，将点A的坐标代入反比例函数解析式，建立方程求解m即可． 【详解】解：点是反比例函数的图象上一点， ∴ 解得， 故选：C． 5. 如图，把含有的直角三角板斜边放在直线l上，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查直角三角形内角和与平角的性质，熟练掌握直角三角形内角特点和平角为是解题关键． 先确定三角板的内角，再利用平角与对顶角等知识，通过角度关系求出 ． 【详解】解：直角三角板含角，则另一个锐角为 ． ∴ 故选：D ． 6. 如图，是的直径，点，在上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合同弧所对圆周角相等、直径所对的圆周角是直角即可得解． 【详解】解：， ， 是的直径， ， ． 7. 的值在两个连续整数，之间，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先结合二次根式的混合运算法则进行计算，再比较得出计算值的取值范围即可找到符合条件的两个连续整数，． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， 即， 两个连续整数，分别为和， ，选项符合题意． 8. 用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放，第1个图形有6颗棋子，第2个图形有9颗棋子，第3个图形有12颗棋子，第4个图形有15颗棋子，⋯⋯，以此类推，第8个图形的棋子颗数为（ ） A. 24 B. 27 C. 30 D. 32 【答案】B 【解析】 【分析】先找出棋子数量的规律，第个图形的棋子数为，再将代入计算即可． 【详解】解：观察图形可知：第1个图形有个棋子； 第2个图形有个棋子； 第3个图形有个棋子； 第4个图形有个棋子； …… 以此类推，第个图形的棋子数为个． 当时，代入规律公式：， 所以，第个图形的棋子有个． 9. 如图，在正方形中，点为正方形内部一点，连接、，将线段绕点逆时针旋转得到线段，点落在的延长线上，的延长线交于点，连接交于点，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，过点作，交的延长线于点，先证明，得到，进而推出为直角三角形，利用，得到，设，进而得到，求出，证明，求出的长，再证明，得到，即可． 【详解】解：连接，过点作，交的延长线于点， ∵正方形， ∴， ∴， ∵旋转， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 设，则：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选A． 【点睛】本题考查正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识点，解题的关键是添加辅助线构造全等和相似三角形． 10. 已知：，其中为自然数，，，，⋯，，为整数，且，下列说法： ①若，； ②若，且，则满足条件的二次三项式有个； ③若，且与有相同的非零实数根，则． 其中正确的有（ ）． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查多项式的基本运算、整数的取值分析、方程的根的性质．对每个说法逐一分析，结合多项式的定义、运算规则、整数的取值范围、方程根的代换等知识进行验证；注意题目中“整数”“非零实数根”等限制条件，避免遗漏或错误推导，是解题的关键． 说法①通过直接计算的值验证； 说法②需找出满足且的二次三项式，计算个数； 说法③利用共同非零实根条件推导与的关系． 【详解】解：①∵， ∴，①正确； ②设，满足，且，即， ∵，且，，均为非零整数， ∴可能情况为，，或，，， 每种情况下，，符号独立，各有种选择，故有个，②正确； ③设，共同非零实根为， 则，， 两式相减得， ∵， ∴， 代入第一式得，即， ∴，③正确． 故选： 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 一个暗箱中装有个除颜色外其他完全相同的球，其中紫色的球有2个，每次将球搅拌均匀后，任意摸出1个球记下颜色，再放回暗箱，通过大量重复试验后发现，摸到紫色球的频率稳定在，那么可以估算的值是__________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查利用频率估计概率，根据大量重复试验后频率的稳定值可估计事件发生的概率，再利用概率公式列方程求解即可． 【详解】解：由题意，大量重复试验后摸到紫色球的频率稳定在，因此估计摸到紫色球的概率为， 根据概率公式可得， 解得， 经检验符合题意． 12. 一个多边形的外角和等于它的内角和，则这个多边形的边数是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角和外角，正确记忆多边形的外角和与边数无关，任何多边形的外角和都是是解题关键．根据多边形的内角和公式与外角和定理列出方程，然后求解即可． 【详解】解：设这个多边形是n边形， 根据题意得， 解得， 故答案为：4． 13. 两个相似三角形的面积之比为，则它们对应边的比是__________． 【答案】 【解析】 【详解】解：两个相似三角形的面积之比为， 由相似三角形的性质可知，面积比等于相似比的平方， 它们对应边的比，即相似比为． 14. 若实数同时满足，则的值为__________． 【答案】25 【解析】 【分析】本题考查绝对值的性质与分类讨论思想，根据的正负性分两种情况讨论，舍去不成立的情况，得到的值后代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，可得， 则原等式 可化为； 当时，，则， 将代入得： ， 整理得， 解得， ∴， 代入得； 当时，，则， 将代入得： ， 整理得，等式不成立，此情况无解． 综上所述，的值为． 15. 如图，矩形中，点E，F分别在边，上，且的外接圆恰好切于点，交于点，连接．若，则的半径为__________，__________． 【答案】 ①. 5 ②. 【解析】 【分析】先证，求出，连接并延长，交于点M，求出半径，进一步求出直径，再连接，过点E作于点N，分别在及中求出与的长度，最后相加即可． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 如图，连接并延长，交于点M， ∵的外接圆恰好切于点， ∴， ∵， ∴， 则四边形为矩形， ∴， 设半径为r， 在中，， ∴， 解得，， ∵， ∴为的直径，， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 过点E作于点N， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， ∴， 在中， ， ∵， ∴在等腰中，， ∴． 16. 如果一个四位自然数各数位上的数字均不为0，且满足，那么称这个四位数为“100分数”．例如：四位数，，是“100分数”，则最小的“100分数”为__________；对于“100分数”，记，，当能被13整除时，的最小值为__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由“100分数”的定义可得千位数字最小为1，百位数字为8，再结合得到最小“100分数”即可； 由得出，进而得到，即能被13整除，要使最小，则最小，最大，再分析、、、的值即可． 【详解】解：∵“100分数”最小， 千位数字为1，百位数字为8， ， ∴十位数字为1，个位数字为9， 最小的“100分数”为； “100分数”， ， ， ， 即， ， ， ， ， 能被13整除， 能被13整除，即能被13整除， ，要使最小， 最小，最大， 各数位上的数字均不为0， 若，即， ， ， ， 最大值为42， 即， 解得，舍去； 当，解得， ， ， ， 此情况不符合题意； 若，则， ， 当时， 解得，舍去； 当时， 解得，舍去； 若，则， ， 当时， 解得，舍去； 当时， 解得，舍去； 若，则， ， 当时， 解得，舍去； 当时， 解得， 令、时，， 即，舍去； 令、时，， 即，舍去； 令、时，， 即，舍去； 令、时，， 即， ， ， 即的最小值为． 三、解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 解不等式组：，并求出它的所有整数解的和． 【答案】解集：，整数和：9 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，有理数的加法，熟练掌握该知识点是解题的关键． 分别解不等式、，求出一元一次不等式组的解集，从而得到一元一次不等式组的整数解，相加即可． 【详解】解： 解不等式，， ； 解不等式，， ； 此不等式组的解集为， 整数解为：，0，1，2，3，4， 整数解的和：． 18. 在学习了特殊平行四边形的相关知识以后，某数学兴趣小组进行了更深入的探究与思考． （1）如图，四边形是菱形，，连接．用尺规过点作的垂线，交于点，延长交直线于点，连接（不写作法，保留作图痕迹）； （2）已知：四边形是菱形，，．试探究四边形的形状，并按下列思路完成填空． 证明：∵四边形是菱形， ∴，． ∴ ① ∵， ∴是等边三角形．∴． 又∵， ∴ ② ．（三线合一） ∵，∴． ∴ ③ ∵， ∴四边形是平行四边形． ∵ ④ ∴平行四边形是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形） 【答案】（1）图见详解 （2）；；； 【解析】 【分析】（1）按照步骤过点作出的垂线，延长交直线于点，连接即可． （2）根据菱形的性质得出是等边三角形．在证明，即可证明四边形是平行四边形，根据，即可证明平行四边形是菱形，即可求解． 【小问1详解】 解：按照题意画图如下： 【小问2详解】 证明：∵四边形是菱形， ∴，． ∴， ∵， ∴是等边三角形． ∴． 又∵， ∴． ∵， ∴． ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴平行四边形是菱形． 故答案为：；；；． 【点睛】本题主要考查了垂线的画法，菱形的判定，全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 四、解答题（本大题共7小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 某中学对七、八年级学生进行“中学生心理健康”的培训，为了解培训效果，随机从七、八年级各抽取了名学生参与“中学生心理健康”知识竞赛，将七、八年级学生中各随机抽取名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均不低于分，用表示，共分为四组：，，，，得分在分及以上为优秀），下面给出了部分信息： 七年级名学生的竞赛成绩是：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 八年级名学生的竞赛成绩在组的数据是：，，，，． 七、八年级抽取学生的竞赛成绩统计表 年级 平均数 众数 中位数 七年级 八年级 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中的__________，__________，__________； （2）根据以上数据分析，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的竞赛成绩更好？请说明理由； （3）若该校七年级有人，八年级有人，估计该校七、八年级学生参加此次竞赛成绩达到优秀的学生人数． 【答案】（1），，； （2）七年级的竞赛成绩更好，理由见解析； （3）估计七、八年级学生参加此次竞赛成绩达到优秀的学生人数为人 【解析】 【分析】（1）结合众数、中位数定义求出、的值，再结合扇形统计图信息可求出组成绩所占百分比，即的值； （2）分别比较平均数、众数、中位数的大小进行判断即可； （3）由样本所占百分比估计总体的数量即可． 【小问1详解】 解：由题可知，七年级名学生的竞赛成绩中出现最多的是， 即众数为，； 八年级名学生的竞赛成绩在组的数据有个， 组成绩所占百分比为， ； 又八年级的数据中组和组所占的总比例为， 即组和组的数据总量为个， 则八年级组数据的中位数应为组数据中和的平均数， 即为， ． 【小问2详解】 解：从平均数来看，两个年级成绩相同，从众数和中位数来看，七年级成绩均比八年级成绩高，认为七年级的竞赛成绩更好． 【小问3详解】 解：由题可知，七年级竞赛成绩在组的有人， 可估计七年级学生参加此次竞赛成绩达到优秀的学生人数为人， 八年级竞赛成绩在组所占的比例为， 可估计八年级学生参加此次竞赛成绩达到优秀的学生人数为人， 即七、八年级学生参加此次竞赛成绩达到优秀的学生人数为人， 故估计七、八年级学生参加此次竞赛成绩达到优秀的学生人数为人． 20. 化简求值：．其中． 【答案】，11 【解析】 【分析】先用特殊角三角函数值、零指数幂、负整数指数幂的运算法则求出的值，再利用平方差公式化简第一项，再对分式部分通分，结合分式的乘除运算法则化简原式，将的值代入化简后的式子即可得到结果． 【详解】解：∵ ， ∴原式 ． 21. 某食品加工厂根据订单的需求会不定期采购A，B两种食材（单位：件），而两种食材的单价会根据市场变化波动． （1）第一周，该食品加工厂花费7650元一次性采购A，B两种食材共100件，此时A，B两种食材的单价分别是60元、90元，求食品加工厂采购了A，B两种食材各多少件？ （2）第二周，由于采购价格发生了变化，食品加工厂分别花费2000元、4200元一次性购买A，B两种食材，已知采购B种食材的数量是A种食材数量的倍，每件A种食材的单价比每件B种食材的单价少20元，求食品加工厂第二周采购A种食材多少件？ 【答案】（1）食品加工厂采购了A种食材45件，B种食材55件 （2）食品加工厂第二周采购A种食材40件 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，分式方程的实际应用，解题的关键是根据题意，找出等量关系，列出方程求解． （1）设食品加工厂采购了A种食材x件，B种食材y件，根据题意列出方程组求解即可； （2）设食品加工厂第二周采购A种食材m件，则B种食材采购件，根据“每件A种食材的单价比每件B种食材的单价少20元”列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：设食品加工厂采购了A种食材x件，B种食材y件， ， 解得：， 答∶食品加工厂采购了A种食材45件，B种食材55件． 【小问2详解】 解：设食品加工厂第二周采购A种食材m件，则B种食材采购件， ， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， 答：食品加工厂第二周采购A种食材40件． 22. 如图，在矩形中，，点为线段的中点，动点以每秒1个单位长度从点出发，沿着运动．动点同时以每秒个单位长度从点出发，沿方向运动，当点到达点时，点P、Q同时停止运动．设点P、Q的运动时间均为秒，记的面积为，. （1）请直接写出关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出当时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 【答案】（1）， （2）图象见解析，当时，随x的增大而增大，当时，随x的增大而减小 （3） 【解析】 【分析】（1）先由矩形的性质和勾股定理得到，，则可得到，再根据，，得到，即可求出；根据在线段或线段分情况讨论，再根据面积比等于底的比求出即可； （2）根据，的解析式画出图象，再根据图象写出性质即可； （3）由函数图象可以发现，当时，或，即可得到当时x的取值范围． 【小问1详解】 解：∵在矩形中，，， ∴，，， ∴， ∴， 如图所示，连接， ∵点E为线段的中点， ∴， 由题意可得，， ∴， ∴； 如图所示，当在线段上时，则，，， ∴； 如图所示，当在线段上时，，，， ∴， ∴， ∵点E为线段的中点， ∴； 综上所述，，； 【小问2详解】 解：，的图象如图： 由函数图象可得，当时，随x的增大而增大，当时，随x的增大而减小； 【小问3详解】 解：由函数图象可以发现，当时，或， ∴当时x的取值范围． 23. 某区“全民健身跑”活动在人民公园举办，活动主办方开辟出了两条经典路线．如图是两条跑步路线的平面示意图，已知终点在起点的东北方向．路线①从起点出发向北偏东的方向先跑过一段山路到达补给点，再沿正东方向跑一段步道即可到达终点；路线②从起点出发沿北偏东的方向跑过一段山路到达补给点，再沿正北方向的步道跑1800米即可到达终点．（参考数据：） （1）求的长度；（结果精确到1米） （2）我校某班有两位同学小幸和小福参加了跑步活动，小幸选择路线①，小福选择路线②，他们分别到达B，D休息一段时间后，若两人同时分别从B，D出发，小幸的平均速度为90米／分钟，小福的平均速度是小幸的，请通过计算说明经过多少分钟后他们相距900米？（结果精确到0.1） 【答案】（1）的长度约为米 （2）经过分钟后他们相距900米 【解析】 【分析】（1）如图，过点D作于点E，在中，求出（米），在中，求出（米），进而求解即可； （2）如图，过点A作交的延长线于点F，设t分钟后小幸到达点P，小福到达点Q，此时米，在中，求出米，在中，求出米，得到（米），表示出，，然后利用勾股定理列方程求解即可． 【小问1详解】 解；如图，过点D作于点E， 由题意得，，，米， ∴， 在中，（米）． 在中，（米） （米）． 答：的长度约为米； 【小问2详解】 解；如图，过点A作交的延长线于点F， 设t分钟后小幸到达点P，小福到达点Q，此时米， 由题意知，， 由（1）知米， 在中，米， 在中，米， （米） ∵小幸的平均速度为90米／分钟，小福的平均速度是小幸的， ∴小福的平均速度是米／分钟， ∴，． ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴， 化简得， 解得，． ∵小幸走完全程需要分钟，，小幸已到达终点停止，不符合题意，舍去． ∴经过分钟后他们相距900米． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点． （1）求抛物线的表达式； （2）是射线上方抛物线上的一个动点，轴交于点于点D，M是直线上的一个动点，连接，当周长取得最大值时，求点的坐标及的最小值； （3）将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线为新抛物线对称轴右侧上的一点，当时，请直接写出所有符合条件的点的横坐标． 【答案】（1） （2），的最小值为 （3）或 【解析】 【分析】（1）先解求出点坐标，再由待定系数法求解抛物线表达式； （2）可求直线设，则，则，当时，取得最大值为，延长交轴于点，可证明，则，，故，那么的周长取得最大值时，取得最大值，因此此时，过点作轴于点，连接，由，得到，那么，故当三点共线，且点重合时，取得最小值即为； （3）先求出，则对称轴为直线，当点在轴上方时，记为点，在轴上取点，连接，使得，作 轴于，得到，再通过等角的正切值相等建立方程求解，当点在轴下方时，记为点，同理可求． 【小问1详解】 解：对于抛物线，当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 将点，代入， 则，解得， ∴抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：设直线， 则代入，得， 解得， ∴直线， 设，则 ∴ ∵， ∴当时，取得最大值为， 延长交轴于点，则， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴的周长取得最大值时，取得最大值， ∴此时， 过点作轴于点，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当三点共线，且点重合时，取得最小值即为； 【小问3详解】 解：设抛物线沿射线方向平移个单位长度后的点B的对应点为点，过点作轴于点， 由题意得，， 同理可得 ∴ ∴ ∴， ∴抛物线向左平移了3个单位，向上平移了1个单位得到， ∵， ∴， ∴对称轴为直线， 当点在轴上方时，记为点，在轴上取点，连接，使得，作 轴于， ∴ ∴ ∵ ∴， 设，则， ∵ ∴ 解得， ∴ ∴ 设 ∴ 解得（舍去）， 当点在轴下方时，记为点，作 轴于， 则， ∴， 设 则 解得，（舍） 综上，点的横坐标为或． 25. 在中，是所在平面内一点，连接． （1）如图1，若点在边上，平分，求的度数； （2）如图2，若点在边上，，将线段绕点顺时针旋转得到，连接交边于点．求证：； （3）如图3，若是的中点，是的中点，将沿所在直线翻折到，连接，在上取一点，使得，连接，，当取最小值时，请直接写出的面积． 【答案】（1）； （2）见详解； （3）． 【解析】 【分析】（1）由角平分线的性质得，根据题意设根据三角形的内角和求出，再根据三角形外角的性质即可求解； （2）先证明是等边三角形，得出，，由旋转得，，证明，过点E作交于点G，证明，得出，，，证明，得出，结合，，即可证明； （3）先利用等腰直角三角形和中点性质得到线段的平行与垂直关系，结合翻折性质确定R的轨迹，再由通过平行线分线段成比例确定Q的轨迹，利用相似三角形将转化为，把转化为，根据两点之间线段最短确定Q的位置，接着通过三角函数求出相关角度，设并根据线段和列方程求解x，最后计算的面积． 【小问1详解】 解：∵平分， ∴， ∵， 设 在中，， 即， 解得， 又∵， ∴； 【小问2详解】 证明：∵， ∴是等边三角形， ∴，， 由旋转得，， ∴， 又是的外角， ， ， 过点E作交于点G， 则， ∴ 又， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ， ，， ， 整理得； 【小问3详解】 解：连接，过点Q作，交于O， ∵ ∴是等腰直角三角形，，， ∵是的中点，是的中点， ∴，，是的中位线， ∴， ∵将沿所在直线翻折到， 由翻折性质得：，，即R在以A为圆心，3为半径的圆上． ∵，即， ∴， ∴，，， ∴点Q在以O为圆心、1为半径的圆上，， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 由两点之间线段最短，当M、Q、N三点共线时，取最小值，此时Q在上， ∵，， ∴， ， 在中，，， ∴由勾股定理得， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，平分， ∵， ∴， 在中，，， ∴，， ∴， 过R作于K， ， ， 设， 在中，， 在中，， ∵， 解得， ， ， 即的面积为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $