精品解析：重庆市文峰初中教共体2026年春季学期九年级期中测试数学学科试题

文峰初中教共体2026年春季学期九年级期中测试 数学学科试题 （全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟） 一．选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 2026的倒数是（　　） A. B. 2026 C. D. 2. 如图，这个几何体是由5个大小相同的小立方块搭成，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 3. 把一块含角的直角三角板按如图方式放置在两条平行线之间，若，则的大小是（ ） A. B. C. D. 4. 反比例函数的图象所在象限为（　　） A. 第一、二象限 B. 第一、三象限 C. 第一、四象限 D. 第二、四象限 5. 佛山市2025年参加中考的人数约为91000人，将91000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，与是位似图形，点为位似中心，已知，则与的面积之比是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，是的两条切线，切点分别为，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，某民族服饰的花边均是由若干个基本图形组成的有规律的图案，第1个图案由4个基本图形组成，第2个图案由7个基本图形组成，第3个图案由10个基本图形组成，…按照这一规律，第8个图案中基本图形的个数为（ ） A. 22 B. 25 C. 28 D. 31 9. 如图，在正方形中，点在边上，点在对角线上，连接，，点，分别为，中点，若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 已知整式，其中，为正整数，，，，为自然数，整数满足，．定义整式的“加权值”．下列说法： ①当时，不等式的解集为； ②当，时，的最小值为17： ③满足条件的所有二次三项式的和取最小值时，． 其中正确的个数是（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 二．填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 家住重庆的小高得知2026年春晚有四个分会场（黑龙江哈尔滨、浙江义乌、安徽合肥、四川宜宾）后，打算随机选择一个前往，则他恰好选到离家最近的分会场的概率是__________． 12. 若为正整数，且满足，则__________． 13. 某公司5月份的营业额为25万，7月份的营业额为36万，已知6、7月的增长率相同，则增长率为_____． 14. 若，，则______． 15. 如图，是等腰的外接圆，，．连接并延长交于点，的角平分线交于点，交于点，连接，则的长度为_____． 16. 若一个四位自然数各数位上的数字均不为零，且满足千位数字与十位数字之和，百位数字与个位数字之和均为6的倍数，则称M为“吉量数”．例如：四位数4521，∵，，6为6的倍数，∴4521为“吉量数”．按照这个规定，最大的“吉量数”是________；若“吉量数”（，，，，且a，b，c，d均为整数）的千位数字和百位数字分别加上4，十位数字和个位数字不变，得到的四位数记为，将的十位数字和千位数字交换位置，个位数字与百位数字交换位置后得到的四位数为，记．若是5的倍数，且是一个完全平方数，则满足条件的“吉量数”M的最大值与最小值的差为________． 三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 求不等式组：的整数解． 18. 数学实践小组对平行四边形进行了以下探究：在平行四边形对角线所在的直线上取两点E、F，使．这样所得的四边形是平行四边形．请根据他们的思路完成以下作图和推理填空： （1）如图，用直尺和圆规，在的右侧作，交直线于点F，连接（不写作法，保留作图痕迹） （2）已知：四边形是平行四边形，与交于点O，点E、F是直线上两点，连接、、、，．求证：四边形是平行四边形． 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，① ， ∴， ∴， ∴② ． 在和中： ， ∴， ∴，③ ， ∴④ ， ∴四边形是平行四边形． 四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 为了解文峰初中学生对等智能软件的使用情况，学校举办了智能软件使用技能竞赛．现从八、九年级的学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行收集、整理、描述、分析．所有学生的成绩均高于分（成绩得分用x表示，共分成四组：．；．；．；．），下面给出了部分信息： 八年级抽取名学生的竞赛成绩为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 九年级抽取名学生的竞赛成绩在组的数据是：，，，，，． 八、九年级所抽学生的竞赛成绩统计表 年级 八年级 九年级 平均数 中位数 众数 方差 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：_______，_______，_______； （2）请根据以上数据进行分析，你认为学校八、九年级中哪个年级学生的技能竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）学校八年级有名学生，九年级有名学生，请估计八年级和九年级两个年级竞赛成绩为优秀的学生共有多少名？ 20. 先化简，再求值：，其中x满足． 21. 列方程解应用题：为发展农业新质生产力，重庆农科院研发的智能采茶机器人正式上岗作业．经测试，每分钟一名工人采茶的数量比一台机器人采茶的数量少5片，若一名工人采茶6分钟、一台机器人采茶10分钟，共采茶450片． （1）分别求出一名工人和一台机器人每分钟采茶的片数； （2）经科研人员研发指导，工人和机器人的采茶速度都得以提高，机器人每分钟比之前多采2a片茶叶，工人每分钟比之前多采a片茶叶，这样，一台机器人采1200片茶叶所用的时间是一名工人采600片茶叶所用时间的1.5倍，求出a的值． 22. 如图1，矩形中，，，动点P以的速度从点B沿折线运动（不与点B，C重合），连接，同时，动点Q以的速度从点A出发沿运动，当点P停止运动时点Q也随之停止运动．过点Q作于点H，设点P的运动时间为x（单位：s），记的面积为，记与的周长比为，请回答下列问题： （1）请直接写出分别与x的函数关系式，并注明自变量x的取值范围； （2）如图2，在给定的平面直角坐标系中，画出函数的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出当时x的取值范围．（近似值保留一位小数，误差不超过0.2） 23. 如图，某海域捕鱼作业区B位于补给中心的北偏东方向距离海里处，位于岛屿的北偏西方向，岛屿位于补给中心的正东方．（参考数据：，）． （1）求岛屿与捕鱼作业区之间的距离；（结果保留到小数点后一位） （2）某渔船在处监测发现大量鱼群向正西方向迁移，渔船立即向补给中心发送信号并同时以每小时海里的速度向正西方向追赶鱼群．补给中心接到信号后，立即派出另一艘大型渔船从出发（接受信号及通知时间忽略不计），沿正北方向以每小时海里的速度前往协同捕捞．当两船相距海里时，它们开始启动协同捕鱼作业．请问大型渔船出发后多少小时，两船开始启动协同捕鱼作业？（结果保留根号） 24. 如图，在直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，连接，抛物线对称轴为． （1）求抛物线的函数解析式； （2）过点作交轴于点，点为直线上方抛物线上的一个动点，连接，，抛物线对称轴上有一动点，过点作轴于点，连接，，当的面积与面积之差最大时，求点的坐标和的最小值； （3）将抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，新抛物线恰好经过点，点为原抛物线的顶点，在新抛物线上是否存在点，使得．请写出所有符合条件的点的横坐标，并写出其中一个点横坐标的求解过程． 25. 如图，在中，，，点D在上，延长至点E，连接交于点F． （1）如图1，连接，当，时，求的度数（用含的代数式表示）； （2）如图2，点G为线段上一点，当，时，求证：； （3）如图3，当，时，点M、N分别为射线、上的动点，始终满足，连接，将沿翻折，点C的对应点为P，连接、、、，当取得最小值时，直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 文峰初中教共体2026年春季学期九年级期中测试 数学学科试题 （全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟） 一．选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 2026的倒数是（　　） A. B. 2026 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查倒数的定义，根据倒数的定义计算即可得到结果. 【详解】∵ 乘积为的两个数互为倒数， 设的倒数为，则 ， ∴ ， 故选D. 2. 如图，这个几何体是由5个大小相同的小立方块搭成，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据俯视图是从上往下看得到的图形，进行判断即可． 【详解】解：该几何体的俯视图为： 故选：B． 3. 把一块含角的直角三角板按如图方式放置在两条平行线之间，若，则的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，掌握两直线平行，内错角相等是解题的关键． 由两直线平行，内错角相等，得，即可求解． 【详解】解：两条直线平行， ， 又， ． 4. 反比例函数的图象所在象限为（　　） A. 第一、二象限 B. 第一、三象限 C. 第一、四象限 D. 第二、四象限 【答案】B 【解析】 【分析】根据反比例函数比例系数的符号，结合反比例函数的图象性质，即可判断图象所在象限． 【详解】对于反比例函数， ， 反比例函数的图象位于第一、三象限． 5. 佛山市2025年参加中考的人数约为91000人，将91000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】91000用科学记数法表示为． 6. 如图，与是位似图形，点为位似中心，已知，则与的面积之比是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据位似比等于相似比，相似三角形的面积比等于相似比的平方，进行求解即可． 【详解】解：∵与是位似图形，点为位似中心，， ∴与的相似比为， ∴与的面积之比是； 故选D． 【点睛】本题考查位似图形的性质．熟练掌握位似比等于相似比，相似三角形的面积比等于相似比的平方，是解题的关键． 7. 如图，是的两条切线，切点分别为，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆周角定理求出的度数，再根据切线的性质得到，最后利用四边形内角和定理求出的度数． 【详解】解：与分别是中所对的圆周角和圆心角， ， 是的两条切线， ，， ， 在四边形中， ． 8. 如图，某民族服饰的花边均是由若干个基本图形组成的有规律的图案，第1个图案由4个基本图形组成，第2个图案由7个基本图形组成，第3个图案由10个基本图形组成，…按照这一规律，第8个图案中基本图形的个数为（ ） A. 22 B. 25 C. 28 D. 31 【答案】B 【解析】 【分析】根据前三个图形中基本图形的个数得出第n个图案中基本图形的个数即可解答． 【详解】解：观察发现第n个图案由个基本图形组成， ∴第8个图案中基本图形的个数为． 故选：B． 9. 如图，在正方形中，点在边上，点在对角线上，连接，，点，分别为，中点，若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是正方形的性质、三角形中位线定理、勾股定理，灵活运用三角形中位线定理结合正方形的性质构造辅助线，是解题的关键．先通过赋值法确定正方形边长及相关线段长度，再利用中位线定理得到线段的平行关系与长度，结合正方形对角线的特殊角构造直角三角形，最后用勾股定理求出的长度，进而得到的值． 【详解】解：如图，取中点为，连接、， 设， ，， ，， ， ， 、分别是、的中点， 且， ， 又、分别是、的中点， 且， ， ， 过点作交延长线于点， 为等腰直角三角形， ， ， 在中， ， ． 故选：． 10. 已知整式，其中，为正整数，，，，为自然数，整数满足，．定义整式的“加权值”．下列说法： ①当时，不等式的解集为； ②当，时，的最小值为17： ③满足条件的所有二次三项式的和取最小值时，． 其中正确的个数是（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】先整理题目给出的通用条件，再逐个验证三个说法，利用整式性质和不等式等求解判断正误． 【详解】解：首先整理通用条件： 已知，，且是自然数，是正整数，是整数． ，若，左边为不成立， ，得， 化简得：，，且，为整数， 验证①：当时，，且，结合， 解得，， ， 不等式即，解得，①正确； 验证②：当，时，，代入，， 化简得：， 要使最小，最小取正整数， 此时，得， ，越大越小，最大， 代入得， ②正确； 验证③：二次三项式为， 由，得，， ，为整数， ∴可取，，，，，， 则对应可取12、10、8、6、4、2， 对应可取1、2、3、4、5、6， ∴在所有二次三项式的和中，的系数为，的系数为， ∴当时，所有二次三项式的和取得最小值， ③错误， 综上，正确的个数是． 二．填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 家住重庆的小高得知2026年春晚有四个分会场（黑龙江哈尔滨、浙江义乌、安徽合肥、四川宜宾）后，打算随机选择一个前往，则他恰好选到离家最近的分会场的概率是__________． 【答案】##0.25 【解析】 【分析】由题意知，共有4种等可能的结果，其中他恰好选到离家最近的分会场的结果有1种，利用概率公式可得答案． 【详解】解：由题意知，共有4种等可能的结果，其中小高恰好选到离家最近的分会场的结果有1种， ∴小高恰好选到离家最近的分会场的概率为． 12. 若为正整数，且满足，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查无理数的估算，通过平方法估算的范围即可． 【详解】解：计算 ，． ∵ ， ∴ ， ∴ ． 故答案为6． 13. 某公司5月份的营业额为25万，7月份的营业额为36万，已知6、7月的增长率相同，则增长率为_____． 【答案】20% 【解析】 【分析】根据该公司6、7两个月营业额的月均增长率为x，结合5月、7月营业额即可得出关于x的一元二次方程，解此方程即可得解． 【详解】解：设该公司6、7两个月营业额的月均增长率为x，根据题意得， 解得，（舍去） 所以，增长率为20% 故答案为：20% 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据数量关系列出关于x的一元二次方程是解题的关键． 14. 若，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由得，得，然后分当时，当时两种情况分析即可． 【详解】解：由得，， ∴， 由得，， ∴， 当时， ∴，解得：（不符合题意，舍去）； 当时， ∴，解得：， ∴． 15. 如图，是等腰的外接圆，，．连接并延长交于点，的角平分线交于点，交于点，连接，则的长度为_____． 【答案】 【解析】 【分析】先利用等腰三角形三线合一与勾股定理，求出外接圆半径与相关线段长度；再根据角平分线性质与圆周角定理，推导出弧相等，得到；最后利用三角形中位线定理求出，进而计算，再通过勾股定理求． 【详解】解：如图，设与交于点，连接交于，连接、， ∵，为的直径， ∴，．， 在中， ， 设的半径为，则，． 在中，即 解， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴，且为中点， ， ∵为中点，为中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴，， 在中， ． 16. 若一个四位自然数各数位上的数字均不为零，且满足千位数字与十位数字之和，百位数字与个位数字之和均为6的倍数，则称M为“吉量数”．例如：四位数4521，∵，，6为6的倍数，∴4521为“吉量数”．按照这个规定，最大的“吉量数”是________；若“吉量数”（，，，，且a，b，c，d均为整数）的千位数字和百位数字分别加上4，十位数字和个位数字不变，得到的四位数记为，将的十位数字和千位数字交换位置，个位数字与百位数字交换位置后得到的四位数为，记．若是5的倍数，且是一个完全平方数，则满足条件的“吉量数”M的最大值与最小值的差为________． 【答案】 ①. 9999 ②. 4218 【解析】 【分析】根据“吉量数”的定义，先确定千位和百位的最大数字，再确定十位与个位的最大数字，即可得到最大的“吉量数”．根据题意得到，根据是5的倍数与M是“吉量数” 得到．结合它是完全平方数求出a，b，d的值，进而确定满足条件的“吉量数”M最大值和最小值，即可求解． 【详解】解：要使“吉量数”最大，则千位和百位取最大数字9， ∵千位数字与十位数字之和，百位数字与个位数字之和均为6的倍数， ∴当千位数字为9时，十位数字也为9，，它们的和是6的倍数， 当百位数字为9时，个位数字也为9，，它们的和是6的倍数， 符合“吉量数”的规定， ∴最大的“吉量数”是9999． ∵， ， ∴， ∴， ∵是5的倍数， ∴的个位数为0或5， ∵的个位数是4， ∴的个位数是6或1， ∵，， ∴或． ∵M是“吉量数”， ∴， ∴，， ∵，且是完全平方数， ∴当，时，，是完全平方数， 此时； 当，时，，是完全平方数， 此时； 当时，无论b取1到5中的任一值，都不是完全平方数； 当时，无论b取1到5中的任一值，都不是完全平方数； 当，时，，是完全平方数，此时； 当，时，，是完全平方数，此时； 当，时，，是完全平方数，此时． 综上，a，b，d的取值为或或或或， ∴要使“吉量数”M的最大，则a取最大值5，b取最大值3，此时c取值7，满足是6的倍数， ∴满足条件的“吉量数”M最大为． ∴要使“吉量数”M的最小，则a取最小值1，b取最小值1，此时c取值5，满足是6的倍数， ∴满足条件的“吉量数”M最小为． ∴满足条件的“吉量数”M的最大值与最小值的差为． 三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 求不等式组：的整数解． 【答案】，0，1，2 【解析】 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：， 则不等式组的整数解为：，0，1，2． 18. 数学实践小组对平行四边形进行了以下探究：在平行四边形对角线所在的直线上取两点E、F，使．这样所得的四边形是平行四边形．请根据他们的思路完成以下作图和推理填空： （1）如图，用直尺和圆规，在的右侧作，交直线于点F，连接（不写作法，保留作图痕迹） （2）已知：四边形是平行四边形，与交于点O，点E、F是直线上两点，连接、、、，．求证：四边形是平行四边形． 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，① ， ∴， ∴， ∴② ． 在和中： ， ∴， ∴，③ ， ∴④ ， ∴四边形是平行四边形． 【答案】（1）见解析 （2）①；②；③；④ 【解析】 【分析】（1）利用尺规作一个角等于已知角的方法作图即可； （2）证明，即可证得四边形是平行四边形． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求： 【小问2详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴． 在和中： ， ∴， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形． 四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 为了解文峰初中学生对等智能软件的使用情况，学校举办了智能软件使用技能竞赛．现从八、九年级的学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行收集、整理、描述、分析．所有学生的成绩均高于分（成绩得分用x表示，共分成四组：．；．；．；．），下面给出了部分信息： 八年级抽取名学生的竞赛成绩为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 九年级抽取名学生的竞赛成绩在组的数据是：，，，，，． 八、九年级所抽学生的竞赛成绩统计表 年级 八年级 九年级 平均数 中位数 众数 方差 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：_______，_______，_______； （2）请根据以上数据进行分析，你认为学校八、九年级中哪个年级学生的技能竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）学校八年级有名学生，九年级有名学生，请估计八年级和九年级两个年级竞赛成绩为优秀的学生共有多少名？ 【答案】（1），，； （2）八年级学生的技能竞赛成绩较好，理由见解析； （3）． 【解析】 【分析】（）利用中位数和众数的定义以及扇形统计图的信息求解即可； （）根据平均分、中位数、众数及方差分析即可得出结果； （）样本估计总体可进行求解． 【小问1详解】 解：根据八年级学生的技能竞赛成绩可知，出现次数最多，则众数为， ∴， ∵九年级学生的技能竞赛成绩中组：（人）， 组：人，所占百分比为， 组：所占百分比为， 组：人，所占百分比为 ，则， 根据九年级的中位数为从大到小排列的第个同学的技能竞赛成绩的平均数，， 则中位数为组第个同学的技能竞赛成绩的平均数，即 ， 故答案为：，，； 【小问2详解】 解：八年级学生的技能竞赛成绩较好，理由： ∵八、九年级的平均分均为分，八年级的中位数高于九年级的中位数，八年级的方差小于九年级的方差， ∴整体上看八年级学生竞赛成绩较好； 【小问3详解】 解： （人）， 答：估计八年级和九年级两个年级竞赛成绩为优秀的学生共有名． 20. 先化简，再求值：，其中x满足． 【答案】， 【解析】 【分析】先根据整式乘法、分式混合运算规则化简原式，再通过三角函数值和零指数幂的运算求出的值，最后结合分式有意义的条件确定的取值并代入化简后的式子求值． 【详解】解： ， ∵， ， 由分式有意义得，，，， ∴， ， 当时，原式． 21. 列方程解应用题：为发展农业新质生产力，重庆农科院研发的智能采茶机器人正式上岗作业．经测试，每分钟一名工人采茶的数量比一台机器人采茶的数量少5片，若一名工人采茶6分钟、一台机器人采茶10分钟，共采茶450片． （1）分别求出一名工人和一台机器人每分钟采茶的片数； （2）经科研人员研发指导，工人和机器人的采茶速度都得以提高，机器人每分钟比之前多采2a片茶叶，工人每分钟比之前多采a片茶叶，这样，一台机器人采1200片茶叶所用的时间是一名工人采600片茶叶所用时间的1.5倍，求出a的值． 【答案】（1）一名工人每分钟采茶25片，一台机器人每分钟采茶30片 （2）a的值为5 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的应用及分式方程的应用，读清题意并根据对应的等量关系列出方程是解此题的关键． （1）通过设未知数，根据采茶总量列出一元一次方程求解工人和机器人每分钟采茶片数； （2）根据提高后的采茶速度和时间关系列出分式方程求解a的值． 【小问1详解】 解：设一名工人每分钟采茶x片，则一台机器人每分钟采茶片， ， ， ， 则机器人每分钟采茶：（片）， 即一名工人每分钟采茶25片，一台机器人每分钟采茶30片． 【小问2详解】 解：设机器人提高后每分钟采茶片，工人提高后每分钟采茶片， ， ， ， ， ， ， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 即a的值为5． 22. 如图1，矩形中，，，动点P以的速度从点B沿折线运动（不与点B，C重合），连接，同时，动点Q以的速度从点A出发沿运动，当点P停止运动时点Q也随之停止运动．过点Q作于点H，设点P的运动时间为x（单位：s），记的面积为，记与的周长比为，请回答下列问题： （1）请直接写出分别与x的函数关系式，并注明自变量x的取值范围； （2）如图2，在给定的平面直角坐标系中，画出函数的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出当时x的取值范围．（近似值保留一位小数，误差不超过0.2） 【答案】（1）； （2）图象见解析，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小． （3） 【解析】 【分析】（1）分和两种情况，根据矩形的性质及相似三角形的知识可求得与的函数关系式，根据“动点从点出发，沿折线方向运动，当点停止运动时点也随之停止运动．”可分别求得自变量的取值范围； （2）根据与的函数关系式可画出两函数的图象，可写出一条函数的性质； （3）根据函数图象，可得两函数的交点的横坐标约为和，因此可求得当时的取值范围． 【小问1详解】 解：当时，由题意得， 则以为底，为高， ， ， 当时， ， 如图，过作， ， ， ， ， ， ， 综上； ， ， ，  周长， 由题意得，则， 周长， 与的周长比为， 则； 【小问2详解】 解：①画的图象： 列表： 描点，连线，如图 ②画的图象， 列表： 描点，连线如图： 性质：当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小． 【小问3详解】 解：当时，联立， 解得或（舍去）， 所以当时，两个函数的交点的横坐标为， 当时，联立， 解得或（舍去） 所以当时，两个函数的交点的横坐标为， 综合图像可知，时，的取值范围为 【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，一次函数和反比例函数的图象与性质，画一次函数和反比例函数的图象，函数与不等式等知识，熟练掌握矩形的性质及解直角三角形的知识是解题的关键． 23. 如图，某海域捕鱼作业区B位于补给中心的北偏东方向距离海里处，位于岛屿的北偏西方向，岛屿位于补给中心的正东方．（参考数据：，）． （1）求岛屿与捕鱼作业区之间的距离；（结果保留到小数点后一位） （2）某渔船在处监测发现大量鱼群向正西方向迁移，渔船立即向补给中心发送信号并同时以每小时海里的速度向正西方向追赶鱼群．补给中心接到信号后，立即派出另一艘大型渔船从出发（接受信号及通知时间忽略不计），沿正北方向以每小时海里的速度前往协同捕捞．当两船相距海里时，它们开始启动协同捕鱼作业．请问大型渔船出发后多少小时，两船开始启动协同捕鱼作业？（结果保留根号） 【答案】（1）岛屿与捕鱼作业区之间的距离为海里 （2）大型渔船出发后经过小时，两船开始启动协同捕鱼作业 【解析】 【分析】（1）先利用三角函数计算出，再计算出即可； （2）设大型渔船出发后经过小时，两船可以开始启动协同捕鱼作业．此时大型渔船到达点，渔船到达点，过点作交延长线于点，用表示出和后，在中，利用勾股定理构造方程，求解出的值即可． 【小问1详解】 解：如图，过点作于点， 由题意得：海里，，， 在中，（海里）， 在中， （海里）． 答：岛屿与捕鱼作业区之间的距离为海里． 【小问2详解】 解：如图，设大型渔船出发后经过小时，两船可以开始启动协同捕鱼作业．此时大型渔船到达点，渔船到达点，过点作交延长线于点， 由题意可知：大型渔船行驶路程海里，渔船行驶路程海里，海里， 由（1）可知，海里， 在中，（海里）， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴海里，海里， ∴海里，海里， 在中，， ∴， 整理得：， 解得：，， ∵， ∴ ， ∴． 答：大型渔船出发后经过小时后，两船开始启动协同捕鱼作业． 24. 如图，在直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，连接，抛物线对称轴为． （1）求抛物线的函数解析式； （2）过点作交轴于点，点为直线上方抛物线上的一个动点，连接，，抛物线对称轴上有一动点，过点作轴于点，连接，，当的面积与面积之差最大时，求点的坐标和的最小值； （3）将抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，新抛物线恰好经过点，点为原抛物线的顶点，在新抛物线上是否存在点，使得．请写出所有符合条件的点的横坐标，并写出其中一个点横坐标的求解过程． 【答案】（1） （2）； 的最小值 （3）点的横坐标为或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）过点作交于，利用待定系数法可求得直线的解析式，设，则，根据表示出，再利用二次函数的性质确定点的坐标，将点向左平移个单位得到，作点关于轴的对称点，连接 ，与轴的交点为，连接，则 ，要使 取最小值，即取最小值，当点、、 共线时，取最小值，最小值为 ，利用勾股定理求解即可； （3）根据平移的性质先求出抛物线的解析式，设原抛物线的对称轴与轴的交点为，可得到是等腰直角三角形，，即，然后分两种情况讨论：当点在右侧时，当点在左侧时，利用平行线的性质和全等三角形的判定与性质求解即可． 【小问1详解】 解：抛物线与轴交于点，抛物线对称轴为， ，解得， 抛物线的函数解析式为； 【小问2详解】 解：抛物线与轴交于点，，抛物线对称轴为，与轴交于点， ， 令，得， ， ， 设直线的解析式为， 将点，代入得， ，解得， ， ， 设直线的解析式为， 将点代入得， ，解得， 直线的解析式为， 令，得， ， 如图，过点作交于， 设，则， ， ， ， ，对称轴为，， 当时，取最大值，最大值为，此时， ； 抛物线对称轴上有一动点，过点作轴于点， ， 如图，将点向左平移个单位得到，作点关于轴的对称点，连接 ，与轴的交点为，连接， ， ，， 四边形是平行四边形， ， ， ， 要使 取最小值，即取最小值，当点、、 共线时，取最小值，最小值为 ， 此时， 的最小值 ； 【小问3详解】 解：将抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，且， 设将抛物线沿轴向右平移个单位，向上平移个单位得到新抛物线，其中， ， 新抛物线恰好经过点， ， 整理得， 解得（舍去）或， ， 点为原抛物线的顶点，当时，， ， 设原抛物线的对称轴与轴的交点为，则，， ， 是等腰直角三角形，，即， 当点在右侧时，如图，过点作交抛物线于点， ， ， 设直线的解析式为， 将点代入得， ，解得， 直线的解析式为， 联立，解得或（不合题意，舍去）， ； 当点在左侧时，如图，作，此时， 设与相交于点，过点作于，作轴于， ， ，， ，，即， ，，， ， ， 设，则，， ，解得， ， ， 设直线的解析式为， 将点，代入得， ，解得， 直线的解析式为， 联立，解得或（不合题意，舍去）， ； 所有符合条件的点的横坐标为或． 25. 如图，在中，，，点D在上，延长至点E，连接交于点F． （1）如图1，连接，当，时，求的度数（用含的代数式表示）； （2）如图2，点G为线段上一点，当，时，求证：； （3）如图3，当，时，点M、N分别为射线、上的动点，始终满足，连接，将沿翻折，点C的对应点为P，连接、、、，当取得最小值时，直接写出的面积． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）先证明为等边三角形，得到，利用角的和差得到，根据等边对等角得到，最后根据即可得出结果； （2）过E作，截取，连接，，过G作于M，先证，再证四边形为平行四边形，最后根据等腰三角形的性质以及锐角三角函数即可得出结果； （3）过E作且，连接、，与交于点K，证明，，得出结论当点M位于中点处，取得最小值，再运用算出结果． 【小问1详解】 解：∵，， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【小问2详解】 证明：过E作，截取，连接，，过G作于M， ∵，， ∴为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴在中，， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：如图1，过E作且，连接、，与交于点K， ∵，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴当点M与点K重合时，取得最小值， 在和中， ， ∴， ∴， 即当点M位于中点处，取得最小值， 如图2，当A、M、H共线时， ∵，， ∴， ∵点M位于中点处， ∴， ∵， ∴， ∵将沿翻折，点C的对应点为P， ∴． 如图3，连接交于点R，过点B作，过点M作， ∵， ∴， 在中， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， 在中， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中， ∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $