专题01 数与式（7大考点）（河北专用）2026年中考数学一模分类汇编

专题01 数与式 7考点概览 考点01有理数概念的应用 考点02学记数法的应用 考点03理数运算 考点04理数运算的应用 考点05式的运算及应用 考点06次根式的运算 考点07分式有关的计算 有理数概念的应用 考点01 1．（2026·河北邯郸·二模）计算：________． 2．（2026·河北邢台·一模）实数在数轴上对应点的位置如图所示，这四个数中绝对值最小的是（   ） A． B． C． D． 3．（2026·河北·一模）魏晋时期，数学家刘徽在《九章算术注》中用不同颜色的算筹（小棍形状的记数工具）分别表示正数和负数（白色为正，黑色为负）．图1表示的是的计算过程，则图2表示的计算过程是（    ） A． B． C． D． 4．（2026·河北邯郸·二模）若和互为相反数，和互为倒数，则代数式的值为________． 5．（2026·河北石家庄·一模）如图，一光点从数轴上点出发，在数轴上运动3个单位长度到达点．若点所表示的数为1，则点所表示的数是（   ） A． B．5 C．或4 D．或3 6．（2026·河北廊坊·一模）规定：表示向右移动2，记作，则按照，移动两次，可以用算式表示为（   ） A． B． C． D． 7．（2026·河北邢台·一模）已知：，． (1)求的最小值； (2)当取得最小值时，若，互为相反数，，互为倒数，求的值． 科学记数法的应用 考点02 8．（2026·河北邯郸·二模）根据国家邮政局公布的数据，2026年我国邮政行业寄递业务量预计达到2300亿件，连续多年位居世界第一．将2300亿用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 9．（2026·河北·一模）东风系列导弹是我国的护国神器，亮相年九三阅兵的“东风—”是以洲际导弹的压场身份出现的一位军事专家根据“东风—”介绍词中“覆盖全球”四个字，判断其射程应该在万千公里到万公里，把用科学记数法表示为后，的值为（    ） A． B． C． D． 10．（2026·河北保定·二模）某快递中心每小时能分拣件包裹，为提升效率，在优化流程后每小时分拣量为原来的倍．若将优化后每小时的分拣量用科学记数法表示为，则a的值是（    ） A．8 B．4.375 C．3.5 D．35 11．（2026·河北衡水·模拟预测）稀土是加工制造、国防军工等不可或缺的原料．据有关数据表明：全球已知的稀土总储量约为亿吨，俄罗斯的稀土储量有1000万吨，而中国是俄罗斯的倍，则中国的稀土储量用科学记数法表示为（ ） A．吨 B．吨 C．吨 D．吨 12．（2026·河北廊坊·一模）下面是小明用科学记数法表示0.000002的过程，则下列判断正确的是（   ） A．△代表100000 B．△代表1000000 C．□代表 D．□代表5 有理数运算 考点03 13．（2026·河北保定·一模）计算： (1)简便计算：； (2)计算：． 14．（2026·河北衡水·模拟预测）计算及列式计算： (1)计算：； (2)现有4张卡片，上面分别写有不同的有理数，请按照下面的要求列式计算： 用最大的有理数减去最小的有理数，所得的差除以剩余两张卡片上数字的和． 15．（2026·河北石家庄·一模）计算：．芳芳在做作业时，发现题中有一个数字被墨水污染了．（■代表被污染的数字） (1)如果被污染的数字是，请计算：； (2)如果计算结果大于6，求被污染的数字的最小整数值． 16．（2026·河北石家庄·一模）生活中，我们比较熟悉的计数方式是“逢十进一”，这就是十进制．而在某些领域，还有一种“逢七进一”的计数方式，叫做七进制． 七进制与我们熟悉的十进制对应关系如下表： 七进制 0 1 2 3 4 5 6 10 11 12 13 … 十进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 … 观察发现：七进制数10表示十进制中的7，即；同理，七进制数23表示十进制中的17，即． 根据以上材料，解答下列问题： (1)填空：七进制数35代表十进制中的数是____； (2)已知一个七进制两位数，各位数字的和为6，试说明该七进制两位数转换成十进制两位数后能被6整除； (3)已知一个七进制两位数，各位数字的和为7，若该七进制两位数转换成十进制数后，是一个小于30且能被5整除的数，求这个七进制数 17．（2026·河北石家庄·一模）计算或化简 (1)计算：． (2)化简：． 有理数运算的应用 考点04 18．（2026·河北张家口·一模）我国古代“律历合一”，黄钟为十二律之首，对应冬至，是古琴定音根基．三分损益法（最早见于《管子·地员篇》）为推演十二律的核心方法，规则如下：（1）三分损一：将律管长度三等分后去一份，余长为原长的，称“下生”，得纯五度高音；（2）三分益一：将律管长度三等分后增一份，新长为原长的，称“上生”，得纯四度低音；（3）以黄钟为基准律，其管长9寸，设基准律长，按“损一→益一”交替推演：第1次得林钟，第2次得太簇，第3次得南吕，第4次得姑洗，……第7次得大吕．按上述规则推演，下列结论不正确的是（   ） A．太簇对应的律长8寸 B． C．大吕律长在3寸与4寸之间 D．的律长大于6寸 19．（25-26七年级上·山东青岛·期中）下图以，，，四人的平均体重为零点，表示了其中三人的体重情况．若的体重为，则的体重是___________kg． 20．（2026·河北石家庄·一模）为保障石家庄冬季供暖，某供暖公司记录了一周内的最低室外气温，分别为，，，，，，，其中气温最低一天的温度是（   ） A． B． C． D． 21．（2026·河北·一模）七年级新学期．两摞规格完全相同的课本整齐地叠放在讲桌上，小英对其高度进行了测量，请根据下图中所给出的数据信息．回答下列问题： (1)每本课本的厚度为_________； (2)若有一摞上述规格的课本本．请用含有的代数式表示出这一摞课本的顶部距离地面的高度； (3)现桌面上有若干本此规格的课本，整齐地叠放成一摞，若这摞课本距离地面的高度不超过，求这摞课本最多有多少本． 22．（2026·河北唐山·一模）“这么近，那么美，周末到河北”．淇淇一家计划到唐山河头老街游玩，便用手机查阅了未来6天的天气情况，如图所示． (1)求这6天中哪天温差最大，并求最大温差； (2)求这6天中最低气温的平均数和最高气温的中位数； (3)淇淇发现周三实际的最高气温比预报低，其余5天实际气温与预报气温一致，实际最高气温的中位数比预报最高气温的中位数低，直接写出周三实际最高气温． 23．（24-25七年级上·重庆·期中）如图所示，周长为4的圆沿着数轴无滑动地顺时针滚动．开始时，圆上一点落在数轴上，滚动一圈后，点落到了数轴上点处，且对应数为1；滚动若干圈后，当圆上点恰好落在数轴上，且它对应的数为9时，该圆从起始位置滚动的圈数为（） A．2圈 B．3圈 C．4圈 D．5圈 24．（2026·河北石家庄·一模）进位制是人们为了满足记数和运算的需求而约定的记数系统．如三进制数就是用0，1，2这三个数字来表示数的记数方式，逢三进一位．不同的进位制是可以互相转换的，若将三进制数转换为十进制数，就可以这样转换：． 解答下面问题： (1)将三进制数，转换为十进制数； (2)已知一个三进制的四位数对应的十进制数能被3整除，求的值． 整式的运算及应用 考点05 25．（2026·河北唐山·一模）有三种不同重量的物体“”“”“”，若图1中左、右手中盘内物体的重量相同，则图2中左、右盘内物体的重量（   ） A．左盘内物体重 B．右盘内物体重 C．左右盘内物体重量相同 D．左盘内物体重量是右盘内物体重量的倍 26．（2026·河北张家口·一模）在括号内填一个单项式，使多项式（   ）化简后能进行因式分解，在单项式①；②；③中，符合要求的有（   ）． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 27．（2026·河北石家庄·一模）已知，是正整数，且满足，则与的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 28．（2026·河北廊坊·一模）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 29．（2026·河北邢台·一模）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 30．（2026·河北廊坊·一模）计算：______． 31．（2026·河北张家口·一模）先化简，再求值：，其中． 32．（2026·河北秦皇岛·一模）一个数学活动小组编了一个创新题目：如图，在三张硬纸板的正面分别写了一个代数式，记为，，，然后在黑板上写了一个等式：（，为常数）． (1)求，的值； (2)当为任意正整数时，的结果都能被这个活动小组的人数整除，求这个活动小组有几个人（活动小组的人数大于1）． 33．（2026·河北邯郸·二模）将一张正方形图片上传到不同设备使用时，常需要调整尺寸以适应屏幕．一种方法是原图直接“裁剪”，会损失部分画面；另一种是AI技术“无损扩展”，智能补充背景内容（如图示例）． 现有边长为x厘米的正方形图片，需要调整成一定比例的矩形图片． 方案一（直接裁剪）：保持一边不变，将另一边裁剪掉4厘米，得到矩形图片．裁剪后的面积平方厘米； 方案二（无损扩展）：保持一边不变，将另一边扩展6厘米，得到矩形图片．扩展后的面积平方厘米． 已知方案二比方案一的面积多出平方厘米．以下是计算面积差S的解答过程： 解： …………第一步 ……………第二步 ……………………………第三步 (1)该解答过程正确吗？如果不正确，从第几步开始出现错误？写出正确的解答过程； (2)若方案一和方案二得到的两幅矩形图片长宽比恰好相同（即长度与宽度的比值相等），求原正方形图片边长的值． 34．（2026·河北唐山·一模）已知整式（a，c为常数）． (1)若，且A为完全平方式，直接写出c的值并将整式A因式分解； (2)若，则；若，则，求a和c的值． 35．（2026·河北邯郸·二模）嘉嘉和淇淇在玩代数式卡片游戏．嘉嘉写的代数式为，淇淇写的代数式为． (1)若嘉嘉的代数式的值小于淇淇的代数式的值，即，求的取值范围，并在数轴上表示其解集； (2)嘉嘉说：“把我的代数式的值平方后，一定大于淇淇的代数式的值．”即一定成立．请你判断嘉嘉的说法是否正确，并说明理由． 二次根式的运算 考点06 36．（2026·河北石家庄·一模）定义新运算：，如果，那么的值为（   ） A．或4 B．6或 C．3或6 D．3或 37.（2026·河北秦皇岛·一模）嘉嘉借助某AI工具命制了如下①～④四道试题，淇淇发现其中有一道不能按要求分解因式，则该题是（   ） 用平方差公式分解下列各式： ①；②；③；④． A．①题 B．②题 C．③题 D．④题 38．（2026·河北石家庄·一模）已知（_______），则横线上应填的代数式是（    ） A． B． C． D． 39．（25-26八年级上·云南昭通·期末）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 40．（2026·河北石家庄·一模）已知等式成立，则的值为（   ） A．5 B． C． D．8 41．（2026·河北唐山·一模）已知，． (1)求p，并化简q； (2)比较p和q的大小，并说明理由． 42．（2026·河北邯郸·一模）如图是珍珍的一道作业题的部分计算过程． (1)在①~④的计算结果中，有错误的是______（填序号）；为了区分和，请直接写出______，______； (2)对于这道作业题，请给出正确的计算过程． 43．（2026·河北石家庄·一模）计算： (1)． (2)当时，判断整式的结果是负数吗？请通过计算说明理由． 与分式有关的计算 考点07 44．（2026·河北唐山·一模）若，则p的值为（   ） A． B．3 C． D．9 45．（2026·河北·一模）已知，则下列判断正确的是（    ） A．的计算结果为 B．当时， C．当时，的值为正数 D．若是整数，则或 46．（2026·河北石家庄·一模）化简的结果为______． 47．（2026·河北保定·一模）数学课上，老师展示了一道习题及其错误的解答过程： 已知，求“△”． 解：根据题意可得，，        第一步 ，    第二步 ，            第三步 ．            第四步 (1)以上过程是从第______步开始出现错误的，请写出正确的解答过程； (2)若，，求正确的“△”的值． 48．（2026·河北石家庄·一模）计算与化简 (1)． (2)． 49．（2026·河北廊坊·一模）在数学课上，老师出了一道题目，并展示了嘉嘉的解题过程． 化简： 原式．第一步 ．第二步 ．第三步 ．第四步 (1)嘉嘉的解题步骤中所有错误步骤是： ； (2)请写出正确的解答过程，并从3，，这三个数中选取一个合适的数代入化简结果中求值． 试卷第2页，共31页 10/10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 数与式 7考点概览 考点01有理数概念的应用 考点02学记数法的应用 考点03理数运算 考点04理数运算的应用 考点05式的运算及应用 考点06次根式的运算 考点07分式有关的计算 有理数概念的应用 考点01 1．（2026·河北邯郸·二模）计算：________． 【答案】0 【分析】此题考查了有理数的乘方和零指数幂． 应用有理数乘方法则和零指数幂法则进行计算，再作差即可． 【详解】解：． 2．（2026·河北邢台·一模）实数在数轴上对应点的位置如图所示，这四个数中绝对值最小的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用绝对值的意义即可得到绝对值最小的数 【详解】解：由数轴可得，， ∴这四个数中绝对值最小的是． 3．（2026·河北·一模）魏晋时期，数学家刘徽在《九章算术注》中用不同颜色的算筹（小棍形状的记数工具）分别表示正数和负数（白色为正，黑色为负）．图1表示的是的计算过程，则图2表示的计算过程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由白色算筹表示正数，黑色算筹表示负数，即可列式计算． 【详解】解：由白色算筹表示正数，黑色算筹表示负数，可得图2表示的计算过程是． 4．（2026·河北邯郸·二模）若和互为相反数，和互为倒数，则代数式的值为________． 【答案】/ 【详解】解：∵和互为相反数，和互为倒数， ∴， ∴，即， ∴． 5．（2026·河北石家庄·一模）如图，一光点从数轴上点出发，在数轴上运动3个单位长度到达点．若点所表示的数为1，则点所表示的数是（   ） A． B．5 C．或4 D．或3 【答案】C 【分析】根据点B所表示的数，分两种情况进行讨论，当点A沿数轴向右移动和点A沿数轴向左移动时，列出式子，求出点A表示的数． 【详解】解：当点A沿数轴向右移动3个单位长度时，则A表示的数为：； 当点A沿数轴向左移动3个单位长度时，则A表示的数为． 6．（2026·河北廊坊·一模）规定：表示向右移动2，记作，则按照，移动两次，可以用算式表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据规定得到向左移动的计数方式，再将两次移动相加得到算式． 【详解】解：∵规定向右移动记作，向右与向左是相反意义的方向， ∴向左移动记作， ∵题中是 ，两次移动， 列算式得． 7．（2026·河北邢台·一模）已知：，． (1)求的最小值； (2)当取得最小值时，若，互为相反数，，互为倒数，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了绝对值、相反数、倒数、求代数式的值． （1）根据，，可得：，，分情况求出，通过比较得到的最小值； （2）根据相反数的定义可得：，根据倒数的定义可得：，利用整体代入法求出代数式的值． 【详解】（1）解：，， ，， 当，时，， 当，时，， 当，时，， 当，时，， ， 的最小值为； （2）解：，互为相反数， ， ，互为倒数， ， ． 科学记数法的应用 考点02 8．（2026·河北邯郸·二模）根据国家邮政局公布的数据，2026年我国邮政行业寄递业务量预计达到2300亿件，连续多年位居世界第一．将2300亿用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查科学记数法的表示方法． 科学记数法的表示形式为，其中，为整数． 【详解】解：2300亿． 9．（2026·河北·一模）东风系列导弹是我国的护国神器，亮相年九三阅兵的“东风—”是以洲际导弹的压场身份出现的一位军事专家根据“东风—”介绍词中“覆盖全球”四个字，判断其射程应该在万千公里到万公里，把用科学记数法表示为后，的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据科学记数法的一般形式为，其中，为整数，将用科学记数法表示，即可求解． 【详解】解：， 故的值为． 10．（2026·河北保定·二模）某快递中心每小时能分拣件包裹，为提升效率，在优化流程后每小时分拣量为原来的倍．若将优化后每小时的分拣量用科学记数法表示为，则a的值是（    ） A．8 B．4.375 C．3.5 D．35 【答案】C 【分析】先计算的倍，再确定a的值即可． 【详解】解：． 故． 11．（2026·河北衡水·模拟预测）稀土是加工制造、国防军工等不可或缺的原料．据有关数据表明：全球已知的稀土总储量约为亿吨，俄罗斯的稀土储量有1000万吨，而中国是俄罗斯的倍，则中国的稀土储量用科学记数法表示为（ ） A．吨 B．吨 C．吨 D．吨 【答案】A 【详解】解：俄罗斯稀土储量为1000万吨吨吨， ∵中国稀土储量是俄罗斯的4.4倍， ∴中国稀土储量为吨． 12．（2026·河北廊坊·一模）下面是小明用科学记数法表示0.000002的过程，则下列判断正确的是（   ） A．△代表100000 B．△代表1000000 C．□代表 D．□代表5 【答案】B 【分析】根据题目给出的变形过程，计算出和的值，再对比选项判断即可． 【详解】解：根据题意得 又 对比选项可知，只有B选项正确． 有理数运算 考点03 13．（2026·河北保定·一模）计算： (1)简便计算：； (2)计算：． 【答案】(1) (2)3 【分析】（1）利用乘法分配律依次展开，将小数转化为分数，最后从左往右依次加减运算即可； （2）先计算二次根式的乘法并求算术平方根，再计算负整数指数幂和零指数幂，最后进行加减运算． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 14．（2026·河北衡水·模拟预测）计算及列式计算： (1)计算：； (2)现有4张卡片，上面分别写有不同的有理数，请按照下面的要求列式计算： 用最大的有理数减去最小的有理数，所得的差除以剩余两张卡片上数字的和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据含乘方的有理数混合运算法则，进行计算即可； （2）根据题意列出算式进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：由题意得： ． 15．（2026·河北石家庄·一模）计算：．芳芳在做作业时，发现题中有一个数字被墨水污染了．（■代表被污染的数字） (1)如果被污染的数字是，请计算：； (2)如果计算结果大于6，求被污染的数字的最小整数值． 【答案】(1) (2)3 【分析】（1）代入计算即可；（2）设被污染的数字为x，列不等式求解即可； 【详解】（1） ； （2）设被污染的数字为x， 则， ， ， ， ， ∴被污染的数字的最小整数值是3． 16．（2026·河北石家庄·一模）生活中，我们比较熟悉的计数方式是“逢十进一”，这就是十进制．而在某些领域，还有一种“逢七进一”的计数方式，叫做七进制． 七进制与我们熟悉的十进制对应关系如下表： 七进制 0 1 2 3 4 5 6 10 11 12 13 … 十进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 … 观察发现：七进制数10表示十进制中的7，即；同理，七进制数23表示十进制中的17，即． 根据以上材料，解答下列问题： (1)填空：七进制数35代表十进制中的数是____； (2)已知一个七进制两位数，各位数字的和为6，试说明该七进制两位数转换成十进制两位数后能被6整除； (3)已知一个七进制两位数，各位数字的和为7，若该七进制两位数转换成十进制数后，是一个小于30且能被5整除的数，求这个七进制数 【答案】(1)26 (2)见详解 (3) 【分析】进制转十进制的方法：将每位数字乘以7的对应幂次（从右往左依次为 ）再求和；涉及数字和条件时，常用设位数字代入消元的方法转化为代数式进行分析． （1）将七进制数35按权展开为，计算即得十进制值； （2）设七进制两位数为，由各位数字和为6得，将十进制值利用代换，整理为即可证明能被6整除； （3）设七进制两位数为，由得十进制值为，结合和能被整除的条件，逐一检验即可确定答案． 【详解】（1）解：； （2）解：设七进制两位数为，其中为整数，且， ， 该数转十进制为， 为正整数， 能被6整除； （3）解：设七进制两位数为，其中， ， 该数转十进制为， ， ， 为正整数， ， 当时，，不能被5整除； 当时，，不能被5整除； 当时，，能被5整除， ， 即该七进制数为． 17．（2026·河北石家庄·一模）计算或化简 (1)计算：． (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）原式先计算乘方，再计算乘法，最后进行加减运算即可得到答案； （2）原式先计算括号内的，再把除法转换为乘法，约分后可得答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 有理数运算的应用 考点04 18．（2026·河北张家口·一模）我国古代“律历合一”，黄钟为十二律之首，对应冬至，是古琴定音根基．三分损益法（最早见于《管子·地员篇》）为推演十二律的核心方法，规则如下：（1）三分损一：将律管长度三等分后去一份，余长为原长的，称“下生”，得纯五度高音；（2）三分益一：将律管长度三等分后增一份，新长为原长的，称“上生”，得纯四度低音；（3）以黄钟为基准律，其管长9寸，设基准律长，按“损一→益一”交替推演：第1次得林钟，第2次得太簇，第3次得南吕，第4次得姑洗，……第7次得大吕．按上述规则推演，下列结论不正确的是（   ） A．太簇对应的律长8寸 B． C．大吕律长在3寸与4寸之间 D．的律长大于6寸 【答案】C 【分析】依次计算各次律长，再验证各选项即可得到结论，用到有理数乘法运算知识． 【详解】解：根据规则，第次推演，为奇数时本次为损一，长度乘以，为偶数时本次为益一，长度乘以， 已知，依次计算得： ∵，， ∴选项A正确； ∵，， ∴，选项B正确； ∵， ∴ 选项D正确； 计算得： ，，， ∵，即不在寸与寸之间， ∴选项C错误． 19．（25-26七年级上·山东青岛·期中）下图以，，，四人的平均体重为零点，表示了其中三人的体重情况．若的体重为，则的体重是___________kg． 【答案】 【分析】本题考查正负数的实际意义，有理数的加减运算，掌握相关知识是解决问题的关键．由四个人体重的平均数为零且其余三人的体重记数已知，可求出D的体重计数，再由甲的实际体重可得标准体重数值，则丙的体重可求． 【详解】解：∵四个人的体重的平均数为0， 而, ∴D的体重应记为， ∵的体重为，记为， ∴标准为， 则D的体重为． 故答案为：. 20．（2026·河北石家庄·一模）为保障石家庄冬季供暖，某供暖公司记录了一周内的最低室外气温，分别为，，，，，，，其中气温最低一天的温度是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将给出的所有气温按从小到大排序，找出最小的数即可得到结果． 【详解】解：将一周的最低气温按从小到大排序为， ∴最小的温度为． 21．（2026·河北·一模）七年级新学期．两摞规格完全相同的课本整齐地叠放在讲桌上，小英对其高度进行了测量，请根据下图中所给出的数据信息．回答下列问题： (1)每本课本的厚度为_________； (2)若有一摞上述规格的课本本．请用含有的代数式表示出这一摞课本的顶部距离地面的高度； (3)现桌面上有若干本此规格的课本，整齐地叠放成一摞，若这摞课本距离地面的高度不超过，求这摞课本最多有多少本． 【答案】(1)0.6 (2) (3) 【分析】（1）根据题意列式计算即可； （2）先求出讲台的高度，再用讲台的高度加上n本课本的高度即为所求的代数式； （3）根据题意列出不等式，即可求解． 【详解】（1）解：每本课本的厚度为：． （2）解：讲台高度为：， ∴这一摞课本的顶部距离地面的高度为； （3）解：由题意得，， 解得， ∵是正整数， ∴的最大值为． 22．（2026·河北唐山·一模）“这么近，那么美，周末到河北”．淇淇一家计划到唐山河头老街游玩，便用手机查阅了未来6天的天气情况，如图所示． (1)求这6天中哪天温差最大，并求最大温差； (2)求这6天中最低气温的平均数和最高气温的中位数； (3)淇淇发现周三实际的最高气温比预报低，其余5天实际气温与预报气温一致，实际最高气温的中位数比预报最高气温的中位数低，直接写出周三实际最高气温． 【答案】(1)这6天中周四温差最大，最大温差为； (2)这6天中最低气温的平均数为，这6天中最高气温的中位数为； (3)周三实际最高气温 【分析】（1）分别求出每天的温差，比较即可； （2）利用平均数的定义和中位数的定义求解即可； （3）先求出预报最高气温的中位数，进而得到实际最高气温的中位数，即可解答． 【详解】（1）解：周一的温差为， 周二的温差为， 周三的温差为， 周四的温差为， 周五的温差为， 周六的温差为， ， 这6天中周四温差最大，最大温差为； （2）解：这6天中最低气温的平均数为， 将这6天中最高气温从低到高排列为：，则中位数为， 这6天中最低气温的平均数为，这6天中最高气温的中位数为； （3）解：由（2）知将这6天中预报最高气温的中位数为， 实际最高气温的中位数比预报最高气温的中位数低， 实际最高气温的中位数为， 设周三实际的最高气温为， 当时，实际最高气温的中位数为，不符合题意； ， ， ， 答：周三实际最高气温． 23．（24-25七年级上·重庆·期中）如图所示，周长为4的圆沿着数轴无滑动地顺时针滚动．开始时，圆上一点落在数轴上，滚动一圈后，点落到了数轴上点处，且对应数为1；滚动若干圈后，当圆上点恰好落在数轴上，且它对应的数为9时，该圆从起始位置滚动的圈数为（） A．2圈 B．3圈 C．4圈 D．5圈 【答案】B 【分析】本题主要结合圆的滚动考查数轴上点的运动，熟练掌握数轴上点的运动计算方法是解决本题的关键．根据数轴上点的运动计算方法即可解答． 【详解】解：由题意可得：滚动的距离即为圆的周长， ， 所表示的数为， 所表示的数为， 滚动若干圈后，当圆上点恰好落在数轴上，且它对应的数为9， 该圆从起始位置滚动的圈数为（圈）， 故选：B． 24．（2026·河北石家庄·一模）进位制是人们为了满足记数和运算的需求而约定的记数系统．如三进制数就是用0，1，2这三个数字来表示数的记数方式，逢三进一位．不同的进位制是可以互相转换的，若将三进制数转换为十进制数，就可以这样转换：． 解答下面问题： (1)将三进制数，转换为十进制数； (2)已知一个三进制的四位数对应的十进制数能被3整除，求的值． 【答案】(1)16 (2) 【分析】（1）根据三进制转换为十进制数的转换方法计算即可； （2）先推导出，得到能被3整除，根据整个数能否被3整除，仅由剩余项d决定，即d必须是3的倍数，且三进制数的数字取值范围为0，1，2，故，即可解答． 【详解】（1）解： ， 答：三进制数转换为十进制数为16． （2）解： ， ∵三进制的四位数对应的十进制数能被3整除， ∴能被3整除， ∵，是3的倍数；，是3的倍数；，是3的倍数， ∴整个数能否被3整除，仅由剩余项d决定，即d必须是3的倍数， 又因为三进制数的数字取值范围为0，1，2， 故． 整式的运算及应用 考点05 25．（2026·河北唐山·一模）有三种不同重量的物体“”“”“”，若图1中左、右手中盘内物体的重量相同，则图2中左、右盘内物体的重量（   ） A．左盘内物体重 B．右盘内物体重 C．左右盘内物体重量相同 D．左盘内物体重量是右盘内物体重量的倍 【答案】B 【分析】 设物体“”“”“”的重量为x，y，z，根据题意得：图1中左盘内物体重量为，右盘内物体重量为，图2中左盘内物体重量为，右盘内物体重量为，再由图1中左、右手中盘内物体的重量相同，可得，再作差，即可． 【详解】 解：设物体“”“”“”的重量为x，y，z， 根据题意得：图1中左盘内物体重量为，右盘内物体重量为，图2中左盘内物体重量为，右盘内物体重量为， ∵图1中左、右手中盘内物体的重量相同， ∴， ∴， ∴， ∴ ， 即图2中右盘内物体重． 26．（2026·河北张家口·一模）在括号内填一个单项式，使多项式（   ）化简后能进行因式分解，在单项式①；②；③中，符合要求的有（   ）． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】分别将三个单项式代入原多项式，化简后用初中因式分解方法判断是否能分解，统计符合要求的个数即可． 【详解】解：对于①：，能进行因式分解； 对于②：，能进行因式分解； 对于③：，不能进行因式分解； 综上，符合要求的有个． 27．（2026·河北石家庄·一模）已知，是正整数，且满足，则与的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查同底数幂的乘法和幂的乘方运算，熟练掌握幂的运算法则是解题关键． 【详解】解：左式，右式， ∴， 故． 28．（2026·河北廊坊·一模）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对应知识点逐一判断即可． 【详解】根据初中整式运算法则逐一判断： 对于A选项，∵同底数幂相乘，底数不变，指数相加， ∴，A运算正确； 对于B选项，∵同底数幂相除，底数不变，指数相减， ∴，B运算错误； 对于C选项，∵与不是同类项，不能合并， ∴，C运算错误； 对于D选项，∵幂的乘方，底数不变，指数相乘， ∴，D运算错误． 29．（2026·河北邢台·一模）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：． 30．（2026·河北廊坊·一模）计算：______． 【答案】 【详解】解： ． 31．（2026·河北张家口·一模）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【详解】解： ， 当时，原式． 32．（2026·河北秦皇岛·一模）一个数学活动小组编了一个创新题目：如图，在三张硬纸板的正面分别写了一个代数式，记为，，，然后在黑板上写了一个等式：（，为常数）． (1)求，的值； (2)当为任意正整数时，的结果都能被这个活动小组的人数整除，求这个活动小组有几个人（活动小组的人数大于1）． 【答案】(1)， (2)这个活动小组有5个人 【分析】本题考查了等式的性质、整式的混合运算，熟练掌握等式的性质及整式的混合运算法则是解题的关键． （1）先求出，再根据即可求解； （2）根据题意求出，再结合的结果都能被这个活动小组的人数整除即可求解． 【详解】（1）解：由题意得： ∵ ∴ ∴，解得： （2）解：由（1）得： ∴， ∴ ∵的结果都能被这个活动小组的人数整除， ∴这个活动小组有5个人 33．（2026·河北邯郸·二模）将一张正方形图片上传到不同设备使用时，常需要调整尺寸以适应屏幕．一种方法是原图直接“裁剪”，会损失部分画面；另一种是AI技术“无损扩展”，智能补充背景内容（如图示例）． 现有边长为x厘米的正方形图片，需要调整成一定比例的矩形图片． 方案一（直接裁剪）：保持一边不变，将另一边裁剪掉4厘米，得到矩形图片．裁剪后的面积平方厘米； 方案二（无损扩展）：保持一边不变，将另一边扩展6厘米，得到矩形图片．扩展后的面积平方厘米． 已知方案二比方案一的面积多出平方厘米．以下是计算面积差S的解答过程： 解： …………第一步 ……………第二步 ……………………………第三步 (1)该解答过程正确吗？如果不正确，从第几步开始出现错误？写出正确的解答过程； (2)若方案一和方案二得到的两幅矩形图片长宽比恰好相同（即长度与宽度的比值相等），求原正方形图片边长的值． 【答案】(1)原解答不正确，从第二步开始出错，正确过程见解析 (2)原正方形边长为12厘米 【分析】（1）先按去括号法则检查原式，发现原解答第二步去括号时符号错误，正确去括号后合并同类项，即可解答． （2）明确两个矩形的长宽：根据“长宽比相等”列方程，求解，验证边长为正数，得结果． 【详解】（1）解：原解答不正确，从第二步开始出错． 正确过程： ． （2）解：方案一得到的矩形长、宽为和；方案二得到的矩形长、宽为和． 根据“长宽比相等”，列方程： 解得 验证：时，，符合实际意义． 答：原正方形边长为12厘米． 34．（2026·河北唐山·一模）已知整式（a，c为常数）． (1)若，且A为完全平方式，直接写出c的值并将整式A因式分解； (2)若，则；若，则，求a和c的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由题意易得，然后根据完全平方式可得，进而问题可求解； （2）由题意可代值进行求解即可． 【详解】（1）解：由可得， ∵A为完全平方式，且， ∴， ∴； （2）解：当，时，则有，① 当，时，则有，② 由①②可得：． 35．（2026·河北邯郸·二模）嘉嘉和淇淇在玩代数式卡片游戏．嘉嘉写的代数式为，淇淇写的代数式为． (1)若嘉嘉的代数式的值小于淇淇的代数式的值，即，求的取值范围，并在数轴上表示其解集； (2)嘉嘉说：“把我的代数式的值平方后，一定大于淇淇的代数式的值．”即一定成立．请你判断嘉嘉的说法是否正确，并说明理由． 【答案】(1)，数轴表示见解析 (2)嘉嘉的说法正确，理由见解析 【分析】（1）根据条件列出不等式求解即可； （2）根据条件列出式子，利用完全平方公式进行化简证明即可； 【详解】（1）解：由，得， 数轴表示： （2）嘉嘉的说法正确． 理由：， 故恒成立． 二次根式的运算 考点06 36．（2026·河北石家庄·一模）定义新运算：，如果，那么的值为（   ） A．或4 B．6或 C．3或6 D．3或 【答案】B 【分析】分类讨论：①当时，②当时，逐个分析求解即可． 【详解】解：①当时， ， ∵， ∴， 解得， 经检验，是原方程的解； ②当时， ， ∵， ∴， 解得， 经检验，是原方程的解； ∴x的值为或6． 37.（2026·河北秦皇岛·一模）嘉嘉借助某AI工具命制了如下①～④四道试题，淇淇发现其中有一道不能按要求分解因式，则该题是（   ） 用平方差公式分解下列各式： ①；②；③；④． A．①题 B．②题 C．③题 D．④题 【答案】B 【分析】根据平方差公式分解因式的特点，多项式需为两个平方项且符号相反，据此逐一判断四个式子即可得到结果． 【详解】解：能用平方差公式分解因式的多项式需满足：可化为的形式，即两个平方项符号相反． ∵①，符合平方差形式，可以分解； ②，两个平方项符号相同，无法写成平方差的形式，不能分解； ③，符合平方差形式，可以分解； ④，符合平方差形式，可以分解． ∴不能按要求分解因式的是②题． 38．（2026·河北石家庄·一模）已知（_______），则横线上应填的代数式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先将等式右侧的多项式分解因式，然后对比即可解答． 【详解】解： ∵， ∴ 横线上应填的代数式是，即故选D符合题意． 39．（25-26八年级上·云南昭通·期末）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平方差公式应用，利用平方差公式简化表达式，再进行计算即可． 【详解】解： ， 故选：A． 40．（2026·河北石家庄·一模）已知等式成立，则的值为（   ） A．5 B． C． D．8 【答案】B 【分析】利用完全平方公式展开等式右边，得到，再根据等式两边有理部分和无理部分对应相等列方程求解，即可得到的值． 【详解】∵， ∵ 等式成立，等式两边有理部分和无理部分对应相等， ∴ 可得， 解得，， 将代入第一个方程验证：，等式成立 ∴． 41．（2026·河北唐山·一模）已知，． (1)求p，并化简q； (2)比较p和q的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见详解 【分析】（1）根据有理数的运算及二次根式的性质可进行求解； （2）根据二次根式的大小比较可进行求解． 【详解】（1）解：， ； （2）解：由（1）可知：， ∵， ∴． 42．（2026·河北邯郸·一模）如图是珍珍的一道作业题的部分计算过程． (1)在①~④的计算结果中，有错误的是______（填序号）；为了区分和，请直接写出______，______； (2)对于这道作业题，请给出正确的计算过程． 【答案】(1)②，4， (2) 【详解】（1）解：∵， ∴，则， ∴有错误的是②， ，； （2）解： ． 43．（2026·河北石家庄·一模）计算： (1)． (2)当时，判断整式的结果是负数吗？请通过计算说明理由． 【答案】(1) (2)不是负数，见解析 【分析】（1）先计算乘方、括号、绝对值，再计算乘法，最后合并即可． （2）先化简整式，再代入求解即可． 【详解】（1）解： ． （2）解：不是负数．             理由： ， 当时，原式． 当，该整式的结果不是负数． 与分式有关的计算 考点07 44．（2026·河北唐山·一模）若，则p的值为（   ） A． B．3 C． D．9 【答案】D 【分析】利用同底数幂相乘底数不变指数相加的性质，列出关于p的一元一次方程即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 45．（2026·河北·一模）已知，则下列判断正确的是（    ） A．的计算结果为 B．当时， C．当时，的值为正数 D．若是整数，则或 【答案】A 【分析】先对原式因式分解，将除法转化为乘法约分得到化简结果，再结合分式有意义的条件逐个判断选项即可． 【详解】解： ，故A正确； 选项B：时原算式中两个分母均为0，无意义，故B错误； 选项C：当时，，， ∴ ，为负数，故C错误； 选项D：若为整数，只需为整数，例如时，也为整数，故D错误． 46．（2026·河北石家庄·一模）化简的结果为______． 【答案】 【分析】先对原式的分子运用平方差公式进行因式分解，再根据分式乘法运算法则约分，即可得到化简结果． 【详解】解：． 47．（2026·河北保定·一模）数学课上，老师展示了一道习题及其错误的解答过程： 已知，求“△”． 解：根据题意可得，，        第一步 ，    第二步 ，            第三步 ．            第四步 (1)以上过程是从第______步开始出现错误的，请写出正确的解答过程； (2)若，，求正确的“△”的值． 【答案】(1)二，过程见详解 (2) 【分析】（1）根据题中的解题过程进行分析即可，再写成正确的解答过程即可； （2）根据（1）中的化简结果将a，b代入即可得出结果． 【详解】（1）解：在题中的解答过程里，第二步的移项出现错误，导致后续步骤开始出现错误，正确的解答过程如下： 根据题意可得，， ， ， ． （2）解：∵，， 由（1）得， ∴． 48．（2026·河北石家庄·一模）计算与化简 (1)． (2)． 【答案】(1)11 (2) 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 49．（2026·河北廊坊·一模）在数学课上，老师出了一道题目，并展示了嘉嘉的解题过程． 化简： 原式．第一步 ．第二步 ．第三步 ．第四步 (1)嘉嘉的解题步骤中所有错误步骤是： ； (2)请写出正确的解答过程，并从3，，这三个数中选取一个合适的数代入化简结果中求值． 【答案】(1)第一步和第二步 (2)见解析，当时，原式 【分析】（1）第一步加法运算出错，第二步因式分解出错； （2）先通分，计算括号内，除法变乘法，约分化简后，代入一个使分式有意义的值计算即可． 【详解】（1）解：嘉嘉的解题步骤中所有错误步骤是：第一步和第二步； （2）解： ， 当时，原式． 试卷第2页，共31页 2/29 学科网（北京）股份有限公司 $