题号猜押07 辽宁中考数学14-15题（填空）2026年中考数学终极冲刺讲练测

题号猜押07 辽宁中考数学14-15题（填空题） 考点1 三角形综合 1．（2026·河北衡水·模拟预测）我们把练习本上的横线看作平行且等距的格线．如图，嘉淇在两条横线上画出，且边，与中间的另外两条横线交于D，F，E，G四点，连接交于点H，若，则的长为______． 2．（2026·山西大同·一模）如图，在中，，为边上的中线，平分与相交于点，已知，则线段的长为___________． 3．（2026·江苏淮安·一模）如图，在中，，是中点，点在上，连接．若，，，则______． 4．（2026·河南周口·一模）定义：有两个直角三角形，其中一个三角形的直角顶点为另一个直角三角形斜边的中点，我们称这样的两个三角形为“对角直角三角形”．如图，，，和为对角直角三角形（），O为的中点，与交于点M，与交于点N．若M为边的三等分点，则的长为______． 5．（2026·贵州·模拟预测）如图，在中，，延长到D，使得，连接．取的中点E，连接，连接并延长交于点F，若，且，则的长为______． 考点2 动点问题与函数图像 1．（2026·湖北黄石·二模）如图1，在中，，D是边上一动点，设B，D两点之间的距离为x，A，D两点之间的距离为y，表示y与x的函数关系的图象如图2所示．则线段的长和线段的长分别为________．      2．（2026·江苏泰州·一模）如图，在中，，为边上一点．动点以每秒个单位长度的速度从点出发，沿折线匀速运动，到达点后停止，连接．设点的运动时间为（单位：秒），的值为．在动点运动的过程中，与的函数图像如图所示．则图像最低点的纵坐标_____． 3．（2026·浙江衢州·一模）如图1，在四边形中，，平分，，（a为常数），记长为x，长为y，y关于x的函数图象如图2所示，最高点E的纵坐标为16，当时，四边形的面积为______． 考点3 四边形综合 1．（2026·辽宁鞍山·一模）如图，在菱形中，对角线，交于点O，点E为上一点，，连接并延长交于点F，连接，，且，交于点H，若，，则的长为________． 2．（2026·辽宁铁岭·三模）如图，在菱形中，对角线与相交于点，点在线段上，，点为的中点，点在线段上，且，则的长为___________． 3．（2026·辽宁·模拟预测）如图，在中，，正方形的顶点 D，E，G 分别在边上，若 则正方形的边长为_________． 4．（2026·北京平谷·一模）如图，在菱形中，对角线相交于点，对角线的长为是的中点，是上一点，连接．若，则的长为______． 5．（2026·辽宁抚顺·一模）如图，在中，E为的中点，F为的中点，连接交于点G，则的值为____ 考点4 最值问题 1．（2026·辽宁丹东·一模）如图，在平面直角坐标系中，点，点，点从点出发沿向点运动，连接，过点作于点，连接，则的最小值为________． 2．（2026·辽宁沈阳·模拟预测）如图，在长方形中, ，，，则CE+DF的最小值是________． 3．（2026·辽宁沈阳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点，，点是坐标平面内一点，且，点是线段的中点，连接，当取最大值时，点的坐标为_________． 4．（2026·辽宁阜新·一模）如图，在矩形中，，为边的中点，为矩形外一个动点．且，则线段的最大值为______． 5．（2026·江苏南京·模拟预测）如图，在菱形中，，，M是边的中点，N是边上任意一点，将菱形沿翻折，点A落在点E处，连接，则的最小值为_______． 考点5 二次函数综合 1．（2026·辽宁沈阳·一模）二次函数的部分图象如图所示，其对称轴为：，图象与x轴的一个交点为．将下列正确的结论填在横线上______（填序号） ①；②；③方程有两个不相等的实数解；④当时，m的取值范围为或． 2．（2026·辽宁沈阳·模拟预测）图1是放在水平桌面上的酒杯的截面图，杯体呈抛物线状（杯体厚度不计），点C是该抛物线的顶点，，，D是的中点．当酒杯中装满白酒时，液面，此时最大深度（液面到最低点的距离）为．现将酒杯绕点F缓缓倾斜倒出部分白酒，当倾斜角时停止，此时液面为，如图2所示，则此时酒杯内白酒的最大深度是______． 3．（2026·辽宁沈阳·模拟预测）如图，抛物线分别与轴正半轴、轴交于点，．点在线段上运动（不与点A，B重合），过点作轴交抛物线于点，则的最大值是_____． 4．（2026·辽宁沈阳·模拟预测）将抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象其余部分不变，得到一个新图象如图所示，当直线与新图象恰有三个公共点时，b的值为____________________ ． 5．（2026·江苏宿迁·三模）将抛物线绕原点旋转所得到的抛物线的解析式为__________． 6．（2026·河北廊坊·一模）已知抛物线，则当时，函数的最大值与最小值的差为______． 考点6 反比例函数综合 1．（2026·辽宁沈阳·模拟预测）如图，点A、B在反比例函数的图像上，连接并延长交x轴于点C，若B是的中点，的面积为3，则k的值为______． 2．（2026·陕西西安·二模）如图，矩形中，，矩形的面积为24，与轴负半轴的夹角为，双曲线（）经过点，则的值为______． 3．（2022·云南昭通·模拟预测）如图，，是反比例函数图象上的点，过点作轴于点，连接并延长，交轴于点，连接，，若，，则的值为_______． 4．（2026·河北邯郸·一模）如图，和都是等边三角形，点和上的点都在双曲线上，点在线段上，连接，．若的面积，则的值为__________． 5．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，连接，，．若，则的值为________． 考点7 尺规作图与几何综合 1．（2026·辽宁沈阳·模拟预测）如图，为半圆O的直径，点C为⊙O上一点，连接，且，按以下步骤操作：①以点B为圆心，以适当的长为半径画弧交于点M，交于点N；②分别以点M、N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点P；③作射线交⊙O于点D，交于点E，若，则的长为 _____． 2．（2026·辽宁沈阳·模拟预测）如图，在四边形中，，，，，，为的中点，以点为圆心，任意长为半径画弧，交，于点，，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线，交于点；以点为圆心，任意长为半径画弧，交于点，，分别以点，为圆心，大于的长为半径画圆弧，两弧交于点，作射线，交于点，则的长为____________________．(用含的代数式表示) 3．（2026·辽宁沈阳·模拟预测）如图，在中，．按以下步骤作图：①以点为圆心，小于长为半径作弧，分别交，于点，；②分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，作射线；③分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于，两点；④作直线交射线于点，交于点，交于点．若，，则的长为________． 4．（2026·辽宁铁岭·二模）如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交、于点、，再分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，再分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点、，作直线交、于点、，连接，若，，则的长为_____． 5．（2026·辽宁沈阳·模拟预测）如图，在中，，，，按下列步骤作图：①在和上分别截取、，使．②分别以点D和点E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点M．③作射线交于点F．若点P是线段上的一个动点，连接，则的最小值是______________． 1．（2026·辽宁葫芦岛·一模）如图，中，与交于点，则的长为_____． 2．（2026·浙江·模拟预测）如图，钝角三角形绕点A逆时针旋转得到，点在直线上，．已知，，则的长为__________． 3．（2026·辽宁抚顺·一模）如图，在矩形中，，，点为的中点，点在上，且，连接，点为的中点，连接并延长，交于点，连接，则的长为________． 4．（2026·辽宁沈阳·模拟预测）如图，在菱形中，对角线，交于点，，分别是，的中点，连接，交于点，连接．若，则的长为_____． 5．（2026·福建泉州·二模）如图，正方形的对角线相交于点O，点E是的中点，点F，G是上两个动点（F在G的下方），且满足，若正方形边长为2，则的最小值为_______． 6．（2026·内蒙古通辽·一模）如图，在平行四边形中，于点E，，，P，F分别是，上的动点，当的值最小时，的长为_________． 7．（2026·新疆乌鲁木齐·二模）如图，是等边的高，，E，F分别是线段上动点，且，则的最小值为____． 8．（2026·辽宁沈阳·模拟预测）如图，二次函数图象的一部分与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，结合图象给出下列结论： ①； ②； ③关于x的一元二次方程的两根分别为和3； ④若点，，均在二次函数图象上，则； ⑤（m为任意实数）．其中正确的结论有________． 9．（2026·辽宁沈阳·模拟预测）音乐喷泉（图1）可以使喷水造型随着音乐的节奏起伏变化而变化，某种音乐喷泉形状如抛物线，设其出水口为原点，出水口离岸边，音乐变化时，抛物线的顶点在直线上变动，从而产生一组不同的抛物线（图，这组抛物2）线的统一形式为，若要求喷出的抛物线水线不能到岸边，则的取值范围为___________． 10．（2026·辽宁沈阳·模拟预测）如图，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），点在抛物线上，点在轴左侧的抛物线上，且，则点的坐标为_____________. 11．（2026·江苏无锡·一模）在平面直角坐标系中，若点，，，则的最小值为__________． 12．（2026·山东聊城·一模）已知二次函数，当时，函数的最大值为4，则m的值为______． 13．（2026·内蒙古包头·一模）如图，点和点A在反比例函数的图象上，连接．若，且，则k的值为________． 14．（2026·安徽合肥·一模）如图，A、B是第二象限内双曲线上的点，A、B两点的横坐标分别是a，，线段的延长线交x轴于点C，．则k的值为______． 15．（2026·安徽阜阳·二模）如图，中，，点在轴正半轴上，点在第一象限，反比例函数的图象经过点，反比例函数的图象与交于点，连接，若的面积为，则的值为___________． 16．（2026·辽宁本溪·一模）如图，在矩形中，，，分别以A，D为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于M，N两点，作直线；以点A为圆心，以长为半径画弧，交直线于点E，连接，；分别以B，E为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点F，则的长为_____． 17．（2026·辽宁大连·一模）如图，在矩形中，，，分别以点B，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，直线与相交于点E，与相交于点F，则的长为__________． 18．（2026·辽宁沈阳·模拟预测）如图，正方形的边长为4，点E是中点，以D为圆心，任意长为半径画弧分别交，于点G和H，再以A为圆心，长为半径作弧交于点M，以M为圆心，长为半径作弧交前弧于点N，作射线交延长线于点P，连接并延长交于点F，则的长为_______． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 题号猜押07 辽宁中考数学14-15题（填空题） 考点1 三角形综合 1．（2026·河北衡水·模拟预测）我们把练习本上的横线看作平行且等距的格线．如图，嘉淇在两条横线上画出，且边，与中间的另外两条横线交于D，F，E，G四点，连接交于点H，若，则的长为______． 【答案】12 【分析】由题意可得，，，从而得出，，再由相似三角形的性质即可得解． 【详解】解：由题意可得：，，， ∴，， ∴，， ∵， ∴，． 2．（2026·山西大同·一模）如图，在中，，为边上的中线，平分与相交于点，已知，则线段的长为___________． 【答案】 【分析】过E作交是延长线于G，根据平行线的性质和角平分线的定义得出，根据等角对等边得出，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出，根据勾股定理求出，证明，根据相似三角形的对应边成比例求解即可． 【详解】解：过E作交是延长线于G， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵，为边上的中线，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得，经检验，符合题意． 3．（2026·江苏淮安·一模）如图，在中，，是中点，点在上，连接．若，，，则______． 【答案】 【分析】根据中点的定义及勾股定理得，，继而得到，证明得，求得，，可得答案． 【详解】解：∵是中点， ∴， ∵，，， 在中，， 在中，， ∴， 解得：或（负值不符合题意，舍去）， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴． 4．（2026·河南周口·一模）定义：有两个直角三角形，其中一个三角形的直角顶点为另一个直角三角形斜边的中点，我们称这样的两个三角形为“对角直角三角形”．如图，，，和为对角直角三角形（），O为的中点，与交于点M，与交于点N．若M为边的三等分点，则的长为______． 【答案】4或5 【分析】在中，解直角三角形得，过点O作于点P，作于点Q，根据、O为的中点得、是的中位线，从而得，，根据M为边的三等分点，分两种情况讨论，分别为和，分别证明，求出，根据计算即可． 【详解】解：在中，， 过点O作于点P，作于点Q， ∵，O为的中点， ∴，是的中位线，， ∴，， 分两种情况：①如图1，当时，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②如图2，当时，，， ∴， 同理易证得， ∴， ∴， ∴， 综上所述，的长为4或5． 5．（2026·贵州·模拟预测）如图，在中，，延长到D，使得，连接．取的中点E，连接，连接并延长交于点F，若，且，则的长为______． 【答案】 【分析】证明，可得，，，如图，过作交的延长线于，再进一步利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵，的中点为E，， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， 如图，过作交的延长线于， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 考点2 动点问题与函数图像 1．（2026·湖北黄石·二模）如图1，在中，，D是边上一动点，设B，D两点之间的距离为x，A，D两点之间的距离为y，表示y与x的函数关系的图象如图2所示．则线段的长和线段的长分别为________．      【答案】 【分析】从图象看，当时，重合，此时，则，即当时，为以点为顶点腰长为的等腰三角形，进而求解． 【详解】解：从图象看，当时， ， 即时， ， 当时，，即时，重合， 此时，则， 即当时，为以点为顶点腰长为的等腰三角形，如下图： 过点作于点， 在中，， 则， 在中，． 2．（2026·江苏泰州·一模）如图，在中，，为边上一点．动点以每秒个单位长度的速度从点出发，沿折线匀速运动，到达点后停止，连接．设点的运动时间为（单位：秒），的值为．在动点运动的过程中，与的函数图像如图所示．则图像最低点的纵坐标_____． 【答案】 【分析】先根据动点速度与函数图像，确定斜边，再结合时的最低点信息，得到此时且，利用勾股定理算出；接着通过证明 ，求出；最后根据“垂线段最短”，得出点在上运动时，的最小值为，因此函数图像最低点的纵坐标． 【详解】解：∵动点速度为单位/秒，由图可知：从到共用时秒， ∴斜边； 当时，，此时，且该点是在段的最低点， ∴此时，得， 在中，由勾股定理得：， 又，， ∴，得比例关系： ∴， ∴， 解得：， ∴， ∵，即， 根据垂线段最短，在上运动时，的最小值为， ∴的最小值（即图像最低点纵坐标）：． 3．（2026·浙江衢州·一模）如图1，在四边形中，，平分，，（a为常数），记长为x，长为y，y关于x的函数图象如图2所示，最高点E的纵坐标为16，当时，四边形的面积为______． 【答案】或 【分析】先证明，得到，进而可得，结合图2知，，求出（负值舍去），当时，求出或，过点作于点，分和两种情况讨论即可，利用等腰三角形三线合一及勾股定理求出，即可解答． 【详解】解：∵，平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵（a为常数），长为x，长为y， ∴， ∵， ∴当时，有最大值， 由图2知，， ∴（负值舍去）， ∴， 当时，则，即， 解得或， 过点作于点， 当时，则， ∴， ∵， ∴， ∵，即， ∴， ∴四边形的面积为； 当时，则， ∴， 同理，得， ∴四边形的面积为； 综上，四边形的面积为或． 考点3 四边形综合 1．（2026·辽宁鞍山·一模）如图，在菱形中，对角线，交于点O，点E为上一点，，连接并延长交于点F，连接，，且，交于点H，若，，则的长为________． 【答案】 【分析】过点H作于点G，过点F作于点I，作于点J，由，，和四边形是菱形，可得， ，，可得，再利用平行线分线段成比例，可得，即可求解． 【详解】解：如图，过点H作于点G，过点F作于点I，作于点J， ∵四边形是菱形， ∴，，，，， ∴在中，，， ∴，， ∵， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴，即， ∴， 在中，， ∴． 2．（2026·辽宁铁岭·三模）如图，在菱形中，对角线与相交于点，点在线段上，，点为的中点，点在线段上，且，则的长为___________． 【答案】1 【分析】先根据菱形的性质和勾股定理求得，从而求得，然后根据平行线分线段成比例可得，据此求得，进而根据线段的和差求得． 【详解】解：∵在菱形中，对角线与相交于点，， ∴，，， ∴， ∴， ∵，且点为的中点，即， ∴， ∴， ∴， ∴． 3．（2026·辽宁·模拟预测）如图，在中，，正方形的顶点 D，E，G 分别在边上，若 则正方形的边长为_________． 【答案】 【分析】过点G作于点H，证明，得到；求出，解直角三角形得到，则，解直角三角形得到，则，利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点G作于点H， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∵在中，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴正方形的边长为． 4．（2026·北京平谷·一模）如图，在菱形中，对角线相交于点，对角线的长为是的中点，是上一点，连接．若，则的长为______． 【答案】 【分析】如图所示，取的中点G，连接，根据菱形的性质可知，利用勾股定理得到，结合中位线的性质可得，且，再求出，最后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示，取的中点G，连接， ∵菱形的对角线与相交于点， ， ， ∵点是的中点，点G是的中点， ∴是的中位线， ∴，且，，， 又， ，， ． 5．（2026·辽宁抚顺·一模）如图，在中，E为的中点，F为的中点，连接交于点G，则的值为____ 【答案】 【分析】延长交于点H，证明，可得，从而得到，再由，解答即可． 【详解】解：如图，延长交于点H， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵点E为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点F为的中点， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴． 考点4 最值问题 1．（2026·辽宁丹东·一模）如图，在平面直角坐标系中，点，点，点从点出发沿向点运动，连接，过点作于点，连接，则的最小值为________． 【答案】 【分析】先求出，再根据圆周角定理可得在点P的运动过程中，点Q的运动轨迹是在以的中点为圆心、长为直径的半圆上，设的中点为点，连接，从而可得当点共线时，取得最小值． 【详解】解：∵点，点， ∴， ∵， ∴在点P的运动过程中，始终有， ∴如图，在点P的运动过程中，点Q的运动轨迹是在以的中点为圆心、长为直径的半圆上， 设的中点为点，连接， ∴，，即， ∴， 由三角形的三边关系得：，当且仅当点共线时，等号成立， 即当点共线时，取得最小值， ∴此时． 2．（2026·辽宁沈阳·模拟预测）如图，在长方形中, ，，，则CE+DF的最小值是________． 【答案】 【分析】延长到点M，使得，连接，证明转化得到，当D，F，M三点共线时，取得最小值，勾股定理解答即可． 【详解】解：延长到点M，使得，连接， ∵矩形，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 连接 ∵， ∴， 故当D，F，M三点共线时，取得最小值，且最小值为 故答案为：． 3．（2026·辽宁沈阳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点，，点是坐标平面内一点，且，点是线段的中点，连接，当取最大值时，点的坐标为_________． 【答案】 【分析】本题考查了坐标和图形的性质，三角形的中位线定理，勾股定理等知识，确定为最大值时点的位置是解题的关键． 作点关于点的对称点根据中位线的性质得到，根据点在以为圆心，为半径的上运动，可知当经过圆心时，最大，即点在图中位置，根据勾股定理求出，进而可求出，即，设点的横坐标为，根据中位线的性质可知点的纵坐标为，再根据勾股定理即可求出的值，随即可知点的坐标． 【详解】解：如图，作点关于点的对称点， 则点是的中点， 又点是的中点， 是的中位线， ，， 当最大时，最大， 点为坐标平面内的一点，且， 点在以为圆心，为半径的上运动， 当经过圆心时，最大，即点在图中位置， ， ， ， 设点的横坐标为， ∵，， ∴点的纵坐标为， ∴， 解得（负值去除），即点的横坐标为， ∴点的纵坐标为， ∴点的坐标为， 故答案为：． 4．（2026·辽宁阜新·一模）如图，在矩形中，，为边的中点，为矩形外一个动点．且，则线段的最大值为______． 【答案】8 【分析】连接，取的中点，连接，，通过矩形的性质结合勾股定理求出，再运用中位线定理求出，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出，最后根据三角形的三边关系得、、三点共线时最大即可求解． 【详解】解：如图，连接，取的中点，连接，， 矩形中，，，， ，， 根据勾股定理，， 为的中点，为的中点， ， ， ， 由三角形的三边关系得、、三点共线时最大， 此时． 5．（2026·江苏南京·模拟预测）如图，在菱形中，，，M是边的中点，N是边上任意一点，将菱形沿翻折，点A落在点E处，连接，则的最小值为_______． 【答案】/ 【分析】连接，过点作交的延长线于点，可得，然后解，求出，利用勾股定理求出，再由，当点落在上时，取得最小值． 【详解】解：连接，过点作交的延长线于点， ∵菱形， ∴，， ∴ ∵ ∴，， ∵M是边的中点， ∴， ∴， ∴， ∵将菱形沿翻折 ∴， ∵， ∴当点落在上时，取得最小值， ∴的最小值为． 考点5 二次函数综合 1．（2026·辽宁沈阳·一模）二次函数的部分图象如图所示，其对称轴为：，图象与x轴的一个交点为．将下列正确的结论填在横线上______（填序号） ①；②；③方程有两个不相等的实数解；④当时，m的取值范围为或． 【答案】②③ 【分析】由对称轴得，，当时，，可判断结论①；由时，，得，可判断结论②；由方程转换为，转换为判断函数与函数的交点个数，可判断结论③；由函数图象和性质，判断结论④． 【详解】解：∵其对称轴为：， 即，得， ∴当时，， 即，故结论①错误； ∵当时，， ∴， ∴，故结论②正确； 方程转换为， 则方程解的个数即为函数与函数的交点个数， 由图判断函数与函数必有两个交点， ∴方程有两个不相等的实数解，故结论③正确； 若， 即， 故当时，函数值大于时的函数值， 根据对称轴为， ∴的对称点为， 要求时，函数值大于时的函数值， 即，故结论④错误； 综上，正确的结论为②③． 2．（2026·辽宁沈阳·模拟预测）图1是放在水平桌面上的酒杯的截面图，杯体呈抛物线状（杯体厚度不计），点C是该抛物线的顶点，，，D是的中点．当酒杯中装满白酒时，液面，此时最大深度（液面到最低点的距离）为．现将酒杯绕点F缓缓倾斜倒出部分白酒，当倾斜角时停止，此时液面为，如图2所示，则此时酒杯内白酒的最大深度是______． 【答案】/ 【分析】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求函数解析式、等腰直角三角形的判定与性质、二次函数的图象与性质、坐标与图形性质等知识．以C为坐标原点，过C且平行于底面（或）的直线为x轴，垂直于底面的直线为y轴建立平面直角坐标系，如图，在抛物线上取一点G，使得，直线交x轴于P，过B作轴于Q，在直线下方取一点M，过M作y轴的平行线交直线于N，交于H，过M作于K，如图，利用三角形的内角和定理，结合等腰直角三角形的性质得到，故当最大时，最大；根据坐标与图形性质，结合等腰三角形的判定与性质求得；然后利用待定系数法求得直线的解析式为，抛物线的解析式为，设，则，利用二次函数性质求得的最大值为，可得的最大值为，根据旋转性质可得倾斜后酒杯内白酒的最大深度是的最大值，即可求解． 【详解】解：以C为坐标原点，过C且平行于底面（或）的直线为x轴，垂直于底面的直线为y轴建立平面直角坐标系，如图，在抛物线上取一点G，使得，直线交x轴于P，过B作轴于Q，在直线下方取一点M，过M作y轴的平行线交直线于N，交于H，过M作于K，如图， ∵，， ∴， ∴，故当最大时，最大； ∵高脚杯中装满白酒时，液面，此时最大深度（液面到最低点的距离）为． ∴轴，， 则，，， ∴，， ∴，则， 设直线解析式为， 则，解得， ∴直线的解析式为， 设抛物线的解析式为， 将代入，得，则， ∴抛物线的解析式为， 设，则， ∴， ∵， 当时，最大，最大值为， 此时，的最大值为， ∵高脚杯绕点F缓慢倾斜倒出部分白酒，当倾斜角时停止，此时液面为，如图2所示， 则此时酒杯内白酒的最大深度就是图1中的最大值， 故答案为：． 3．（2026·辽宁沈阳·模拟预测）如图，抛物线分别与轴正半轴、轴交于点，．点在线段上运动（不与点A，B重合），过点作轴交抛物线于点，则的最大值是_____． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的应用、待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握二次函数以及一次函数的性质是解本题的关键． 令可得点的坐标，令可得点的坐标，再运用待定系数法求一次函数解析式；设点，则点，表示出的长度表达式，根据二次函数的性质解答即可． 【详解】解：令，即， 解得：， ∴点， 将，代入，得， ∴点， 设直线的函数表达式为， ∴， 解得：， ∴直线的函数表达式为； 设点，则点， ∵点Q在线段上方的抛物线上，始终在一次函数图像的上方， ∴， ∴当时，的长度最大，最大值为． 故答案为：． 4．（2026·辽宁沈阳·模拟预测）将抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象其余部分不变，得到一个新图象如图所示，当直线与新图象恰有三个公共点时，b的值为____________________ ． 【答案】1或 【分析】由题意得，抛物线与x轴的交点坐标分别为，，将抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的解析式为，当直线过点A时，直线与新函数的图象恰有三个公共点，将代入，可求出b的值；当直线与抛物线相切时，直线与新函数的图象恰有三个公共点，结合图象，求出b的值即可． 【详解】解：令， 解得， ∴抛物线与x轴的交点坐标分别为，， 将抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的解析式为． 当直线过点A时，直线与新函数的图象恰有三个公共点， 将代入， 得， 解得． 当直线与抛物线只有一个交点时，直线与新函数的图象恰有三个公共点， 即方程有两个相等的实数根， 整理得， ∴， 解得． ∴当直线与新图象恰有三个公共点时，b的值为1或． 故答案为：1或． 5．（2026·江苏宿迁·三模）将抛物线绕原点旋转所得到的抛物线的解析式为__________． 【答案】 【分析】先将原抛物线配方化为顶点式，确定原抛物线的顶点坐标，根据关于原点对称的点的坐标特征得到旋转后抛物线的顶点坐标，结合旋转后二次项系数变为原系数的相反数，利用顶点式写出旋转后抛物线的解析式，整理为一般式即可． 【详解】解：对原抛物线配方得， 可得原抛物线的顶点坐标为， 抛物线绕原点旋转后，顶点关于原点中心对称，开口方向相反，二次项系数变为原系数的相反数， 根据关于原点对称的点的坐标特征，可得旋转后抛物线的顶点坐标为，二次项系数为， 因此旋转后抛物线的顶点式为， 整理为一般式． 6．（2026·河北廊坊·一模）已知抛物线，则当时，函数的最大值与最小值的差为______． 【答案】4 【分析】把解析式化为顶点式得到抛物线的开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，则可确定当时，函数有最大值，求出最大值，再根据顶点坐标得到最小值，进而可得答案． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， ∴离对称轴越远，函数值越大， ∵， ∴在满足的条件下，当时，函数有最大值，最大值为， ∵， ∴函数的最小值为， ∴当时，函数的最大值与最小值的差为． 考点6 反比例函数综合 1．（2026·辽宁沈阳·模拟预测）如图，点A、B在反比例函数的图像上，连接并延长交x轴于点C，若B是的中点，的面积为3，则k的值为______． 【答案】2 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，作轴，轴，设，利用相似三角形的判定与性质，根据中点得到A、B、C的坐标，通过点的坐标列出方程，解答即可． 【详解】解：如图，作轴，轴， ∵B是的中点， ∴， 设， ∴，, ∴， ∴， 即， ∴， ∴， 又∵， ∴ ∴, ∵，即 ∴， ， ∵， ∴， 解得：， 故答案为：2． 2．（2026·陕西西安·二模）如图，矩形中，，矩形的面积为24，与轴负半轴的夹角为，双曲线（）经过点，则的值为______． 【答案】 【分析】过点作轴于，得，设，利用含角的直角三角形的性质可得，，证，利用相似三角形的性质可得，进而求得，再利用反比例函数系数的几何意义即可求解． 【详解】解：过点作轴于，如图： ∵矩形的面积为24， ∴， ， ，， ， 设， 则，， 与x轴负半轴的夹角为， ， ， ，即：， 解得：， ， 由图得：， 故答案为：． 3．（2026·辽宁沈阳·模拟预测）如图，，是反比例函数图象上的点，过点作轴于点，连接并延长，交轴于点，连接，，若，，则的值为_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数系数的几何意义． 根据等高三角形面积比等于底边之比可得，继而可得，由此得出． 【详解】解：如图，连接． ， ， ， ， ． 4．（2026·河北邯郸·一模）如图，和都是等边三角形，点和上的点都在双曲线上，点在线段上，连接，．若的面积，则的值为__________． 【答案】8 【分析】根据等边三角形的性质得出，利用同位角相等判定，根据平行线间的距离处处相等得出，设等边的边长为，表示出点的坐标，结合反比例函数图象上点的坐标特征及三角形面积公式建立与面积的关系求解． 【详解】解：和都是等边三角形， ，， ， ， 点在线段上，点在上， 点在直线上， 点到直线的距离等于点到直线的距离， ， 设的边长为，则， 过点作轴于点， 在中，， ，， 点的坐标为， 点在双曲线上， ， 又， ， 故答案为． 5．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，连接，，．若，则的值为________． 【答案】/ 【分析】过点A作轴于C，过点B作轴于D，可证明，得到，再根据反比例函数比例系数的几何意义得到，则，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，过点A作轴于C，过点B作轴于D， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 考点7 尺规作图与几何综合 1．（2026·辽宁沈阳·模拟预测）如图，为半圆O的直径，点C为⊙O上一点，连接，且，按以下步骤操作：①以点B为圆心，以适当的长为半径画弧交于点M，交于点N；②分别以点M、N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点P；③作射线交⊙O于点D，交于点E，若，则的长为 _____． 【答案】 【分析】由作图得平分，再根据勾股定理求解． 【详解】解：过D作于F，连接， 由作图得：平分， ∴，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 故答案为：． 2．（2026·辽宁沈阳·模拟预测）如图，在四边形中，，，，，，为的中点，以点为圆心，任意长为半径画弧，交，于点，，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线，交于点；以点为圆心，任意长为半径画弧，交于点，，分别以点，为圆心，大于的长为半径画圆弧，两弧交于点，作射线，交于点，则的长为____________________．(用含的代数式表示) 【答案】 【分析】先由尺规作图得到平分、，再求出，结合角平分线与平行线内错角相等的性质，推出为等腰三角形，得到；作，证明四边形为矩形，得到，再在中利用角的性质求出，结合是中点算出，从而得到的长度；最后根据，代入计算即可得到的表达式． 【详解】解：由尺规作图的步骤可知，平分，垂直平分，即． ，， ，即． 平分， ． ， ， ， ． 过点作于点， ，，， ， 四边形为矩形，． 在中，， ， ． 为的中点，， ， ，即． ∵， ． 3．（2026·辽宁沈阳·模拟预测）如图，在中，．按以下步骤作图：①以点为圆心，小于长为半径作弧，分别交，于点，；②分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，作射线；③分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于，两点；④作直线交射线于点，交于点，交于点．若，，则的长为________． 【答案】2 【分析】本题考查了尺规作图角平分线和线段的垂直平分线，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定等知识点，熟练掌握知识点并灵活运用是解题的关键． 先由勾股定理求出，由作图可得，垂直平分，得到，继而，求出，根据等腰三角形的判定得到，最后由即可求解． 【详解】解：如图， ∵，，， ∴， 由作图可得：，垂直平分， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：2． 4．（2026·辽宁铁岭·二模）如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交、于点、，再分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，再分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点、，作直线交、于点、，连接，若，，则的长为_____． 【答案】 【分析】过作于，由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得，由可判定，由全等三角形的性质得，设，则，由勾股定理得，从而列出方程，求出x的值，再代入，即可求解． 【详解】解：如图，过作于， 由作法得：平分，垂直平分， ， ， ， ， ， ， 在和中 ， （）， ， ， 设，则， ， ， 解得：， ， ∵， ， 解得：． 5．（2026·辽宁沈阳·模拟预测）如图，在中，，，，按下列步骤作图：①在和上分别截取、，使．②分别以点D和点E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点M．③作射线交于点F．若点P是线段上的一个动点，连接，则的最小值是______________． 【答案】 【分析】过点P作于点Q，过点C作于点H，先利用角平分线和三角形的内角和定理求出，然后利用含的直角三角的性质得出，则，当C、P、Q三点共线，且与垂直时，最小，最小值为，利用含的直角三角的性质和勾股定理求出，，最后利用等面积法求解即可． 【详解】解：过点P作于点Q，过点C作于点H， 由题意知：平分， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当C、P、Q三点共线，且与垂直时，最小，最小值为， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即最小值为． 故答案为：． 1．（2026·辽宁葫芦岛·一模）如图，中，与交于点，则的长为_____． 【答案】 【分析】过点D作于点F， 由和勾股定理求出，求出,得，，由，得，求出，即得． 【详解】解：如图，过点D作于点F，则， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 2．（2026·浙江·模拟预测）如图，钝角三角形绕点A逆时针旋转得到，点在直线上，．已知，，则的长为__________． 【答案】/ 【分析】本题考查旋转的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理以及锐角三角函数的综合应用．通过延长交于点H，构造直角三角形，利用正切值设未知数，结合旋转性质证明三角形相似，建立方程求解． 【详解】解：延长交于点H， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ 在中，， ∴ 设，则， ∵ ，， ∴ ，， ∵ 绕点旋转得到， ∴ ，，， 又∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 设， ∵ ， ∴ ，即， ∴ ， ∴ 在中，由勾股定理得， ∴ ， ∴ 代入得， ∴整理，得， ∴ 解得或， ∴ 当时，，不合题意，舍去， ∴ ， ∴ ，， ∴ 在中，． 3．（2026·辽宁抚顺·一模）如图，在矩形中，，，点为的中点，点在上，且，连接，点为的中点，连接并延长，交于点，连接，则的长为________． 【答案】 【分析】证明，得到，求得，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵，点为的中点， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴，， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 4．（2026·辽宁沈阳·模拟预测）如图，在菱形中，对角线，交于点，，分别是，的中点，连接，交于点，连接．若，则的长为_____． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，熟练掌握菱形的性质、三角形中位线定理，添加适当的辅助线是解题的关键． 过点作于点，由菱形的性质，平行线分线段成比例定理证明是的中位线，然后再证，从而得出，，从而得出，，然后利用勾股定理即可解答． 【详解】如图，过点作于点． 四边形是菱形， ，，， ． ， 由是的中点， ∴， ∴， ∴是的中位线， ，． 是的中点， ， ． 在和中 ， ∴， ， ， ，， ， ， ， 在中．． 故答案为：． 5．（2026·福建泉州·二模）如图，正方形的对角线相交于点O，点E是的中点，点F，G是上两个动点（F在G的下方），且满足，若正方形边长为2，则的最小值为_______． 【答案】 【分析】过点作交于点，证明四边形是平行四边形，求得，证明，得到，根据，得到的最小值为的长，据此求解即可． 【详解】解：过点作交于点，连接，，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴是等腰直角三角形，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为的长， ∵， ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∴， ∴的最小值为． 6．（2026·内蒙古通辽·一模）如图，在平行四边形中，于点E，，，P，F分别是，上的动点，当的值最小时，的长为_________． 【答案】 【分析】在上截取，过点G作于点Q，交于点H，根据垂线段最短，勾股定理求解即可 【详解】解：在上截取，过点G作于点Q，交于点H， ， 垂直平分， ， 故当P与点H重合时，的值最小，且最小值为，， ，， ， 故， 根据三角形的面积，得， 故， ， 故的长为 7．（2026·新疆乌鲁木齐·二模）如图，是等边的高，，E，F分别是线段上动点，且，则的最小值为____． 【答案】 【分析】过点C作，且，并在的同侧，连接，交于点G，当F与点G重合时，取得最小值，勾股定理计算． 【详解】解：如图，过点C作，且，并在的同侧，连接，交于点G，连接， ∵为等边的高， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 当点三点共线，即F与点G重合时，取得最小值， ， 的最小值为． 8．（2026·辽宁沈阳·模拟预测）如图，二次函数图象的一部分与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，结合图象给出下列结论： ①； ②； ③关于x的一元二次方程的两根分别为和3； ④若点，，均在二次函数图象上，则； ⑤（m为任意实数）．其中正确的结论有________． 【答案】①②③ 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，根据开口方向，对称轴计算公式和与y轴的交点位置可判断a、b、c的符号，则可判断①；根据对称轴计算公式可得，结合二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为可判断②；由对称性可求出二次函数的图象与x轴的另一个交点坐标为，据此可判断③；函数图象开口向上，则离对称轴越远函数值越大，求出三个点到对称轴的距离即可判断④；当时，函数有最小值，最小值为，据此可判断⑤． 【详解】解：∵函数图象开口向上， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∴； ∵二次函数的图象与y轴的交点在y轴的负半轴， ∴， ∴，故①正确； ∵二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为， ∴， ∴， ∴，故②正确； 由对称性可知，二次函数的图象与x轴的另一个交点坐标为， ∴关于x的一元二次方程的两根分别为和3，故③正确； ∵函数图象开口向上， ∴离对称轴越远，函数值越大， ∵点，，均在二次函数图象上，且， ∴，故④错误； ∵函数图象开口向上，对称轴为直线， ∴当时，函数有最小值，最小值为， ∴对于任意的实数m都有 ， ∴，故⑤错误； 故答案为：①②③． 9．（2026·辽宁沈阳·模拟预测）音乐喷泉（图1）可以使喷水造型随着音乐的节奏起伏变化而变化，某种音乐喷泉形状如抛物线，设其出水口为原点，出水口离岸边，音乐变化时，抛物线的顶点在直线上变动，从而产生一组不同的抛物线（图，这组抛物2）线的统一形式为，若要求喷出的抛物线水线不能到岸边，则的取值范围为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，根据题目给出的信息列出相应的关系式，找出所求问题需要的条件．依据题意，抛物线的顶点在直线上可得的值，根据喷出的抛物线水线不能到岸边，而出水口离岸边可知其对称轴，可得的范围． 【详解】解：由题意，的顶点为，抛物线的顶点在直线上， ． ． 喷出的抛物线水线不能到岸边，出水口离岸边， ，即：． ． 故答案为：． 10．（2026·辽宁沈阳·模拟预测）如图，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），点在抛物线上，点在轴左侧的抛物线上，且，则点的坐标为_____________. 【答案】 【分析】本题考查了二次函数和一次函数的交点问题，待定系数法求解析式，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质，熟练掌握相关性质，作出合适的辅助线是解题的关键．延长交轴于点，过点作轴，利用，证得为等腰三角形，求得点坐标，求出直线解析式，然后联立抛物线解析式即可求解． 【详解】解：延长交轴于点，过点作轴，如图所示， 点在抛物线上，代入， 解得， 点， ，令，即， 解得， ， ， ， ， ， ， 点, 设直线解析式为，将点，点，代入解析式求得 直线解析式为， 联立直线和抛物线解析式得， 解得，， 其中即为点的坐标， 点D坐标为． 故答案为：． 11．（2026·江苏无锡·一模）在平面直角坐标系中，若点，，，则的最小值为__________． 【答案】 54 【分析】利用平面直角坐标系内两点间距离公式表示出和，代入所求式子整理为关于的二次函数，再用配方法求出二次函数的最小值即可． 【详解】解：根据两点间距离公式，得 则 ； ∴， ∴的最小值为54． 12．（2026·山东聊城·一模）已知二次函数，当时，函数的最大值为4，则m的值为______． 【答案】 【分析】根据二次函数的性质，分3种情况进行讨论求解即可. 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随着的增大而增大，当时，随着的增大而减小， ∵当时，函数的最大值为4， ∴当时，则当时，函数有最大值为，解得（舍去）； 当时，则当时，函数有最大值为，解得（舍去）； 当时，则当时，函数有最大值为，解得或 （舍去）； 综上：. 13．（2026·内蒙古包头·一模）如图，点和点A在反比例函数的图象上，连接．若，且，则k的值为________． 【答案】 【分析】过点P作轴于点，过点A作于点，证明，进而根据全等三角形的性质得出，根据点，进而得出，根据点在反比例函数的图象上．列出方程，求得a的值，进而即可求解． 【详解】解：如图所示，过点P作轴于点，过点A作于点，      ∴， ∵， ∴ ∴ ∴ ∵． ∴， ∴ ∵在反比例函数的图象上， ∴， 解得：或（舍去） ∴． 14．（2026·安徽合肥·一模）如图，A、B是第二象限内双曲线上的点，A、B两点的横坐标分别是a，，线段的延长线交x轴于点C，．则k的值为______． 【答案】 【分析】设，，，过作轴于，过作轴于，则，得到，，代入对应线段长度解得，最后根据解方程即可． 【详解】解：过作轴于，过作轴于，则， ∴， ∴， ∵A、B是第二象限内双曲线上的点，A、B两点的横坐标分别是a，， ∴，， 设， ∴，，，，， ∴， 解得， ∴， ∵． ∴， 解得． 15．（2026·安徽阜阳·二模）如图，中，，点在轴正半轴上，点在第一象限，反比例函数的图象经过点，反比例函数的图象与交于点，连接，若的面积为，则的值为___________． 【答案】 【分析】过点作于，过点作于，可证明，设点的坐标为，根据的面积和的面积关系可得，结合相似三角形的性质可表示出点的坐标，再代入反比例函数中即可求得的值． 【详解】解：过点作于，过点作于， 反比例函数的图象经过点， 设点的坐标为，则，， 点是轴上一点，且 ， ， 点的坐标是，， 的面积为， ，即， ， ，， ， ， ， ，， 点的坐标为， 反比例函数的图象经过点， ． 16．（2026·辽宁本溪·一模）如图，在矩形中，，，分别以A，D为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于M，N两点，作直线；以点A为圆心，以长为半径画弧，交直线于点E，连接，；分别以B，E为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点F，则的长为_____． 【答案】 【分析】由作图可知，直线是的垂直平分线，是的平分线，，结合，可利用勾股定理求出的长度，再证，设，在中，利用勾股定理建立方程求解的长度． 【详解】如图，连接， 由作图可知，直线是的垂直平分线，四边形是矩形， ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴， 由作图可知是的平分线， 在和中， ， ∴， ∴， 设，则，， 在中，，即， 解得， ∴的长为． 17．（2026·辽宁大连·一模）如图，在矩形中，，，分别以点B，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，直线与相交于点E，与相交于点F，则的长为__________． 【答案】/ 【分析】观察作图过程得出是的垂直平分线，运用矩形的性质得，再证明四边形是矩形，结合勾股定理得，然后证明，得，代入数值计算，即可作答． 【详解】解：观察作图过程得出是的垂直平分线， 即 ∵四边形是矩形， ∴， 则， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，， ∵， ∴， 则， ∴， ∴， ∴， 则． 18．（2026·辽宁沈阳·模拟预测）如图，正方形的边长为4，点E是中点，以D为圆心，任意长为半径画弧分别交，于点G和H，再以A为圆心，长为半径作弧交于点M，以M为圆心，长为半径作弧交前弧于点N，作射线交延长线于点P，连接并延长交于点F，则的长为_______． 【答案】 【分析】过点F作于点H，设，则可知，由作图可知，从而证明，从而得到， 证明得到，可求得，证明∽得到，即，可求得，则，，最后用勾股定理求即可． 【详解】解：过点F作于点H，如图所示： 设， 四边形ABCD是正方形，且边长为4， ，， ， 点E是AB的中点， ， ， 由尺规作图可知：， 在和中， ， ， ， ， ， ， ∽， ， ， ， ， ∽， ， ， ， ，， 在中，由勾股定理得： 故答案为： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $