精品解析：江苏无锡市滨湖区河埒中学2025-2026学年下学期八年级期中数学试卷

2025-2026学年无锡市河埒中学八年级（下）期中数学试卷 一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑．） 1. 下列调查中，最适合采用普查的是（　　） A. 了解无锡市民对中超13支队伍的支持度 B. 检测“长征八号”飞船的零部件 C. 调查某新能源汽车的抗撞击能力 D. 了解全国中小学人工智能课程的开展情况 【答案】B 【解析】 【分析】根据普查的适用场景判断即可，普查结果准确，但成本较高，适合对精度要求极高，调查对象范围有限的调查． 【详解】解：A、调查对象为无锡市民，数量多范围广，适合抽样调查，不符合题意． B、飞船零部件关乎飞行安全，每个零件都需要检查，对精度要求极高，最适合采用普查，符合题意． C、测试汽车抗撞击能力具有破坏性，不适合普查，不符合题意． D、调查对象为全国中小学，范围广数量大，适合抽样调查，不符合题意． 2. 多项式中，各项的最大公因式是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据最大公因式的定义，先求各项系数的最大公约数，再确定各项共有的字母的最低次幂，即可得到结果． 【详解】解：多项式的各项系数为 ，其绝对值的最大公约数是， 各项都含有的字母为，只出现在第二项，因此公因式不含， 的最低次幂是，的最低次幂是， ∴ 该多项式各项的最大公因式为． 3. 下列谚语所描述的事件中，属于必然事件的是（　　） A. 智者千虑，必有一失 B. 葫芦藤上结南瓜 C. 种瓜得瓜，种豆得豆 D. 朝霞不出门，晚霞行千里 【答案】C 【解析】 【分析】必然事件的定义为：在一定条件下，一定会发生的事件．根据必然事件的定义，逐一判断各选项即可． 【详解】解：A选项，智者千虑，不一定必有一失，该事件是随机事件； B选项，葫芦藤上不可能结南瓜，该事件是不可能事件； C选项，根据自然规律，种瓜一定得瓜，种豆一定得豆，该事件一定发生，是必然事件； D选项，“朝霞不出门，晚霞行千里”是经验总结，该事件不一定发生，是随机事件． 4. 下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的定义，根据因式分解的定义逐个判断即可．能熟记因式分解的定义是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解． 【详解】解：A．等式的右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意； B．从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意； C．等式的左边不是多项式，不属于因式分解，故本选项不符合题意； D．从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意； 故选：D． 5. 云南省某市为了解本市6700名初中毕业生的身高情况，随机抽查了其中1000名学生的身高进行统计分析，下列叙述错误的是（ ） A. 6700名学生的身高是总体 B. 每名初中毕业生的身高是总体的一个个体 C. 1000名学生是总体的一个样本 D. 本次调查属于抽样调查 【答案】C 【解析】 【分析】总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象．从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量． 【详解】解：A、6700名学生的身高情况是总体，故A不符合题意； B、每个学生的身高是个体，故B不符合题意； C、1000名学生的身高是总体的一个样本，故C符合题意； D、抽查了其中1000名学生的身高是抽样调查，故D不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了总体、个体、样本、样本容量，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位． 6. 下列属于矩形具有而菱形不具有的性质是（　　） A. 两组对边分别平行且相等 B. 两组对角分别相等 C. 对角线相互平分 D. 四个角都相等 【答案】D 【解析】 【分析】矩形具有的性质：①对角线互相平分，②四个角相等； 菱形具有的性质：①对角线互相平分，②对角线互相垂直，②四条边相等； 因此矩形具有而菱形不具有的性质是：四个角相等． 【详解】.解：A、矩形和菱形的两组对边分别平行且相等，本选项不符合题意； B、矩形和菱形的两组对角分别相等，本选项不符合题意； C、矩形和菱形的对角线相互平分，本选项不符合题意； D、菱形的四条角不相等，本选项符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查了矩形和菱形的性质，做好本题的关键是熟练掌握性质即可． 7. 如图，在中，，对角线相交于点，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了对平行四边形的性质，三角形的三边关系定理等知识点的理解和掌握，得到是的一半是解此题的关键． 根据三角形的三边关系定理得到的取值范围，再根据平行四边形的性质即可求出的取值范围． 【详解】解：∵， ， ∵四边形是平行四边形， ， ， 故选：C． 8. 如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成的，根据实际需要可以调节间的距离．若间的距离调节到，菱形的边长，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查菱形的性质，等边三角形的判定和性质，掌握以上知识是解题的关键．如图所示，连接，根据菱形的性质可得，可得是等边三角形，可算出，根据，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵衣帽架是由三个全等的菱形构成的，间的距离调节到， ∴， ∵菱形的边长， ∴， ∴是等边三角形，则， ∵四边形是菱形， ∴， 故选：B． 9. 如图，中，，，点P为上任意一点，连接，以、为邻边作平行四边形，连接，则的最小值是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，垂线段最短，等面积法，利用等面积法求的长是解题的关键． 设，交于点，由四边形是平行四边形，得出，即求的最小值，再乘以2即可．点D是的中点，为定点，由垂线段最短可知，当时，取得最小值，即最小，过点作于点，当重合时，最小，据此即可求得的最小值． 【详解】解:如图，设，交于点，过点作于点，连接 四边形是平行四边形， ，， ∵点D是的中点，为定点， ∴由垂线段最短可知：当时，取得最小值，则最小， 即当重合时，最小， ∴的最小值为, ， ∴, ∵，即 ∴ ， ∴的最小值为 的最小值为 故选：B. 10. 正方形中，对角线，交于点，于点，点是上一点且，则的值（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质与判定，正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，过点作交于点，连接，在的延长线上截取，连接，证明得出是等腰直角三角形，进而得出，根据字形，三角形内角和定理得出，进而证明，可得，然后设设，，分别表示出，得出，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作交于点，连接，在的延长线上截取，连接， ∵正方形中，对角线，交于点， ∴， ∴ ∴ ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴ ∴ ∵四边形是正方形， ∴， ∵ ∴ 在中， ∴ ∴ ∴ ∵ 设，则 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 设， ∴ ∴， ∵于点， ∴ 在中， ∵ ∴ ∴ ∴ 故选：D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡上相应的位置．） 11. “ ”（汗水是成功的润滑剂）中，字母c出现的频数是___________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查频数的概念，只需统计句子中字母c出现的次数即可得到结果． 【详解】解：对句子中的字母c逐个统计： 中无字母c，中无字母c，中出现次字母c，中无字母c，中出现次字母c． 字母c出现的频数为． 12. 已知，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】对所求式子因式分解即可解答本题． 【详解】解： ， ． 13. 从这五个数中任选一个数，选到无理数的概率___________（填“大于”或“等于”或“小于”）选到有理数的概率． 【答案】 小于 【解析】 【分析】先确定所有等可能的结果总数，再分别得到无理数个数与有理数个数，根据概率公式计算两种事件的概率，比较大小即可. 【详解】解：根据题意，总共有5个等可能的结果. 有理数为，，，共3种结果，无理数为，，共2种结果. 根据概率公式，可得： ， . ∵， ∴选到无理数的概率小于选到有理数的概率. 14. 平行四边形一组对角的和为，那么这个平行四边形中较小内角的度数为________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形的性质．解题的关键是注意数形结合思想与平行四边形的对角相等定理的应用． 根据平行四边形对角相等的性质，结合四边形内角和定理求解即可． 【详解】解：如图，在中，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴在这个平行四边形中较小的一个内角等于． 故答案为：． 15. 如图，是的中位线，平分，交于点．已知，，则的长为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据三角形中位线定理求出和的长度，同时得到与平行的关系，再结合角平分线的定义和平行线的性质推导出，利用等角对等边得出，最后通过线段的差运算计算出的长度． 【详解】解：∵是的中位线，，， ∴，，． ∵平分， ∴． 又∵， ∴． ∴， ∴． ∴． 16. 如图，菱形的顶点的坐标为，顶点的坐标为，将菱形绕着点按顺时针方向旋转得到菱形，点的对应点在轴上，则点的对应点的坐标为___________． 【答案】 【解析】 【分析】连接交于点E，先根据题意可得点，进而得出，再由旋转的性质可得，进而得出，则此题可解． 【详解】解：如图所示，连接交于点E， ∵菱形的顶点A的坐标为，顶点B的坐标为， ∴点， ∴． 由旋转的性质可得， ∴， ∴点D的对应点的坐标为． 17. 如图，矩形中，，，点是的中点，垂直平分且分别交的延长线于点，则___________． 【答案】 3 【解析】 【分析】作，交的延长线于点H，连接，则，先说明四边形是矩形，可得，再根据中点的定义得，结合线段垂直平分线的性质得，然后根据勾股定理得，求出解即可． 【详解】解：过点G作，交的延长线于点H，连接，则， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴． ∵点E是的中点， ∴， ． ∵垂直平分， ∴． 根据勾股定理，得， 即， 解得． 18. 如图，在平面直角坐标系平行四边形中，点坐标为，点在轴上，，．动点从点出发，沿射线以每秒2个单位的速度运动，同时，动点从点出发沿边向点O以每秒1个单位的速度运动．当点到达点时，点也随之停止运动． （1）的长为___________； （2）若在轴上有一点，使得以为顶点的四边形为平行四边形，则点的坐标为___________． 【答案】 ①. 8 ②. 或 【解析】 【分析】(1)过C作于E， 根据含角的直角三角形的性质，结合点C坐标求出，从而求出的长，最后求出的长； (2)首先， 设运动时间为秒，则 ，接着， 求得， ， ，然后，设 ，再分为平行四边形对角线，为平行四边形对角线两种情况，结合平行四边形的性质求解． 【详解】解：（1）如图1，过C作于E， ∴ ， ∵， ∴， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ； （2）：设运动时间为秒，则 ． 在中，，， ， ∴， ∴， ∵ ， ∴ ， ∴ ． 如图1，过P作于F，则， ∵， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵D在y轴上， ∴设 ， 如图2，当为平行四边形对角线时， 在平行四边形中， ， ∴ ， ∴， ， ∴， ∴ ； 如图3，当为平行四边形对角线时， 在平行四边形中， ， ∴ ， ∴， ， ∴， ∴ ． 综上，点D的坐标为或． 三．解答题（本大题共8小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤等．） 19. 因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：． 【小问2详解】 解：． 20. 如图，点E是的边的中点，延长交的延长线于点F． （1）求证：． （2）若，，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，平行四边形性质、勾股定理，掌握定理以及性质是解题的关键． （1）要证明即可证明； （2）根据（1）中的结论和勾股定理、平行四边形的性质可以求得的长． 【小问1详解】 明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵E是的中点， ∴， 在和中 ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∵，，， ∴， ∵，为的中点， ∴， 在中，由勾股定理得． 21. 2026年央视总台春晚使用大量智能机器人助力表演．某校计划开展“春晚机器人·科技向未来”主题日研学活动，聘请专家开设五个专题讲座： A．机器人控制；B．人工智能；C．智能算法；D．机械结构；E．生活应用． 为了解学生的研学意向，在随机抽取的部分学生中发放如下所示的调查问卷，所有问卷全部收回且有效，根据调查数据绘制成两幅不完整的统计图． “春晚机器人·科技向未来”主题日学生研学意向调查问卷 请在下列选项中选择您的研学意向，并在其后“□”内打“√”（每名同学必选且只能选择其中一项），非常感谢您的合作． A．机器人控制□ B．人工智能□ C．智能算法□ D．机械结构□ E．生活应用□ 请根据统计图提供的信息，解答下列问题： （1）求本次调查所抽取的学生人数，并直接补全条形统计图； （2）学校有600名学生参加本次活动，地点安排在两个多功能厅，每场讲座时间为90分钟．由下面的活动日程表可知，A和C两场讲座时间与场地已经确定．在确保听取讲座的每名同学都有座位的情况下，请你合理安排B，D，E三场讲座，补全此次活动日程表（写出一种方案即可），并说明理由． “春晚机器人·科技向未来”主题日活动日程表 地点（座位数） 时间 1号多功能厅（200座） 2号多功能厅（100座） 8：00-9：30 A 10：00-11：30 C 14：30-16：00 设备检修暂停使用 【答案】（1）本次调查所抽取的学生人数是40人；见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据意向领域“A”的人数及其百分比求得总人数，用总人数减去其它领域的人数求出意向领域“D”的人数即可补全条形统计图； （2）分别求出意向领域“B”“D”“E”的人数，补全此次活动日程表即可． 【小问1详解】 解：本次调查所抽取的学生人数为（人）， 意向领域“D”的人数为（人）， 补全条形统计图如下： ； 【小问2详解】 解：意向领域“B”的人数为（人）， 意向领域“D”的人数为（人）， 意向领域“E”的人数为（人）， ， B场次安排在2号多功能厅，D、E安排在1号多功能厅 补全此次活动日程表如图所示： “春晚机器人·科技向未来”主题日活动日程表 地点（座位数） 时间 1号多功能厅（200座） 2号多功能厅（100座） 8：00-9：30 D A 10：00-11：30 C B 14：30-16：00 E 设备检修暂停使用 22. 下面是某校生物兴趣小组在相同的实验条件下，对某植物种子发芽率进行研究时所得到的数据： 试验的种子数n 500 1000 1500 2000 3000 4000 发芽的粒数m 471 946 1898 2853 3812 发芽频率 0.942 0.946 0.950 0.949 0.953 （1）上表中的______，______； （2）任取一粒这种植物种子，它能发芽的概率的估计值是______（精确到0.01）； （3）若该校劳动基地需要这种植物幼苗9500棵，试估算需要准备多少粒种子进行发芽培育． 【答案】（1），0.951 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据发芽频率，代入对应的数值即可； （2）根据概率是大量重复试验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率； （3）根据（2）中的概率，可以用发芽棵树=幼苗棵树×概率可得出结论． 【小问1详解】 解：依题意，， 解得：，， 故答案为：，． 【小问2详解】 概率是大量重复试验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率； ∴这种种子在此条件下发芽的概率约为． 【小问3详解】 若该学校劳动基地需要这种植物幼苗棵，需要准备（粒）种子进行发芽培育． 【点睛】此题主要考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比． 23. 如图，菱形的对角线、相交于点O，，，与交于点F． （1）求证：四边形为矩形； （2）若，，求菱形的面积． 【答案】（1）详见解析 （2）96 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理等知识， （1）先证明四边形是平行四边形，再根据菱形的性质可得，问题随之得证； （2）根据菱形的性质可得，再利用勾股定理可得，问题随之得解． 【小问1详解】 证明：∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵菱形对角线交于点O， ∴，即． ∴四边形是矩形； 【小问2详解】 ∵菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴菱形的面积为：． 24. “无刻度直尺”是尺规作图的工具之一，它的作用在于连接任意两点、作任意直线、延长任意线段等．结合图形的性质，只利用无刻度直尺也可以解决一些几何作图问题．请仅用无刻度的直尺进行以下作图： （1）如图1，菱形中，分别是中点，以为边作一个矩形；（保留作图痕迹，不写作法） （2）如图2，菱形中，是对角线上一点，以为边作一个菱形；（保留作图痕迹，不写作法） （3）如图3，平行四边形中，点分别是边上一点，且满足．连接，请过点作的垂线，垂足为．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】（1）见解析； （2）见解析； （3）见解析． 【解析】 【分析】（1）根据菱形的性质和三角形中位线定理作图即可； （2）根据菱形的中心对称性作图即可； （3）连接，交于，作直线交于，连接交于，于点． 【小问1详解】 解：如图，四边形即为所求． 【小问2详解】 解：如图，四边形即为所求． 【小问3详解】 解：如图为的垂线，垂足为． 证明：∵， ∴， ∵平行四边形， ∴， ∴， ∴， 在和， ， ∴， ∴ ，， ∴ ， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴． 25. 综合与实践：根据以下信息，探索完成任务． 如何设计窗户限位器位置 信息1 问题背景 平开窗是生活中常见的一种窗户，安装平开窗需要一种滑撑支架，如图是这种平开窗的实物展示图． 信息2 数学抽象 把上述实物图抽象成如右示意图．已知滑撑支架的滑动轨道固定在窗框底边，固定在窗页底边，点B，E，D三点固定在同一直线上．当窗户关闭时，点C与点A重合，和均落在上；当点O向点B滑动时，四边形始终为平行四边形，其中． 信息3 安全规范 窗户打开一定角度后，与形成一个角．出于安全考虑，部分公共场合的平开窗有开启角度限制要求：平开窗的开启角度应该控制在以内（即）． 问题解决 任务1 求解关键数量 （1）滑撑支架中的长度为____________，滑动轨道的长度是____________； 任务2 确定安装方案 （2）为符合安全规范要求，某公共场合的平开窗需在滑动轨道上安装一个限位器P，控制平开窗的开启角度，当点O滑动到点P时，则限位器P应装在离点A多远的位置？（结果保留根号） 【答案】（1）6，29；（2） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，含度角的直角三角形的性质及勾股定理等知识的应用，理解题意，抽象成数学问题求解是解题的关键； （1）由平行四边形的性质即可得的长度；根据窗户关闭时，点C与点A重合，和均落在上，得即可求解； （2）过点E作于点G，假设点O滑动到点P，，在中，由含度直角三角形的性质及勾股定理可求得的长，在中，由勾股定理求得的长，则由即可求解． 【详解】解：（1）∵四边形是平行四边形，， ∴； ∵窗户关闭时，点C与点A重合，和均落在上， ∴； 故答案为：6，； 解：（2）如图，过点E作于点G，假设点O滑动到点P，， ∵四边形是平行四边形， ∴； 在中，， 由勾股定理得； 在中，由勾股定理得， ∴． 答：限位器P应装在离点A的位置． 26. 【问题背景】矩形纸片中，，，点在边上，点在边上，将纸片沿折叠，使顶点落在点处． 【初步认识】（1）如图1，折痕的端点与点重合． ①当时，______； ②若点恰好在线段上，则的长为______； 【深入思考】（2）若点恰好落在边上． ①如图2，过点作交于点，交于点，连接．请根据题意，补全图2并证明四边形是菱形； ②在①的条件下，当时，求四边形的面积； 【拓展提升】（3）如图3，若，连接，若是以为腰的等腰三角形，直接写出的长． 【答案】（1）①；②2；（2）①见解析；②见解析；；（3）的长为或． 【解析】 【分析】（1）①根据折叠的性质直接计算即可； ②根据折叠可知，，，，根据勾股定理求出，根据勾股定理得出，求出结果即可； （2）①先证明四边形为平行四边形，再根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，即可得出答案； ②根据勾股定理列出方程求解，最后菱形面积等于矩形面积减去两个三角形的面积计算即可； （3）分两种情况：当时，当时，过点D作于点F，根据勾股定理和三角形全等的判定和性质，分别求出结果即可． 【详解】解：（1）①根据折叠可知，， ∵， ∴； 故答案为：； ②根据折叠可知，，，， ∵四边形为矩形， ∴，， ∴， 在中，根据勾股定理得：， 即， 解得：， ∴； 故答案为：2； （3）①如图，∵， ∴， 由折叠可知，，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形； ③由折叠可知，， ∵， ∴， 在中，， 即， 解得：， ∴， ∴， ； （3）由折叠可知，，设，则，， 当时，在中，， 解得：， ∴此时； 当时，过点D作于点F，如图所示： ∴， 由折叠可知，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴此时； 综上分析可知，的长为或． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，折叠性质，勾股定理，菱形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，余角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握相关性质，作出图形，数形结合，并注意分类讨论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年无锡市河埒中学八年级（下）期中数学试卷 一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑．） 1. 下列调查中，最适合采用普查的是（　　） A. 了解无锡市民对中超13支队伍的支持度 B. 检测“长征八号”飞船的零部件 C. 调查某新能源汽车的抗撞击能力 D. 了解全国中小学人工智能课程的开展情况 2. 多项式中，各项的最大公因式是（　　） A. B. C. D. 3. 下列谚语所描述的事件中，属于必然事件的是（　　） A. 智者千虑，必有一失 B. 葫芦藤上结南瓜 C. 种瓜得瓜，种豆得豆 D. 朝霞不出门，晚霞行千里 4. 下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 5. 云南省某市为了解本市6700名初中毕业生的身高情况，随机抽查了其中1000名学生的身高进行统计分析，下列叙述错误的是（ ） A. 6700名学生的身高是总体 B. 每名初中毕业生的身高是总体的一个个体 C. 1000名学生是总体的一个样本 D. 本次调查属于抽样调查 6. 下列属于矩形具有而菱形不具有的性质是（　　） A. 两组对边分别平行且相等 B. 两组对角分别相等 C. 对角线相互平分 D. 四个角都相等 7. 如图，在中，，对角线相交于点，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 8. 如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成的，根据实际需要可以调节间的距离．若间的距离调节到，菱形的边长，则的度数是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，中，，，点P为上任意一点，连接，以、为邻边作平行四边形，连接，则的最小值是（　　） A. B. C. D. 10. 正方形中，对角线，交于点，于点，点是上一点且，则的值（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡上相应的位置．） 11. “ ”（汗水是成功的润滑剂）中，字母c出现的频数是___________． 12. 已知，则___________． 13. 从这五个数中任选一个数，选到无理数的概率___________（填“大于”或“等于”或“小于”）选到有理数的概率． 14. 平行四边形一组对角的和为，那么这个平行四边形中较小内角的度数为________． 15. 如图，是的中位线，平分，交于点．已知，，则的长为_____________． 16. 如图，菱形的顶点的坐标为，顶点的坐标为，将菱形绕着点按顺时针方向旋转得到菱形，点的对应点在轴上，则点的对应点的坐标为___________． 17. 如图，矩形中，，，点是的中点，垂直平分且分别交的延长线于点，则___________． 18. 如图，在平面直角坐标系平行四边形中，点坐标为，点在轴上，，．动点从点出发，沿射线以每秒2个单位的速度运动，同时，动点从点出发沿边向点O以每秒1个单位的速度运动．当点到达点时，点也随之停止运动． （1）的长为___________； （2）若在轴上有一点，使得以为顶点的四边形为平行四边形，则点的坐标为___________． 三．解答题（本大题共8小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤等．） 19. 因式分解： （1）； （2）． 20. 如图，点E是的边的中点，延长交的延长线于点F． （1）求证：． （2）若，，，求的长． 21. 2026年央视总台春晚使用大量智能机器人助力表演．某校计划开展“春晚机器人·科技向未来”主题日研学活动，聘请专家开设五个专题讲座： A．机器人控制；B．人工智能；C．智能算法；D．机械结构；E．生活应用． 为了解学生的研学意向，在随机抽取的部分学生中发放如下所示的调查问卷，所有问卷全部收回且有效，根据调查数据绘制成两幅不完整的统计图． “春晚机器人·科技向未来”主题日学生研学意向调查问卷 请在下列选项中选择您的研学意向，并在其后“□”内打“√”（每名同学必选且只能选择其中一项），非常感谢您的合作． A．机器人控制□ B．人工智能□ C．智能算法□ D．机械结构□ E．生活应用□ 请根据统计图提供的信息，解答下列问题： （1）求本次调查所抽取的学生人数，并直接补全条形统计图； （2）学校有600名学生参加本次活动，地点安排在两个多功能厅，每场讲座时间为90分钟．由下面的活动日程表可知，A和C两场讲座时间与场地已经确定．在确保听取讲座的每名同学都有座位的情况下，请你合理安排B，D，E三场讲座，补全此次活动日程表（写出一种方案即可），并说明理由． “春晚机器人·科技向未来”主题日活动日程表 地点（座位数） 时间 1号多功能厅（200座） 2号多功能厅（100座） 8：00-9：30 A 10：00-11：30 C 14：30-16：00 设备检修暂停使用 22. 下面是某校生物兴趣小组在相同的实验条件下，对某植物种子发芽率进行研究时所得到的数据： 试验的种子数n 500 1000 1500 2000 3000 4000 发芽的粒数m 471 946 1898 2853 3812 发芽频率 0.942 0.946 0.950 0.949 0.953 （1）上表中的______，______； （2）任取一粒这种植物种子，它能发芽的概率的估计值是______（精确到0.01）； （3）若该校劳动基地需要这种植物幼苗9500棵，试估算需要准备多少粒种子进行发芽培育． 23. 如图，菱形的对角线、相交于点O，，，与交于点F． （1）求证：四边形为矩形； （2）若，，求菱形的面积． 24. “无刻度直尺”是尺规作图的工具之一，它的作用在于连接任意两点、作任意直线、延长任意线段等．结合图形的性质，只利用无刻度直尺也可以解决一些几何作图问题．请仅用无刻度的直尺进行以下作图： （1）如图1，菱形中，分别是中点，以为边作一个矩形；（保留作图痕迹，不写作法） （2）如图2，菱形中，是对角线上一点，以为边作一个菱形；（保留作图痕迹，不写作法） （3）如图3，平行四边形中，点分别是边上一点，且满足．连接，请过点作的垂线，垂足为．（保留作图痕迹，不写作法） 25. 综合与实践：根据以下信息，探索完成任务． 如何设计窗户限位器位置 信息1 问题背景 平开窗是生活中常见的一种窗户，安装平开窗需要一种滑撑支架，如图是这种平开窗的实物展示图． 信息2 数学抽象 把上述实物图抽象成如右示意图．已知滑撑支架的滑动轨道固定在窗框底边，固定在窗页底边，点B，E，D三点固定在同一直线上．当窗户关闭时，点C与点A重合，和均落在上；当点O向点B滑动时，四边形始终为平行四边形，其中． 信息3 安全规范 窗户打开一定角度后，与形成一个角．出于安全考虑，部分公共场合的平开窗有开启角度限制要求：平开窗的开启角度应该控制在以内（即）． 问题解决 任务1 求解关键数量 （1）滑撑支架中的长度为____________，滑动轨道的长度是____________； 任务2 确定安装方案 （2）为符合安全规范要求，某公共场合的平开窗需在滑动轨道上安装一个限位器P，控制平开窗的开启角度，当点O滑动到点P时，则限位器P应装在离点A多远的位置？（结果保留根号） 26. 【问题背景】矩形纸片中，，，点在边上，点在边上，将纸片沿折叠，使顶点落在点处． 【初步认识】（1）如图1，折痕的端点与点重合． ①当时，______； ②若点恰好在线段上，则的长为______； 【深入思考】（2）若点恰好落在边上． ①如图2，过点作交于点，交于点，连接．请根据题意，补全图2并证明四边形是菱形； ②在①的条件下，当时，求四边形的面积； 【拓展提升】（3）如图3，若，连接，若是以为腰的等腰三角形，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $