内蒙古乌兰察布市集宁一中2025-2026学年高二下学期5月期中考试数学试题

**基本信息** 高二数学期中试卷以校园活动、文创销售等真实情境为载体，全面考查排列组合、概率统计、导数应用等核心知识，梯度设计合理，注重数学眼光观察现实、数学思维分析问题的素养考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|排列组合（1-2题）、概率（3-4题）、统计（5-6题）、导数（7-8题）|结合志愿者服务、盆栽浇水等情境，基础与情境融合| |多选题|3/18|排列组合结论、统计概念、导数应用|辨析线性相关系数、残差等概念，考查思维严谨性| |填空题|3/15|二项式定理、导数几何意义|通过切线图考查导数应用，强调直观想象| |解答题|5/77|回归分析（15题）、独立性检验（16题）、导数计算与应用（19题）|以文创销售、阅读活动为背景，综合考查数学建模与数据分析能力，贴合真题命题趋势|

2025-2026学年第二学期下学期5月期中考试 高二数学 本试卷共150分 考试时间120分钟 命题人：赵慧轩 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。 1．在一次校园活动的组织过程中，由甲、乙等5名同学负责接待、咨询、向导三个志愿者服务项目，每名同学只负责一个服务项目，且每个服务项目至少有一名同学负责．若甲、乙两人负责同一个服务项目，则不同的安排方案共有（   ） A．18种 B．36种 C．48种 D．54种 2．用0，1，2，3，4，5这六个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（   ） A．40个 B．48个 C．52个 D．64个 3．一批零件共有10个，其中有3个不合格．随机抽取3个零件进行检测，恰好有1件不合格的概率是（   ） A． B． C． D． 4．某人外出出差，委托邻居给家里盆栽浇一次水，若不浇水，盆栽枯萎的概率为0.8；若浇水，盆栽枯萎的概率为0.15，邻居浇水的概率为0.8.则该人回来盆栽枯萎的概率为（   ） A．0.785 B．0.28 C．0.765 D．0.67 5．观察下列散点图，其中两个变量的相关关系判断一定正确的是（    ） A．图1中y与x呈正相关 B．图2中y与x不相关 C．图3中y与x的线性相关系数小于0 D．图1中y与x的线性相关系数小于图2中y与x的线性相关系数 6．为考查、两种药物预防某疾病的效果，进行动物实验，分别得到如下等高条形图：根据图中信息，在下列各项中，说法最佳的一项是（    ） A．药物的预防效果优于药物的预防效果 B．药物的预防效果优于药物的预防效果 C．药物、对该疾病均有显著的预防效果 D．药物、对该疾病均没有预防效果 7．设是的导函数，且，则（   ） A．18 B．9 C．6 D．3 8．设函数，则曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列结论正确的是（） A． B．（为正整数且） C． D．满足方程的值可能为或 10．下列说法正确的是（    ） A．若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数r的值越接近于1 B．经验回归方程为时，变量x和y负相关 C．在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合精度越高 D．对两个变量y和x进行回归分析，得到一组样本数据，，，，其经验回归方程必过点，则 11．已知三次函数的图象如图，则正确的是（    ） A． B． C．的解集为 D．若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知的展开式中的系数为，则__________. 13．设，则______（用数字作答）． 14．如图，已知是可导函数，直线是曲线在处的切线，令，则________． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．某景区为了更好的开发旅游资源，试产了一系列的文创产品进行销售，对今年前几月的销售额统计如下： 月份 销售额万元 (1)根据表中数据建立月份与销售额的经验回归方程； (2)为了更好的规划文创产品，从这个月中随机抽取个月对销售情况进行分析，求抽到的月份数据含有残差（观测值减去预测值称为残差）为负的概率． 参考公式：．参考数据：，． 16．某校以“和经典相伴，与书香同行”为主题举行学习活动．为了解男女同学对该活动的感兴趣程度，对该校多位同学进行了调查，并将结果整理为如下列联表，其中为正整数． 参加 不参加 合计 男生 女生 合计 (1)当足够大时，估计该校任一不参加活动的学生是男生的概率； (2)若根据小概率值的独立性检验，认为是否参加该活动与性别有关，求的最小值． 附： 0.1 0.05 0.025 0.010 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 17．求下列已知函数的导函数： (1)； (2)； (3). 18．某学校为全面提高学生的语文素养和阅读水平，构建“书香校园”，特举办“课外阅读知识竞赛”，为了调查学生对这次活动的满意程度，在所有参加“课外阅读知识竞赛”的同学中抽取容量为300的样本进行调查，并得到如下列联表： 单位：人 满意程度 性别 合计 男生 女生 满意 120 不满意 150 合计 200 (1)请补全上面的列联表，依据小概率值的独立性检验，能否认为满意程度与性别有关系； (2)若竞赛成绩在前20的同学进入决赛环节，该环节共设置3道试题，且每一道试题必须依次作答，至少答对2道才能进入总决赛，且每人答对这3道试题的概率分别为，3道试题答对与否互不影响，用表示能进入总决赛的人数，求的数学期望． 附：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 19．已知函数. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若有两个极值点；求实数的取值范围. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年下学期高二年级5月期中考试 数学答题纸16.（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 15. （13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 姓 名 班 级 考 场 座位号 条形码粘贴处 贴条形码区域 注 意 事 项 1.选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。 2.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 3.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破，禁用涂改液，涂改胶条。 填涂样例 正确填涂 $ 错误填涂 %^&* 缺考标记 ` 1 A B C D 6 A B C D 11 A B C D 2 A B C D 7 A B C D 3 A B C D 8 A B C D 4 A B C D 9 A B C D 5 A B C D 10 A B C D 客观题（请用2B铅笔填涂） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 二、填空题（每题5分，共15分） 12. 13. 14. 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 19.（17分） 18.（17分） 17.（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 学科网（北京）股份有限公司 $ 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C B B D B A A BD BCD 题号 11 答案 ABC 1．B 【详解】将甲、乙视为1个人，即相当于将4名同学安排到3个项目的方案，有种． 2．C 【分析】分0，2，4作为尾数三种情况讨论，结合排列知识可得答案. 【详解】三位数为偶数，则尾数只能为0，2，4 若偶数尾数为0，则百位，十位的数字排列情况数为； 若尾数为2，百位的情况数为4种，十位的情况数为4种，则共有16种； 若尾数为4，百位的情况数为4，十位的情况数为4，共有16种. 则满足题意的偶数共有：种.故选：C 3．B 【分析】根据题意结合超几何分布分析求解即可. 【详解】从10个零件中抽取3个的总方式数为； 不合格零件有3个，从中选1个的方式数为 ， 合格零件有7个，从中选2个的方式数为 ， 根据分布乘法计数原理，恰好1个不合格的总方式数为； 根据古典概型得. 故选：B 4．B 【分析】记A为事件“盆栽枯萎”，W为事件“邻居给盆栽浇水”，利用全概率公式可求得的值. 【详解】记A为事件“盆栽枯萎”，W为事件“邻居给盆栽浇水”， 由题意可得，，，， 由全概率公式可得， 故选：B 5．D 【分析】根据给定的散点图，利用正负相关的意义、相关系数的意义逐项判断. 【详解】对于A，图1中随增大而减小， y与x呈负相关，A错误； 对于B，图2中各点较分散，y与x的相关性不强，不能肯定不相关，B错误； 对于C，图3中随增大而增大，y与x呈正相关，相关系数大于0，C错误； 对于D，图1与图2，y与x都呈负相关，相关系数为负， 而图1中y与x的线性相关性较图2中y与x的线性相关性强， 所以，图1中y与x的线性相关系数小于图2中y与x的线性相关系数，D正确. 故选：D 6．B 【分析】根据等高条形图中的数据即可得出选项. 【详解】根据两个表中的等高条形图知，药物实验显示不服药与服药时患病差异较药物实验显示明显大， 所以药物的预防效果优于药物的预防效果， 故选：B. 7．A 【分析】利用导数的定义计算即可. 【详解】. 故选：A. 8．A 【分析】先求出导函数得出切线斜率，再点斜式写出切线方程，进而的出截距计算面积即可. 【详解】，则， 故，所以曲线在点处的切线为， 令，解得，令，解得， 故所求三角形的面积为． 故选：A． 9．BD 【分析】根据组合数公式判断A、C，根据排列数公式判断B，由组合数的性质得到方程，求出，再检验，即可判断D. 【详解】对于A：，故A错误； 对于B：，， 所以（为正整数且），故B正确； 对于C：，又， 所以，故C错误； 对于D：因为，所以或， 解得或或或 经检验或符合题意，故满足方程的值可能为或，故D正确. 故选：BD. 10．BCD 【分析】对于A，线性相关系数r的性质可得A不正确；对于B，根据斜率小于，可得B正确；对于C，根据残差分析结论可得C正确；对于D，根据经验回归方程必过点，可得D正确. 【详解】对于A，若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数r的绝对值越接近于1，故A不正确； 对于B，因为斜率小于，所以变量x和y负相关，故B正确； 对于C，在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合精度越高，故C正确； 对于D，因为经验回归方程必过点，所以，，所以，故D正确. 故选：BCD 11．ABC 【分析】设，结合图象与导数运算及性质可得，；求出与即可得A；利用导数定义可得B；表示出后，利用高次不等式解法可得C；利用求导法则计算可得D. 【详解】因为函数为三次函数，可设，， 由图可知：，， 即，即， 则，则， 由图可得，则， 即，， 由图可得当时，，则， 对A：，，由，故，故A正确； 对B：，故B正确； 对C：，由， 故，解得，故C正确； 对D：，则， 则，则， 即有，则， 故，故D错误. 12． 【分析】利用二项式定理的展开式求指定项的系数即可. 【详解】的展开式的通项为： 则的系数为，解得，所以. 故答案为：. 13．60 【分析】根据二项式定理及通项公式求解即可. 【详解】二项式通项公式为. 是的系数，令，则， 所以. 14． 【分析】根据导数的几何意义及复合函数求导法则计算即可. 【详解】． 由已知图象可知，直线经过点和，故． 由导数的几何意义可得，因为在曲线上，故． 故． 15．(1) (2) 【分析】（1）利用最小二乘法可得回归方程； （2）分别计算各月份销售额的预测值，再根据古典概型概率公式可得解. 【详解】（1）由已知，， 又，， 则，， 所以回归方程为； （2）当时，，残差； 当时，，残差； 当时，，残差； 当时，，残差； 当时，，残差； 当时，，残差； 当时，，残差； 当时，，残差； 则这个月中残差为负的月份有个，残差为非负的月份有个， 则这个月中随机抽取个月，抽到的月份数据含有残差为负的概率. 16．(1) (2) 【分析】（1）用频率估计概率即可得出答案； （2）根据小概率值的独立性检验得到即可得出答案. 【详解】（1）设事件为“该校任一不参加活动的学生是男生”，由调查数据可知当足够大时，以频率估计概率可知该校任一不参加活动的学生是男生的概率． （2）零假设为：是否参加活动与性别无关． 由题意可得， 若根据小概率值的独立性检验，认为是否参加该活动与性别有关，即不成立， 则，解得． 因为为正整数，则的最小值为10． 17．(1) (2) (3) 【详解】（1）. （2）. （3）方法一： . 方法二： 因为， 所以. 18．(1) 满意程度 性别 合计 男生 女生 满意 120 30 150 不满意 80 70 150 合计 200 100 300 能认为满意程度与性别有关系 (2). 【分析】（1）利用独立性检验的步骤进行计算和分析； （2）由题意可知能进入总决赛的人数服从二项分布，再计算出每个人进入总决赛的概率，利用二项分布的数学期望公式进行计算即可. 【详解】（1）列联表 满意程度 性别 合计 男生 女生 满意 120 30 150 不满意 80 70 150 合计 200 100 300 推断犯错误的概率不大于0.001； 零假设为：满意程度与性别无关，， 所以依据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即能认为满意程度与性别有关系，此推断犯错误的概率不大于0.001. （2）依题意，设“答对第i道题”（，2，3）；“某同学进入总决赛”， 则，，， 所以 ， 依题意，， 所以； 19．(1) (2) 【分析】（1）求导，利用导数的几何意义和点斜式方程求解； （2）求导，根据有两个极值点得到对应方程有两个根，根据根的判别式和韦达定理建立不等式，求出取值范围； 【详解】（1）若，则， 所以， 切线方程为， 即． （2）． 设为的两个极值点， 则是方程的两个实数根， 即方程的两个正实数根． 所以，解得， 即的取值范围是． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $