精品解析：内蒙古自治区巴彦淖尔市第一中学2025-2026学年高二下学期5月期中考试数学试题

2025-2026学年第二学期5月期中考试 高二数学 本试卷共150分 考试时间120分钟 命题人：赵敏 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 把10个相同的小球放入编号分别为1，2，3的三个不同的箱子中，每个箱子的球的个数不少于其编号，则共有多少种放法（    ） A. 10种 B. 种 C. 种 D. 45种 【答案】B 【解析】 【分析】采用隔板法求解. 【详解】先在1号箱子放0个小球，2号箱子放1个小球，3号箱子放2个小球， 问题转化为将剩余的7个相同小球放入3个不同箱子中，方法数共有种. 故选：B. 2. 某文创社有5款徽章设计稿，4款钥匙扣设计稿，现从中随机选3款设计稿制作成品，则被选中的设计稿中恰有2款徽章设计稿的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用组合计数问题求出古典概率. 【详解】依题意从9款设计稿中任选3款的试验有个基本事件， 被选中的设计稿中恰有2款徽章设计稿的事件有个基本事件， 所以所求概率为. 故选：A 3. 一袋中装有7个盲盒，已知其中3个是玩具盲盒，4个是文具盲盒，甲、乙两个小孩从中先后任取一个盲盒，则乙取到的是玩具盲盒的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】①当甲取到玩具盲盒且乙也取到玩具盲盒时，； ②当甲取到文具盲盒且乙取到玩具盲盒时，. 所以乙取到玩具盲盒的概率为． 4. 一名职业篮球运动员在某场比赛中，三分球命中率分别为，，，，，，，，若这组数据的分位数为，且随机变量，则（ ） A. 7.6 B. 7.4 C. 7.2 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】先求出这组数据的分位数为，再利用二项分布的期望公式求解即可. 【详解】把个数据按照从小到大的顺序排序得：，，，，，，，， ，所以这组数据的分位数为第位数字，即， 即，所以. 故选：A. 5. 为了解某地区某种水果的年产量x（单位：吨）对价格y（单位：万元/吨）的影响，对近五年该水果的年产量和价格统计如下表： x 300 350 400 450 500 y 1.8 1.7 1.5 1.4 1.1 若y关于x的回归直线方程为，则（ ） A. 2.82 B. 2.86 C. 2.88 D. 2.92 【答案】B 【解析】 【分析】根据线性回归直线必过样本点中心即可求解． 【详解】由题意，得,， 所以，解得． 故选：B． 6. 某公司近几年投入A款产品的年研发费用与年利润的统计数据如下表： 年研发费用 5 4 6 3 4 2 年利润 12 10 13 9 11 5 若与的回归直线方程为，则（ ） A. 2.1 B. 2.2 C. 2.3 D. 2.4 【答案】D 【解析】 【分析】根据回归直线方程的性质求解样本中心点，代入方程即可得的值. 【详解】由表可知，， 则样本中心点为，代入回归直线方程得： ，解得． 故选：D. 7. 曲线在点处的切线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用导数的定义求给定点处的切线斜率，进而确定倾斜角大小. 【详解】因为， 所以，又切线的倾斜角的范围为，求倾斜角为. 故选：C 8. 已知函数，若至少有三个不同的零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由函数零点的意义，把问题转化为直线与函数的图象至少有3个交点，作出图象，利用导数求出相切的情况，然后数形结合求得. 【详解】由，得，函数至少有3个不同的零点， 等价于直线与函数的图象至少有3个交点， 直线过原点，在同一坐标系内作出函数的图象与直线， 当直线与曲线相切时，直线与函数的图象有3个交点， 由，求导得，设切点坐标为，则切线方程为， 而切线过原点，则，解得，此时切线的斜率， 当时，直线与函数的图象有2个交点，不符合题意； 当时，直线与函数的图象最多有2个交点，不符合题意； 当时，直线与函数的图象有4个交点，符合题意， 所以实数的取值范围是. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列结论正确的是（） A. B. （为正整数且） C. D. 满足方程的值可能为或 【答案】BD 【解析】 【分析】根据组合数公式判断A、C，根据排列数公式判断B，由组合数的性质得到方程，求出，再检验，即可判断D. 【详解】对于A：，故A错误； 对于B：，， 所以（为正整数且），故B正确； 对于C：，又， 所以，故C错误； 对于D：因为，所以或， 解得或或或 经检验或符合题意，故满足方程的值可能为或，故D正确. 故选：BD. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数r的值越接近于1 B. 经验回归方程为时，变量x和y负相关 C. 在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合精度越高 D. 对两个变量y和x进行回归分析，得到一组样本数据，，，，其经验回归方程必过点，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，线性相关系数r的性质可得A不正确；对于B，根据斜率小于，可得B正确；对于C，根据残差分析结论可得C正确；对于D，根据经验回归方程必过点，可得D正确. 【详解】对于A，若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数r的绝对值越接近于1，故A不正确； 对于B，因为斜率小于，所以变量x和y负相关，故B正确； 对于C，在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合精度越高，故C正确； 对于D，因为经验回归方程必过点，所以，，所以，故D正确. 故选：BCD 11. 对于函数以及它的图象，下列说法正确的是（ ） A. 是奇函数 B. 的图象关于点成中心对称 C. 存在极值 D. 在上单调递减 【答案】AD 【解析】 【分析】对 A，先求函数定义域验证关于原点对称，再通过与关系判断函数奇偶性；对 B，由的取值判断；对 C和 D，利用导数求解函数单调性判断. 【详解】对于A：要使函数有意义，则，即， 所以函数的定义域为，关于原点对称， 又， 所以函数是奇函数，其图象关于坐标原点成中心对称，故选项A正确； 对于B：，选项B错误； 对于C和D：当时，， 则， 当时，，则， 所以在上单调递减，不存在极值，故选项C错误，选项D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的二项展开式中，系数最大的项为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据展开式的各项的系数即为各项的二项式系数，再结合二项式系数的最值求解对应项即可. 【详解】的二项展开式的通项公式为：， 各项的系数即为各项的二项式系数， 因为，所以二项式系数的最大值为，是第6项的二项式系数， 所以系数最大的项为第项. 13. 从6名男生和4名女生中选出3人参加知识竞赛，若这3人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有_____________种. 【答案】 【解析】 【分析】分2名男生1名女生和1名男生2名女生两类情况计算即可. 【详解】2名男生1名女生：， 1名男生2名女生：， 故共有种， 故答案为： 14. 已知函数，．若经过点存在一条直线l与曲线和都相切，则______． 【答案】1 【解析】 【分析】首先求函数过点处的切线方程，再让切线与函数联立，根据，即可求解. 【详解】，设直线与相切于点 所以切线方程为，切线过点， 则，整理为， 设，，， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以当时，取得最大值，， 所以方程的根为， 所以切线方程为， 联立，得，，得. 故答案为：1 四、解答题 15. 某景区为了更好的开发旅游资源，试产了一系列的文创产品进行销售，对今年前几月的销售额统计如下： 月份 销售额万元 （1）根据表中数据建立月份与销售额的经验回归方程； （2）为了更好的规划文创产品，从这个月中随机抽取个月对销售情况进行分析，求抽到的月份数据含有残差（观测值减去预测值称为残差）为负的概率． 参考公式：．参考数据：，． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用最小二乘法可得回归方程； （2）分别计算各月份销售额的预测值，再根据古典概型概率公式可得解. 【小问1详解】 由已知，， 又，， 则，， 所以回归方程为； 【小问2详解】 当时，，残差； 当时，，残差； 当时，，残差； 当时，，残差； 当时，，残差； 当时，，残差； 当时，，残差； 当时，，残差； 则这个月中残差为负的月份有个，残差为非负的月份有个， 则这个月中随机抽取个月，抽到的月份数据含有残差为负的概率. 16. 某汽车配件厂生产了一种塑胶配件，质检人员在这批配件中随机抽取了100个，将其质量指标值（单位：分）作为一个样本，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求的值； （2）求这组数据的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； （3）当配件的质量指标值不小于80分时，配件为“优秀品”，以频率估计概率.在这批产品中随机抽取3件产品，随机变量表示：抽得的产品为“优秀品”的个数，求的分布列及数学期望. 【答案】（1） （2） （3）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图可得； （2）由（1）结合频率分布直方图可求平均数； （3）设p表示在这批产品中随机抽取一件产品，所抽取的产品为优秀品的概率，由题可得，则随机变量，X的所有可能取值为0，1，2，3，据此可得答案. 【小问1详解】 由题知，，解得. 【小问2详解】 设为样本数据的平均数， 则， 故这组样本数据的平均数为76.5. 【小问3详解】 设p表示在这批产品中随机抽取一件产品， 所抽取的产品为优秀品的概率，由题知， 随机变量，X的所有可能取值为0，1，2，3， 则， ， ， ， ∴X的分布列为 0 1 2 3 0.216 0.432 0.288 0.064 随机变量X的数学期望. 17. 已知函数． （1）求的单调区间； （2）求在区间上的最大值． 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用函数求导，由导函数的正负即可求得函数的单调区间； （2）利用（1）的结论，可判断函数在区间上的单调性，代入端点值计算函数值，比较大小即得函数最大值. 【小问1详解】 由求导得：， 由可得，由可得或， 故函数的单调递减区间为，单调递增区间为和； 【小问2详解】 由（1）已得函数在上单调递减，在上单调递增， 因，则函数在上单调递减，在上单调递增， 又， 故当时，函数取得最大值为. 18. 研究表明，春季早晚温差大，由于个人体质不同，可能会导致感冒患病．某医学研究小组为了解20－30岁年轻人的体质健康是否与性别有关，在4月感冒易发季节对某一小区中该年龄段的年轻人进行了随机抽样，得到如列联表． 性别 健康状况 感冒 不感冒 男 8 14 女 4 24 （1）在上述感冒的年轻人中按照性别采用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机选取3人访谈，记参与访谈的男性人数为，求的分布和期望； （2）依上表，在犯错误的概率不超过0.05的前提下，20－30岁年轻人的体质健康与性别是否有关？ 参考数据：参考公式：，其中． 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）分布列见解析， （2）答案见解析 【解析】 【分析】(1)利用分层抽样的方法抽取人，则抽取男性人，女性人，随机变量的所有取值为，2，，求出对应概率，即可列出分布列，求出期望； (2)根据列联表中的数据，经计算得到，再和参考数据表中对应的数据比较，即可得到结论. 【小问1详解】 解：在上述感冒的年轻人中按照性别采用分层抽样的方法抽取人，再从这人中随机选取人访谈，记参与访谈的男性人数为，样本中感冒的男性有人，女性有人，比例为，按照性别采用分层抽样的方法抽取人，则抽取男性人，女性人，随机变量的所有取值为，2，， ， ， ， 所以的分布列为： 所以. 【小问2详解】 解：提出零假设：岁年轻人的体质健康与性别无关， 根据列联表中的数据，得到， 因为，不能拒绝零假设， 所以没有的把握认为岁年轻人的体质健康与性别有关. 19. 已知函数． （1）讨论的单调性． （2）若恒成立，求的取值范围； （3）当时，求证： 【答案】（1）当时，在上单调递增，当时，在上单调递增，在上单调递减. （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导，分和，讨论导函数的符号，可得函数的单调区间. （2）结合（1）的结论，求函数的最大值，由最大值不大于0可求的取值范围. （3）由（2）可知，再设，分析函数的最值，可得，进而可得结论. 【小问1详解】 由题意得，函数的定义域为， 当时，，所以在上单调递增， 当时，令，解得单调递增， 令，解得单调递减， 所以，当时，在上单调递增， 当时，在上单调递增，在上单调递减. 【小问2详解】 当时，，不合题意，舍去， 当时，，不合题意，舍去， 当时，由（1）知的最大值为， 由已知解得. 所以. 【小问3详解】 由（2）可得，当时，， 所以（当且仅当取等号）. 设，则， 由；由. 所以在上单调递减，在上单调递增，且. 所以（当且仅当取等号）. （）， . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期5月期中考试 高二数学 本试卷共150分 考试时间120分钟 命题人：赵敏 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 把10个相同的小球放入编号分别为1，2，3的三个不同的箱子中，每个箱子的球的个数不少于其编号，则共有多少种放法（    ） A. 10种 B. 种 C. 种 D. 45种 2. 某文创社有5款徽章设计稿，4款钥匙扣设计稿，现从中随机选3款设计稿制作成品，则被选中的设计稿中恰有2款徽章设计稿的概率为（ ） A. B. C. D. 3. 一袋中装有7个盲盒，已知其中3个是玩具盲盒，4个是文具盲盒，甲、乙两个小孩从中先后任取一个盲盒，则乙取到的是玩具盲盒的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 一名职业篮球运动员在某场比赛中，三分球命中率分别为，，，，，，，，若这组数据的分位数为，且随机变量，则（ ） A. 7.6 B. 7.4 C. 7.2 D. 7 5. 为了解某地区某种水果的年产量x（单位：吨）对价格y（单位：万元/吨）的影响，对近五年该水果的年产量和价格统计如下表： x 300 350 400 450 500 y 1.8 1.7 1.5 1.4 1.1 若y关于x的回归直线方程为，则（ ） A. 2.82 B. 2.86 C. 2.88 D. 2.92 6. 某公司近几年投入A款产品的年研发费用与年利润的统计数据如下表： 年研发费用 5 4 6 3 4 2 年利润 12 10 13 9 11 5 若与的回归直线方程为，则（ ） A. 2.1 B. 2.2 C. 2.3 D. 2.4 7. 曲线在点处的切线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若至少有三个不同的零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列结论正确的是（） A. B. （为正整数且） C. D. 满足方程的值可能为或 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数r的值越接近于1 B. 经验回归方程为时，变量x和y负相关 C. 在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合精度越高 D. 对两个变量y和x进行回归分析，得到一组样本数据，，，，其经验回归方程必过点，则 11. 对于函数以及它的图象，下列说法正确的是（ ） A. 是奇函数 B. 的图象关于点成中心对称 C. 存在极值 D. 在上单调递减 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的二项展开式中，系数最大的项为__________. 13. 从6名男生和4名女生中选出3人参加知识竞赛，若这3人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有_____________种. 14. 已知函数，．若经过点存在一条直线l与曲线和都相切，则______． 四、解答题 15. 某景区为了更好的开发旅游资源，试产了一系列的文创产品进行销售，对今年前几月的销售额统计如下： 月份 销售额万元 （1）根据表中数据建立月份与销售额的经验回归方程； （2）为了更好的规划文创产品，从这个月中随机抽取个月对销售情况进行分析，求抽到的月份数据含有残差（观测值减去预测值称为残差）为负的概率． 参考公式：．参考数据：，． 16. 某汽车配件厂生产了一种塑胶配件，质检人员在这批配件中随机抽取了100个，将其质量指标值（单位：分）作为一个样本，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求的值； （2）求这组数据的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； （3）当配件的质量指标值不小于80分时，配件为“优秀品”，以频率估计概率.在这批产品中随机抽取3件产品，随机变量表示：抽得的产品为“优秀品”的个数，求的分布列及数学期望. 17. 已知函数． （1）求的单调区间； （2）求在区间上的最大值． 18. 研究表明，春季早晚温差大，由于个人体质不同，可能会导致感冒患病．某医学研究小组为了解20－30岁年轻人的体质健康是否与性别有关，在4月感冒易发季节对某一小区中该年龄段的年轻人进行了随机抽样，得到如列联表． 性别 健康状况 感冒 不感冒 男 8 14 女 4 24 （1）在上述感冒的年轻人中按照性别采用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机选取3人访谈，记参与访谈的男性人数为，求的分布和期望； （2）依上表，在犯错误的概率不超过0.05的前提下，20－30岁年轻人的体质健康与性别是否有关？ 参考数据：参考公式：，其中． 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 19. 已知函数． （1）讨论的单调性． （2）若恒成立，求的取值范围； （3）当时，求证： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $