2026届高考数学考前立体几何保温抢分练

**基本信息** 聚焦立体几何核心内容，通过单选、多选、填空、解答题梯度设计，考查空间观念、几何直观与推理运算能力，适配高考三轮冲刺保温抢分需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|4/20|面面位置关系、正方体四面体构成|以正方体为载体，考查空间几何体结构特征，体现数学眼光| |多选|2/12|体积定值、面面垂直判定|结合动点探究，发展推理意识，考查数学思维严谨性| |填空|2/10|旋转体体积比、内切球截面面积|融合旋转体与球的几何关系，提升空间想象能力| |解答|2/30|四点共面证明、二面角计算、线面平行|综合考查逻辑推理与数学表达，适配高考解答题命题趋势|

2026高考考前立体几何保温抢分练 （建议35分钟完成 总分72分） 一．单项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四 个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.已知是三个不重合的平面，且，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 2. 从正方体的八个顶点中选择四个顶点构成空间四面体，则该四面体不可能（ ） A. 每个面都是等边三角形 B. 每个面都是直角三角形 C. 有一个面是等边三角形，另外三个面都是直角三角形 D. 有两个面是等边三角形，另外两个面是直角三角形 3. 已知圆柱的下底面在半球的底面上，上底面圆周在半球的球面上，记半球的底面圆面积与圆柱的侧面积分别为，半球与圆柱的体积分别为，则当的值最小时，的值为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在棱长为2的正方体中，为线段上的动点，为的中点，则下列错误的是（ ） A. B. 直线与所成角的最大值不是 C. 过点作该正方体的截面，则截面的面积为 D. 三棱锥外接球半径的取值范围为 二．多项选择题（本大题共2小题，每小题6分，共12分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 5. 如图，在棱长为1的正方体中，是棱上的一个动点（不含端点），给出下列四个结论,正确的是（ ） A 三棱锥的体积为定值； B 存在点，使得平面平面； C 为锐角三角形； D 若点在平面上的投影为点，则点的轨迹为一条线段（不含端点）. 6.如图,在四棱锥 中,底面 为平行四边形, 的中点为 ,点 分别在棱 上 (均与 不重合),且 , 四点共面,记四棱锥 的体积为 ,三棱锥 的体积为 ,三棱锥 的体积为 ,四棱锥 的体积为 ,则 A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 三．填空题（本大题共2小题，每小题5分，共10分） 7．如图，四边形是直角梯形，其中，，，是的中点，以为直径的半圆与相切于点.与梯形以为旋转轴旋转一周，可以分别得到一个球和一个圆台，则该圆台的体积与球的体积之比为 . 8. 已知正方体的棱长为2，点为棱的中点，则平面截该正方体的内切球所得截面面积为____ 四．解答题（本大题共2小题，共30分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 9. 如图所示的几何体中，底面是菱形，，平面，，，且平面平面. （1）在线段上是否存在点，使得四点共面？若存在，请给出证明；若不存在，请说明理由. （2）若，求二面角的余弦值. 10. 在四棱锥中，平面平面， ．分别为棱上的点，． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）若点为线段的中点，判断直线是否在平面内？并说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026高考考前立体几何保温抢分练 （建议35分钟完成 总分72分） 一．单项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四 个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.已知是三个不重合的平面，且，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】若，则或与相交，故A错误； 若，则或与相交，故B错误； 若，则，故C正确； 若，则与相交，不一定是垂直，故D错误． 2. 从正方体的八个顶点中选择四个顶点构成空间四面体，则该四面体不可能（ ） A. 每个面都是等边三角形 B. 每个面都是直角三角形 C. 有一个面是等边三角形，另外三个面都是直角三角形 D. 有两个面是等边三角形，另外两个面是直角三角形 【答案】D 【解析】如图， 每个面都是等边三角形，A不选； 每个面都是直角三角形，B不选； 三个面直角三角形，一个面等边三角形，C不选，选D． 3. 已知圆柱的下底面在半球的底面上，上底面圆周在半球的球面上，记半球的底面圆面积与圆柱的侧面积分别为，半球与圆柱的体积分别为，则当的值最小时，的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】设圆柱底面半径为，高为，球的半径为， 则，， 所以， 当且仅当时等号成立，此时， 所以. 4. 如图，在棱长为2的正方体中，为线段上的动点，为的中点，则下列错误的是（ ） A. B. 直线与所成角的最大值不是 C. 过点作该正方体的截面，则截面的面积为 D. 三棱锥外接球半径的取值范围为 【答案】D 【解析】以为坐标原点，所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系， 则，，所以， 设，其中，即， 所以点， 又，，， 所以，， 所以， 所以，故A正确； ， 因为，所以， 所以， 函数在上单调递减， 所以当时，函数取得最大值，当时，函数取得最小值， 所以， 所以， 当时，直线与所成角最大， 因为，故直线与所成角的最大值不为，故B正确； 取中点，连接， 因为为的中点，所以， 截面即为四边形， 又，所以， 又因为，故四边形为等腰梯形， 如图，作，垂足为， 所以， 所以， 所以等腰梯形的面积， 即截面的面积为，故C正确； 取的中点，因为为直角三角形，所以为外接圆的圆心， 设外接球的球心为，根据外接球的性质，则平面， 设球心， 则， ， 因为，所以， 即， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，函数取得最小值，当时，函数取得最大值， 所以，所以， 即三棱锥外接球半径的取值范围为，故D错误. 故选：D. 二．多项选择题（本大题共2小题，每小题6分，共12分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 5. 如图，在棱长为1的正方体中，是棱上的一个动点（不含端点），给出下列四个结论,正确的是（ ） A 三棱锥的体积为定值； B 存在点，使得平面平面； C 为锐角三角形； D 若点在平面上的投影为点，则点的轨迹为一条线段（不含端点）. 【答案】AC 【解析】对于A：三棱锥的底面积为， 所以三棱锥的体积，为定值；结论A正确. 对于B：以点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 设，因为，， 设平面的法向量为，则， 取得； 因为，，平面的法向量为， 则，取得； 因为两平面垂直等价于法向量垂直，所以，可得， 判别式，无实根， 所以不存在点，使得平面平面，结论B错误； 对于C：计算三边长度的平方，， ， ， 所以，所以中最大， 因为， 所以最大角为锐角，因此为锐角三角形，结论C正确； 对于D：记，连接， 平面，平面，所以， 所以点到的中点距离等于，为定值，所以点的轨迹不可能是线段，结论D错误. 6.如图,在四棱锥 中,底面 为平行四边形, 的中点为 ,点 分别在棱 上 (均与 不重合),且 , 四点共面,记四棱锥 的体积为 ,三棱锥 的体积为 ,三棱锥 的体积为 ,四棱锥 的体积为 ,则 A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 【答案】 ACD 【解析】 连接 . 设 ,则 ,因为四边形 是平行四边形, 为 的中点,所以 . 由 四点共面, 可知存在实数 ,满足 ,即 , 所以 则 ,化简得 ,由 ,得 ,同理可得 ,所以 . 对于 ,由题意知 ,又 ,所以 ,故 错误, B 正确; 对于 ,同理可得 ,所以 ,故 正确; 对于 ,因为 ,所以 , 当且仅当 时等号成立,所以 ,即 的最小值为 ,故 正确. 三．填空题（本大题共2小题，每小题5分，共10分） 7．如图，四边形是直角梯形，其中，，，是的中点，以为直径的半圆与相切于点.与梯形以为旋转轴旋转一周，可以分别得到一个球和一个圆台，则该圆台的体积与球的体积之比为 . 【答案】 【解析】过作于点，如图： 则，. 由题意得，均为圆的切点， 由切线的性质可知 所以. 则，所以,所以球的半径， 所以，， 所以. 故答案为：. 8. 已知正方体的棱长为2，点为棱的中点，则平面截该正方体的内切球所得截面面积为____ 【答案】 【解析】球心为正方体中心，半径， 法一：连接，相交于点，点为的中点，连接， 可得，因为平面，平面， 所以平面，在上， 则到平面的距离等于点到平面的距离，设为， ，， 由平面、得：， 则截面圆半径，所以截面面积； 法二：以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，如图， 则，，，，，，，设平面的一个法向量为， ，令，则，所以， 则到平面的距离，截面圆半径，所以截面面积.故选：A． 四．解答题（本大题共2小题，共30分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 9. 如图所示的几何体中，底面是菱形，，平面，，，且平面平面. （1）在线段上是否存在点，使得四点共面？若存在，请给出证明；若不存在，请说明理由. （2）若，求二面角的余弦值. 【解】（1）线段上存在点，且为的中点，使得四点共面.证明如下：连接.∵四边形是菱形，. 又平面，平面，. 又，平面，平面. 连接.∵为的中点，，. 又平面平面，平面平面，平面，平面.，（垂直于同一个平面的两条直线互相平行）， ∴在线段上存在点，且为的中点，使得四点共面. （2）取的中点，连接，设交于点，连接，， 则，且. 平面，平面. 又，∴以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系. ∵底面是菱形，，，. ，. 由（1）知，∴四边形是矩形，， ∴，，，， ，，. 设平面的法向量为， 则，即， 取，则. 设平面的法向量为， 所以，即， 取，则 ， 由图易知二面角为钝角，所以二面角的余弦值为. 解法二：设二面角的大小为，由平面平面，可得二面角的大小为，则. 连接，设与的交点为，过点作于点，连接，由（1）知平面，则，又，所以平面，所以， 则为二面角的平面角. 易知，，，所以， 所以， 所以二面角的余弦值为. 10. 在四棱锥中，平面平面，．分别为棱上的点，． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）若点为线段的中点，判断直线是否在平面内？并说明理由． 【解】（1）因平面平面，平面平面， ，平面，则平面； （2）图过作平行线交于，由题设可得. 然后如图建立以为原点的空间直角坐标系. 则.. 因，则. 则，又， 则，设平面法向量为， 则，令，可得可为. 又易得平面的法向量为. 设平面与平面夹角为，则. （3）由（2）可得，，. 则。 假设平面，则四点共面，从而存在实数，使， 则.则，即在平面内. 学科网（北京）股份有限公司 $