常考大题立体几何(A)-【衡水金卷·先享题】2026年新高考数学专项分组练(湖南专版)

数学 所以P,-P=, 所以数列(P1-P.)是以言为首项，-子为公比的 等比数列， 所以P-P=6×(-子)-(-)， 所以P。=(Pn-P.-1)十(P.-1-Pn-2)十…十 (P2-P)十P (-）”+(-)++(-)广+是 (×(门+ 1+4 -+号×(-)八， P=三满足上式， 所以P.=号+吉×(-十)尸， 常考大题立体几何(A) 1.解：(1)分别取AE,BE的中点F,G,连接MF, NG,FG, 因为MA=ME,所以MF⊥AE. 因为平面AME⊥平面ABE,平面AME∩平面ABE =AE,MFC平面AME, 所以MF⊥平面ABE. 同理可得NG⊥平面ABE, 所以MF∥NG. 在Rt△MAE中，MA=ME=2, 所以MF=号AE=X22=E,同理NG=E, 所以四边形MFGV是平行四边形， 所以MN∥FG. 因为F,G分别是AE,BE的中点， 所以FG∥AB,所以MN∥AB, 所以M,V,A,B四点共面. (2)在图1中，∠AED=∠BEC=45°， 所以∠AEB=90°，所以AE⊥EB. 取AB的中点H,连接FH, 则FH∥BE,所以FA⊥FH. 由(1)可知，FA,FH,FM两两垂直，以F为原点， FA,FH,FM所在直线分别为x,y,之轴，建立如图所 示的空间直角坐标系， 66 参考答案及解析 、R 则F(0,0,0),M(0,0W2),E(-√2,0,0)，B(-√2， 22,0),A(2,0,0). 设平面ABNM的法向量为n=(x,y,z), 因为AM=(-√2,02)，AB=(-22,22,0), 则n:Ai=-Ex+2:=0 n·AB=-2√2x+2√2y=0 取x=1,则y=x=1,得n=(1,1,1). 又因为AE=(-2√2,0,0)， 设直线AE与平面ABVM所成的角为B, 所以sinB= AE·n=2E=E |AE|·|n2√2X√53 所以直线AE与平面ABVM所成角的正弦值为停， 2.解：(1)因为四边形ABCD是菱形，则AC⊥BD, 又DD⊥平面ABCD,BD,ACC平面ABCD, 则有BD⊥DD,AC⊥DD, 而BD∩DD1=D,BD,DDC平面BBD1D, 于是AC⊥平面BBDD. 在四棱台ABCD-A1B:CD中，四边形BBDD为 直角梯形， 在菱形ABCD中，∠ABC=120°，有△BCD是正三 角形， BD=BC=2,B1D=B1C1=1,梯形BBD1D的面积 5=2×1+2)X3=号， 显然四棱锥A一BBDD的高h,即为正△ABD边 BD上的高√3， 所以四棱锥A-BB,DD的体积V=合Sh=专×号 ×3-3y3 21 (2)在平面ABCD内过点D作Dx⊥CD,由(1)知 Dx,DC,DD两两垂直， 以点D为原点，Dx,DC,DD的方向分别为x,y,x轴 的正方向，建立空间直角坐标系，如图， 参考答案及解析 则D00,045.-10.B(停3c0,2 0),B(5,1,0), Di-(3,Di=5,-1,0,BC=(-5, 10.E-(-9,) 设平面ABD的法向量m=(x1,y1,之)， m·DA=√3x1-y1=0 则 m…D成-9t安+3=0 1 取x1=√3，则y1=3,=-1,得m=(W5,3,-1). 设平面BBC的法向量n=(x2,y2,2), n·BC=-√3x2十y2=0 则〈 …成=-号，-言+8=0 取x2=√3，则y2=3,22=1,得n=(W3,3,1). 设平面ABD与平面BBC的夹角为日， 则cos9=|cosm,m>|=m·m=I3×√丽 m·n3十9-1 所以平面ABD与平面BB,C夹角的余弦值为是 3.解：(1)取BC的中点E,连接EN,AE, 因为E,N分别为B1C,BC的中点， C 所以EN∥BB,EN=号BBL, 在三棱柱ABC-AB1C1中，AA1∥BB,AA:=BB1, 因为M为AA,的中点， 所以AM/BBAM=BB, ·66 数学 所以EN∥AM,EN=AM, 所以四边形AMNE为平行四边形， 所以MN∥AE, 又MN中平面ABC,AEC平面ABC, 所以MN∥平面ABC. (2)取AC的中点O,连接OB,OA1, 因为△ABC,△AAC均为等边三角形， 所以OB⊥AC,OA,⊥AC, 因为平面A,ACC⊥平面ABC,平面AACC∩平面 ABC=AC,OA1C平面A1ACC1, 所以OA1⊥平面ABC, 所以OB,AC,OA,两两垂直， 以O为坐标原点，OB,OC,OA所在直线分别为x, y,之轴建立如图所示的空间直角坐标系， A 不妨设AC=4, 则C(0,2,0),A1(0,0,23),B(2√3,2,2√5)， M(0,-1W3),V(3,1,0), 所以CM=(0,-3W5),C成=(5，-1,0)，CA= (0,-2,25),A1B1=(25,2,0) 设平面MNC的法向量为m=(x,y,a), (m.CN=3x-y1=0 则 m·CM=-3y十V3x1=0 取y=5,得x1=1,21=3, 所以m=(1w5,3), 设平面A1BC的法向量为n=(x2,2,z2), n·CA1=-2y2十23x2=0 则 n·A1B=2W3x2+2y2=0 取y2=-√3，得x2=1,22=-1, 所以n=（1,-3,-1) 设平面MNC与平面A1BC的夹角为0， m·n1-3-3 则cos0=|cos(m,m>|=Tm·Tm=√3X5 =65 13 所以平面MNC与平面A:B,C夹角的余弦值 为唇 数学 4.解：(1)因为BP⊥平面ABC,ACC平面ABC, 所以BP⊥AC, 因为点C在以AB为直径的半圆的圆周上， 所以BC⊥AC, 因为BP∩BC=B,BP,BCC平面PBC, 所以AC⊥平面PBC, 又BDC平面PBC,所以AC⊥BD. (2)取AB的中点O,则O为半圆的圆心， 以O为原点，OB所在直线为y轴，以过点O且平行 于BP的直线为：轴建立如图所示的空间直角坐 标系， 由∠ABC=60°，AB=2BP=4,得BC=BP=2, 则A(0,-2,0),B(0,2,0),C(√3,1,0)，P(0,2,2), 所以AB=(0,4,0),AC=(3,3,0),C=(-5,1, 2), 则C市=xC市=(-3x,A,2x), 可得D(3-√3λ，λ十1,2λ)， 所以AD=(5-3λ，λ十3,2λ) 设平面ACP的法向量为m=(x,y,z), 则m·C市=-x+y+2:=0 m·AC=√5x+3y=0 取y=-1,得x=3,x=2, 所以m=(5,-1,2), 设平面ABD的法向量为n=(a,b,c), n·AD=(√5-√3)a+(+3)b+2c=0 则 n·AB=4b=0 取a=2λ，得b=0,c=√3λ-√5， 所以n=(2λ，0W3入一√3). 设平面ACP与平面ABD的夹角为0， 则esg-osmw一h 43λ-23 6 2W2×√4+3(A-1)F8 化简得57x2-58x+13=0,解得A=号或入-号 13 所以当入=号或入-号时，平面ACP与平面ABD夹 角的余弦值为气。 6 参考答案及解析 常考大题立体几何(B) 1.解：(1)AB为圆O的直径，C是圆O上异于A,B 的点， 故∠ACB=90°，∴.CB⊥AC. 又.∠BAC=30°，AC=MC=MA=6, ∴.BC=6tan30°=2W3, 而MB=4√3，BC2+MC2=MB,..BC⊥MC. .'AC∩MC=C,AC,MCC平面MAC, ∴.BC⊥平面MAC .BCC平面MBC,.平面MBC⊥平面MAC. (2)设D为AC的中点，连接DM,DO,OO,则MD⊥ AC,OD⊥AC. 由(1)可知，BC⊥平面MAC,∴.BC⊥DM. :AC∩BC=C,AC,BCC平面ABC, .DM⊥平面ABC 以D为原点，DA,DO,DM所在直线分别为x轴、y 轴、之轴建立如图空间直角坐标系， 由题意可得A(3,0,0),C(-3,0,0),B(-3,2√3， 0),M(0,0,35), ,OO⊥平面ABC, ∴.DM∥OO,四边形ODMO为矩形， ∴N(0,23,35) 设平面MBC的法向量为n1=(x1,y1,x), MC=(-3,0,-3√3)，BC=(0,-2W3,0), 则m·MC=-3-3v=0 n1·BC=-2√3y=0 取=一1，可得x1=√3，y=0, 即n=(√5,0，-1). 设平面NAB的法向量为n2=（x2,y2,g), AB=(-6,25,0),AN=(-3,25,35), n2·AB=-6x2十23y=0 则 n2·AN=-3x2+23y2+3W5x=0 取x2=√3，可得y2=3,22=一1， 即2=（√5,3，-1）. 设平面MBC与平面NAB的夹角为B,常考大题立体几何(A) (限时45分钟) 1.如图1，矩形ABCD中，AB=4,AD=2,E为CD2.如图，在四棱台ABCD-A1BCD1中，DD1⊥平 的中点，现将△ADE,△BCE分别沿AE,BE向上 面ABCD,下底面ABCD是菱形，∠ABC=120°， 翻折，使点D,C分别到达点M,VN的位置，且平面 BC=2B1C1=2,DD1=3. AME,平面BNE均与平面ABE垂直（如图2）. 0 图1 (1)求四棱锥A一BB1DD的体积： (2)求平面AB1D与平面BB1C夹角的余弦值. 图2 (1)证明：M,N,A,B四点共面； (2)求直线AE与平面ABVM所成角的正弦值， 数学第49页（共58页） 3.如图，在三棱柱ABC一A1BC中，平面A1ACC4.如图，点C在以AB为直径的半圆的圆周上， ⊥平面ABC,M,N分别为AA1,BC的中点， ∠ABC=60°，BP⊥平面ABC,且AB=2BP=4, △ABC,△A1AC均为等边三角形. CD=aCP(0<<1). A C (1)求证：AC⊥BD: (1)求证：MN∥平面A1B1C; (2)当入为何值时，平面ACP与平面ABD夹角的 (2)求平面MNC与平面A1BC夹角的余弦值. 余张值为等， 数学第50页（共58页）