湖南常德市临澧县第一中学2026届高三数学解答题专项练习（数列）

**基本信息** 聚焦数列核心方法，系统整合定义应用、构造转化、求和论证等解题策略，强化知识逻辑与数学思维，培养抽象能力、推理意识及模型观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |通项公式|3题|定义法、构造新数列、Sn与an关系|从递推关系到通项，体现概念生成与转化| |等差等比证明|2题|定义证明、构造辅助数列|基于定义推导，强化逻辑推理链条| |数列求和|4题|错位相减、裂项相消、分组求和|从通项特征到求和方法，形成应用逻辑| |综合应用|3题|恒成立求最值、反证法、新定义问题|结合函数不等式，构建知识拓展体系|

临澧一中2026届高三数学解答题专项练习（数 列） 1．已知数列满足，且；数列的前n项和为，满足． (1)求与的通项公式； (2)设数列的前n项和为，若对任意的正整数n，不等式恒成立． 求实数的取值范围． 2．已知数列满足， (1)证明：数列为等差数列； (2)若将数列中满足的项，称为数列中的相同项，将数列的前40项中所有的相同项都剔除，求数列的前40项中余下项的和. 3．已知等差数列满足，记数列的前n项和为． (1)求数列的通项公式； (2)在数列的每相邻两项间插入这两项的和，而形成新的数列，这样的过程叫做该数列的一阶“H拓展”．例如，对于数列，一阶“H拓展”得到数列； 二阶“H拓展”得到数列；…… 设n阶“H拓展”得到数列， 设，则，． （i）求数列的通项公式； （ii）设数列满足求数列的前项和． 4．已知是首项为1的等差数列，是其前项和，是等比数列，且，，. (1)求与的通项公式； (2)设是由数列及的公共项按照从小到大的顺序排列而成的数列，求； (3)设数列满足，，是数列的前项和，若对于任意的正整数，恒成立，求的最小值. 5．已知各项均为正数的数列 ，其前n项和为，满足. (1)求数列的通项公式以及 ； (2)若 ，求 6．已知数列满足，且，． (1)证明：数列是等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)若数列的前项和为， 证明：数列中任意不同的三项都不能构成等差数列． 7．设数列的前项和为， (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和； (3)设，求证： 8．已知数列，，，是的前项和. (1)证明：数列为等差数列； (2)求； (3)若，记数列的前项和为，证明：． 参考数据：. 临澧一中2026届高三数学解答题专项练习（数 列）参考答案 1．（1）因为，，所以是以为首项，为公差的等差数列，所以； 由知，当时，由得， 由得，当时，， 可得，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，所以； （2）由（1），，， 两式相减得， 所以， 则恒成立即恒成立， 设，则， 当时，，当时，，所以的最大值为，所以. 2．（1）设，则，有， ，所以数列是首项为3公差为3的等差数列，即数列为等差数列. （2）由（1）可知，， 设，同理可证数列是首项为12公差为9的等差数列，， 设数列的前n项和为，数列的前n项和为， 数列的前40项和为， 若，即，得，，有， 将数列的前40项中所有的相同项都剔除，则数列的前40项中余下项的和为： . 3．（1）设数列的公差为，因为，则解得 故. （2）(ⅰ)， ， 所以，即. 又， 则是首项为12，公比为的等比数列. 所以. (ⅱ)当为奇数时，，记， 则， ，两式相减，得 化简，得，得； 为偶数时， 记， 则 . 故. 4．（1）设的公差为，的公比为，则，解得， 所以，. （2）设，则， ， 因为为正整数，所以能被4整除，所以为偶数，即， . （3）因为，所以，所以； 又，所以，， ， 两式相减可得 . ， . 因为，所以；所以， 时，令，则， 即为递增数列，所以，解得， 故的最小值为. 5．（1），则当时，， 则两式相减得：. 又各项均为正数，则. 又时，，则是以1为首项，公差为2的等差数列， 则，； （2）由（1）时，则. 则，， 当，设， 注意到 ，其中为小于的最大整数. 则当，其中时， . 则当时， . 又注意到时，.则. 6．（1）已知，则. 又，，所以.那么（常数）. 所以数列是以为首项，为公比的等比数列. （2）由（1）知，等式两边同时除以得：. 设，则，且. 所以是以为首项，为公差的等差数列. 所以. 因为，所以. （3）已知，则. . 所以. 假设数列中存在不同的三项，，（，）构成等差数列， 则，即，两边同时乘以得：. 因为，，所以，， 则是的倍数，除以余，等式不成立. 所以假设不成立，即数列中任意不同的三项都不能构成等差数列. 7．（1）因为，即，当时，，所以； 当时，，所以， 而也满足上式，； （2）因为，，， ， ； （3）由（1）可得， 因为 （）， 所以（） 所以（）， 8．（1）由题得；又，所以数列是以为首项，为公差的等差数列. （2）由（1）可知，故. ， 则，两式相减得， ，所以. （3）由（2）可知 所以数列中的奇数项（）， 偶数项，（），. 由于，则，所以，则， 所以. 由于 . 构造，，所以，则在上单调递减. 所以当时，则，即，即在恒成立. 令，，则，即，， 所以，，，. 以上各式相加得， ， 即. 所以. 学科网（北京）股份有限公司 $