湖南常德市临澧县第一中学2026届高三数学解答题专项练习（三角）

临澧一中2026届高三数学解答题专项练习（三 角） 1．已知函数 (1)求函数的最小正周期及单调递减区间； (2)在中，角的对边分别为,若且 求面积的最小值. 2．在中，角A，B，C所对的边分别为． (1)求角； (2)点在边AC上，且，若______（从以下三个条件中任选一个），求的最小值． ①BD是边AC上的高；②BD是边AC上的中线；③BD是角的平分线． 3．已知的角A，B，C所对的边为a，b，c，且，，延长到点D. (1)若，求的长； (2)若，，求的长. 4．在中，内角所对的边分别为，且. (1)判断的形状； (2)设，且是边的中点，求当最大时，的面积. 5．记内角，，的对边分别为，，，已知. (1)求； (2)已知，的内切圆半径为. （ⅰ）当时，求； （ⅱ）求的最大值. 6．中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知. (1)求的值； (2)若BD是的角平分线. （i）证明：； （ii）若，求的最大值. 7．斜中，且. (1)求角； (2)为边的中点，若，求的面积； (3)如图所示，是外一点，若， 且，记的周长为，求的取值范围. 8．定义：如果三角形的一个内角恰好是另一个内角的两倍，那么这个三角形叫做倍角三角形. 如图，的面积为，三个内角所对的边分别为，且. (1)证明：是倍角三角形； (2)若，当取最大值时，求. 阅读题：已知△的内角，，所对的边分别为，，，且． （1）求； （2）若，点在上，直线上一点满足，在点和点的变化过程中， 求的最小值； 当最小时，求的值． 【解答】（1）由正弦定理得， 又，故． 于是． ．，； （2）建立平面直角坐标系，，，，． 设，． 由，得，又，故． 于是． 记，则．又， 由积化和差，， 故， ，取等当且仅当，； 当取最小时，，，故，． 直线方程为，直线方程为， 联立得，，于是． 临澧一中2026届高三数学解答题专项练习（三 角）参考答案 1．（1），故最小正周期, ,故 单调递减区间 （2）由，则,所以,即， 由是三角形内角，且，故，由正弦定理和， 则，则， 由余弦定理，， 即，当且仅当时取等号，此时面积最小值为. 2．（1）在中，由及余弦定理，得， 整理得，于是，而，所以. （2）选①，BD是边AC上的高，由三角形面积公式得， 即，由（1）知，，当且仅当时取等号， 因此，解得，所以当时，取得最小值. 选②，BD是边AC上的中线，则， 两边平方得，即， 当且仅当时取等号，于是，由（1）知，， 解得，所以当时，取得最小值. 选③，BD是角的平分线，由三角形面积公式，得， 即，整理得， 当且仅当时取等号，，由（1）知，，解得， 所以当时，取得最小值. 3．（1）在中，由及正弦定理，得 ，整理得， 而，则，又，因此， 在中，由余弦定理得. （2）由（1）得：，，由，得， 在中，由正弦定理得：，则， 在中，由正弦定理得：，而， 则，，因此， ，即， 而，解得，所以. 4．（1）由二倍角公式得，所以， 整理得，即. 因为，所以，即，即为等腰三角形. （2）由（1）及题设，有，所以 ， 当且仅当时，等号成立. 又为三角形内角，所以，即的最大值为，此时， 又，所以，故， 可得为直角三角形且. 又由（1）可得为正三角形， 所以当最大时，的面积. 5．（1）易得， 由正弦定理得， 而，故， 易知，故，即， 由可知 （2）（ⅰ）记的面积为，则，即，， 而，即，故， 于是，解得， 而，故，同理， 故，得到 （ⅱ） ， 而，即， 故，当且仅当时等号成立， 故的最大值为. 6．（1）因为中，， 故， 因为，故； （2）（i）证明：中，由正弦定理得①，   又②， 同理在中，③， ④， BD是的角平分线，则，则， 又，故， 故①÷③得⑤，即， 由②④得， ， 则 ， 即； （ii）因为，故，则由⑤得，则， 由以及（i）知，即， 则，当且仅当，结合， 即时等号成立，故，即的最大值为. 7．（1）由得，， 而，故，因为为斜三角形，故， 故，而，故即. （2）因为的中线，所以. 两边同时平方，得，即. 在中，，由余弦定理可得， 解得，所以. （3）在中，由正弦定理可得即. 在中，由正弦定理可得即. 因为四边形的内角和为，且，所以. 在中， ， 所以，则， . 因为在中，所以，则在上单调递增. 因为，所以的取值范围为. 8．（1）因为，又,所以，则， 又由余弦定理知，，故可得， 由正弦定理，,又, 代入上式可得, 即，， 则有,故是倍角三角形. （2）因为，所以,故，则，又， 又，则, 则 设，， 则 令得或者（舍）， 且当时，，当时，， 则在上单调递增，在上单调递减， 故当时，取最大值，此时也取最大值，故为所求. 学科网（北京）股份有限公司 $