湖南常德市临澧县第一中学2026届高三数学解答题专项练习（函数与导数）

**基本信息** 聚焦函数与导数核心考法，以导数应用为主线，系统整合极值、恒成立、零点、不等式证明等题型，提炼构造函数、分类讨论、放缩等解题方法，知识逻辑从概念到应用层层递进，培养数学思维与创新意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |极值与单调性|1题|导数符号分析、极值点唯一性证明|导数概念→单调性判断→极值存在性| |恒成立与存在性|2(1)、3(2)题|转化最值问题、参数分类讨论|导数应用→恒成立条件→参数范围确定| |零点问题|3(1)、6题|函数图像分析、零点分布规律|函数性质→图像交点→零点个数与范围| |不等式证明|4(2)(3)、7(3)、8题|构造函数、切线放缩、极值点偏移|导数工具→不等式转化→证明策略构建| |新定义问题|9题|定义转化、导数与数列综合|新情境理解→数学语言表达→逻辑推理应用|

临澧一中2026届高三数学解答题专项练习（函数与导数） 1．已知，函数. (1)证明存在唯一的极值点； (2)若存在，使得对任意成立，求实数b的取值范围. 2．已知函数，． (1)若函数在定义域上单调递增，求实数的取值范围； (2)当时，若，存在公切线，求的范围（表示不大于的最大的整数）． 3．已知函数. (1)若关于的方程有唯一实数根，求实数的值； (2)若当时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围. 4．已知函数. (1)若，求的单调区间; (2)若，求证:; (3)若使得，求证:. 5．已知函数f(x)＝x－lnx，g(x)＝x2－ax. （1）求函数f(x)在区间[t，t＋1](t＞0)上的最小值m(t)； （2）令h(x)＝g(x)－f(x)，A(x1，h(x1))，B(x2，h(x2))(x1≠x2)是函数h(x)图像上任意两点，且满足 ＞1，求实数a的取值范围； （3）若∃x∈(0,1]，使f(x)≥成立，求实数a的最大值． 6．已知函数. (1)讨论的单调性； (2)已知有三个零点，，，满足. ①求的取值范围； ②当时，证明：. 7．已知函数. (1)当为奇数时，证明：的图象关于点对称； (2)当时，，求的取值范围； (3)证明：当时，. 8．已知函数. (1)当时，求证：； (2)当时，求证：对于任意，恒成立； (3)若存在，，使得，求证：. 9．定义：若函数在其定义域内存在极大值和极小值，且存在一个常数k，使得 成立，则称为“极值可差比函数”，常数为的“极值差比系数”. 已知函数. (1)当时，判断是否为“极值可差比函数”，并说明理由； (2)是否存在，使得的“极值差比系数”为? 若存在，求出a的值；若不存在，说明理由； (3)设函数，数列满足，，， 证明：. 临澧一中2026届高三数学解答题专项练习（导数）参考答案 1．（1）因为，所以．令，则， ― 0 ＋ ↘ 极小 ↗ 令，得．，的变化情况如下：所以当时，单调递减； 当时，单调递增． 又当时，，， 当时，， 当时，，，故． 所以大致图象如右图： 因为，所以与恰有一个交点，记为， 所以，，． 当时，，则，单调递减， 当时，，则，单调递增． 所以存在唯一的极小值点，无极大值点，证毕. （2）由（1）知，当且仅当时，取得最小值，且，． 所以最小值为； 所以原命题等价于存在，使得；等价于存在，使得， 即，即．令， 若存在，使得对任意成立，等价于， 则，令，得． 2 ＋ 0 ↗ 极大 ↘ ，的变化情况如下： 所以当时，单调递增， 当时，单调递减， 所以当且仅当时，取得最大值． 所以实数的取值范围． 2．（1）由题意，在上恒成立，即在上恒成立． 令，则，所以在上单调递增． 于是，所以． （2）当时，设公切线在上的切点为，则切线方程为：． 设公切线在上的切点为，则切线方程为：， ，又，． 令．． 又在上单调递减，而，， 满足，即， 在区间上单调递增，在区间上单调递减． ，． 3．（1）由，得，令，求导得， 令，求导得，函数在上单调递减，， 当时，，即；当时，，即， 函数在上单调递增，在上单调递减，， 且当时，，当时，且， 作出的大致图象如图：   又，且有唯一的实数根，所以. （2）依题意，不等式在时恒成立， 设，求导得， 当时，在上恒成立，在上递增，则，不满足条件； 当时，令，则， 当，即时，，则当时，， 函数在上单调递减，因此，满足条件； 当，即时，由，得， 当时，，则，在上单调递增， 当时，有，不满足条件， 所以实数的取值范围为. 4．（1）当时，，，则 令，则，令，又，∴， ∴在区间上单调递增，在区间上单调递减， ∴，∴的单调递减区间是，无增区间. （2）∵，当时，显然成立， 当时，，令，∴， ∴在区间上单调递减，∴， ∴在区间上单调递减，∴， 综上所述，当时，. （3） ，∴，令，则， ∴在区间上单调递减，在区间上单调递增， ∵，∴. 不妨设，则，， 先证：， 易知在处的切线方程为，该切线与直线的交点的横坐标为， 令，则， 当时，，此时， ∴当时，图像在下方. ∴，∴， 再证，设，， 易知直线方程为，直线方程为， 则直线，与直线交点的横坐标为，，∴， ∵，同理可证：，∴，类似的可以证明， ∴，即，∴ 5．（1） f′(x)＝1－，x＞0，令f′(x)＝0，则x＝1. 当t≥1时，f(x)在[t，t＋1]上单调递增，f(x)的最小值为f(t)＝t－ln t； 当0＜t＜1时，f(x)在区间(t,1)上为减函数，在区间(1，t＋1)上为增函数，f(x)的最小值为f(1)＝1. 综上，m(t)＝ （2）h(x)＝x2－(a＋1)x＋lnx，不妨取0＜x1＜x2，则x1－x2＜0， 则由，可得h(x1)－h(x2)＜x1－x2，变形得h(x1)－x1＜h(x2)－x2恒成立． 令F(x)＝h(x)－x＝x2－(a＋2)x＋lnx，x＞0，则F(x)＝x2－(a＋2)x＋lnx在(0，＋∞)上单调递增， 故F′(x)＝2x－(a＋2)＋≥0在(0，＋∞)上恒成立，所以2x＋≥a＋2在(0，＋∞)上恒成立． 因为2x＋ ≥ 2，当且仅当x＝时取“＝”，所以a ≤ 2－2. （3）因为f(x)≥，所以a(x＋1)≤2x2－xlnx. 因为x∈(0,1]，则x＋1∈(1,2]，所以∃x∈(0,1]，使得a≤成立． 令M(x)＝，则M′(x)＝. 令y＝2x2＋3x－lnx－1，则由y′＝＝0 可得x＝或x＝－1(舍)． 当x∈时，y′＜0，则函数y＝2x2＋3x－lnx－1在上单调递减； 当x∈时，y′＞0，则函数y＝2x2＋3x－lnx－1在上单调递增． 所以y≥ln 4－＞0，所以M′(x)＞0在x∈(0,1]时恒成立， 所以M(x)在(0, 1]上单调递增．所以只需a≤M(1)，即a≤1. 所以实数a的最大值为1. 6．（1）易得， 当时，，时,,递减，时，,递增.     当时，时，，递增，时，，递减， ,时，，递增.     当时，，在上单调递增.     当时，时，，递增，时，，递减， 时，，递增. （2）①显然. 注意到，故只需有两个不为的零点即可. 故，. 而，     时，，递减，时，，单调递增.     故应在与上各有一个零点. ，由，可得，     作出与的大致图象，发现当时符合题意；   故的取值范围为.     ②显然，显然成立，则，易知，是的零点， 易知，由的图象知， 设 ， ， 故在上单调递增，于是，于是， 由和可得，故.    综上，. 7．（1）由题得. 因为为奇数，所以.即. 所以的图象关于点对称. （2）令.则. ①当时，显然有.所以成立； ②当时，当时，因为，，即在上递减， 所以当时，.即，所以，不合题意； ③当时，当时，， ，即在上递减， 即在区间上单调递增，当时，，即. 当时，因为，所以，即在区间上单调递减， 所以的最大值为. 所以，即. 符合题意. 综上，的取值范围为. （3）由（2）可知，当时，. 因为. 显然，且. 所以. 当时，显然成立； 当时，因为. 所以. 即 . 综上，当时， 8．（1）由，得. 要证，只需证. 令，则. 当时，，则单调递减， 当时，，则单调递增， 所以，故，因此. （2）由 令，则 ①当时，由，得，因此，满足题意. ②当时，由，得， 因此，则在上单调递增. 则，则在上单调递增，所以，满足题意. 综上所述，当时，对于任意，恒成立； （3）由（2）知，，由，得， 因此，则在上单调递增. 则， 因此在存在唯一的零点，且， 当时，单调递减，当时，单调递增， 设，则在上单调递减，在上单调递增， 所以的极小值为，注意到， 故在上存在唯一的零点. 注意到，且在上单调递增. 要证明，只需证， 因为，所以只需证，即证. 因为，即，所以，只需证， 只需证（*） 由（1）得，因此， 设， 则，所以在上单调递增，所以， 从而，即，因此（*）得证，从而. 9．（1）当时，，， 则，令，得或， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 的极大值为，极小值为. 所以. 是“极值差比系数”为的“极值可差比函数”. （2）假设存在，使得的“极值差比系数”为. ，，. 又为“极值可差比函数”，有两个不同的极值点，， 故关于的方程在上有两个不同的实数解，， 则，解得，则. 不妨设，则， 所以， 则， ，， ，，则，即. 令，，则， 在上单调递增，则. 在时无解. 故不存在，使得的“极值差比系数”为. （3），定义域， 要证，即证， ，，即，， 故证<，设，则， 证即可， ，的判别式， 恒成立，即，在单调递减， 所以当时，，即，又， 令，在单调递增； 令，在单调递减； ，，，， 且， ，，， 所以当时，，，， 又在单调递减，，即， 得证. 学科网（北京）股份有限公司 $