函数与导数：分段函数问题、函数值比大小问题、函数图像问题 专项训练-2026届高三数学三轮冲刺

函数与导数：分段函数问题、函数值比大小问题、函数图像问题专项训练 函数与导数：分段函数问题、函数值比大小问题、函数图像问题专项训练 考点目录 分段函数问题 函数值比大小问题 函数图像问题 考点一 分段函数问题 例1．（2026·福建·二模）已知函数为增函数，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分段函数的单调性可得出关于实数的不等式组，解之即可. 【详解】由对勾函数的单调性可知，函数在区间上单调递减，在上单调递增， 因为函数在上为增函数，所以函数在上为增函数， 则，即， 又因为函数在上为增函数，且函数在上为增函数， 则有，因，则可得，解得， 故实数的取值范围是，即的最小值为. 例2．（25-26高三下·安徽阜阳·月考）若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为函数在上单调递增， 所以，解得． 例3．（2026·辽宁抚顺·模拟预测·多选）已知是定义域为的奇函数，当时，，则下列叙述正确的有（   ） A． B．当时，有 C．当时，的最小值为4，则 D．若关于的方程有实数根，则所有实数根之和为零 【答案】ACD 【分析】根据奇偶性可求出函数的解析式，进而可判断A；作出的图象，根据单调性可判断B；根据上的最小值可判断C；根据奇函数图象的对称性可判断D. 【详解】因为是定义域为的奇函数， 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，， 综上可得， 所以，故A正确； 画出函数的图象，如图， 当时，单调递增，故当时，有，故B错误； 由图象可知，当时，的最小值为4，则，故C正确； 因为函数和均是定义域为的奇函数， 故方程的所有除0外的实数根成对出现，且关于原点对称， 所以所有实数根之和为零，故D正确. 例4．（24-25高三上·山东枣庄·月考·多选）已知函数，则下列关于函数的结论正确的是（    ） A． B．若，则的值是 C．的值域为 D．的解集为 【答案】ABC 【分析】先求，再求可知A正确；分别在和的情况下，根据解析式构造不等式和方程可判断BC正误；分别在和的情况下，结合一次函数和二次函数的值域求法可知D不正确. 【详解】对于A:由题，故A正确； 对于B:当时，，解得（舍去）； 当时，，又，，故B正确； 对于C: 当时，； 当时，. 故的值域为，故C正确； 对于D: 当时，，解得； 当时，解得. 综上的解集为， 故D不正确. 故选：ABC 例5．（25-26高二下·宁夏银川·期中）已知函数，则的值是__________. 【答案】 【详解】因为，所以. 例6．（2026·北京昌平·一模）设函数若存在最小值，则的一个取值为____，的最小值为_____． 【答案】 （答案不唯一，取均可） 【详解】当，函数图像如图所示，不满足题意. 当，函数图像如图所示，符合题意 当，函数图像如图所示，要使函数有最小值，需满足. 所以. 当，函数图像如图所示，不满足题意. 当，函数图像如图所示，要使函数有最小值，需满足. 无解，故不满足题意. 综上所述，的取值范围为，最小值为. 变式1．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）若函数，则（    ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】由题意得， 则. 变式2．（2026·河南·模拟预测）已知是奇函数，则（   ） A． B． C．1 D．9 【答案】A 【详解】因为是奇函数，所以当时，有， 又因为当时，有，所以， 根据恒等式可知：，， 所以． 变式3．（25-26高一下·浙江·期中·多选）已知函数，下列选项正确的是（    ） A．若，则 B．若，则不等式的解集为 C．若在上单调递减，则 D．当函数恰有2个零点，则 【答案】BD 【分析】A选项，利用分段函数求值即可；B选项，分段解不等式即可；C选项，保证函数在每一段上单调递减且同时满足分段点左侧函数值大于等于右侧函数值即可；D选项，分和分类讨论即可. 【详解】对于A：当时，， ，故A错误； 对于B：当时，， 当时，由，即，不成立， 当时，由，即， 所以，即，所以， 综上，不等式的解集为，故B正确； 对于C：若在上单调递减，则，解得：，故C错误； 对于D：（1）当时，，对称轴为． 所以在上单调递减，与只有一个交点． 在上单调递减．，与没有交点．故舍去. （2）当时，在上单调递增，与直线有一个交点， 所以只要在与有一个交点即可， （i）当时，对称轴， 在上单调递减， 只需时，．即，解得． （ii）当时，对称轴， 此时在上单调递减，在上单调递增， 又因为当时，， 所以要使它与只有一个交点，即有两个相等的实数解，则，即， 因为方程在时无解，所以不满足， 综上所述：，故D正确. 变式4．（2026·河北·模拟预测·多选）已知，则（   ） A．当时，为增函数 B．当时，的值域为 C．当时，图象上存在关于原点对称的两点 D．若，，使得恒为常数 【答案】ABD 【详解】对于A，当时，当时，是增函数，时，是增函数， 且，故为增函数，故A正确； 对于B，当时，若，，此时函数的值域为 若，，此时值域为， 由于，的值域为，故B正确； 对于C， 当时， 若，关于原点对称得到的曲线为， 联立得 ， 即(*)， 设则， 设，那么 所以， 在上单调递减，，即， 所以在上单调递减，故，这与(*)矛盾， 即不存在关于原点对称的两点， 故C错误； 对于D，当时，若恒为常数， 设，那么，则 当时，，方程无解，故不存在； 当时，，则， 设，则， 则在上单调增，， 而，故D正确. 变式5．（25-26高三下·上海浦东新区·期中）已知，若，则实数a的值为________． 【答案】 【详解】若，则，解得 若，则，解得，不满足 综上 变式6．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数，则______． 【答案】1 【详解】因为，则． 考点二 函数值比大小问题 例1．（2026·陕西榆林·三模）已知定义域为的偶函数在上单调递减，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据偶函数性质得出在上的单调性，再应用对数函数单调性比较大小，最后结合单调性求解. 【详解】因为定义域为的偶函数在上单调递减，所以在上单调递增. 因为，，， 所以. 又，所以. 例2．（2026·天津·二模）设，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以“0”和“1”为中间量，结合指数函数及对数函数的单调性比较大小即可. 【详解】在上为增函数，所以. 在上为增函数，所以. 当时，，，此时； 当时，，，此时； 又在上为减函数，在上为增函数， 所以方程的解应在之间，即. 综上， 例3．（2026·黑龙江哈尔滨·三模）下列各式大小比较中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由不等式的性质判断A；由三角函数的性质判断B；由对数的公式判断C；由对数函数和指数的单调性判断D. 【详解】对于A，因为， ， 由于，则， 即，故A错误； 对于B，由，则，而，则，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，由，， 则，故D正确. 例4．（2026·河北保定·二模），则（   ） A． B． C．b＜c＜a D． 【答案】B 【分析】根据正弦函数的值域性质，结合对数函数、指数函数的单调性进行求解即可. 【详解】因为，所以. 所以，即， 所以，即，因此. 变式1．（25-26高二下·浙江宁波·期中）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用指数、对数和三角函数的单调性，求出取值范围，即可得到答案. 【详解】因为，，，所以. 变式2．（2026·天津河西·二模）设，，，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】判断出，，，变形，构造函数，比较出，得到答案 【详解】，，， 其中，，，， 设，则， 令得，令得， 故在上单调递增， 所以，即，， 所以. 变式3．（2026·山东聊城·二模）已知正数满足，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由可知要么都大于，要么都在内，再由分类讨论和两种情况，分别比较的大小，最后判断与的大小关系. 【详解】因为所以：若，则； 若，则，同理由可知与要么都大于，要么都在内， 因此，满足以下两种情况之一：；. 下面分类讨论： 情况一：， 此时，所以， 由得 因为，所以 又因为 ，故从而 由于时，函数单调递增，所以即 情况二：， 此时 ，所以 . 由得 因为，两边同除以 时不等号方向改变，故 又因为，所以从而 由于时，函数单调递减，所以即 综上，无论哪种情况，都有 所以正确选项是D. 变式4．（2026·江西·二模）已知函数，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因函数在上单调递减，在上单调递增. 故. 设在上单调递增且恒为正数，而在上单调递增， 由复合函数的单调性可知在上单调递增， 所以，即． 考点三 函数图像问题 例1．（25-26高二下·江西九江·期中）函数的大致图象是（   ） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】求导，分析函数的单调性，再结合时，即可求解. 【详解】因为，则函数的定义域为， 所以， 由，得或， 由，得且， 所以函数的单调递增区间为，，单调递减区间为，， 又时，，分析图象可知，C选项正确. 例2．（2026·天津河西·二模）已知函数的部分图象如下图所示，则的解析式可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图象可得为定义域在上的奇函数，且，结合奇偶函数的定义依次判断选项. 【详解】根据图象可得为定义域在上的奇函数，且， 对于A，因为 所以是定义域在上的奇函数， 因为，所以不满足条件； 对于B，因为 所以是定义域在上的偶函数，不满足条件； 对于C，因为 所以是定义域在上的奇函数， 因为，所以满足条件； 对于D，因为 所以是定义域在上的偶函数，不满足条件； 例3．（2026·陕西榆林·模拟预测）函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由函数的解析式可知该函数的定义域为全体非零实数， 因为， 所以该函数是奇函数，它的图象关于原点对称，所以排除选项AC； 当时，，所以排除选项D，所以选项B中的图象有可能是该函数的图象. 变式1．（2026·天津东丽·一模）函数大致图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得， 所以函数为奇函数，图象关于原点对称，排除CD； 由于足够大时，函数的增长速度远远超过的增长速度， 则时，，排除A，因此B符合题意. 变式2．（2026·青海西宁·二模）将函数的图象向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到函数的图象，则的大致图象为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意求得，结合函数定义域、奇偶性及特殊值，利用排除法求解. 【详解】由题得，易知函数的定义域为， 又， 故是奇函数，图象关于原点对称，排除AD； 当时，，排除C，故B符合题意. 变式3．（25-26高二下·河北邢台·月考）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析的符号以及该函数的零点，结合排除法可得合适的选项. 【详解】因为，则，得， 所以排除BD． 由，可得或，排除A. 2 学科网（北京）股份有限公司 $函数与导数：分段函数问题、函数值比大小问题、函数图像问题专项训练 函数与导数：分段函数问题、函数值比大小问题、函数图像问题专项训练 考点目录 分段函数问题 函数值比大小问题 函数图像问题 考点一 分段函数问题 例1．（2026·福建·二模）已知函数为增函数，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 例2．（25-26高三下·安徽阜阳·月考）若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 例3．（2026·辽宁抚顺·模拟预测·多选）已知是定义域为的奇函数，当时，，则下列叙述正确的有（   ） A． B．当时，有 C．当时，的最小值为4，则 D．若关于的方程有实数根，则所有实数根之和为零 例4．（24-25高三上·山东枣庄·月考·多选）已知函数，则下列关于函数的结论正确的是（    ） A． B．若，则的值是 C．的值域为 D．的解集为 例5．（25-26高二下·宁夏银川·期中）已知函数，则的值是__________. 例6．（2026·北京昌平·一模）设函数若存在最小值，则的一个取值为____，的最小值为_____． 变式1．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）若函数，则（    ） A． B．2 C．3 D．4 变式2．（2026·河南·模拟预测）已知是奇函数，则（   ） A． B． C．1 D．9 变式3．（25-26高一下·浙江·期中·多选）已知函数，下列选项正确的是（    ） A．若，则 B．若，则不等式的解集为 C．若在上单调递减，则 D．当函数恰有2个零点，则 变式4．（2026·河北·模拟预测·多选）已知，则（   ） A．当时，为增函数 B．当时，的值域为 C．当时，图象上存在关于原点对称的两点 D．若，，使得恒为常数 变式5．（25-26高三下·上海浦东新区·期中）已知，若，则实数a的值为________． 变式6．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数，则______． 考点二 函数值比大小问题 例1．（2026·陕西榆林·三模）已知定义域为的偶函数在上单调递减，若，，，则（   ） A． B． C． D． 例2．（2026·天津·二模）设，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 例3．（2026·黑龙江哈尔滨·三模）下列各式大小比较中正确的是（    ） A． B． C． D． 例4．（2026·河北保定·二模），则（   ） A． B． C．b＜c＜a D． 变式1．（25-26高二下·浙江宁波·期中）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 变式2．（2026·天津河西·二模）设，，，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 变式3．（2026·山东聊城·二模）已知正数满足，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 变式4．（2026·江西·二模）已知函数，若，，，则（   ） A． B． C． D． 考点三 函数图像问题 例1．（25-26高二下·江西九江·期中）函数的大致图象是（   ） A．B． C． D． 例2．（2026·天津河西·二模）已知函数的部分图象如下图所示，则的解析式可能为（   ） A． B． C． D． 例3．（2026·陕西榆林·模拟预测）函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 变式1．（2026·天津东丽·一模）函数大致图象可能是（    ） A． B． C． D． 变式2．（2026·青海西宁·二模）将函数的图象向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到函数的图象，则的大致图象为（   ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高二下·河北邢台·月考）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 2 学科网（北京）股份有限公司 $