湖南常德市临澧县第一中学2026届高三数学解答题专项练习（解析几何）

**基本信息** 聚焦解析几何核心曲线，以定义应用、代数运算、几何性质为方法主线，构建从方程求解到综合证明的知识逻辑链，培养数学思维与表达能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |抛物线|题1、7|定义法求方程、导数求切线、参数法证定点|焦点-准线关系→方程构建→几何性质应用| |双曲线|题3、5|点差法求斜率、向量证垂直、定值问题参数化|渐近线-离心率→中点弦→存在性证明| |椭圆|题6|相似定义应用、韦达定理求中点、斜率积定值推导|特征三角形→相似比→轨迹方程| |综合应用|题2、4、8|轨迹定义法、面积范围分类讨论、空间几何投影|曲线组合→轨迹生成→跨维度几何转化|

临澧一中2026届高三数学解答题专项练习（解析几何） 1．在直角坐标系中，抛物线的焦点为，点在抛物线上，若的外接 圆与抛物线的准线相切，且该圆的面积为. (1)求的方程; (2)若点关于直线对称的点在上，求的值. 2．已知曲线由和组成，点，点，点在上. (1)求的取值范围（当与重合时，）； (2)若，求面积的取值范围. 3．已知双曲线：（，）的右顶点，斜率为1的直线交于、两点， 且中点. (1)求双曲线的方程； (2)证明：为直角三角形； (3)经过点且斜率不为零的直线与双曲线的两支分别交于点，.若点是点关于轴的对称点，试问，不论直线的斜率如何变化，直线是否过定点?若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，说明理由. 4．已知动点满足关系式. (1)求动点的轨迹方程； (2)设动点的轨迹为曲线，抛物线的焦点为，过上一点作的两条切线，切点分别为，弦的中点为，平行于的直线与相切于点. ①证明：三点共线； ②当直线与有两个交点时，求的取值范围. 5．已知双曲线E的方程为，是一个定点． (1)若点M在双曲线E的渐近线上，求E的离心率； (2)若点M在双曲线E上，P，Q是双曲线E上的另外两个动点，O是坐标原点． （i）当M是的重心且直线PQ的斜率为2时，求双曲线E的方程； （ii）当时，求证：存在一个定圆与直线PQ相切． 6．给定一个椭圆，则由椭圆的中心与椭圆短轴的一个端点以及椭圆的一个焦点构成的直角三角形称为椭圆的“特征三角形”. 定义：如果两个椭圆的特征三角形相似，就称这两个椭圆为相似椭圆，其中两个特征三角形的相似比即为两个椭圆的相似比. 已知椭圆与椭圆为相似椭圆. (1)求椭圆的离心率； (2)设椭圆与椭圆的相似比等于. （i）直线与椭圆交于两点，与椭圆交于两点，证明：； （ii）当时，设为椭圆上异于顶点的两个动点，为坐标原点，若坐标平面内满足的动点均在椭圆上，请探究的斜率与的斜率之积是否为定值，若为定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由. 7．将抛物线列记为，其焦点列为，过焦点的直线与抛物线交于，两点，点在x轴上方，点在x轴下方，点O为坐标原点，连接，并延长分别与交于，两点． (1)已知直线的斜率，求直线的斜率； (2)已知直线的倾斜角为，且，记的面积为． （ⅰ）求数列的前n项和； （ⅱ）求所有满足方程的正整数对． 8．已知圆心在坐标原点的圆O与直线相切. (1)求圆O的方程. (2)设点A是圆O与x轴正半轴的交点，点B是圆O与y轴正半轴的交点，点分别是圆O上在第二象限、第一象限的动点，点是点Q关于y轴的对称点. 将圆O的左半部分沿着y轴翻折，使得点分别到达点的位置，记二面角的大小为θ，且.以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系. ①若(翻折前)，且，求二面角的余弦值. ②将线段在平面上的正投影的中点记为点M. （i）证明：点M的轨迹为椭圆的一部分. （ii）若求（i）中椭圆离心率的取值范围. 临澧一中2026届高三数学解答题专项练习（解析几何）参考答案 1．（1）因为的外接圆的面积为，则其半径为， 且外接圆的圆心一定在的垂直平分线上， 其中焦点，准线方程为，所以圆心的横坐标为， 则圆心到准线的距离为，即，所以的方程为. （2）设点关于直线对称的点为， 则两点连线的中点在上，即，化简可得①， 由对称性又可知，和所在直线与垂直，则②， 联立①②可得，，解得，所以， 又因为在抛物线上，则，即， 即， 即，即，所以， 其中时，，所以，所以，即. 2．（1）注意到是椭圆的左右焦点，且是圆与轴的交点， 当点在轴的右侧时，由椭圆的定义可得； 当点不在轴的右侧时，设，则， 因为，所以，所以， 综上所述，； （2）记的面积为，当两点在半椭圆上时（不含轴），设， 联立，则有，故， 同理可得，故， 令，则，则， 由，得，所以，所以； 当两点都在半圆上时，，则； 当一点在半圆上一点在半椭圆上时（不含轴），由对称性，可设点在半椭圆上，则， 故， 由，可得，所以，所以； 当一点在轴上一点在半椭圆上时，由对称性，可设点是曲线与轴的交点， 则点为椭圆的右顶点，则，， 综上所述，面积的取值范围为. 3．（1）设，，则，，∵，两点在双曲线上， ∴，由①－②得，即，∴， ∴，即，∴，又∵，∴， ∴：； （2）由已知可得，直线的方程为：，即， 联立，，则，， ∵ ， ∴，∴为直角三角形； （3）设方程为，，联立直线与的方程，消去得， 因为直线与的两支分别交于点，，设，， 所以，得， 则，，， 因为，所以直线的方程为， 由对称性可知，若直线过定点，则定点在轴上， 在直线的方程中，令， 得 所以直线过定点，定点坐标为. 4．（1）设，则即 ， 所以由双曲线定义可知动点的轨迹是以为焦点的双曲线的下支， 且，所以动点的轨迹方程为. （2）①证明：由（1）曲线:,， 设，对函数求导得， 所以两切线方程为：，即， 又切线过点P，所以，即满足， 即满足方程，所以， 设， 则由， 所以，即三点在直线上，即三点共线； ②因为，所以直线的方程为，即， 联立，消去得，由题意知方程有两个不等的负根. 所以，解得，所以. 5．（1）E的渐近线方程为，若点M在E的渐近线上，则，所以； （2）设P，Q的坐标分别为，，因为点M在双曲线E上，所以， （i）因为P，Q在双曲线E上，所以， 作差可得，即， 因为M是的重心，所以，即，， 又因为直线PQ的斜率为2，所以，即， 代入解得，所以双曲线E的方程为； （ii）因为，直线PQ不可能垂直于y轴，所以设直线PQ的方程为， 代入，化简得， 所以， 因为，所以，即， 即，化简得， 所以原点到直线PQ的距离，存在定圆与直线PQ相切. 6.（1）由已知得，椭圆的长半轴长为2，短半轴长为，半焦距为1，设椭圆的半焦距为， 由相似椭圆定义知，. 所以椭圆的离心率为. （2）（i）由椭圆与的相似比知，.所以：. 由. 设中点为则 ，即点. 由，同理中点为. 从而线段与线段中点重合，故. （ii）当时，椭圆的方程为：. 设， 由得， 即点的坐标为. 又点在椭圆上，所以，即， 所以.（※） 又在椭圆上，所以有， 从而（※）式化为. 又，所以. 由题设知，，所以，即. 从而知，的斜率与的斜率之积，为定值. 7.（1）抛物线的焦点，直线过，斜率为，则方程为， 由，得，解得，，故，， 直线的方程为，直线的方程为， 分别与联立可得，，所以， 的斜率． （2）（ⅰ）由（1）知直线与的斜率相等， ∵直线的倾斜角为，∴直线的倾斜角为，且， 由抛物线的定义知，，∴， 又点到直线的距离， ∴，∴， ∴， ∴， ∴． （ⅱ）方程，可化为，即， 左边是2的幂，所以右边也要是2的幂，设，，其中，且， 所以，，即， 要使等式成立，只能，，∴，， 由，，得，， 所以，满足方程的正整数对只有一个为． 8．（1）由题意知 ，所以圆的方程为. （2）①如图，由题意得,则. 设平面的法向量为，则，令，则； 设平面的法向量为，则，令，则. 设二面角的平面角为，由图可知为锐角，则. ②（i）设,的坐标为， 则在平面的正投影的坐标为， 在平面的正投影的坐标为, 线段在平面上的正投影的中点的坐标为， 所以，即. 由题意知，故，化简得， 所以点M的轨迹为椭圆的一部分. （ii）由题意得， 因为，所以，. 学科网（北京）股份有限公司 $