精品解析：广东广州协和学校2025-2026学年第二学期期中考试初一年级数学科试题

广州协和学校2025学年第二学期期中考试 初一年级数学科试题 试题说明：本试卷分选择题和非选择题两部分，满分为150分，考试时间为120分钟． 第一部分 选择题 一、选择题（本大题共10小题，共40分，在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的最早形式，下列甲骨文中能用其中一部分平移得到的是（ ） A. B. C. D. 2. 无理数的产生不仅是数学史上的一个重要里程碑，也对整个科学和哲学产生了深远的影响．下列四个数中无理数是（ ） A. B. C. D. 3.14 3. 下列坐标在第四象限的是 （ ） A. B. C. D. 4. 下列方程中，是二元一次方程的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图所示，施工队要从村庄A到公路之间修建一条最短的小路，设计师给出的方案是：过点A作于点B，沿修建小路，则其原理是（ ） A. 两点之间，线段最短 B. 垂线段最短 C. 过一点可以作无数条直线 D. 两点确定一条直线 6. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知平面直角坐标系中有点，过点作直线轴，如果，则点的坐标为（　　） A. 或 B. 或 C. 或 D. 8. 如图，有下列条件能判断直线的有（ ） ①；②；③；④． A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 9. 若关于，的方程组的解满足，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，通过画边长为1的正方形，就能准确地把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为（ ） A. B. C. D. 第二部分 非选择题（共110分） 二、填空题（本大题共6小题，共24分） 11. =_____； =_____． 12. 已知是方程的解，则________． 13. 命题“内错角相等”的题设是________，结论是________． 14. 在平面直角坐标系中，点到y轴的距离为________． 15. 如图，有一块长为、宽为的长方形草坪，其中有三条直道将草坪分为六块，则六块草坪的面积和为________． 16. 如图，将长方形纸片沿折叠（折线交于，交于），点的对应点分别是、，交于，再将四边形沿折叠，点、的对应点分别是、，交于，给出下列结论： ① ② ③若，则 ④ 上述正确的结论是________． 三、解答题（本大题共9小题，共86分） 17. 计算： （1） （2）． 18. 如图，已知． 求证：．请将下面证明过程补充完整： 证明：（已知） （① ） 又（② ） ③ （④ ） （⑤ ） （⑥ ） 19. 解方程； （1） （2） 20. 已知和是某正数的两个平方根，的立方根为，是的小数部分． （1）求的值； （2）求的值． 21. 如图，在平面直角坐标系中，三角形三个顶点的坐标分别是，，，若将三角形向左平移4个单位，向下平移1个单位，得到三角形，点的对应点分别是点． （1）画出三角形； （2）写出点的坐标为： ； ； ； （3）直接写出三角形的面积 ． 22. 如图，直线，相交于点，． （1）若，试判断与的位置关系，并说明理由； （2）若，求的度数． 23. 2026马年央视春晚中，字树科技的机器人（武）展示了单腿连续后空翻、托马斯全旋等高难度动作，是本届春晚科技与文化融合的巅峰之作．随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率．拟购买两种型号智能机器人进行快递分拣．若买1台A型机器人、3台B型机器人，共需260万元；若买3台A型机器人、2台B型机器人，共需360万元． （1）求两种型号智能机器人的单价． （2）该企业现计划用960万元采购型和型机器人，两种机器人均要购买且预算必须全部用完．请列出所有可能的购买方案． （3）每台A型机器人每月维护费万元，每台B型机器人每月维护费万元，在（2）的所有方案中，维护费最低的是哪个方案？最低维护费是多少？ 24. 数学活动： 在数学活动课上，陈老师引导同学们探究画平行线的方法，张华通过折纸得出了过点P画直线的平行线的方法，折纸过程如下．①-②-③-④． 张华在任务1的条件下继续探究．他在两点处安装了绚丽的小射灯，灯P射线从开始绕点顺时针旋转至后立即回转，灯射线从开始绕点顺时针旋转至后立即回转两灯不停旋转交叉照射，且灯P，灯Q转动的速度分别是/秒，/秒，若灯P射线转动20秒后，灯射线开始转动．在灯射线第一次到达之前，当灯转动秒时，灯射线转动到如图的位置． 张华按照上面要求转动灯、灯过程中，发现当取某个值时，两灯的光束可以互相平行． 问题解决： （1）任务1： 通过上述的折纸过程，图②的折痕与直线的位置关系是 ．如图． ．则与的位置关系为 ． （2）任务2： ①用含的式子表示 ， ②当时，两条射线的夹角为 ． （3）任务3： 灯射线第一次到达之前，求满足条件的的所有值并说明理由． 25. 在平面直角坐标系中，满足 （1）请直接写出点的坐标； （2）如图1，点在线段上，点从点出发沿轴负方向平移，线段轴，． ①当线段最短时，则的面积是 ； ②点在运动过程中，探究，，之间的关系，画出图形，直接写出结论； （3）点，点在线段上，设四边形面积为，三角形面积为．若成立，请求出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广州协和学校2025学年第二学期期中考试 初一年级数学科试题 试题说明：本试卷分选择题和非选择题两部分，满分为150分，考试时间为120分钟． 第一部分 选择题 一、选择题（本大题共10小题，共40分，在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的最早形式，下列甲骨文中能用其中一部分平移得到的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平移的性质，平移只改变位置，不改变大小，方向和形状，据此求解即可． 【详解】解：由平移的不变性可知，四个图形中只有D选项中的图形是经过平移得到的． 故选：D． 2. 无理数的产生不仅是数学史上的一个重要里程碑，也对整个科学和哲学产生了深远的影响．下列四个数中无理数是（ ） A. B. C. D. 3.14 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了无理数，求一个数的算术平方根以及立方根，先求出算术平方根以及立方根，再根据无理数的定义判断即可． 【详解】解：．，3是有理数，故该选项不符合题意； ．，2是有理数，故该选项不符合题意； ．是无理数，故该选项符合题意； ．3.14是有限小数，是有理数，故该选项不符合题意； 故选：C． 3. 下列坐标在第四象限的是 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中各个象限的点的坐标的符号特点，用到的知识点为：点在第四象限内，那么横坐标大于0，纵坐标小于0．根据第四象限点的坐标特点，横坐标为正，纵坐标为负即可得出答案． 【详解】解：第四象限点的坐标特点为横坐标为正，纵坐标为负， 只有选项D符合条件， 故选：D． 4. 下列方程中，是二元一次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的定义．二元一次方程需满足两个条件：含有两个未知数，且未知数的次数均为1，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、，只有一个未知数x，且x的最高次数为2，故该选项不符合题意； B、，简化得 ，只有一个未知数x，是一元一次方程，故该选项不符合题意； C、，含有两个未知数x和y，且次数均为1，是二元一次方程，故该选项符合题意； D、，含有两个未知数，但的次数不为1，故该选项不符合题意； 故选：C． 5. 如图所示，施工队要从村庄A到公路之间修建一条最短的小路，设计师给出的方案是：过点A作于点B，沿修建小路，则其原理是（ ） A. 两点之间，线段最短 B. 垂线段最短 C. 过一点可以作无数条直线 D. 两点确定一条直线 【答案】B 【解析】 【分析】根据垂线段的性质：垂线段最短，进行判断即可． 【详解】解：从直线外一点到这条直线上各点所连线段中，垂线段最短， ∴过点A作于点B，这样做的理由是：垂线段最短． 故选：B． 【点睛】本题考查了垂线段的性质，从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段． 6. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将变形为，结合已知等式即可求解． 【详解】已知， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查立方根的应用，解题关键是借助已知等式求解． 7. 已知平面直角坐标系中有点，过点作直线轴，如果，则点的坐标为（　　） A. 或 B. 或 C. 或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形的性质，与y轴平行的线上的点，横坐标相同，解题的关键在于分两种情况讨论．过点A作直线轴，那么点B可能在A点上方，也可能在A点下方，即点A与点B的横坐标相同，根据，把点A纵坐标加3或者减3，写出点B坐标即可． 【详解】解：如图，过点A作直线轴， ∵，， ∴点B坐标为或． 故选：A 8. 如图，有下列条件能判断直线的有（ ） ①；②；③；④． A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】依据平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，对各个条件进行逐一分析即可． 【详解】解：①，且与互为内错角，，故①符合题意； ②，且与互为同旁内角，，故②符合题意； 根据邻补角互补可知，，，又与互为同位角，，故③符合题意； ④与分别是两条不同截线与直线、形成的角，无法判断，故④不符合题意； 综上所述，能判断直线的有3个． 9. 若关于，的方程组的解满足，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的特殊解法，利用二元一次方程组的解求参数，解题的关键是熟练掌握二元一次方程组的求解． 通过将两个方程相加，得到关于的表达式，再结合已知条件直接求解的值． 【详解】解： ① + ②得： 即： 两边同时除以6，得： 将，代入上式得：， 解得：， 故选：D． 10. 如图，通过画边长为1的正方形，就能准确地把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据数轴和题意求得、、、，以此规律即可解答． 【详解】解：由题意可得，则表示的数为， ， 表示的数为3， ， 同理：，，， …… ，即选项A符合题意． 第二部分 非选择题（共110分） 二、填空题（本大题共6小题，共24分） 11. =_____； =_____． 【答案】 ①. 3 ②. -4 【解析】 【分析】分别利用算术平方根及立方根的性质即可求解． 【详解】=3；=﹣4． 故答案为3，﹣4． 【点睛】此题主要考查了立方根、算术平方根的定义，解题关键是能够掌握它们的区别与联系． 12. 已知是方程的解，则________． 【答案】7 【解析】 【分析】把的值分别代入方程计算即可求出的值． 【详解】把代入， 解得：． 故答案为：7． 【点睛】本题考查的是二元一次方程的解，方程的解是能使方程左右两边相等的未知数的值． 13. 命题“内错角相等”的题设是________，结论是________． 【答案】 ①. 如果两个角是内错角 ②. 那么这两个角相等 【解析】 【分析】根据命题的构成，题设是内错角，结论是这两个角相等，即可得到答案． 【详解】解：根据题意得： 命题“内错角相等”的题设是如果两个角是内错角，结论是那么这两个角相等， 故答案为：如果两个角是内错角，那么这两个角相等． 【点睛】本题考查了命题与定理，根据命题的构成准确确定出题设与结论是解题的关键． 14. 在平面直角坐标系中，点到y轴的距离为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了点到y轴的距离，一点到y轴的距离为该点横坐标的绝对值，据此求解即可． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点到y轴的距离为， 故答案为：． 15. 如图，有一块长为、宽为的长方形草坪，其中有三条直道将草坪分为六块，则六块草坪的面积和为________． 【答案】880 【解析】 【分析】本题考查了生活中的平移现象，解题的关键是求出草坪总面积的计算方法． 草坪的面积等于矩形的面积减去3条路的面积再加上重合部分的面积，由此计算即可． 【详解】解：由图知，草坪的面积矩形的面积3条路的面积重合部分的面积， 则六块草坪的总面积是：， 故答案为：880． 16. 如图，将长方形纸片沿折叠（折线交于，交于），点的对应点分别是、，交于，再将四边形沿折叠，点、的对应点分别是、，交于，给出下列结论： ① ② ③若，则 ④ 上述正确的结论是________． 【答案】②③④ 【解析】 【分析】由折叠性质得到，根据平行线性质得到，再由三角形外角性质确定，设，则，只有当时结论①才成立；由，得到，结合折叠性质求证即可得到②正确；在①的求证过程中可知，设，则，从而由折叠性质表示出角度关系列方程求解即可得到③正确；在①的证明过程中，结合外角性质即可得到④正确；从而得到答案． 【详解】解：由折叠性质得， ， ， ，则， 是的一个外角， ， 设，则， 当时，， 题中并未明确的度数，故①错误； ， ， 由折叠性质可知，则，故②正确； 由折叠性质得， 由①的证明过程可知，， 设，则， ， ， ，解得，即，故③正确； 由①知， 是的一个外角， ，故④正确； 综上所述，题中正确的结论是②③④， 故答案为：②③④． 【点睛】本题考查折叠求角度关系，涉及折叠性质、邻补角定义、三角形外角性质、平行线性质等知识，数形结合，利用相关几何性质准确表示出各个角度之间的关系是解决问题的关键． 三、解答题（本大题共9小题，共86分） 17. 计算： （1） （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据，求解即可； （2）根据，求解即可． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：原式； 18. 如图，已知． 求证：．请将下面证明过程补充完整： 证明：（已知） （① ） 又（② ） ③ （④ ） （⑤ ） （⑥ ） 【答案】①两直线平行，同旁内角互补；②已知③④同角的补角相等⑤内错角相等，两直线平行⑥两直线平行，同位角相等 【解析】 【分析】根据平行线的判定和性质，补角的性质求解即可； 【详解】证明：（已知） （①两直线平行，同旁内角互补） 又（②已知） ③（④同角的补角相等） （⑤内错角相等，两直线平行） （⑥两直线平行，同位角相等） 19. 解方程； （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用平方根求解即可； （2）用加减消元法求解即可； 【小问1详解】 解：， 故， 故， 解得； 【小问2详解】 解： 得， 解得； 把代入①解得，， 故方程组的解为． 20. 已知和是某正数的两个平方根，的立方根为，是的小数部分． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据平方根的定义求解即可； （2）分别求出代入代数式求解即可. 【小问1详解】 解：∵和是某正数的两个平方根， ∴， 解得：， ∴； 【小问2详解】 解：∵的立方根为， ∴， 即：， ∵ ∴， 即：， 当时， . 21. 如图，在平面直角坐标系中，三角形三个顶点的坐标分别是，，，若将三角形向左平移4个单位，向下平移1个单位，得到三角形，点的对应点分别是点． （1）画出三角形； （2）写出点的坐标为： ； ； ； （3）直接写出三角形的面积 ． 【答案】（1）图见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了平移作图、点坐标的平移变换、利用网格求三角形的面积，熟练掌握平移作图的方法是解题关键． （1）先根据平移的性质画出点，再顺次连接即可得； （2）根据点坐标的平移变换规律即可得； （3）利用一个长方形的面积减去三个小直角三角形的面积即可得． 【小问1详解】 解：如图，三角形即为所求． ． 【小问2详解】 解：∵将三角形向左平移4个单位，向下平移1个单位，得到三角形，点，，的对应点分别是点， ∴，，， 即， 故答案为：． 【小问3详解】 解：三角形的面积为， 故答案为：． 22. 如图，直线，相交于点，． （1）若，试判断与的位置关系，并说明理由； （2）若，求的度数． 【答案】（1）ON与CD互相垂直，理由见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由得，再等量代换得，从而得解； （2）利用，得到，继而求得，继而求出. 【小问1详解】 解：与互相垂直.理由如下： 因为 所以 所以 又因为 所以 即 所以 【小问2详解】 因为， 所以 所以 所以 【点睛】主要考查了垂直定义，关键是掌握垂线的定义当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线． 23. 2026马年央视春晚中，字树科技的机器人（武）展示了单腿连续后空翻、托马斯全旋等高难度动作，是本届春晚科技与文化融合的巅峰之作．随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率．拟购买两种型号智能机器人进行快递分拣．若买1台A型机器人、3台B型机器人，共需260万元；若买3台A型机器人、2台B型机器人，共需360万元． （1）求两种型号智能机器人的单价． （2）该企业现计划用960万元采购型和型机器人，两种机器人均要购买且预算必须全部用完．请列出所有可能的购买方案． （3）每台A型机器人每月维护费万元，每台B型机器人每月维护费万元，在（2）的所有方案中，维护费最低的是哪个方案？最低维护费是多少？ 【答案】（1）A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元 （2）方案1：购买9台A型智能机器人，4台B型智能机器人；方案2：购买6台A型智能机器人，8台B型智能机器人；方案3：购买3台A型智能机器人，12台B型智能机器人 （3）方案3维护费最低，最低维护费是万元 【解析】 【分析】（1）设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元， 根据题意，得：，解答即可； （2）设购买m台A型智能机器人，n台B型智能机器人,根据题意，得，且m，n均为正整数，求得方程的整数解即可； ． （3）计算比较解答即可； 【小问1详解】 解：设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元， 根据题意，得：， 解得：． 答：A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元； 【小问2详解】 解：设购买m台A型智能机器人，n台B型智能机器人, 根据题意，得，且m，n均为正整数， 故方程的整数解为，，， 故一共有3种购买方案，方案1：购买9台A型智能机器人，4台B型智能机器人； 方案2：购买6台A型智能机器人，8台B型智能机器人； 方案3：购买3台A型智能机器人，12台B型智能机器人； 【小问3详解】 解：每台A型机器人每月维护费万元，每台B型机器人每月维护费万元， 方案1的维护费：（万元）； 方案2的维护费：（万元）； 方案3的维护费：（万元）； 故方案3维护费最低，最低维护费是万元； 24. 数学活动： 在数学活动课上，陈老师引导同学们探究画平行线的方法，张华通过折纸得出了过点P画直线的平行线的方法，折纸过程如下．①-②-③-④． 张华在任务1的条件下继续探究．他在两点处安装了绚丽的小射灯，灯P射线从开始绕点顺时针旋转至后立即回转，灯射线从开始绕点顺时针旋转至后立即回转两灯不停旋转交叉照射，且灯P，灯Q转动的速度分别是/秒，/秒，若灯P射线转动20秒后，灯射线开始转动．在灯射线第一次到达之前，当灯转动秒时，灯射线转动到如图的位置． 张华按照上面要求转动灯、灯过程中，发现当取某个值时，两灯的光束可以互相平行． 问题解决： （1）任务1： 通过上述的折纸过程，图②的折痕与直线的位置关系是 ．如图． ．则与的位置关系为 ． （2）任务2： ①用含的式子表示 ， ②当时，两条射线的夹角为 ． （3）任务3： 灯射线第一次到达之前，求满足条件的的所有值并说明理由． 【答案】（1）垂直，， （2）① ；② （3）10秒或85秒或130秒 【解析】 【分析】（1）根据折叠性质及平行线判定即可得到本题答案； （2）①先求出灯转动20秒后度数为，灯转动秒时，此时灯P又转过的角度为， 继而得出本题答案； ②先计算，灯Q转过的角度为，故，利用平行线的性质，三角形内角和，即可求出两条射线的夹角． （3）设灯转动秒，两灯的光束互相平行，分情况讨论即可得到本题答案． 【小问1详解】 解：根据折叠的性质，，且， 故， 故折痕与直线的位置关系是垂直； 因为， 故， 根据折叠的性质，得，且， 故， 故， 故； 【小问2详解】 ①解：灯P射线从开始绕点顺时针旋转至后立即回转，灯射线从开始绕点顺时针旋转至后立即回转两灯不停旋转交叉照射，且灯P，灯Q转动的速度分别是/秒，/秒，且灯P射线转动20秒后，灯射线开始转动． 此时灯P转过的角度为，当灯转动秒时，灯射线转动到如图的位置， 此时灯P又转过的角度为， 故； ②当时，，灯Q转过的角度为， 故， ， ， ， 设两条射线的夹角为， 则． 【小问3详解】 解：根据题意，灯射线第一次到达之前，两个灯线互相平行， 故， 当时，如图，此时，， ， ， ， ， ， 解得； 当时，如图，此时，， ， ， ， ， ， 解得； 当时，如图， ， ， ， ， ， ， ， 解得； 综上所述，当t为10秒或85秒或130秒时，两灯的光束互相平行； 25. 在平面直角坐标系中，满足 （1）请直接写出点的坐标； （2）如图1，点在线段上，点从点出发沿轴负方向平移，线段轴，． ①当线段最短时，则的面积是 ； ②点在运动过程中，探究，，之间的关系，画出图形，直接写出结论； （3）点，点在线段上，设四边形面积为，三角形面积为．若成立，请求出的取值范围． 【答案】（1） （2）①，②或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据非负数的性质求出的值，然后写出点的坐标即可； （2）①由垂线段最短可知，当时，最短，据此求解即可；②根据平行线的性质求解即可； （3）过点作轴于点，过作于，根据求出的取值，进而求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 解得：， ∴； 【小问2详解】 解：①当时，最短， 如图，设与轴交于， ∵轴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ②如图， 当点在轴右侧时， ∵ 轴， ∴， ∵， ∴轴， ∴， ∴， ∵， ∴，即：； 如图，当点在轴左侧时， ∵ 轴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即：； 综上，或； 【小问3详解】 解：过点作轴于点，过作于， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点在线段上，， ∴，， ∴， 当时，，即：， 解得：， ∴， 当时，，即：， 解得：（舍）， ∴， ∵点在线段上， ∴. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $