精品解析：广东广州市铁一中学2025--2026学年第二学期七年级数学期中考试试卷

广州市铁一中学2025学年第二学期初一数学期中考试试卷 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列各数中，属于无理数的是（） A. B. C. 3.14159 D. 2. 的平方根是（ ） A. B. C. D. 3. 将点向右平移个单位得到点，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 在两千多年前我们祖先就运用杠杆原理发明了木杆秤，如图，这是在称物时的状态，已知，则的度数是（　　） A. 130° B. 110° C. 70° D. 20° 5. 已知，是关于x，y的方程的解．则a的值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 6. 下列命题中，正确的是（ ） A. 若两条直线被第三条直线截，则同位角相等 B. 两个锐角的和是钝角 C. 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也平行 D. 从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离 7. 在平面直角坐标系中，点，，且平行于轴，则的值是（ ） A. B. C. D. 8. 如图为小颖在试鞋镜前的光路图，入射光线经平面镜后反射入眼，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在大长方形中放置10个形状、大小都相同的小长方形，大长方形的周长为36，小长方形的长比宽多4．设小长方形的长为x，宽为y，则下列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，，则与的数量关系是( ) A. B. C. D. 二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分） 11. 比较大小：2____，_____3． 12. 的平方根是 _____；﹣27的立方根是 _____． 13. 如图，直线，相交于点O，，若，则的大小为______． 14. 点在第二象限，且，，则点P的坐标为_____． 15. 将沿直线平移至，其中点与点，点与点，点与点对应．若，则______． 16. 在平面直角坐标系中，一只蚂蚁从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向不断移动，每次移动1个单位长度，其移动路线如图所示．则连续移动2026次后，到达的点的坐标为____． 三、解答题（共9小题，共86分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 解二元一次方程组： 19. 如图，在中，点E、点G分别是边、上的点，点F、点D是边上的点，连接、和，，若． （1）求证； （2）若是的角平分线，，求的度数． （1）如图，∵ ∴________（ ） ∵， ∴_______________ ∴（ ） 20. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，．将向右平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到，其中点分别为点A、B、C的对应点． （1）请在所给坐标系中画出； （2）若边上一点经过上述平移后的对应点为，用含x、y的式子表示点的坐标为______； （3）计算的面积； 21. 根据下表回答下列问题： x 10 10.1 10.2 10.3 10.4 10.5 10.6 10.7 10.8 10.9 100 102.01 104.04 106.09 108.16 110.25 112.36 114.49 116.64 118.81 （1）112.36的算术平方根是_____，118.81的平方根是____； （2）若介于10.3与10.5之间，求满足条件的正整数a； （3）物体自由下落的时间t（单位：）与下落高度h（单位：）之间的关系是．现有一个物体从高空自由下落，则该物体到达地面大概需要多少时间？（结果精确到） 22. 小李准备租车把一批梨子运往外地去销售，经租车公司负责人介绍，用2辆甲型车和3辆乙型车装满梨子一次可运货17吨；用3辆甲型车和4辆乙型车装满梨子一次可运货24吨．根据以上信息，解答下列问题： （1）1辆甲型车和1辆乙型车都装满梨子一次可分别运货多少吨？ （2）现有30吨梨子，小李计划同时租用甲型车m辆，乙型车n辆（m，n均为正整数），一次运完，且恰好每辆车都装满梨子，请你帮他设计共有哪几种租车方案？ 23. 在平面直角坐标系中，已知点，，，且． （1）求a，b的值； （2）在y轴上是否存在一点M，使得的面积等于面积的一半？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 24. 【数学活动回顾】七年级下册教材中我们探究过“以方程的解为坐标（的值为横坐标，的值为纵坐标）的点的特性”，了解了二元一次方程的解与它的图象上点的坐标的关系． 规定：以方程的解为坐标的所有点的全体叫做方程的图象． 结论：一般地，在平面直角坐标系中，任何一个二元一次方程的图象都是一条直线．示例：如图1，我们在画方程的图象时，可以取点和作出直线． （1）【解决问题】请在图2所给的平面直角坐标系中画出二元一次方程组中的两个二元一次方程的图象．观察所画的图象，则两条直线的交点坐标是______． （2）【拓展延伸】①在同一平面直角坐标系中，二元一次方程的图象和的图像如图3所示，且，请根据图象，直接判断方程组的解的情况是____．（填“有解”或“无解”） ②已知点，在二元一次方程的图象上，求，的值． ③在②的条件下，以关于、的方程组的解为坐标的点在方程的图象上，当时，化简：． 25. 厦门市跨年晚会的无人机激光秀表演广受欢迎，如图1，无人机A在直线上，无人机B在直线上，且，其中．现从A发射一道激光射线，从B发射一道激光射线． （1）当平分，平分时，求与的数量关系； （2）若射线与射线均在直线与之间，且与交于点P（P不在线段上），请求出、与的数量关系并说明理由； （3）若，射线与射线同时从，出发，射线以每秒的速度绕点A逆时针转动，射线以每秒的速度绕点B顺时针转动到后立即以原速回转至，当射线转动到时，与同时停止转动．设运动时间为t秒，在这个过程中，是否存在t使得，若存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广州市铁一中学2025学年第二学期初一数学期中考试试卷 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列各数中，属于无理数的是（） A. B. C. 3.14159 D. 【答案】B 【解析】 【分析】无限不循环小数是无理数，先化简各选项再根据定义判断即可． 【详解】解：A选项：，2是整数，属于有理数； B选项：是无限不循环小数，属于无理数； C选项：是有限小数，属于有理数； D选项：，7是整数，属于有理数． 2. 的平方根是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】正数的平方根有两个且互为相反数，根据定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 3. 将点向右平移个单位得到点，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据点的坐标平移规律：“横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减”解答即可求解． 【详解】解：将点向右平移个单位，横坐标加，纵坐标不变，即 ， ∴点的坐标为． 4. 在两千多年前我们祖先就运用杠杆原理发明了木杆秤，如图，这是在称物时的状态，已知，则的度数是（　　） A. 130° B. 110° C. 70° D. 20° 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，根据两直线平行同位角相等以及邻补角的定义，即可求解． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∴ 故选：B． 5. 已知，是关于x，y的方程的解．则a的值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】把，代入原方程，得到关于的方程，求解即可． 【详解】解：，是关于x，y的方程的解， ， 解得． 6. 下列命题中，正确的是（ ） A. 若两条直线被第三条直线截，则同位角相等 B. 两个锐角的和是钝角 C. 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也平行 D. 从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离 【答案】C 【解析】 【分析】本题根据平行线性质，角的分类，平行公理推论，点到直线距离的定义，逐一判断命题正误即可得到结果． 【详解】解：A选项：∵只有两条平行直线被第三条直线所截，同位角才相等，∴A错误； B选项：若两个锐角分别为和，和为，仍是锐角，∴两个锐角的和不一定是钝角，∴B错误； C选项：由平行公理的推论可知，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，∴C正确； D选项：∵从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，才叫做这点到这条直线的距离，∴D错误． 7. 在平面直角坐标系中，点，，且平行于轴，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行于轴的直线上的点的纵坐标相等，即可得解． 【详解】解：平行于轴，点，， ． 8. 如图为小颖在试鞋镜前的光路图，入射光线经平面镜后反射入眼，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用平行线的性质得到，进而可求得，再结合物理知识求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 由反射角等于入射角得， ∴． 9. 如图，在大长方形中放置10个形状、大小都相同的小长方形，大长方形的周长为36，小长方形的长比宽多4．设小长方形的长为x，宽为y，则下列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查根据实际问题列二元一次方程组，关键是从图中提取大长方形的长和宽与小长方形长、宽的等量关系，结合周长公式和长、宽的差列出方程组．首先，由“小长方形的长比宽多4”可直接得到；其次，大长方形周长为，根据长方形周长公式可知长与宽的和为，从图中可分析出大长方形的长与宽之和为，从而得到，进而确定正确方程组． 【详解】解：根据题意，小长方形的长比宽多4，故有； 大长方形的周长为，可得长与宽的和为； 从图中可分析出大长方形的长与宽之和为，因此； 综上，可列方程组为． 故选：D． 10. 如图，，则与的数量关系是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，关键是熟练掌握平行线的性质，注意整体思想的运用．过点作，令与交于点，先设角，利用平行线的性质表示出待求角，再利用整体思想即可求解． 【详解】解：设 则，，， 过点作，令与交于点， ∵， ∴， ∴，，， ∴ ； ； ∴ 故选：D． 二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分） 11. 比较大小：2____，_____3． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】可通过乘方去掉根号后，再比较大小，即可得到结果． 【详解】解：比较与， 两数同时平方，得，， ， . 比较与， 两数同时三次方，得，， ， ． 12. 的平方根是 _____；﹣27的立方根是 _____． 【答案】 ①. ±3， ②. -3 【解析】 【分析】根据平方根和立方根的概念求解． 【详解】∵=9， ∴的平方根是，﹣27的立方根是-3． 故答案是：，-3． 【点睛】考查的是实数的运算，熟知算术平方根及立方根的定义是解答此题的关键． 13. 如图，直线，相交于点O，，若，则的大小为______． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵， ∴， ， ， ． 14. 点在第二象限，且，，则点P的坐标为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据绝对值的定义和有理数的乘方得到的值，再根据点在第二象限，得到的正负，即可解答． 【详解】解：，， ，， 点在第二象限， ， ， 点P的坐标为 15. 将沿直线平移至，其中点与点，点与点，点与点对应．若，则______． 【答案】##135度 【解析】 【分析】利用平移的性质得到，再根据邻补角的性质解答即可求解． 【详解】解：如图， 由平移的性质可得，， ∵沿直线平移， ∴三点共线，与互为邻补角， ． 16. 在平面直角坐标系中，一只蚂蚁从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向不断移动，每次移动1个单位长度，其移动路线如图所示．则连续移动2026次后，到达的点的坐标为____． 【答案】 【解析】 【分析】根据平移规律，总结出点的坐标为，由此先求出点的坐标，再根据规律推导出点的坐标． 【详解】解：由图可知，，，…都在x轴上，蚂蚁每次移动1个单位， ∴，，， ∴点的坐标为， ∴点的坐标为， ． 三、解答题（共9小题，共86分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 解二元一次方程组： 【答案】 【解析】 【分析】先整理方程组为，再运用加减消元法进行解方程，即可作答． 【详解】解：， 整理得， ，得， 解得， 把代入，得， 解得， ∴方程组的解为． 19. 如图，在中，点E、点G分别是边、上的点，点F、点D是边上的点，连接、和，，若． （1）求证； （2）若是的角平分线，，求的度数． （1）如图，∵ ∴________（ ） ∵， ∴_______________ ∴（ ） 【答案】（1），两直线平行，内错角相等，，，同旁内角互补，两直线平行 （2） 【解析】 【分析】（1）因为，所以可利用平行线的性质得到一组相等的角，这是解题突破口．因为已知，将上述相等的角进行等量代换，可得到关于和另一角的互补关系．如果得到同旁内角互补，那么根据平行线的判定定理可证明． （2）因为已知的度数，结合（1）中的结论，可利用平行线的性质得到相关角的度数．因为是的平分线，所以可利用角平分线的定义得到一组相等的角．因为，可再次利用平行线的性质得到角的关系，进而结合前面的结论求出的度数． 【小问1详解】 如图，∵， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∵， ∴， ∴（同旁内角互补，两直线平行）； 【小问2详解】 ∵，， ∴， ∵是的角平分线， ∴． ∵， ∴． 20. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，．将向右平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到，其中点分别为点A、B、C的对应点． （1）请在所给坐标系中画出； （2）若边上一点经过上述平移后的对应点为，用含x、y的式子表示点的坐标为______； （3）计算的面积； 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了作图——平移变换，平移的性质，割补法求三角形面积，掌握平移变换的坐标规律是解题关键． （1）根据平移的性质确定点A、B、C的对应点的坐标，再依次连接即可； （2）根据向右平移5个单位长度，横坐标，向下平移4个单位长度，纵坐标，即可求解； （3）利用割补法求三角形面积即可； 【小问1详解】 解：如图，即为所求作； 【小问2详解】 解：边上一点经过上述平移后的对应点为， 点的坐标为， 故答案为： 【小问3详解】 解：的面积． 21. 根据下表回答下列问题： x 10 10.1 10.2 10.3 10.4 10.5 10.6 10.7 10.8 10.9 100 102.01 104.04 106.09 108.16 110.25 112.36 114.49 116.64 118.81 （1）112.36的算术平方根是_____，118.81的平方根是____； （2）若介于10.3与10.5之间，求满足条件的正整数a； （3）物体自由下落的时间t（单位：）与下落高度h（单位：）之间的关系是．现有一个物体从高空自由下落，则该物体到达地面大概需要多少时间？（结果精确到） 【答案】（1）； （2）或或或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据表格即可解答； （2）根据表格得到对应的的取值范围，即可解答； （3）将代入题中的式子，对比表格即可解答． 【小问1详解】 解：根据表格可得112.36的算术平方根是，118.81的平方根是； 【小问2详解】 解：， ， 正整数a的值为或或或； 【小问3详解】 解：将代入可得， 根据表格可得， 答：该物体到达地面大概需要． 22. 小李准备租车把一批梨子运往外地去销售，经租车公司负责人介绍，用2辆甲型车和3辆乙型车装满梨子一次可运货17吨；用3辆甲型车和4辆乙型车装满梨子一次可运货24吨．根据以上信息，解答下列问题： （1）1辆甲型车和1辆乙型车都装满梨子一次可分别运货多少吨？ （2）现有30吨梨子，小李计划同时租用甲型车m辆，乙型车n辆（m，n均为正整数），一次运完，且恰好每辆车都装满梨子，请你帮他设计共有哪几种租车方案？ 【答案】（1）1辆甲型车装满梨子一次可运货4吨，1辆乙型车装满梨子一次可运货3吨 （2）共有2种租车方案，方案1：租用甲型车3辆，乙型车6辆；方案2：租用甲型车6辆，乙型车2辆 【解析】 【分析】（1）设1辆甲型车装满梨子一次可运货吨，1辆乙型车装满梨子一次可运货吨，根据题意列方程组即可解答； （2）根据题意列二元一次方程，根据m，n均为正整数，即可得到m，n的值． 【小问1详解】 解：设1辆甲型车装满梨子一次可运货吨，1辆乙型车装满梨子一次可运货吨， 根据题意可得， 解得， 答：1辆甲型车装满梨子一次可运货吨，1辆乙型车装满梨子一次可运货吨； 【小问2详解】 解：根据题意可得， 可得， m，n均为正整数， 或， 所以共有2种租车方案， 方案1：租用甲型车3辆，乙型车6辆； 方案2：租用甲型车6辆，乙型车2辆． 23. 在平面直角坐标系中，已知点，，，且． （1）求a，b的值； （2）在y轴上是否存在一点M，使得的面积等于面积的一半？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在，或 【解析】 【分析】（1）根据绝对值和偶次方的非负性即可解答； （2）先计算的面积，可得的面积，利用三角形面积公式，列方程即可解答． 【小问1详解】 解：， ， 解得； 【小问2详解】 解：存在， 根据（1）中结果可得，，， 轴，， ， 设， ， 可得， 或， 或． 24. 【数学活动回顾】七年级下册教材中我们探究过“以方程的解为坐标（的值为横坐标，的值为纵坐标）的点的特性”，了解了二元一次方程的解与它的图象上点的坐标的关系． 规定：以方程的解为坐标的所有点的全体叫做方程的图象． 结论：一般地，在平面直角坐标系中，任何一个二元一次方程的图象都是一条直线．示例：如图1，我们在画方程的图象时，可以取点和作出直线． （1）【解决问题】请在图2所给的平面直角坐标系中画出二元一次方程组中的两个二元一次方程的图象．观察所画的图象，则两条直线的交点坐标是______． （2）【拓展延伸】①在同一平面直角坐标系中，二元一次方程的图象和的图像如图3所示，且，请根据图象，直接判断方程组的解的情况是____．（填“有解”或“无解”） ②已知点，在二元一次方程的图象上，求，的值． ③在②的条件下，以关于、的方程组的解为坐标的点在方程的图象上，当时，化简：． 【答案】（1） （2）①无解 ②， ③ 【解析】 【分析】（1）在平面直角坐标系中画出两个二元一次方程对应的直线，利用坐标系即可看出两条直线的交点坐标； （2）①由图象可知二元一次方程的图象和的图像平行，所以两个方程对应的图象没有交点，所以可以判断方程组没有解； ②把点，的坐标代入二元一次方程，可得关于、的二元一次方程组，解方程组即可求出，的值； ③把方程组的解用含的代数式表示出来，再代入方程中求出的值，根据的值化简代数式即可． 【小问1详解】 解：， 当时，， 当时，， 解得：， 二元一次方程经过点和， 当时，可得：， 解得：， 当时，可得：， 解得：， 二元一次方程经过点和， 在平面直角坐标系中画出图象，如下图所示： 由图象可知，两直线的交点坐标是； 【小问2详解】 ①解：， 二元一次方程的图象和的图像没有交点， 方程组无解； ②解：点，在二元一次方程的图象上， ， 整理可得：， ①②得：， 解得：， 把代入方程①得：， 解得：； ③解：， ①得：， ③②得：， 解得：， 把代入方程②得：， 解得：， 方程组的解为， 由②可知方程为， ， 解得：， ， ，，， ． 25. 厦门市跨年晚会的无人机激光秀表演广受欢迎，如图1，无人机A在直线上，无人机B在直线上，且，其中．现从A发射一道激光射线，从B发射一道激光射线． （1）当平分，平分时，求与的数量关系； （2）若射线与射线均在直线与之间，且与交于点P（P不在线段上），请求出、与的数量关系并说明理由； （3）若，射线与射线同时从，出发，射线以每秒的速度绕点A逆时针转动，射线以每秒的速度绕点B顺时针转动到后立即以原速回转至，当射线转动到时，与同时停止转动．设运动时间为t秒，在这个过程中，是否存在t使得，若存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2），理由见解析 （3）存在，当秒时，，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定和性质，角平分线的定义，列一元一次方程和解方程等知识点，正确掌握相关知识是解题的关键． （1）根据平行线的性质，可得，再根据角平分线的定义，得，，等量代换即可求解； （2）过点P作，根据平行公理的推论，得，再根据平行线的性质，得，，等量代换即可求解； （3）根据题意，易得，，，根据t的取值范围分5种情况讨论，从而用含t的式子表示出和，再根据，列方程，求解判断即可． 【小问1详解】 解： ， 平分，平分， ，， ； 【小问2详解】 结论：，理由如下： 如图，过点P作， 则， ， ， ， ； 【小问3详解】 存在，当秒时，，理由如下： 由题意得：，， ， ， 当时，，， ， ，解得（舍去）； 当时，，， ， ，解得； 当时，，， ， ，解得（舍去）； 当时，，， ， ，解得（舍去）； 当时，，， ， ，解得（舍去）； 综上，在这个过程中，当秒时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $