精品解析：广东茂名市2025-2026学年高一下学期5月期中考试数学试题

2025—2026学年度第二学期期中考试 高一数学 （考试时间：120分钟，总分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知复数，，则（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】∵ ，， ∴ . ∵ ，，∴ . ∴ . ∴ . 2. 为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有点（ ） A. 向右平移个单位长度 B. 向左平移个单位长度 C. 向右平移个单位长度 D. 向左平移个单位长度 【答案】D 【解析】 【详解】∵ 目标函数为，可变形为，此式是将中的替换为得到. ∴ 要得到的图象，只需将的图象上所有点向左平移个单位长度. 3. 在中，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由余弦定理直接计算求解即可. 【详解】由题意得， 又，所以. 故选：A 4. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由，，得， 因为，所以，解得， 所以，则. 5. 已知复数满足，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】设复数，代入方程并分离实部、虚部，根据复数为零的条件列方程组求解，再利用复数模长公式计算. 【详解】设，则， 计算可得， 所以，计算可得， 所以. 6. 已知，，，则在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据投影向量的计算公式计算即可. 【详解】在方向上的投影向量为. 7. 函数（，，）的部分图象如图所示，将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合余弦型函数的图象及性质求出，根据函数的平移变换得到，代入求解即可. 【详解】由图象可知，函数的最大值为2，因为，所以. ，所以. 又，，所以. 所以. 将代入解析式，得，所以， 则，则，又，所以. 因此. 将的图象向右平移个单位长度得到. 所以. 8. 已知是边长为2的等边三角形，AB是圆M的直径，若点P为圆M上一动点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】以的中点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系. ∵ 是圆的直径，且为边长为的等边三角形， ∴ ， 设圆上动点，， ∴ ，， ∴ . ∵ ， ∴ ， 即的取值范围为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 在下列各组向量中，不可以作为基底的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】ACD 【解析】 【详解】若两个向量可以作为基底，则两个向量需为不共线的非零向量. 对选项A，∵ 为零向量，零向量与任意向量共线，∴ 不能作为基底. 对选项B，∵ ，计算得 ，∴ 与不共线，可作为基底. 对选项C，∵ ，计算得 ，∴ 与共线，不能作为基底. 对选项D，∵ ，计算得 ，∴ 与共线，不能作为基底. 综上，不可以作为基底的是ACD. 10. 已知，是复数，则下列说法正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 【答案】ACD 【解析】 【详解】对于A选项：设 ，∵ ，∴ . ∴ . 又∵ ，∴ ，故A正确. 对于B选项：取，，此时，但，故B错误. 对于C选项：∵设 ， ，且，∴ ， ∴ 虚部，即，∴ ，故C正确. 对于D选项：由复数模的运算性质可知，对任意两个复数，均满足，故D正确. 11. 如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在秒时相对于平衡位置的高度厘米由关系式确定，其中，，，小球从最低点出发，经过2秒后，第一次回到最低点，则下列说法中正确的是（    ） A. B. 秒与秒时小球偏离平衡位置的距离之比为2 C. 当时，若小球有且只有三次到达最高点，则 D. 当时，若时刻小球偏离平衡位置的距离相同，则 【答案】B 【解析】 【分析】根据周期求出，代入得到，从而得到函数解析式，即可判断A，代入求值判断B，根据正弦函数的性质判断C，利用特殊值判断D. 【详解】由题，小球运动的周期，又，所以，解得， 当时，，即，，所以， 则，故A错误； 因为，， 所以秒与秒时小球偏离平衡位置的距离之比为，故B正确； 若，则，又当时，小球有且只有三次到达最高点， 所以，解得，即，故C错误； 因为，令，， 则，， 满足且时刻小球偏离平衡位置的距离相同， 此时，故D错误. 故选：B 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设点，，P是直线上一点，当时，点的坐标为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据向量的坐标运算列方程组求解即可. 【详解】设点，则，. 由，得，解得. 所以点的坐标为. 13. 如图，在中，已知弦，则________. 【答案】2 【解析】 【详解】过点作，垂足为，则为的中点， 则. 14. 设，是关于的方程的两个虚数根，若，，2在复平面内对应的点构成直角三角形，则________. 【答案】20 【解析】 【分析】求出方程的虚数根，结合复数的几何意义求出对应点坐标，根据向量垂直的坐标表示求解即可. 【详解】由题意知， ，所以. 解方程，得. 所以，， 在复平面内对应的点为，，点. 若为直角顶点，，， ，解得（不合题意，舍去）. 若为直角顶点，，， ，解得（不合题意，舍去）. 若为直角顶点，，， ，解得，满足. 综上，. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量与的夹角为，且. （1）求的值； （2）求的值； （3）求向量与向量的夹角. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用向量的数量积的定义即可求解； （2）根据题意，利用向量的数量积的运算律，直接计算，即可求解； （3）根据题意，利用向量的夹角公式，直接计算，即可求解. 【小问1详解】 因为向量与的夹角为，且， 则. 【小问2详解】 因为向量与的夹角为，且，且. 可得. 【小问3详解】 设向量与向量的夹角为， 可得， 因为，可得，所以向量与向量的夹角为. 16. 在中，角的对边分别为，已知. （1）求角的大小； （2）若，，求的面积； （3）若，求周长的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理实现边角互化，结合三角形内角的取值范围求解角B. （2）借助余弦定理求出边c的长度，代入三角形面积公式计算即可. （3）利用余弦定理结合基本不等式求的取值上界，结合三角形三边关系确定取值下界，最终得到周长的取值范围. 【小问1详解】 ∵ 在中，由正弦定理得（为外接圆半径）. ∴ ，. 代入得. ∵ ，∴ ， 两边同时约去，得，即. 又∵ ，∴ . 【小问2详解】 ∵ ，，， 由余弦定理得， 代入得， 即，整理得. 解得或（边长为正，舍去）. ∴ 的面积. 【小问3详解】 由余弦定理得， 即. 由基本不等式得，当且仅当时等号成立， ∴ ， ∴ ，即，当且仅当时等号成立. 又∵ 三角形两边之和大于第三边，∴ ， ∴ ， ∴ 的周长. 【点睛】方法归纳：本题考查解三角形的综合应用，涉及正弦定理、余弦定理、三角形面积公式、基本不等式求范围，解题核心是合理进行边角互化，求取值范围时注意结合几何性质限定边界. 17. 已知是虚数，，，且. （1）求的值和的实部的取值范围； （2）求证：为纯虚数； （3）求的最小值. 【答案】（1），的实部. （2）证明见详解. （3）最小值为1. 【解析】 【分析】(1)设出虚数的一般形式表示出，通过的范围推出属于实数，从而求出以及实部范围. (2)代入一般形式到中并利用第一小问的内容化简求证. (3)代入和后化简换元，并利用均值不等式求出其最小值. 【小问1详解】 设，且，则 . 因，得出为实数，那么，. . ，因为，所以，. 【小问2详解】 证:，且(1)得. 因此为纯虚数. 【小问3详解】 由上题得，，，那么. 设，那么 . 其最小值在时取得，即，因为，所以， 因此时取得最小值且最小值为. 18. 图1所示的是一段根据正弦曲线设计安装的过山车轨道，建立平面直角坐标系，如图2，h（单位：）表示在时间t（单位：）时，过山车（看作质点）离地平面的高度，轨道最高点P距离地平面，最低点Q距离地平面，当时，过山车到达最高点P，当时，过山车到达最低点Q，设（，，）. （1）求A，B，，的值； （2）求入口处M离地平面的高度； （3）求一个周期内过山车距离地平面的高度不大于的时长. 【答案】（1），，，； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）根据三角函数的最值求解，结合最高点与最低点的时间间隔求周期，进而求，代入最高点坐标求. （2）将代入函数解析式计算得的高度. （3）建立不等式求解的范围，计算一个周期内符合条件的时长. 【小问1详解】 ∵ 高度最大值为，最小值为， ∴ ，解得，. ∵ 从最高点到最低点的时间间隔为半个周期， ∴ ，即，∴ . ∴ . 将，代入得，即， ∴ .∵ ，∴ . 【小问2详解】 由（1）知， 入口处对应，∴ . 即入口处离地面高度为. 【小问3详解】 令，即，化简得. 函数周期，取一个周期，则. 由，得，即， 解得. ∴ 时长为. 19. 如图，设Ox、Oy是平面内相交成角的两条数轴，、分别是与Ox、Oy正方向同向的单位向量，定义平面坐标系xOy为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记. （1）在仿射坐标系中，若，求； （2）在仿射坐标系中，若，，且与的夹角为，求； （3）如图所示，在仿射坐标系中，B、C分别在x轴、y轴正半轴上，，，E、F分别为BD、BC中点，求的最大值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意可知，，利用平面向量数量积的运算性质可求得的值； （2）计算出、、，利用平面向量的夹角公式可得出关于的方程，解之即可； （3）设、，利用平面向量的线性运算得出、关于、的关系式，利用余弦定理可得出和平面向量数量积的运算性质化简得出，设，利用正弦定理可得出，，利用三角恒等变换以及正弦函数的有界性可求得的最大值. 【小问1详解】 由题意可知，、的夹角为， ∴ ∵，则， ∴ ∴. 【小问2详解】 由，，得：，， ∴ 则， ∵与的夹角为， ∴ 解得. 【小问3详解】 依题意设、，且，， ∵为的中点， ∴ ∵为中点，同理可得： ∴ 由题意可知，，， ∴ 在中依据余弦定理得： 代入上式得： 在中，由正弦定理： 设，则，且， ∴， ，其中为锐角，且， ∵，则， 故当时，取最大值， ∴ 【点睛】方法点睛：求两个向量的数量积有三种方法： （1）利用定义； （2）利用向量的坐标运算； （3）利用数量积的运算律. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第二学期期中考试 高一数学 （考试时间：120分钟，总分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知复数，，则（ ） A. B. 1 C. D. 2. 为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有点（ ） A. 向右平移个单位长度 B. 向左平移个单位长度 C. 向右平移个单位长度 D. 向左平移个单位长度 3. 在中，，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知复数满足，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 6. 已知，，，则在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 7. 函数（，，）的部分图象如图所示，将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则（ ） A. B. 1 C. D. 8. 已知是边长为2的等边三角形，AB是圆M的直径，若点P为圆M上一动点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 在下列各组向量中，不可以作为基底的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 10. 已知，是复数，则下列说法正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 11. 如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在秒时相对于平衡位置的高度厘米由关系式确定，其中，，，小球从最低点出发，经过2秒后，第一次回到最低点，则下列说法中正确的是（    ） A. B. 秒与秒时小球偏离平衡位置的距离之比为2 C. 当时，若小球有且只有三次到达最高点，则 D. 当时，若时刻小球偏离平衡位置的距离相同，则 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设点，，P是直线上一点，当时，点的坐标为________. 13. 如图，在中，已知弦，则________. 14. 设，是关于的方程的两个虚数根，若，，2在复平面内对应的点构成直角三角形，则________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量与的夹角为，且. （1）求的值； （2）求的值； （3）求向量与向量的夹角. 16. 在中，角的对边分别为，已知. （1）求角的大小； （2）若，，求的面积； （3）若，求周长的取值范围. 17. 已知是虚数，，，且. （1）求的值和的实部的取值范围； （2）求证：为纯虚数； （3）求的最小值. 18. 图1所示的是一段根据正弦曲线设计安装的过山车轨道，建立平面直角坐标系，如图2，h（单位：）表示在时间t（单位：）时，过山车（看作质点）离地平面的高度，轨道最高点P距离地平面，最低点Q距离地平面，当时，过山车到达最高点P，当时，过山车到达最低点Q，设（，，）. （1）求A，B，，的值； （2）求入口处M离地平面的高度； （3）求一个周期内过山车距离地平面的高度不大于的时长. 19. 如图，设Ox、Oy是平面内相交成角的两条数轴，、分别是与Ox、Oy正方向同向的单位向量，定义平面坐标系xOy为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记. （1）在仿射坐标系中，若，求； （2）在仿射坐标系中，若，，且与的夹角为，求； （3）如图所示，在仿射坐标系中，B、C分别在x轴、y轴正半轴上，，，E、F分别为BD、BC中点，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $