第12讲 分式方程（知识详解+10典例分析+习题巩固）2025-2026学年浙教版七年级数学下册同步讲义与测试

第12讲 分式方程（知识详解+10典例分析+习题巩固） 【知识点01】分式方程的概念 1.分式方程：只含分式，或分式和整式，并且分母里含有未知数的方程叫作分式方程。 2.分式方程必须满足的条件：例如：方程 ，分母中含有未知数，但不是分式方程 ①是方程； ②只含分式，或分式和整式； ③分母中含有未知数。三者缺一不可。 辨析： 分式方程和整式方程的区别与联系 分式方程 整式方程 区别 分母中含有未知数。 分母中不含未知数。 联系 分式方程可以转化为整式方程。 【知识点02】分式方程的解法 1.解分式方程的基本思路： 2.解分式方程的一般步骤 3.分式方程的增根：分式方程去分母转化为整式方程，若整式方程的根使分母为零，这种根叫作原方程的增根。 产生拓展：增根的原因：去分母时，方程两边同乘的公分母是含有未知数的整式，这个整式有可能为零，对于整式方程来说，求出的根成立，而对于原分式方程来说，分式无意义，所以这个根是原分式方程的增根。 【知识点03】分式方程的应用 1.列分式方程解应用题的一般步骤： （1）审：了解已知数与所求各量所表示的意义，弄清它们之间的数量关系； （2）设：设未知数； （3）列：找出能够表示题中全部含义的相等关系，列出分式方程； （4）解：解这个分式方程； （5）验：检验所求的根是不是增根，是否符合题意； （6）答：写出答案。 2.实际应用题中常见的基本数量关系 （1）行程问题:路程速度×时间； （2）工程问题:工作总量=工作效率×工作时间； （3）利润问题:利润=售价-进价，利润率=×100%。 【题型一】分式方程的定义 例1．（2023七年级下·浙江·专题练习）下列是分式方程的是（　　） A． B． C． D． 例2．在方程中，分式方程有______个． 变式1．（2023七年级下·浙江·专题练习）下列方程：①；②；③；④．其中分式方程有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式2．判一判：下列方程中，哪些是分式方程?哪些是整式方程? （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）． 【题型二】根据分式方程解的情况求值 例3．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）若关于x的分式方程有增根，则m的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 例4．（24-25七年级下·浙江湖州·期末）若关于x的分式方程有增根，则增根是___________． 变式1．（23-24七年级下·浙江金华·期末）关于的分式方程无解，则的值是（    ） A．1 B．3 C．或 D．或 变式2．（2024七年级下·浙江金华·期末）关于x的分式方程：． （1）当m＝3时，求此时方程的根； （2）若这个关于x的分式方程会产生增根，试求m的值． 【题型三】分式方程无解问题 例5．（2023七年级下·浙江宁波·竞赛）已知关于的分式方程有增根，则的值为（    ） A． B． C． D．或 例6．（24-25七年级下·浙江绍兴·月考）关于x的分式方程无解，则a的值是______． 变式1．（24-25七年级下·浙江嘉兴·期末）若关于的分式方程无解，则的值为（    ）． A．6 B．5 C．4 D．3 变式2．（24-25七年级下·浙江台州·期末）当_______时，解分式方程：会产生增根． 变式3．关于x的分式方程． (1)当为何值时，分式方程有增根； (2)当为何值时，分式方程无解． 【题型四】列分式方程 例7．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）2025年5月18日，某市马拉松赛激情开跑甲、乙两人参加了5000米的欢乐跑比赛，甲每分钟比乙多跑100米，最终甲比乙早10分钟到达．设乙的速度为每分钟x米，则可列方程（   ） A． B． C． D． 例8．（24-25七年级下·浙江温州·期末）小刘同学购置一本《朝花夕拾》共144页，计划10天读完．当他读完一半页数时，发现平均每天要多读6页才能按时读完．设该同学读前一半页数时，平均每天读页，根据题意列出方程___________． 变式1．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）某工程队铺设一段长为米的管道，实际施工时每天铺设管道的长度________．设原计划每天铺设管道米，可得方程．根据此情境，题中用“________”表示的缺失条件为（   ） A．比原计划增加了，结果提前4天完成任务 B．比原计划增加了，结果推迟4天完成任务 C．比原计划减少了，结果提前4天完成任务 D．比原计划减少了，结果推迟4天完成任务 变式2．（2024七年级下·浙江·专题练习）随着国家提倡节能减排，新能源车将成为时代“宠儿”．端午节，君君一家驾乘新购买的新能源车，去相距的古镇旅行，原计划以的速度匀速前行，因急事实际以计划速度的1.2倍匀速行驶，结果比原计划提前了到达，则可列方程 ____________________． 【题型五】解分式方程（化为一元一次） 例9．（23-24七年级下·浙江杭州·期末）若商品的买入价为，售出价为，则毛利率．已知，，则（    ） A． B． C． D． 例10．（22-23七年级下·浙江宁波·期中）已知分式对一切有意义的都有相同的值，则，应满足关系式______． 例11．（22-23七年级下·浙江宁波·期中）解方程（组） (1)； (2)． 变式1．（22-23七年级下·浙江金华·月考）要使分式的值为1，则x的值为（　　） A． B． C． D． 变式2．（23-24七年级下·浙江绍兴·期末）定义运算“”：，当时，满足，则的值为______． 变式3．（24-25七年级下·浙江金华·月考）解答下列各题： (1)解分式方程：； (2)解方程组． 【题型六】分式方程的行程问题 例12．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）2025杭州钱塘女子半程马拉松在钱塘区6号大街鸣枪开跑．小江、小周参加千米的迷你马拉松比赛，两人约定从A地沿相同路线跑向距A地千米的B地．已知小江跑步的速度是小周的倍．若两人同时从A地出发，结果小江到达B地分钟后小周才到达．设小周跑步的速度为每小时x千米，则可列方程（   ） A． B． C． D． 例13．（2025·浙江宁波·一模）《九章算术》中有一道关于古代驿站送倍的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的倍，则规定时间为__________天， 变式1．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）小慈和小溪两人同时从甲地出发，骑自行车前往乙地，已知甲乙两地的距离为，______，并且小慈比小溪先到分钟．若设小溪每小时走，所列方程为，则横线上的信息可能是（    ） A．小慈每小时比小溪少骑行 B．小慈每分钟比小溪多骑行 C．小慈和小溪每小时共骑行 D．小慈的速度是小溪的倍 变式2．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）年月日，在嵊州氧气音乐节上，具有传承和创新精神的嵊州“六小笼”和杭州“六小龙”之一云深处科技公司组团出道，在音乐节中提供畅吃小笼包活动，体现了“小吃共富”的魅力． (1)活动现场某小笼包摊位随机每人次赠送一份小笼包，已知一份装有个肉包和个豆腐包的成本为元，装有个肉包和个豆腐包的成本为元，求个肉包和个豆腐包的成本； (2)作为小笼包“派送员”的机器狗需送货至距离出发点米处的目的地，机器狗在派送中匀速运动，由于当天地面泥泞导致机器狗工作效率降低，派送速度降低为原来的，派送来回一趟所需的时间比原来多分钟秒，求当天机器狗的派送速度． 【题型七】分式方程的工程问题 例14．（24-25七年级下·浙江丽水·期末）为解决供水问题需铺设一条长2400米的管道，实际施工时……．设实际每天铺设管道米，可得方程．根据此情景，题中用“……”表示的缺失条件为（   ）． A．每天比原计划少铺设20米，结果延期6天完成 B．每天比原计划多铺设20米，结果提前6天完成 C．每天比原计划少铺设6米，结果延期20天完成 D．每天比原计划多铺设6米，结果提前20天完成 例15．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）某校为了美化环境，营造良好的学习氛围，计划种植甲、乙两种花共300棵，其中甲种花比乙种花的2倍少60棵． (1)求甲、乙两种花种植的数量． (2)若学校安排11人同时种植这两种花，每人每小时能种植甲种花5棵或乙种花4棵，应分别安排多少人种植甲种花和乙种花，才能确保同时完成各自的任务？ 变式1．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）某河道绿化工程由甲、乙两工程队合作完成．已知甲工程队每天完成米，共完成了米，用时天：乙工程队每天完成米，共完成了米，用时天．若，则___________．（用含，的最简分式表示） 变式2．（23-24七年级下·浙江金华·期末）某市需要紧急生产一批民生物资，现有甲、乙两家资质合格的工厂招标，加工一天需付甲厂货款1.5万元，付乙厂货款1.1万元．指挥中心的负责人根据甲乙两厂的投标测算，可有三种施工方案： 方案①：甲厂单独完成这项任务刚好如期完成； 方案②：乙队单独完成这项任务比规定日期多用5天； 方案③：若甲乙两厂合作4天后，余下的工程由乙厂单独做也正好如期完成． (1)求甲乙两队单独完成此项任务各需多少天； (2)在不耽误工期的前提下，哪个方案是最节省费用的施工方案？并说明理由． 【题型八】分式方程的经济问题 例16．（24-25七年级下·浙江台州·期末）某校准备开展防溺水知识竞赛，用元经费购买甲，乙两类奖品共件，且经费全部用完，已知奖品甲的单价与奖品乙的单价之比为，购买奖品甲用了元．为了求出购买的这两种奖品的单价，小齐列出方程“”，则他所列方程中的x表示的意义为（    ） A．奖品甲的件数 B．奖品甲的单价 C．奖品乙的件数 D．奖品乙的单价 例17．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）某商家推出三款纪念品，，，其中的单价比贵2元/件．如果买10件，件，件，总价格为520元；如果买15件，件，件，总价格为505元．设纪念品的单价为元/件，纪念品的单价为元/件． (1)求和的值； (2)商家将，各取1件组成套装，将，各取1件组成套装，均以两种相应纪念品的单价之和作为套装定价．为促进销售，对两款套装实施优惠政策，套装定价都下调元．此时用200元购买到的套数，与240元购买到的套数一样多，且钱均无剩余，求的值． 变式1．（22-23七年级下·浙江宁波·期末）自带水杯已成为人们良好的健康卫生习惯，某公司为员工购买甲、乙两种型号的水杯．用720元购买甲种水杯的数量和用540元购买乙种水杯的数量相同，已知甲种水杯的单价比乙种水杯的单价多15元．设甲种水杯的单价为元，则列出方程正确的是（    ） A． B． C． D． 变式2．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）若商品的进价为100元，毛利率为（），则该商品的售价是________元． 变式3．（24-25七年级下·浙江金华·月考）某商店购进A，B两种商品，购进一个A商品比购买一个B商品少5元，并且花费100元购买的A商品和花费150元购进的B商品的数量相等． (1)求购买一个A商品和B商品各需要多少元； (2)商店准备购进A，B两种商品共60件，共花费725元．求购买A商品和B商品的数量． (3)A商品售价为15元，打八折销售，B商品售价为20元，按原价销售，若一天该商店两种商品的总利润恰好为28元（A、B商品均有售出），求这一天售出A，B两种商品的可能数量． 【题型九】分式方程和差倍分问题 例18．（22-23七年级下·浙江温州·月考）马站四季柚名扬天下，2023年第一季度某农户生产红心柚质量是白心柚的2倍，其中红心柚销售收入元，白心柚销售收入元，白心柚比红心柚价格每斤少3元.设白心柚价格元/斤，则下列方程正确的是（ ） A． B． C． D． 例19．（23-24七年级下·浙江绍兴·期末）某超市有甲、乙两种糖果，已知甲种糖果的进价为18元/千克，乙种糖果的进价为6元/千克，1千克甲种糖果的售价比1千克乙种糖果的售价高20元．若顾客花150元购买的甲种糖果的千克数与花50元购买的乙种糖果的千克数相同． (1)求甲、乙两种糖果的售价； (2)为了促销，超市对甲种糖果进行9折销售．某顾客同时购买甲种糖果和乙种糖果若干千克，超市共获毛利80元．则共有几种购买方案． 变式1．（22-23七年级下·浙江金华·期末）杭州亚运会即将开幕，浦江县某剧组要拍摄《向阳花开》电影迎亚运．剧组要在360天内完成拍摄，为了确保万无一失，该剧组决定每个场景拍2遍．已知剧组的拍摄速度为x，可以列出方程为________． 变式2．（22-23七年级下·浙江衢州·期末）本月我市进入梅雨季节，为了保障居民的生命财产安全，某社区购进A，B两种型号的抽水泵共100台，A型抽水泵1000元/台，B型抽水泵1500元/台，购进两种型号抽水泵共用130000元． (1)求该社区购进A，B两种型号的抽水泵各多少台？ (2)在相同环境下，经厂家测试B型抽水泵每小时的抽水量比A型抽水泵多，A型抽水泵抽水与B型抽水泵抽水所需时间相同，求A，B两种型号的抽水泵每小时的抽水量各多少立方米？ 【题型十】分式方程的其它实际问题 例20．（22-23七年级下·浙江温州·月考）某新冠治疗用药这样规定：儿童的年龄为x岁服药量为．东东和弟弟由于感染新冠病毒需服用该药，弟弟今年6岁，已知东东的服药量是弟弟的1.5倍，则东东年龄为（    ） A．10岁 B．11岁 C．12岁 D．13岁 例21．（24-25七年级下·浙江台州·期末）照相机成像应用了一个重要原理，即．其中表示照相机镜头的焦距，表示物体到镜头的距离．表示胶片（像）到镜头的距离．一架照相机已固定，那么就要依靠调整，来使成像清晰． (1)用焦距的相机，拍摄离镜头的距离的花卉，成像清晰，那么拍摄时胶片到镜头的距离是多少？ (2)当时，求的值． 变式1．（2023七年级下·浙江宁波·竞赛）河水是流动的，在点流入一个静止的湖中．游泳健将朱泳在河中顺流从到，再穿过湖游到，共用1小时；而由到再到，共用2小时．如果湖水是流动的，从流向，速度与河水速度相同，那么朱泳从到再到，共用50分钟．这时，他从到再到，共用_____小时． 变式2．（24-25七年级下·浙江湖州·期末）某工厂需制作如图1的竖式与横式两种无盖木箱（单位：），制作木首需要如图2的的正方形木板和的长方形木板．现工厂采购这两种木板，采购清单如下表．设正方形木板的单价为m元/块，已知购买的长方形木板的数量正好是正方形木板的2倍． 采购清单 单价（元/块） 数量（块） 总价（元） 正方形木板 m 120 长方形木板 300 (1)请将表格填写完整（用含m的代数式表示），并求m的值． (2)现将购买的木板制作这两种无盖木箱，求两种木箱各做多少个，恰好将木板用完？ (3)该工厂发现有一批尺寸为的废旧木板，若用这批废旧木板切割成木箱所需的上述两种木板． ①请问如何切割才能将每块废旧木板恰好用完（不计损耗）． ②因工厂生产需要，还需制作竖式无盖木箱60个、横式无盖木箱50个，所有废旧木板恰好用完，则这批废旧木板共多少块？ 一、单选题 1．是下列哪个方程的解（   ） A． B． C． D． 2．在①，②，③，④中，其中关于的分式方程的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 3．王芳和张敏在某工厂制作手机配件，已知王芳做200个手机配件所用的时间与张敏做180个手机配件所用的时间相同，且王芳每天比张敏多做10个手机配件，则张敏每天可做手机配件（    ） A．90个 B．100个 C．110个 D．120个 4．《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为天，则所列出的分式方程正确的是（    ） A． B． C． D． 5．随着快递业务的增加，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周3000件提高到4200件，平均每人每周比原来多投递80件，若快递公司的快递员人数不变，求原来平均每人每周投递快件多少件？设原来平均每人每周投递快件件，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 6．某学校为有效地落实和推行“双减”政策，丰富学生课余生活，采购了一批科学实验器材和运动器材，它们的单价共800元，用6400元购进的运动器材与用9600元购进的科学实验器材数量相同，设科学实验器材单价为x元，依题意，列出方程为（   ） A． B． C． D． 7．“竹下忘言对紫茶，全胜羽客醉流霞．”茶，是承载着文人雅趣的中国传统文化．某茶具厂需生产5400套茶具，原计划由慢车间单独生产，现改进技术，快车间每天生产的茶具数量是慢车间的倍，由快车间单独生产可以提前10天完成，设慢车间每天生产茶具套，下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 8．如果关于x的分式方程无解，那么实数m的值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 9．若关于x的分式方程有解，则k需满足的条件是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 二、填空题 10．某5G产品生产厂家更新技术后，加快了生产速度，现在平均每天比更新技术前多生产3万件产品，现在生产40万件产品所需时间比更新技术前生产30万件产品所需时间少1天．设更新技术前每天生产x万件产品，依题意得_________________________． 11．若关于的分式方程的解为负数，则的取值范围是________． 12．数学的美无处不在．数学家们研究发现，弹拨琴弦发出声音的音调高低，取决于弦的长度，绷得一样紧的几根弦，如果长度的比能够表示成整数的比，发出的声音就比较和谐．例如，三根弦长度之比是15：12：10，把它们绷得一样紧，用同样的力弹拨，它们将分别发出很调和的乐声do，mi，so，研究15，12，10这三个数的倒数发现：．我们称15，12，10这三个数为一组调和数．现有一组调和数：，5，3（），则可列关于的方程为___________（无需整理），解得___________． 13．某项工作，甲单独作完成的天数为乙、丙合作完成天数的倍，乙单独作完成的天数为甲、丙合作完成天数的倍，丙单独作完成的天数为甲、乙合作完成天数的倍，则_____． 14．甲、乙两名同学的家与某科技馆的距离均为．甲、乙两人同时从家出发去科技馆，甲同学先匀速步行，然后乘公交车（匀速），乙同学骑自行车（匀速）．已知乙同学骑自行车的速度是甲同学步行速度的4倍，公交车的速度是乙同学骑自行车速度的2倍，结果甲同学比乙同学晚到．乙同学到达科技馆时，甲同学离科技馆还有_______m． 15．若解关于x的分式方程会产生增根，则m的值为______． 三、解答题 16．已知关于的方程． (1)当此方程的解为时，求的值； (2)当此方程会产生增根时，求的值． 17．随着科技的发展，人工智能在生活中越来越普及．物流园某仓库运用甲、乙两种机器人搬运粮食共，甲种机器人搬运的粮食总量比乙种机器人搬运的粮食总量的2倍少． (1)甲、乙两种机器人各搬运粮食多少千克？ (2)若甲种机器人每小时搬运的粮食是乙种机器人的倍，结果甲种机器人完成搬运任务的时间比乙种机器人多用了3小时，则两种机器人每小时分别搬运多少粮食？ 18．某学校建立了劳动基地，计划在基地上种植A，B两种苗木共600株，其中A种苗木的数量比B种苗木的数量的一半多60株． (1)请问A，B两种苗木各多少株？ (2)如果学校安排21人同时开始种植这两种苗木，每人每天平均能种植A种苗木4株或B种苗木3株，应分别安排多少人种植A种苗木和B种苗木，才能确保同时完成任务？ 19．飞箭航模店推出了“神舟”和“天宫”模型．已知每个“神舟”模型的成本比“天宫”模型高，现购进一批“天宫”模型花费800元，购进“神舟”模型的数量比“天宫”模型多12个，两种模型共花费3000元． (1)每个“神舟”和“天宫”模型的成本各多少元？ (2)这两种模型开始都以每个150元出售，最后剩下5个“神舟”模型打八折出售，很快全部售完．该航模店共获利润多少元？ 20．“百日花开酬壮志，青春筑梦正当时”，某校在初三励志活动中准备向商家订购一批文创产品，其中包括“百日书历”和“二五手环”．若购买3本“百日书历”和4个“二五手环”需花费38元，购买4本“百日书历”和3个“二五手环”需花费46元． (1)请问每本“百日书历”和每个“二五手环”的售价分别为多少元？ (2)由于订购数量颇多，商家决定降价酬宾，其中“百日书历”的售价降低5a元，“二五手环”的售价降低a元．经测算，学校花5400元购进“百日书历”的数量比花1440元购进“二五手环”的数量还少200，求出a的值． 21．已知，． (1)化简分式A． (2)若关于x的分式方程的解为，求m的值． (3)当x取什么整数时，分式A的值为整数？ 22．【综合实践】 材料 大多数小汽车是前轮驱动的，所以前轮的磨损程度比后轮严重，因此时间一长汽车行驶的安全性将大打折扣：如果同时更换前后轮，用车成本又会提高．因此，汽车使用手册上都有定期给前后轮换位的建议． 例如： 为了让轮胎均匀磨损并延长轮胎的使用寿命，我们建议每行驶进行一次轮胎换位． (1)设轮胎总的耗损量为单位1，在前轮时行驶a万千米报废，在后轮时行驶万千米报废．则该轮胎在前、后位置时的耗损率分别可表示为______、______．（说明：耗损率是指，每万千米轮胎的耗损量．） (2)若汽车前轮行驶万千米时报废，而后轮行驶到8万千米时报废．如果在汽车使用寿命内前、后轮位置只交换一次，那么汽车行驶多少万千米时，交换前、后轮胎，能使汽车的两对轮胎同时报废？（结果保留小数点后一位） (3)一款新型轮胎，安装在后轮可行驶的里程是安装在前轮的，装备该轮胎的汽车在轮胎的使用寿命内，前后轮胎只交换一次，共行驶了万千米前后轮胎同时报废．求该款新型轮胎安装在前轮和安装在后轮可行驶的里程数分别为多少万千米？（说明：分母中含有字母的方程，要将解代入原始方程中进行检验．） 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第12讲 分式方程（知识详解+10典例分析+习题巩固） 【知识点01】分式方程的概念 1.分式方程：只含分式，或分式和整式，并且分母里含有未知数的方程叫作分式方程。 2.分式方程必须满足的条件：例如：方程 ，分母中含有未知数，但不是分式方程 ①是方程； ②只含分式，或分式和整式； ③分母中含有未知数。三者缺一不可。 辨析： 分式方程和整式方程的区别与联系 分式方程 整式方程 区别 分母中含有未知数。 分母中不含未知数。 联系 分式方程可以转化为整式方程。 【知识点02】分式方程的解法 1.解分式方程的基本思路： 2.解分式方程的一般步骤 3.分式方程的增根：分式方程去分母转化为整式方程，若整式方程的根使分母为零，这种根叫作原方程的增根。 产生拓展：增根的原因：去分母时，方程两边同乘的公分母是含有未知数的整式，这个整式有可能为零，对于整式方程来说，求出的根成立，而对于原分式方程来说，分式无意义，所以这个根是原分式方程的增根。 【知识点03】分式方程的应用 1.列分式方程解应用题的一般步骤： （1）审：了解已知数与所求各量所表示的意义，弄清它们之间的数量关系； （2）设：设未知数； （3）列：找出能够表示题中全部含义的相等关系，列出分式方程； （4）解：解这个分式方程； （5）验：检验所求的根是不是增根，是否符合题意； （6）答：写出答案。 2.实际应用题中常见的基本数量关系 （1）行程问题:路程速度×时间； （2）工程问题:工作总量=工作效率×工作时间； （3）利润问题:利润=售价-进价，利润率=×100%。 【题型一】分式方程的定义 例1．（2023七年级下·浙江·专题练习）下列是分式方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】分式方程的定义 【分析】本题考查了分式方程的定义，根据分式方程的定义对各选项进行逐一分析即可，正确理解分式方程的定义是解题的关键． 【详解】解：、不是方程，不符合题意； 、，不含有分式，不是分式方程，不符合题意； 、，不含有分式，不是分式方程，不符合题意； 、，含有分式，是分式方程，符合题意； 故选：． 例2．在方程中，分式方程有______个． 【答案】3 【知识点】分式方程的定义 【分析】根据分式方程的定义：分母里含有字母的方程叫做分式方程进行判断． 【详解】解：在方程中，分式方程有，一共3个． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了分式方程的定义．判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数（注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母）． 变式1．（2023七年级下·浙江·专题练习）下列方程：①；②；③；④．其中分式方程有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】分式方程的定义 【分析】根据分母中含有未知数的方程叫做分式方程，判断即可． 【详解】 解：①分母中含有未知数，故是分式方程； ②分母中不含有未知数，故是整式方程； ③分母中含有未知数，故是分式方程； ④分母中含有未知数，故是分式方程． 故选：C． 【点睛】本题考查了分式方程，熟练掌握定义是解题的关键． 变式2．判一判：下列方程中，哪些是分式方程?哪些是整式方程? （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）． 【答案】（）（）（）（）（）是分式方程；（）（）是整式方程． 【知识点】分式方程的定义 【分析】根据分式方程的定义：分母里含有未知数的字母的方程叫做分式方程即可判断． 【详解】（1）是分式方程； （2）是整式方程； （3）是分式方程； （4）是分式方程； （5）是分式方程； （6）是整式方程； （7）是分式方程． 【点睛】本题考查了分式方程的定义，掌握分式方程的定义是解题的关键． 【题型二】根据分式方程解的情况求值 例3．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）若关于x的分式方程有增根，则m的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】根据分式方程解的情况求值 【分析】本题考查了分式方程的增根问题，先把分式方程转化为整式方程，再确定增根的值，然后把增根代入整式方程即可求出m的值． 【详解】解：方程两边同乘（），得：， 展开并整理右边：，即， 因为是增根，将其代入整式方程：， 解得：， 因此，的值为3， 故选：C． 例4．（24-25七年级下·浙江湖州·期末）若关于x的分式方程有增根，则增根是___________． 【答案】 【知识点】根据分式方程解的情况求值 【分析】本题考查了分式方程的增根．分式方程的最简公分母等于0时的未知数的值就是分式方程的增根．据此求出x的值即可．熟练掌握增根的定义是解题的关键． 【详解】解：由， 得， ∴最简公分母为， ∵关于x的分式方程有增根， ∴， ∴． 故答案为：． 变式1．（23-24七年级下·浙江金华·期末）关于的分式方程无解，则的值是（    ） A．1 B．3 C．或 D．或 【答案】D 【知识点】根据分式方程解的情况求值 【分析】本题考查了分式方程的解，理解分式方程无解有整式方程无解和整式方程的解是分式方程的增根两种情况是解决问题的关键． 去分母得：，进而得出，再分整式方程无解和整式方程的解是分式方程的增根两种情况进行讨论，即可得出答案． 【详解】解：去分母得：， ， 当，即时，，此时整式方程无解，分式方程无解， 当，即时，由得， 把代入得：， 解得：， 关于的分式方程无解时，或， 故选：D． 变式2．（2024七年级下·浙江金华·期末）关于x的分式方程：． （1）当m＝3时，求此时方程的根； （2）若这个关于x的分式方程会产生增根，试求m的值． 【答案】（1）x=-5；（2）-4或6 【知识点】根据分式方程解的情况求值 【分析】（1）把m=3代入分式方程，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解； （2）分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根求出x的值，代入整式方程计算即可求出m的值． 【详解】解：（1）把m=3代入方程得：， 去分母得：3x+2x+4=3x-6， 解得：x=-5， 检验：当x=-5时，（x+2）（x-2）≠0， ∴分式方程的解为x=-5； （2）去分母得：mx+2x+4=3x-6， ∵这个关于x的分式方程会产生增根， ∴x=2或x=-2， 把x=2代入整式方程得：2m+4+4=0， 解得：m=-4； 把x=-2代入整式方程得：-2m=-12， 解得：m=6． 【点睛】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 【题型三】分式方程无解问题 例5．（2023七年级下·浙江宁波·竞赛）已知关于的分式方程有增根，则的值为（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【知识点】分式方程无解问题 【分析】本题考查了分式方程的解法，首先去分母，把分式方程转化为整式方程，可得：，可知当时，方程无解，当时，方程的解为，因为分式方程的解为增根，所以可得：，解方程求出的值即可，本题中需要注意无解和增根的区别． 【详解】解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 当时，方程无解， 此时； 当时， 可得：， 分式方程有增根， ， 解得：， 检验：当时，原方程的增根为，符合题意； 当时，分式方程有增根． 故选：C． 例6．（24-25七年级下·浙江绍兴·月考）关于x的分式方程无解，则a的值是______． 【答案】3或/或3 【知识点】分式方程无解问题 【分析】本题考查了分式方程的解，理解分式方程无解有整式方程无解和整式方程的解是分式方程的增根两种情况是解决问题的关键． 去分母得：，进而得出，再分整式方程无解和整式方程的解是分式方程的增根两种情况进行讨论，即可得出答案． 【详解】解：， 去分母得：， 整理得：， 当，即时，，此时整式方程无解，分式方程无解， 当，即时， 由得，把代入得：，解得：， ∴关于的分式方程无解时，或， 故答案为：3或． 变式1．（24-25七年级下·浙江嘉兴·期末）若关于的分式方程无解，则的值为（    ）． A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【知识点】分式方程无解问题 【分析】本题主要考查了分式方程的无解问题，按照去分母，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程得到，再根据原方程无解，可得是原方程的增根，据此建立关于m的方程求解即可． 【详解】解： 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， ∵关于的分式方程无解， ∴是原方程的增根，即， ∴， ∴． 故选：A． 变式2．（24-25七年级下·浙江台州·期末）当_______时，解分式方程：会产生增根． 【答案】 【知识点】分式方程无解问题 【分析】本题主要考查分式方程的增根；把分式方程转变为整式方程，解整式方程求出，然后再根据分式方程有增根，可得，即，由此可得，解一元一次方程即可得出答案． 【详解】解： 方程两边同时乘，得， 解得： ∵分式方程有增根， ∴， ∴， ∴ ∴， 解得：． 故答案为：． 变式3．关于x的分式方程． (1)当为何值时，分式方程有增根； (2)当为何值时，分式方程无解． 【答案】(1)或 (2)或或 【知识点】分式方程无解问题 【分析】本题考查解分式方程、分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法以及分式方程的解的定义是解决本题的关键． (1)根据分式方程的增根的定义解决此题． (2)根据分式方程的解的定义解决此题． 【详解】（1）解：， 去分母，得)． 去括号，得． 移项，得． 合并同类项，得(． ∵分式方程有增根， ∴ ∴或． （2）解：由()得，． ∵分式方程无解， ∴无解或该分式方程有增根． ∴或或． 【题型四】列分式方程 例7．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）2025年5月18日，某市马拉松赛激情开跑甲、乙两人参加了5000米的欢乐跑比赛，甲每分钟比乙多跑100米，最终甲比乙早10分钟到达．设乙的速度为每分钟x米，则可列方程（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】列分式方程 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，根据题意“5000米的比赛，甲每分钟比乙多跑100米，最终甲比乙早10分钟到达”列分式方程即可． 【详解】解：设乙的速度为每分钟x米，则甲的速度为每分钟米， 可列方程， 故选B． 例8．（24-25七年级下·浙江温州·期末）小刘同学购置一本《朝花夕拾》共144页，计划10天读完．当他读完一半页数时，发现平均每天要多读6页才能按时读完．设该同学读前一半页数时，平均每天读页，根据题意列出方程___________． 【答案】 【知识点】列分式方程 【分析】本题主要考查列分式方程解应用题，熟练掌握“根据数量关系，找到等量关系列方程”是解题的关键．先确定书的一半页数，根据“前一半页数阅读天数 + 后一半页数阅读天数 = 计划总天数”来列方程．前一半页数阅读天数由一半页数除以前半段平均每天读的页数得到，后一半页数阅读时平均每天读页，阅读天数由一半页数除以该速度得到，计划总天数是天 ． 【详解】解：书共页，一半页数为页 读前一半页数时，平均每天读页， 天数 = 页数÷每天读的页数， 读前一半页数用的天数为 读完前一半后，平均每天要多读页，即每天读页， 读后半页数用的天数为 计划天读完， 前半段天数 + 后半段天数 = 总天数， 故答案为： ． 变式1．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）某工程队铺设一段长为米的管道，实际施工时每天铺设管道的长度________．设原计划每天铺设管道米，可得方程．根据此情境，题中用“________”表示的缺失条件为（   ） A．比原计划增加了，结果提前4天完成任务 B．比原计划增加了，结果推迟4天完成任务 C．比原计划减少了，结果提前4天完成任务 D．比原计划减少了，结果推迟4天完成任务 【答案】A 【知识点】列分式方程 【分析】本题考查了分式方程的应用，正确理解方程所表示的意义是解题的关键．设原计划每天铺设管道米，由管道长为米，可知表示原计划铺设管道所需的天数，方程右边表示实际施工时每天铺设米（即比原计划增加了）所需的天数，方程左边比右边多4天，说明实际天数比原计划少4天（即提前4天），据此即可解答． 【详解】解：设原计划每天铺设管道米，可得方程， 可知题中用“________”表示的缺失条件为：比原计划增加了，结果提前4天完成任务， 故选：A． 变式2．（2024七年级下·浙江·专题练习）随着国家提倡节能减排，新能源车将成为时代“宠儿”．端午节，君君一家驾乘新购买的新能源车，去相距的古镇旅行，原计划以的速度匀速前行，因急事实际以计划速度的1.2倍匀速行驶，结果比原计划提前了到达，则可列方程 ____________________． 【答案】 【知识点】列分式方程 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 原计划速度为，则实际速度为，根据时间路程速度结合实际比原计划提前到达，即可得出关于的分式方程，此题得解． 【详解】解：根据题意得：． 故答案为：． 【题型五】解分式方程（化为一元一次） 例9．（23-24七年级下·浙江杭州·期末）若商品的买入价为，售出价为，则毛利率．已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题考查解分式方程，将，看作常数，解方程求出即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即：， ∵， ∴， ∴， ∴； 经检验：，是原方程的解， 故选C． 例10．（22-23七年级下·浙江宁波·期中）已知分式对一切有意义的都有相同的值，则，应满足关系式______． 【答案】 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】设该分式的值恒为常数，根据题意列出等式，整理为关于的恒等式，利用恒等式对应系数相等得到方程组，消去参数即可得到与的关系式． 【详解】解：设分式对一切有意义的的值恒为， 根据题意得（）， 等式两边同乘得， 整理得， 因为该等式对一切有意义的都成立， 所以， 由得 ， 将代入得， 整理得． 例11．（22-23七年级下·浙江宁波·期中）解方程（组） (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】加减消元法、解分式方程（化为一元一次） 【分析】（1）由加减消元法求解即可； （2）先去分母化为整式方程，再解整式方程，最后检验即可． 【详解】（1）解： 由得，，解得， 将代入①得，，解得， ∴原方程组的解为； （2）解： 解得， 经检验，是原方程的解， ∴原方程的解为． 变式1．（22-23七年级下·浙江金华·月考）要使分式的值为1，则x的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】根据题意，得到，解分式方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 经检验，是原方程的解； 故选D． 【点睛】本题考查解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤，正确的计算，是解题的关键，注意最后要进行检验． 变式2．（23-24七年级下·浙江绍兴·期末）定义运算“”：，当时，满足，则的值为______． 【答案】2或8/8或2 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题主要考查了解分式方程．分两种情况：当时，；当时，；解出即可． 【详解】解：当时，， 解得：， 检验：当时，， 所以符合题意； 当时，， 解得：， 检验：当时，， 所以符合题意； 综上所述，的值为2或8． 故答案为：2或8 变式3．（24-25七年级下·浙江金华·月考）解答下列各题： (1)解分式方程：； (2)解方程组． 【答案】(1) (2) 【知识点】解分式方程（化为一元一次）、加减消元法 【分析】本题考查了解分式方程，解二元一次方程组，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）去分母化为整式方程，再求解整式方程，最后检验整式方程的解即可； （2）利用加减消元法即可求解． 【详解】（1）解： 去分母，得：， 解得：， 检验：当时，， ∴是分式方程的解； （2）解：方程整理得 得，， 得，， 把代入①得，， 解得：， ∴方程组的解为． 【题型六】分式方程的行程问题 例12．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）2025杭州钱塘女子半程马拉松在钱塘区6号大街鸣枪开跑．小江、小周参加千米的迷你马拉松比赛，两人约定从A地沿相同路线跑向距A地千米的B地．已知小江跑步的速度是小周的倍．若两人同时从A地出发，结果小江到达B地分钟后小周才到达．设小周跑步的速度为每小时x千米，则可列方程（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】分式方程的行程问题 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，理解题意并根据题意找准等量关系是解题的关键． 根据题意，小周和小江跑步的路程相同，均为千米．小江的速度是小周的倍，因此小江到达终点的时间更短．小周比小江晚到达分钟，需将时间单位统一为小时后列分式方程即可． 【详解】解：设小周的速度为每小时千米，则小江的速度为千米/时． 小周跑完全程的时间为小时，小江跑完全程的时间为小时． 根据题意，小周的时间比小江多分钟，即小时， 因此方程可列为：． 故选：B． 例13．（2025·浙江宁波·一模）《九章算术》中有一道关于古代驿站送倍的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的倍，则规定时间为__________天， 【答案】11 【知识点】分式方程的行程问题 【分析】本题主要考查分式方程的实际应用，找出等量关系是解题的关键．设规定时间为天，根据快马的速度是慢马的倍列出方程，再解方程即可． 【详解】解：设规定时间为天，根据题意得： ， 整理得：， 解得， 经检验，是原分式方程的解． 故答案为：11． 变式1．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）小慈和小溪两人同时从甲地出发，骑自行车前往乙地，已知甲乙两地的距离为，______，并且小慈比小溪先到分钟．若设小溪每小时走，所列方程为，则横线上的信息可能是（    ） A．小慈每小时比小溪少骑行 B．小慈每分钟比小溪多骑行 C．小慈和小溪每小时共骑行 D．小慈的速度是小溪的倍 【答案】B 【知识点】分式方程的行程问题 【分析】题考查由实际问题抽象出分式方程，根据甲乙两地的距离为并且小慈比小溪先到分钟，可说明小慈比小溪快，据此可解答此题，解题的关键是明确题意，列出相应的分式方程． 【详解】解：若设小溪每小时走，所列方程为，可知小慈每小时比小溪多骑行，即小慈每分钟比小溪多骑行， 故选：． 变式2．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）年月日，在嵊州氧气音乐节上，具有传承和创新精神的嵊州“六小笼”和杭州“六小龙”之一云深处科技公司组团出道，在音乐节中提供畅吃小笼包活动，体现了“小吃共富”的魅力． (1)活动现场某小笼包摊位随机每人次赠送一份小笼包，已知一份装有个肉包和个豆腐包的成本为元，装有个肉包和个豆腐包的成本为元，求个肉包和个豆腐包的成本； (2)作为小笼包“派送员”的机器狗需送货至距离出发点米处的目的地，机器狗在派送中匀速运动，由于当天地面泥泞导致机器狗工作效率降低，派送速度降低为原来的，派送来回一趟所需的时间比原来多分钟秒，求当天机器狗的派送速度． 【答案】(1)个肉包的成本为元，个豆腐包的成本为元 (2)当机器狗的派送速度为米/分 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、分式方程的行程问题 【分析】本题考查分式方程的应用以及二元一次方程组的应用， （1）设个肉包的成本是元，个豆腐包的成本是元，根据“一份装有个肉包和个豆腐包的成本为元，装有个肉包和个豆腐包的成本为元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设当天机器狗的派送速度为米/分钟，则原来机器狗的派送速度为米/分钟，利用“时间路程速度”，根据“当天派送来回一趟所需的时间比原来多分钟秒”，可列出关于的分式方程，解之经检验后，即可得出结论； 解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出分式方程． 【详解】（1）解：设个肉包的成本是元，个豆腐包的成本是元， 依题意，得：， 解得：， 答：个肉包的成本为元，个豆腐包的成本为元； （2）设当天机器狗的派送速度为米/分钟，则原来机器狗的派送速度为米/分钟， 依题意，得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解且符合题意， 答：当机器狗的派送速度为米/分． 【题型七】分式方程的工程问题 例14．（24-25七年级下·浙江丽水·期末）为解决供水问题需铺设一条长2400米的管道，实际施工时……．设实际每天铺设管道米，可得方程．根据此情景，题中用“……”表示的缺失条件为（   ）． A．每天比原计划少铺设20米，结果延期6天完成 B．每天比原计划多铺设20米，结果提前6天完成 C．每天比原计划少铺设6米，结果延期20天完成 D．每天比原计划多铺设6米，结果提前20天完成 【答案】B 【知识点】分式方程的工程问题 【分析】本题考查分式方程解应用题，根据方程的结构，分析原计划与实际施工的关系，原计划每天铺设米，实际每天铺设米，因此实际每天比原计划多铺设20米，从而确定缺失条件，即可得到答案，看懂分式方程，读懂题意是解决问题的关键． 【详解】解：方程中，分母和分别表示原计划与实际每天铺设的管道长度，原计划时间为，实际时间为，方程左边为原计划时间减去实际时间等于6，说明实际比原计划提前6天完成， 综上所述，缺失条件为“每天比原计划多铺设米，结果提前天完成”， 故选：B． 例15．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）某校为了美化环境，营造良好的学习氛围，计划种植甲、乙两种花共300棵，其中甲种花比乙种花的2倍少60棵． (1)求甲、乙两种花种植的数量． (2)若学校安排11人同时种植这两种花，每人每小时能种植甲种花5棵或乙种花4棵，应分别安排多少人种植甲种花和乙种花，才能确保同时完成各自的任务？ 【答案】(1)种植甲种花180棵，乙种花120棵； (2)应安排6人种植甲种花，5人种植乙种花，才能确保同时完成各自的任务． 【知识点】分式方程的工程问题、方案问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及分式方程的应用，找出等量关系列出方程组和方程是解答本题的关键． （1）设种植甲种花x棵，乙种花y棵，根据题意列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可求出结论； （2）设安排m人种植甲种花，则安排人种植乙种花，利用工作时间=工作总量÷（工作效率×人数），结合同时完成两种花的种植任务，可列出关于m的分式方程，解之经检验后，即可得出结论． 【详解】（1）解：设种植甲种花x棵，乙种花y棵， 根据题意得：， 解得： 答：种植甲种花180棵，乙种花120棵； （2）设安排m人种植甲种花，则安排人种植乙种花， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， 答：应安排6人种植甲种花，5人种植乙种花，才能确保同时完成各自的任务． 变式1．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）某河道绿化工程由甲、乙两工程队合作完成．已知甲工程队每天完成米，共完成了米，用时天：乙工程队每天完成米，共完成了米，用时天．若，则___________．（用含，的最简分式表示） 【答案】 【知识点】分式方程的工程问题 【分析】先表示出，再根据即可用含的式子表示出s．本题主要考查了列代数式（分式），能根据题意用含的式子表示出s是解题的关键． 【详解】∵甲工程队每天完成a米，共完成了s米，用时天， ∴； 同理可得，． ∵， ∴， 整理得，． 故答案为：． 变式2．（23-24七年级下·浙江金华·期末）某市需要紧急生产一批民生物资，现有甲、乙两家资质合格的工厂招标，加工一天需付甲厂货款1.5万元，付乙厂货款1.1万元．指挥中心的负责人根据甲乙两厂的投标测算，可有三种施工方案： 方案①：甲厂单独完成这项任务刚好如期完成； 方案②：乙队单独完成这项任务比规定日期多用5天； 方案③：若甲乙两厂合作4天后，余下的工程由乙厂单独做也正好如期完成． (1)求甲乙两队单独完成此项任务各需多少天； (2)在不耽误工期的前提下，哪个方案是最节省费用的施工方案？并说明理由． 【答案】(1)甲单独完成此项任务需20天，乙单独完成此项任务需25天； (2)第③种施工方案最节省费用，理由见解析． 【知识点】分式方程的工程问题 【分析】此题主要考查了分式方程的应用， 找到合适的等量关系是解决问题的关键 ． （1） 设甲队单独完成此项任务需x天，则乙队单独完成此项任务需天．根据题意列出方程解答即可； （2） 根据已知算出各种方案的价钱之后， 再根据题意进行选择 ． 【详解】（1）设甲队单独完成此项任务需x天，则乙队单独完成此项任务需天． 依题意得：， 解得：． 经检验：是原分式方程的解，且符合题意， ∴． 答：甲单独完成此项任务需20天，乙单独完成此项任务需25天． （2）这三种施工方案需要的费用为： 方案①：（万元）； 方案②：（万元），但乙队单独完成这项任务超过了日期，不能选； 方案③：（万元）． ∵， ∴第③种施工方案最节省费用． 【题型八】分式方程的经济问题 例16．（24-25七年级下·浙江台州·期末）某校准备开展防溺水知识竞赛，用元经费购买甲，乙两类奖品共件，且经费全部用完，已知奖品甲的单价与奖品乙的单价之比为，购买奖品甲用了元．为了求出购买的这两种奖品的单价，小齐列出方程“”，则他所列方程中的x表示的意义为（    ） A．奖品甲的件数 B．奖品甲的单价 C．奖品乙的件数 D．奖品乙的单价 【答案】A 【知识点】分式方程的经济问题 【分析】本题考查了分式的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据题意，设为甲类奖品的件数，则乙类奖品的件数为，根据甲、乙单价之比为，可验证符合小齐所列方程，故代表甲类奖品的件数． 【详解】解：设为甲类奖品的件数，则乙类奖品的件数为， ∴甲类单价为元，乙类单价为元， 根据单价比，得方程：， ∴表示奖品甲的件数， 故选：A． 例17．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）某商家推出三款纪念品，，，其中的单价比贵2元/件．如果买10件，件，件，总价格为520元；如果买15件，件，件，总价格为505元．设纪念品的单价为元/件，纪念品的单价为元/件． (1)求和的值； (2)商家将，各取1件组成套装，将，各取1件组成套装，均以两种相应纪念品的单价之和作为套装定价．为促进销售，对两款套装实施优惠政策，套装定价都下调元．此时用200元购买到的套数，与240元购买到的套数一样多，且钱均无剩余，求的值． 【答案】(1)的值为15，的值为18 (2)的值为8 【知识点】分式方程的经济问题、销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查二元一次方程组与分式方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组与分式方程是解题的关键． （1）根据买10件，件，件，总价格为520元；买15件，件，件，总价格为505元，列出关于和的二元一次方程组即可得到答案； （2）根据用200元购买到的套数，与240元购买到的套数一样多的等量关系列出分式方程即可得到答案； 【详解】（1）解：由题知：纪念品的单价为元/件，纪念品的单价为元/件，纪念品的单价为元/件， ∴， 解得：， ∴的值为15，的值为18； （2）由题可知：套装的定价为33元/套，套装的定价为38元/套， ∴可得：， 解得：， 经检验：是原分式方程的解且符合题意， ∴的值为8． 变式1．（22-23七年级下·浙江宁波·期末）自带水杯已成为人们良好的健康卫生习惯，某公司为员工购买甲、乙两种型号的水杯．用720元购买甲种水杯的数量和用540元购买乙种水杯的数量相同，已知甲种水杯的单价比乙种水杯的单价多15元．设甲种水杯的单价为元，则列出方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】分式方程的经济问题 【分析】本题考查列分式方程解应用题，掌握列分式方程解应用题的方法与步骤，抓住等量关系列方程是解题关键． 设甲种水杯的单价为元，则乙种水杯的单价为元，根据720元购买甲种水杯的数量和用540元购买乙种水杯的数量相同列方程即可得解． 【详解】解：设甲种水杯的单价为元，则乙种水杯的单价为元 根据题意列出方程得：． 故选：A． 变式2．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）若商品的进价为100元，毛利率为（），则该商品的售价是________元． 【答案】125 【知识点】分式方程的经济问题 【分析】设该商品的售价为x元，根据列分式方程求解即可． 本题考查了列分式方程解应用题，根据题意正确的列出方程是解题的关键． 【详解】解：设该商品的售价为x元，根据题意得 ， ， ， ， 经检验：是所列方程的解． ∴该商品的售价为125元． 故答案为：125． 变式3．（24-25七年级下·浙江金华·月考）某商店购进A，B两种商品，购进一个A商品比购买一个B商品少5元，并且花费100元购买的A商品和花费150元购进的B商品的数量相等． (1)求购买一个A商品和B商品各需要多少元； (2)商店准备购进A，B两种商品共60件，共花费725元．求购买A商品和B商品的数量． (3)A商品售价为15元，打八折销售，B商品售价为20元，按原价销售，若一天该商店两种商品的总利润恰好为28元（A、B商品均有售出），求这一天售出A，B两种商品的可能数量． 【答案】(1)购买一个A商品需要10元，购买一个B商品需要15元； (2)购买A商品35件，B商品25件； (3)A商品4个，B商品4个或A商品9个，B商品2个 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、分式方程的经济问题 【分析】本题考查了分式方程的应用，二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用，找到正确的数量关系是解题的关键． （1）设购买一个A商品需要x元，由花费100元购买的A商品和花费150元购进的B商品的数量相等列出方程求解； （2）设购买A商品m件，B商品n件，由购进A，B两种商品共60件，共花费725元，列出方程组求解； （3）设这星期售出A商品a个，这星期售出B商品b个，由一个星期该商店两种商品的总利润恰好为28元，列出方程求解． 【详解】（1）解：设购买一个A商品需要x元，则B商品需要元， 则， 解得：， 经检验：是原分式方程的解 ∴， 答：购买一个A商品需要10元，购买一个B商品需要15元； （2）解：设购买A商品m件，B商品n件， 根据题意得：， 解得：， 答： 购买A商品35件，B商品25件； （3）解：设这星期售出A商品a个，这星期售出B商品b个， 由题意可得：， ∴， ∵a，b为正整数， ∴，或，， 答：这一天售出A商品4个，B商品4个或A商品9个，B商品2个． 【题型九】分式方程和差倍分问题 例18．（22-23七年级下·浙江温州·月考）马站四季柚名扬天下，2023年第一季度某农户生产红心柚质量是白心柚的2倍，其中红心柚销售收入元，白心柚销售收入元，白心柚比红心柚价格每斤少3元.设白心柚价格元/斤，则下列方程正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】分式方程和差倍分问题 【分析】设白心柚价格元/斤，根据“2023年第一季度某农户生产红心柚质量是白心柚的2倍”列出分式方程即可． 【详解】解：设白心柚价格元/斤，则红心柚价格元/斤， 根据题意可得，． 故选：A 【点睛】此题考查了分式方程的实际应用，读懂题意，找到等量关系列出方程是解题的关键． 例19．（23-24七年级下·浙江绍兴·期末）某超市有甲、乙两种糖果，已知甲种糖果的进价为18元/千克，乙种糖果的进价为6元/千克，1千克甲种糖果的售价比1千克乙种糖果的售价高20元．若顾客花150元购买的甲种糖果的千克数与花50元购买的乙种糖果的千克数相同． (1)求甲、乙两种糖果的售价； (2)为了促销，超市对甲种糖果进行9折销售．某顾客同时购买甲种糖果和乙种糖果若干千克，超市共获毛利80元．则共有几种购买方案． 【答案】(1)甲糖果的售价为30元，则乙糖果的售价为10元 (2)2 【知识点】分式方程和差倍分问题、二元一次方程的解 【分析】本题考查分式方程的应用、二元一次方程的应用，理解题意，正确列出方程是解答的关键． （1）设甲糖果的售价为x元，则乙糖果的售价为元，根据：“顾客花150元购买的甲种糖果的千克数与花50元购买的乙种糖果的千克数相同，”列分式方程求解即可； （2）设顾客购买甲糖果a千克，购买乙糖果b千克，根据题意列二元一次方程，再根据a、b均为正整数，求解即可． 【详解】（1）解：设甲糖果的售价为x元，则乙糖果的售价为元， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴（元）， 答：甲糖果的售价为30元，则乙糖果的售价为10元． （2）解：设顾客购买甲糖果a千克，购买乙糖果b千克， 由题意得，， 即， ∵a、b均为正整数， ∴或， 答：共有2种购买方案． 变式1．（22-23七年级下·浙江金华·期末）杭州亚运会即将开幕，浦江县某剧组要拍摄《向阳花开》电影迎亚运．剧组要在360天内完成拍摄，为了确保万无一失，该剧组决定每个场景拍2遍．已知剧组的拍摄速度为x，可以列出方程为________． 【答案】 【知识点】分式方程和差倍分问题 【分析】此题考查了分式方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． 【详解】解：根据题意得， 故答案为 变式2．（22-23七年级下·浙江衢州·期末）本月我市进入梅雨季节，为了保障居民的生命财产安全，某社区购进A，B两种型号的抽水泵共100台，A型抽水泵1000元/台，B型抽水泵1500元/台，购进两种型号抽水泵共用130000元． (1)求该社区购进A，B两种型号的抽水泵各多少台？ (2)在相同环境下，经厂家测试B型抽水泵每小时的抽水量比A型抽水泵多，A型抽水泵抽水与B型抽水泵抽水所需时间相同，求A，B两种型号的抽水泵每小时的抽水量各多少立方米？ 【答案】(1)A型40台，B型60台 (2)A型每小时的抽水量，B型每小时的抽水量 【知识点】分式方程和差倍分问题、和差倍分问题(二元一次方程组的应用) 【分析】（1）A型：x台 B型：y台，根据A、B两种型号的抽水泵共100台，两种型号抽水泵共用144000元列出二元一次方程组求解即可； （2）设A型抽水泵每小时抽水量为，则B型抽水泵每小时抽水量为，根据A型抽水泵抽水与B型抽水泵抽水所需时间相同列分式方程求解即可． 【详解】（1）解：设分别购进A型：x台 ，B型：y台， 由题意得： ∴ 答：A型40台，B型60台． （2）解：设A型抽水泵每小时抽水量为，则B型抽水泵每小时抽水量为， ， 解得：， 经检验是原方程的解， ∴A型每小时的抽水量，B型每小时的抽水量． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组及分式方程的应用，找出等量关系列二元一次方程组及分式方程是解题的关键． 【题型十】分式方程的其它实际问题 例20．（22-23七年级下·浙江温州·月考）某新冠治疗用药这样规定：儿童的年龄为x岁服药量为．东东和弟弟由于感染新冠病毒需服用该药，弟弟今年6岁，已知东东的服药量是弟弟的1.5倍，则东东年龄为（    ） A．10岁 B．11岁 C．12岁 D．13岁 【答案】C 【知识点】分式方程的其它实际问题 【分析】根据弟弟的年龄，求出弟弟的服药量，再根据东东的服药量是弟弟的1.5倍，得出东东的服药量，列出方程，求出x的值即可． 【详解】解：弟弟的服药量为：， ∵东东的服药量是弟弟的1.5倍， ∴东东的服药量为：， 则， 解得：， 经检验是原方程的解， ∴东东年龄为12岁，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，解题的关键是求出东东的服药量，列出方程． 例21．（24-25七年级下·浙江台州·期末）照相机成像应用了一个重要原理，即．其中表示照相机镜头的焦距，表示物体到镜头的距离．表示胶片（像）到镜头的距离．一架照相机已固定，那么就要依靠调整，来使成像清晰． (1)用焦距的相机，拍摄离镜头的距离的花卉，成像清晰，那么拍摄时胶片到镜头的距离是多少？ (2)当时，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】分式方程的其它实际问题 【分析】本题考查分式方程的应用，理解题意并列得正确的方程是解题的关键． （1）根据题意列得关于v的分式方程，解方程并检验即可； （2）将代入原式，将其通分并整理后即可求得答案． 【详解】（1）解：  ，代入得： ， 即， 所以， 经检验，是分式方程的解且符合实际， 答：拍摄时胶片到镜头的距离是． （2）当时，， 所以， 解得． 变式1．（2023七年级下·浙江宁波·竞赛）河水是流动的，在点流入一个静止的湖中．游泳健将朱泳在河中顺流从到，再穿过湖游到，共用1小时；而由到再到，共用2小时．如果湖水是流动的，从流向，速度与河水速度相同，那么朱泳从到再到，共用50分钟．这时，他从到再到，共用_____小时． 【答案】2.5/ 【知识点】分式方程的其它实际问题 【分析】本题考查分式方程的应用、解决本题的关键是首先假设全程为1，并以全部顺水行完需要50分钟作为突破口，并做好合理的假设． 首先假设全程为1，那么从A到B到C全部顺水，根据朱泳从A到B再到C，共用50分钟以及速度时间关系求得顺水行的速度为，假设朱泳在最初1小时全部顺水，就会比全程多行，也就是说该种情况说明行段同样的时间，顺水比静水多行全程的；同理行段同样的时间，逆水比静水少行全程的，因此逆水行2小时，只能行全程的，故设游泳健将朱泳在从C到B再到A逆水行进中共用x小时，由，解得x即为所求． 【详解】解：设全程为1，设游泳健将朱泳在从C到B再到A逆水行进中共用x小时， 由题意可得，， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴他从到再到，共用小时． 故答案为：2.5 ． 变式2．（24-25七年级下·浙江湖州·期末）某工厂需制作如图1的竖式与横式两种无盖木箱（单位：），制作木首需要如图2的的正方形木板和的长方形木板．现工厂采购这两种木板，采购清单如下表．设正方形木板的单价为m元/块，已知购买的长方形木板的数量正好是正方形木板的2倍． 采购清单 单价（元/块） 数量（块） 总价（元） 正方形木板 m 120 长方形木板 300 (1)请将表格填写完整（用含m的代数式表示），并求m的值． (2)现将购买的木板制作这两种无盖木箱，求两种木箱各做多少个，恰好将木板用完？ (3)该工厂发现有一批尺寸为的废旧木板，若用这批废旧木板切割成木箱所需的上述两种木板． ①请问如何切割才能将每块废旧木板恰好用完（不计损耗）． ②因工厂生产需要，还需制作竖式无盖木箱60个、横式无盖木箱50个，所有废旧木板恰好用完，则这批废旧木板共多少块？ 【答案】(1)，，； (2)竖式无盖木箱做2个，横式无盖木箱4个； (3)①有两种切割方式，第一种切割方式为长方形木板7块，第二种为正方形木板8块和长方形木板2块；②这批废旧木板共70块． 【知识点】分式方程的其它实际问题、其他问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查分式方程的应用，二元一次方程组的应用．读懂题意，正确的识图，找准等量关系，列出方程组，是解题的关键． （1）根据题意列出分式方程进行求解即可； （2）设竖式无盖木箱做个，横式无盖木箱个，根据题意列出方程组进行求解即可； （3）①设每块废旧木板切割正方形木板块，长方形木板块，根据题意，列出二元一次方程，利用都是非负整数，求解即可； ②根据题意，进行求解即可． 【详解】（1）解：填写表格如下： 采购清单 单价（元/块） 数量（块） 总价（元） 正方形木板 120 长方形木板 300 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：； （2）解：当时，正方形木块的数量块，长方形木块的数量块． 设竖式无盖木箱做个，横式无盖木箱个， 根据题意，得， 解得， 答：竖式无盖木箱做2个，横式无盖木箱4个； （3）解：①设每块废旧木板切割正方形木板块，长方形木板块，根据题意， 得， ， 因为都是非负整数， 所以或． 答：有两种切割方式，第一种切割方式为长方形木板7块，第二种为正方形木板8块和长方形木板2块； ②所需正方形木板块，长方形块． 所以第二种切割方式的木板为块，第一种切割方式的木板为块， 所以废旧木板共块． 答：这批废旧木板共70块． 一、单选题 1．是下列哪个方程的解（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、当时，，则不是的解，故本选项不符合题意； B、当时，，则不是的解，故本选项不符合题意； C、当时，，则是的解，故本选项符合题意； D、当时，，此时方程无意义，故本选项不符合题意； 2．在①，②，③，④中，其中关于的分式方程的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】直接根据分母中含有未知数的方程叫做分式方程进行判断即可得到答案． 【详解】解：①，是分式，不是分式方程，故①错误，不符合题意； ②是关于的分式方程，故②错误，不符合题意； ③，是一元一次方程，不是分式方程，故③错误，不符合题意； ④，是关于的分式方程，故④正确，符合题意； 关于的分式方程的个数为1个， 故选：A． 【点睛】本题考查了分式方程的定义，熟练掌握分母中含有未知数的方程叫做分式方程是解题的关键． 3．王芳和张敏在某工厂制作手机配件，已知王芳做200个手机配件所用的时间与张敏做180个手机配件所用的时间相同，且王芳每天比张敏多做10个手机配件，则张敏每天可做手机配件（    ） A．90个 B．100个 C．110个 D．120个 【答案】A 【分析】设张敏每天可做手机配件x个，则王芳每天做（x+10）个，然后根据题意列出方程求解即可. 【详解】解：设张敏每天可做手机配件x个，则王芳每天做（x+10）个 由题意得： 解得 经检验是原方程的解 ∴张敏每天可做手机配件90个 故选A. 【点睛】本题主要考查了分式方程的实际应用，解题的关键在于能够准确找到等量关系列出方程求解. 4．《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为天，则所列出的分式方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查由实际问题抽象出分式方程，理解题意是解决本题的关键． 设规定时间为x天，根据题意，慢马送信时间为天，速度为；快马送信时间为天，速度为．快马速度是慢马速度的倍，据此列方程即可． 【详解】解：设规定时间为x天， ∵慢马所需时间为天， ∴慢马速度为； ∵快马所需时间为天， ∴快马速度为； ∵快马速度是慢马速度的倍， ∴， 故选A． 5．随着快递业务的增加，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周3000件提高到4200件，平均每人每周比原来多投递80件，若快递公司的快递员人数不变，求原来平均每人每周投递快件多少件？设原来平均每人每周投递快件件，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设原来平均每人每周投递快件x件，则现在平均每人每周投递快件（x+80）件，根据人数=投递快递总数量÷人均投递数量，结合快递公司的快递员人数不变，即可得出关于x的分式方程，此题得解． 【详解】解：设原来平均每人每周投递快件x件，则现在平均每人每周投递快件（x+80）件， 根据快递公司的快递员人数不变列出方程，得：， 故选：D． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 6．某学校为有效地落实和推行“双减”政策，丰富学生课余生活，采购了一批科学实验器材和运动器材，它们的单价共800元，用6400元购进的运动器材与用9600元购进的科学实验器材数量相同，设科学实验器材单价为x元，依题意，列出方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，找到等量关系列出分式方程即可． 【详解】解：由于用6400元购进的运动器材与用9600元购进的科学实验器材数量相同， ． 7．“竹下忘言对紫茶，全胜羽客醉流霞．”茶，是承载着文人雅趣的中国传统文化．某茶具厂需生产5400套茶具，原计划由慢车间单独生产，现改进技术，快车间每天生产的茶具数量是慢车间的倍，由快车间单独生产可以提前10天完成，设慢车间每天生产茶具套，下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程的应用，根据题意，快车间每天生产量是慢车间的倍，即快车间每天生产套，原计划慢车间单独生产所需时间为天，快车间单独生产时间为天，快车间比慢车间提前10天完成，因此原计划时间减去快车间时间等于10天． 【详解】解：设慢车间每天生产茶具套，则慢车间单独生产时间：天，快车间单独生产时间：天， 由快车间比慢车间提前10天可得： ， 故选：B． 8．如果关于x的分式方程无解，那么实数m的值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】分式方程无解，说明该分式方程存在增根，增根是使分式分母为0的x的值.，先将分式方程化为整式方程，再将增根代入整式方程即可求出m的值． 【详解】解：原方程为， ∵方程无解则存在增根， 令，得增根. 将原方程两边同乘去分母，得， 整理得， ∵方程无解， ∴为增根，代入得， ∴． 9．若关于x的分式方程有解，则k需满足的条件是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程无解的情况，解题关键是掌握分式方程无解的两种情况：①整式方程本身无解；②分式方程产生增根．根据分式方程无解的情况可知，分式方程有解需满足分母不为零且化简后的方程有解，通过乘以公分母化简方程，讨论整式方程的系数并排除使解为增根的情况，即可求解． 【详解】解：∵方程的分母， ∴两边同乘，得， 化简得， 移项得， 当，即时，方程无解， ∴， 当时，， 又∵分母不为零，需且， 检验：恒成立， 检验：，解得，即， ∴且， 故选：A． 二、填空题 10．某5G产品生产厂家更新技术后，加快了生产速度，现在平均每天比更新技术前多生产3万件产品，现在生产40万件产品所需时间比更新技术前生产30万件产品所需时间少1天．设更新技术前每天生产x万件产品，依题意得_________________________． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 设更新技术前每天生产x万件产品，则现在平均每天生产万件，由现在生产40万件产品所需时间比更新技术前生产30万件产品所需时间少1天建立方程． 【详解】解：设更新技术前每天生产x万件产品，依题意得：， 故答案为：． 11．若关于的分式方程的解为负数，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是根据分式方程解的情况求值，解题关键是熟练掌握解分式方程． 先解分式方程，再根据分式方程解为负数即可得解． 【详解】解：， 去分母得，， 移项得，， 该分式方程有解，且解为负数， ，， ，， 综上，的取值范围是． 故答案为：． 12．数学的美无处不在．数学家们研究发现，弹拨琴弦发出声音的音调高低，取决于弦的长度，绷得一样紧的几根弦，如果长度的比能够表示成整数的比，发出的声音就比较和谐．例如，三根弦长度之比是15：12：10，把它们绷得一样紧，用同样的力弹拨，它们将分别发出很调和的乐声do，mi，so，研究15，12，10这三个数的倒数发现：．我们称15，12，10这三个数为一组调和数．现有一组调和数：，5，3（），则可列关于的方程为___________（无需整理），解得___________． 【答案】 15 【分析】由调和数的定义列分式方程求解即可． 【详解】解：根据调和数的定义可得： ，解得：， 经检验：是分式方程的解． 故答案为：，15． 【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，根据调和数的定义列出分式方程是解答本题的关键． 13．某项工作，甲单独作完成的天数为乙、丙合作完成天数的倍，乙单独作完成的天数为甲、丙合作完成天数的倍，丙单独作完成的天数为甲、乙合作完成天数的倍，则_____． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的应用，代数式求值，解题的关键是灵活运用相关知识．设甲、乙、丙单独工作分别需天、天、天，根据“甲单独作完成的天数为乙、丙合作完成天数的倍”，可得，运用比例的基本性质、等式的性质及分式的基本性质可得；同理，根据“乙单独作完成的天数为甲、丙合作完成天数的倍”，可得；根据“丙单独作完成的天数为甲、乙合作完成天数的倍”，可得，将它们分别代入所求代数式，即可得出结果． 【详解】设甲、乙、丙单独工作分别需天、天、天． 由题意有：①，②，③． 由①得， ， ，即， 同理，由②得； 由③得， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 14．甲、乙两名同学的家与某科技馆的距离均为．甲、乙两人同时从家出发去科技馆，甲同学先匀速步行，然后乘公交车（匀速），乙同学骑自行车（匀速）．已知乙同学骑自行车的速度是甲同学步行速度的4倍，公交车的速度是乙同学骑自行车速度的2倍，结果甲同学比乙同学晚到．乙同学到达科技馆时，甲同学离科技馆还有_______m． 【答案】1600 【分析】本题考查分式方程解决实际问题．设甲同学步行的速度为，则乙同学骑自行车的速度为，公交车的速度是．根据“结果甲同学比乙同学晚到”列出分式方程，求解并检验即可得到甲同学步行的速度，进而求出公交车所走的路程即可所求． 【详解】设甲同学步行的速度为，则乙同学骑自行车的速度为，公交车的速度是．根据题意，得 ， 解得． 经检验，是所列分式方程的根，且符合题意． 所以． 故乙同学到达科技馆时，甲同学离科技馆还有． 故答案为：1600 15．若解关于x的分式方程会产生增根，则m的值为______． 【答案】或 【分析】此题主要考查了分式方程的增根，解答此题的关键是要明确：（1）化分式方程为整式方程；（2）把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 首先把所给的分式方程化为整式方程，然后根据分式方程有增根，得到，进而求出x的值，代入整式方程求出m的值即可 【详解】解：原分式方程去分母得：， 由分式方程有增根，得到， 解得：或， 当时，，即； 当时，，即， 综上，m的值是或． 故答案为：或． 三、解答题 16．已知关于的方程． (1)当此方程的解为时，求的值； (2)当此方程会产生增根时，求的值． 【答案】(1) (2)0或4 【分析】本题考查分式方程的解与增根的概念．特别注意增根是使原方程分母为零的根，但在解方程过程中可能引入的无效解，需代入化简后的方程求出对应的值． （1）把代入方程计算即可求出k的值； （2）由分式方程有增根求出的值，分式方程去分母后代入计算即可求出的值． 【详解】（1）解：（1）∵方程的解为， ∴， 解得； （2）由分式方程有增根，得到或，解得， 分式方程去分母得：， 把代入方程得：，解得：， 把代入方程得：， 故的值为0或4． 17．随着科技的发展，人工智能在生活中越来越普及．物流园某仓库运用甲、乙两种机器人搬运粮食共，甲种机器人搬运的粮食总量比乙种机器人搬运的粮食总量的2倍少． (1)甲、乙两种机器人各搬运粮食多少千克？ (2)若甲种机器人每小时搬运的粮食是乙种机器人的倍，结果甲种机器人完成搬运任务的时间比乙种机器人多用了3小时，则两种机器人每小时分别搬运多少粮食？ 【答案】(1)甲种机器人搬运了1200千克，乙种机器人搬运了700千克粮食 (2)甲种机器人每小时搬运120千克粮食，乙种机器人每小时搬运100千克粮食 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，分式方程的应用，正确理解题意列出对应的方程是解题的关键． （1）设乙种机器人搬运了x千克粮食，则甲种机器人搬运了千克，根据甲种机器人搬运的粮食总量比乙种机器人搬运的粮食总量的2倍少建立方程求解即可； （2）设乙种机器人每小时搬运m千克粮食，则甲种机器人每小时搬运千克粮食，根据甲种机器人完成搬运任务的时间比乙种机器人多用了3小时建立方程求解即可． 【详解】（1）解：设乙种机器人搬运了x千克粮食，则甲种机器人搬运了千克， 由题意得 解得， ， 答：甲种机器人搬运了1200千克，乙种机器人搬运了700千克粮食； （2）解：设乙种机器人每小时搬运m千克粮食，则甲种机器人每小时搬运千克粮食， 由题意得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 则， 答：甲种机器人每小时搬运120千克粮食，乙种机器人每小时搬运100千克粮食． 18．某学校建立了劳动基地，计划在基地上种植A，B两种苗木共600株，其中A种苗木的数量比B种苗木的数量的一半多60株． (1)请问A，B两种苗木各多少株？ (2)如果学校安排21人同时开始种植这两种苗木，每人每天平均能种植A种苗木4株或B种苗木3株，应分别安排多少人种植A种苗木和B种苗木，才能确保同时完成任务？ 【答案】(1)A种苗木有240株，B种苗木有360株 (2)应安排7人种植A种苗木，14人种植B种苗木，才能确保同时完成任务 【分析】本题考查分式方程的实际应用，二元一次方程组的实际应用，正确的列出方程和方程组，是解题的关键： （1）设A 种苗木有x 株， B 种苗木有y株，根据A，B两种苗木共600株，其中A种苗木的数量比B种苗木的数量的一半多60株，列出方程组进行求解即可； （2）设安排m 人种植A 种苗木，根据工作时间等于工作总量除以工效，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）设A 种苗木有x 株， B 种苗木有y株， 根据题意，得 解得； 答： A种苗木有240株，B种苗木有360株； （2）设安排m 人种植A 种苗木， 根据题意，得 解得， 经检验，是原方程的根，且符合题意， (人)， 答：应安排7人种植A种苗木，14人种植B种苗木，才能确保同时完成任务 19．飞箭航模店推出了“神舟”和“天宫”模型．已知每个“神舟”模型的成本比“天宫”模型高，现购进一批“天宫”模型花费800元，购进“神舟”模型的数量比“天宫”模型多12个，两种模型共花费3000元． (1)每个“神舟”和“天宫”模型的成本各多少元？ (2)这两种模型开始都以每个150元出售，最后剩下5个“神舟”模型打八折出售，很快全部售完．该航模店共获利润多少元？ 【答案】(1)每个“天宫”模型的成本为100元，每个“神舟”模型的成本为110元 (2)该航模店共获利润1050元 【分析】（1）设每个“天宫”模型的成本为元，每个“神舟”模型的成本为元，根据购进“神舟”模型的数量比“天宫”模型多12个列出分式方程，据此求解即可； （2）分别计算出两种模型的销售额，减去成本，即可求解． 【详解】（1）解：设每个“天宫”模型的成本为元，每个“神舟”模型的成本为元， 根据题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：每个“天宫”模型的成本为100元，每个“神舟”模型的成本为110元； （2）解：“天宫”模型数量：个， “神舟”模型数量：个， “天宫”模型销售额：元， “神舟”模型前个销售额：元， 剩下5个“神舟”模型打八折：元， ∴总销售额：元， 总成本为3000元，所以总利润：元． 20．“百日花开酬壮志，青春筑梦正当时”，某校在初三励志活动中准备向商家订购一批文创产品，其中包括“百日书历”和“二五手环”．若购买3本“百日书历”和4个“二五手环”需花费38元，购买4本“百日书历”和3个“二五手环”需花费46元． (1)请问每本“百日书历”和每个“二五手环”的售价分别为多少元？ (2)由于订购数量颇多，商家决定降价酬宾，其中“百日书历”的售价降低5a元，“二五手环”的售价降低a元．经测算，学校花5400元购进“百日书历”的数量比花1440元购进“二五手环”的数量还少200，求出a的值． 【答案】(1)每本“百日书历”的售价为元，每个“二五手环”的售价为元； (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用及分式方程的应用，读懂题意找到等量关系式是解题的关键． （1）设每本“百日书历”的售价为元，每个“二五手环”的售价为元，根据“购买3本“百日书历”和4个“二五手环”需花费38元，购买4本“百日书历”和3个“二五手环”需花费46元”建立二元一次方程组，求解即可得出答案； （2）根据题意得出降价后，书历单价为元，手环单价为元，再根据“学校花5400元购进“百日书历”的数量比花1440元购进“二五手环”的数量还少200”建立分式方程求解即可得出答案． 【详解】（1）解：设每本“百日书历”的售价为元，每个“二五手环”的售价为元， 根据题意，得， 解得：， 答：每本“百日书历”的售价为元，每个“二五手环”的售价为元； （2）降价后，书历单价为元，手环单价为元， 根据题意，得， 解得：，经检验，是分式方程的解， 答：的值为． 21．已知，． (1)化简分式A． (2)若关于x的分式方程的解为，求m的值． (3)当x取什么整数时，分式A的值为整数？ 【答案】(1) (2)7 (3)当x取或2或0时，分式A的值为整数 【分析】本题考查分式的运算，根据分式方程的解求参数，分式的值为整数时字母的值，熟练掌握相关知识点，正确的计算是解题的关键： （1）根据分式的除法法则进行计算即可； （2）将代入方程进行求解即可； （3）利用分离常数法，进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）∵， ∴． 方程的两边同时乘以，得， 解得． ∵分式方程的解为， ∴，解得． ∴的值为7． （3）解：∵，且分式A的值为整数， ∴或． ∴． 由题意，得且， ∴且． ∴当x取或2或0时，分式A的值为整数． 22．【综合实践】 材料 大多数小汽车是前轮驱动的，所以前轮的磨损程度比后轮严重，因此时间一长汽车行驶的安全性将大打折扣：如果同时更换前后轮，用车成本又会提高．因此，汽车使用手册上都有定期给前后轮换位的建议． 例如： 为了让轮胎均匀磨损并延长轮胎的使用寿命，我们建议每行驶进行一次轮胎换位． (1)设轮胎总的耗损量为单位1，在前轮时行驶a万千米报废，在后轮时行驶万千米报废．则该轮胎在前、后位置时的耗损率分别可表示为______、______．（说明：耗损率是指，每万千米轮胎的耗损量．） (2)若汽车前轮行驶万千米时报废，而后轮行驶到8万千米时报废．如果在汽车使用寿命内前、后轮位置只交换一次，那么汽车行驶多少万千米时，交换前、后轮胎，能使汽车的两对轮胎同时报废？（结果保留小数点后一位） (3)一款新型轮胎，安装在后轮可行驶的里程是安装在前轮的，装备该轮胎的汽车在轮胎的使用寿命内，前后轮胎只交换一次，共行驶了万千米前后轮胎同时报废．求该款新型轮胎安装在前轮和安装在后轮可行驶的里程数分别为多少万千米？（说明：分母中含有字母的方程，要将解代入原始方程中进行检验．） 【答案】(1)， (2)汽车行驶大约万千米时，交换前后轮胎，能使汽车的两对轮胎同时报废； (3)安装在前轮可行驶的里程为万千米，则安装在后轮可行驶的里程为万千米． 【分析】（1）根据题意，结合关于损耗率的说明，即可求解； （2）设汽车行驶万千米时，交换前后轮胎，能使汽车的两对轮胎同时报废，根据题意列方程求解即可； （3）设安装在前轮可行驶的里程为万千米，则安装在后轮可行驶的里程为万千米，轮胎交换前行驶了万千米，交换后行驶了万千米，根据题意列方程组求解即可． 【详解】（1）解：∵轮胎总的耗损量为单位1，在前轮时行驶a万千米报废，在后轮时行驶万千米报废， ∴该轮胎在前轮时的耗损率为，在后轮时的耗损率为． （2）解：设汽车行驶万千米时，交换前后轮胎，能使汽车的两对轮胎同时报废， 根据题意可得， 解得， ， ∴汽车行驶大约万千米时，交换前后轮胎，能使汽车的两对轮胎同时报废． （3）解：设安装在前轮可行驶的里程为万千米，则安装在后轮可行驶的里程为万千米，轮胎交换前行驶了万千米，交换后行驶了万千米， 根据题意可得， 得， 解得， 经检验，是原方程组的解， ∴，， ∴安装在前轮可行驶的里程为万千米，则安装在后轮可行驶的里程为万千米. 1 学科网（北京）股份有限公司 $