第07讲 单项式与多项式的乘法（知识详解+12典例分析+习题巩固）2025-2026学年浙教版七年级数学下册同步讲义与测试

第07讲 单项式与多项式的乘法（知识详解+12典例分析+习题巩固） 【知识点01】单项式与单项式相乘 1. 单项式与单项式相乘的法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式。简记为“两相乘，一不变” 简记为“两相乘，一不变” 2.单项式乘单项式的步骤： （1）确定积的系数:积的系数等于各项系数的积； （2）确定相同字母:同底数幂相乘，底数不变，指数相加； （3）确定单独字母:只在一个单项式里出现的字母，要连同它的指数一起作为积的因式。 示例1 单项式与单项式相乘 【知识点02】单项式与多项式相乘 单项式与多项式相乘的法则： 文字语言 字母表示 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。  𝑝（𝑎+𝑏+𝑐）=𝑝𝑎+𝑝𝑏+𝑝𝑐(𝑝，𝑎，𝑏，𝑐都是单项式)  实质上是利用分配律将其转化为几个单项式相乘的和的形式 示例2 单项式与多项式相乘 注意：多项式中的每一项都包含它前面的符号，同时还要注意单项式的符号。 敲黑板 （1）单项式与多项式相乘，实质上是利用分配律将其转化为单项式与单项式相乘。 （2）单项式与多项式相乘的结果仍是一个多项式，合并前，其项数与因式中多项式的项数相同。 【知识点03】多项式与多项式相乘 1.多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。 字母表示：(a+n)(b+m)=ab+am+nb+nm 。 示例 多项式乘多项式 注意：（1）多项式乘多项式时，要按照一定的顺序进行，做到不重不漏。 （2）不要漏乘不含字母的项，注意符号不能出错。 （3）多项式乘多项式，结果仍为多项式，若有同类项，则要合并同类项。在合并同类项之前，所得积的项数应是两个多项式的项数之积，可用此方法检验是否漏乘或多乘。 2.几何意义： 如图，将大长方形看作一个整体，则S=(a+n)(b+m);将大长方形看作由四个长方形拼成的，则S=ab+am+nb+nm。 所以(a+n)(b+m)=ab+am+nb+nm。 【题型一】计算单项式乘单项式 例1．（24-25七年级下·浙江杭州·月考）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】计算单项式乘单项式 【分析】本题考查单项式相乘的运算，需将系数相乘，同底数幂相乘． 【详解】解：． 故选C． 变式1．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）计算：______． 【答案】 【知识点】计算单项式乘单项式 【分析】本题考查了单项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解题关键．根据单项式乘多项式的运算法则求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 变式2．（2023七年级下·浙江·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8) ． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 【知识点】计算单项式乘单项式 【分析】（1）直接利用单项式乘以单项式计算可得结果； （2）先利用积的乘方计算，然后利用单项式的乘法计算即可； （3）先利用积的乘方计算，然后利用单项式的乘法计算即可； （4）先利用积的乘方计算，然后利用单项式的乘法计算，最后合并同类项即可得出结果； （5）先利用积的乘方计算，然后利用单项式的乘法计算即可； （6）先利用积的乘方计算，然后利用单项式的乘法计算即可； （7）先利用积的乘方计算，然后利用单项式的乘法计算，最后合并同类项即可得出结果； （8）先利用积的乘方计算，然后利用单项式的乘法计算，最后合并同类项即可得出结果． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ； （7）解： ； （8）解： ． 【点睛】本题考查单项式与单项式相乘，掌握同底数幂的乘法法则是解题关键． 【题型二】利用单项式乘法求字母或代数式的值 例2．（22-23七年级·浙江金华·期中）如图，在正方形内，将2张①号长方形纸片和3张②号长方形纸片按图1和图2两种方式放置（放置的纸片间没有重叠部分），正方形中未被覆盖的部分（阴影部分）的周长相等．    （1）若①号长方形纸片的宽为2厘米，则②号长方形纸片的宽为_______ 厘米； （2）若①号长方形纸片的面积为40平方厘米，则②号长方形纸片的面积是_________ 平方厘米． 【答案】 4 【知识点】利用单项式乘法求字母或代数式的值、列代数式 【分析】（1）根据正方形中未被覆盖的部分（阴影部分）的周长相等可得②号长方形纸片的宽为①号长方形纸片的宽的2倍，进而计算即可； （2）观察图形，②号长方形纸片的宽为①号长方形纸片的宽的2倍，②号长方形纸片的长的3倍是①号长方形纸片的长，进而计算即可． 【详解】解：（1）由图知，②号长方形纸片的宽为（厘米）， 故答案为：4； （2）设①长方形纸片的长为a，宽为b，则， 由图知，②长方形纸片的长为，宽为， ∴②号长方形纸片的面积是（平方厘米）， 故答案为：． 【点睛】本题考查整式的乘法运算的应用，利用图形，正确列出式子是解答的关键． 变式1．若，求的值． 【答案】 【知识点】利用单项式乘法求字母或代数式的值 【分析】首先利用单项式乘法可得，进而得到，再把两个方程相加可得答案． 【详解】解：， 则， ∴， 即， ， ∴． 【点睛】本题主要考查了单项式乘以单项式，关键是掌握单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式． 【题型三】计算单项式乘多项式及求值 例3．（22-23七年级·浙江宁波·期中）将代数式去括号后，得到的正确结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】计算单项式乘多项式及求值 【分析】根据单项式乘以多项式的运算法则计算即可． 【详解】解：， 故选：C． 【点睛】本题考查了单项式乘以多项式的运算法则，计算时注意符号，熟练掌握相关计算法则是解答本题的关键． 例4．（23-24七年级下·浙江·期中）计算：______． 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式，直接根据单项式乘以多项式的计算法则求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 变式1．（24-25七年级下·浙江湖州·期末）若实数a，b满足，，则的值是____． 【答案】 【知识点】计算单项式乘多项式及求值 【分析】本题考查了单项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解题关键．先根据单项式乘以多项式可得，再将代入计算即可得． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 变式2．（2025·浙江金华·二模）先化简，再求值：，其中 【答案】， 【知识点】计算单项式乘多项式及求值 【分析】本题考查单项式乘多项式法则、整式加减运算及代数式求值；解题关键是准确运用法则展开式子，合并同类项化简后再代入求值． 利用单项式乘多项式法则去括号，合并同类项法则进行化简，再代入求值即可． 【详解】解： ； 当时，原式． 【题型四】单项式乘多项式的应用 例5．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）如图，圆圆同学画了三个面积相等的大正方形和三个面积相等小正方形（两个大小不同的正方形不重合无间隙），她在三个图上分别画出了三块阴影面积．若图1，图2，图3的阴影面积分别记为，且，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】单项式乘多项式的应用 【分析】该题考查了多项式乘法与图形面积，解题的关键是表示出图中阴影部分面积． 设大正方形和小正方形的边长分别为，根据图1和图2列出等式，求出，再根据图3表示出阴影部分面积，代入求解即可． 【详解】解：设大正方形和小正方形的边长分别为， 根据题意可得：， 即， ， 即，解得：； ∴， ∴， 故选：A． 变式1．（24-25七年级下·浙江杭州·月考）如图，小明的房间由小卧室和阳台组成，小明爸妈的房间由大卧室和露台组成大小卧室都是正方形，大卧室的边长和小明房间的长都是，露台的宽度为，阳台的宽度是露台宽度的． (1)用含，的代数式分别表示大卧室和阳台的面积； (2)若，，求的值． 【答案】(1)， (2) 【知识点】整式加减的应用、单项式乘多项式的应用、列代数式 【分析】大小卧室都是正方形，大卧室的边长是，根据正方形的面积公式：正方形的面积边长边长，代入字母表示出大卧室的面积；阳台是一个长方形，露台的宽度为，阳台的宽度是露台宽度的，阳台的宽是，阳台的长是，长方形的面积长宽，代入字母表示出代数式即可． 由，得，因为，所以，化简求出即可． 本题考查了列代数式，多项式乘以单项式，整式的加减运算，解决本题的关键是熟练利用长方形得到面积公式计算． 【详解】（1）解：大卧室面积是：， 阳台的面积是：． 答：大卧室的面积是，阳台的面积是． （2）解：因为， 所以， 露台面积是：， 阳台的面积是：， 因为， 所以， 即， 得：， 得． 【题型五】利用单项式乘多项式求字母的值 例6．要使成立，则，的值分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【知识点】利用单项式乘多项式求字母的值 【分析】根据整式的乘法展开，根据对应系数相等得到a，b的关系式，即可求解． 【详解】∵ ∴a+3=5，-2b=4 ∴， 故选C． 【点睛】此题主要考查整式运算的应用，解题的关键是熟知整式乘法的运算法则． 变式1．（24-25七年级下·全国·课后作业）若，则__________． 【答案】6 【知识点】利用单项式乘多项式求字母的值 【分析】本题考查了整式的乘法，利用单项式乘以多项式的法则进行计算，可得到的值，再代入计算即可． 【详解】解：， ∴ ∴， 故答案为：6． 变式2．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知中不含项，求a的值． 【答案】 【知识点】利用单项式乘多项式求字母的值 【分析】本题考查了整式的无关型运算． 先计算原整式，求出的系数，进而根据“不含项”计算即可． 【详解】解：原式 ． 因为不含项， 所以．解得． 【题型六】计算多项式乘多项式 例7．（24-25七年级下·浙江衢州·期中）若，则m的值是（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【知识点】计算多项式乘多项式 【分析】本题考查了多项式的乘法． 计算，根据作答即可． 【详解】解：， ∵ ∴ ∴． 故选：C． 变式1．（23-24七年级下·浙江杭州·期中）已知，，则的值是 __． 【答案】4 【知识点】计算多项式乘多项式 【分析】本题考查了多项式与多项式的乘法运算，化简求值． 把展开，再把和的值代入，即可得到结果． 【详解】解：，， ． 故答案为：4． 变式2．（23-24七年级下·浙江金华·期中）聪聪计算一道整式乘法的题：将第一个多项式中的“”抄成“”，得到的结果为． (1)求，的值； (2)请你帮助聪聪算出这道题的正确结果． 【答案】(1)，； (2)． 【知识点】计算多项式乘多项式、代入消元法 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解题关键． （）根据题意得出，然后通过多项式乘以多项式运算法则得，再进行对比得，再解方程组即可． （）把代入，再通过多项式乘以多项式运算法则即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴， ∴，解得：； （2）解：由（）得：， ∴ ． 【题型七】（x+p）（x+q）型多项式乘法 例8．（23-24七年级下·浙江温州·期末）若，则m为（    ） A．2 B． C．8 D． 【答案】A 【知识点】（x+p）（x+q）型多项式乘法 【分析】此题考查了多项式乘多项式的计算能力，关键是能准确理解并运用该知识进行正确地求解． 运用多项式乘多项式的计算方法进行求解． 【详解】解：∵ ， ∴， 故选：A． 变式1．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）已知，则______． 【答案】3 【知识点】（x+p）（x+q）型多项式乘法 【分析】本题考查了多项式乘多项式．将变形为即可得出答案． 【详解】解：∵，且， ∴， 故答案为：3． 变式2．（2023七年级下·浙江·专题练习）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】（x+p）（x+q）型多项式乘法 【分析】（1）根据多项式乘以多项式进行计算即可求解； （2）根据多项式乘以多项式进行计算即可求解； （3）根据多项式乘以多项式进行计算即可求解； （4）根据多项式乘以多项式进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握多项式乘以多项式的运算法则是解题的关键． 【题型八】已知多项式乘积不含某项求字母的值 例9．（24-25七年级下·浙江绍兴·期中）若展开后不含x的一次项，则p与q的关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】计算多项式乘多项式、已知多项式乘积不含某项求字母的值 【分析】本题考查了多项式的乘法．将多项式展开后，找到的一次项系数，令其等于零，即可得到与的关系． 【详解】解：展开多项式：， ∵展开后不含的一次项， ∴项的系数， 解得：， 故选：B． 变式1．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）如果的乘积中不含的一次项，则的值为______． 【答案】1 【知识点】已知多项式乘积不含某项求字母的值 【分析】本题主要考查了多项式乘法中的无关型问题，根据多项式乘以多项式的计算法则求出的展开结果，再根据展开结果中不含的一次项，即含的一次项的系数为0列式求解即可． 【详解】解： ， ∵的乘积中不含的一次项， ∴， ∴， 故答案为：1． 变式2．（2024七年级下·浙江·专题练习）已知代数式化简后，不含项和常数项，求，的值． 【答案】， 【知识点】已知多项式乘积不含某项求字母的值 【分析】本题考查了整式的混合运算和求值的应用，先算乘法，合并同类项，即可得出关于的方程，求出即可． 【详解】解： ， ∵化简后不含项和常数项， ∴，， 解得：，． 【题型九】多项式乘多项式——化简求值 例10．（22-23七年级下·浙江杭州·期中）已知．则的值为（    ） A．6 B．2 C．0 D．1 【答案】B 【知识点】多项式乘多项式——化简求值 【分析】利用多项式乘多项式法则展开，再将已知式子整体代入计算． 【详解】解：∵， ∴ 故选B． 【点睛】本题考查了多项式乘多项式及其化简求值，解题的关键是掌握多项式的运算法则． 变式1．（24-25七年级下·浙江台州·期中）已知，则的值为______． 【答案】 【知识点】多项式乘多项式——化简求值 【分析】该题考查了多项式乘多项式，将展开，再代入求解即可． 【详解】解：∵， 则 ， 故答案为：． 变式2．（2024七年级下·浙江·专题练习）先化简，再求值：，其中． 【答案】，3 【知识点】多项式乘多项式——化简求值 【分析】本题考查了整式的乘法运算化简求值，先利用多项式乘多项式和单项式乘多项式法则去括号，再合并同类项，然后把的值代入化简后的式子进行计算，即可解答． 【详解】解： ， 当时，原式． 【题型十】多项式乘多项式与图形面积 例11．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）下面四个备选答案所提供的整式中，表示图中阴影部分面积的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】多项式乘多项式与图形面积 【分析】此题考查了多项式乘法的运算能力，关键是能准确根据题意列式、计算．根据题意列式表示出该阴影部分的面积，再运用多项式的乘法法则进行化简、计算． 【详解】解：图中阴影部分面积为：，或或， 故选：D． 变式1．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）图1是把两个边长为的正方形纸片和一个边长为的正方形纸片放置在长方形内，图2是把两个边长为的正方形纸片和一个边长为的正方形纸片放置在长方形内，阴影部分是未被这三张正方形纸片覆盖的部分．设图1阴影部分面积为，图2阴影部分面积为．若，，则________（用含m的代数式表示）． 【答案】/ 【知识点】多项式乘多项式与图形面积 【分析】本题主要考查了整式乘法混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键．设，得出，，再求出，将代入求值即可． 【详解】解：设， 则 ， ， ∴ ， ∵， ∴． 故答案为：． 变式2．（24-25七年级下·浙江金华·期中）用如图所示的正方形和长方形纸片进行拼图活动．请解决以下问题： (1)若要拼成一个长为，宽为的长方形，则需要A型纸片 张，B型纸片 张，C型纸片 张． (2)现有A型纸片1张，C型纸片4张，B型纸片若干张，恰好拼成一个正方形，求B型纸片的张数． (3)现有A，B，C三种型号的纸片共8张，恰好能拼成一个长方形（每种纸片都用上），若它的一边长为，则需要三种纸片各多少张？（求出所有可能的情况） 【答案】(1)要A型纸片3张，型纸片11张，型纸片6张； (2)4 (3)方案1：A纸片1张，B纸片4张，纸片3张；方案2：A纸片2张，纸片4张，纸片2张；方案3：A纸片3张，纸片4张，纸片1张 【知识点】多项式乘多项式与图形面积 【分析】本题考查的是多项式乘法与图形，掌握多项式乘法法则和正确理解题意是解题关键， （1）先求出长方形面积，根据面积即可确定结论； （2）根据完全平方公式确定即可； （3）设这边的邻边长为，根据面积可得出，根据正整数解即可解决． 【详解】（1）解：， 要A型纸片3张，型纸片11张，型纸片6张； （2）解∶ 设型纸片有张， 则该正方形的面积可表示为， 解得； （3）解∶ 根据题意，这个长方形一边长为，设这边的邻边长为， 则长方形的面积为：， 则有张A纸片，张纸片，张纸片， ∵拼成这个长方形恰好用8张纸片， 所以，即， 因为和都是正整数， 则只有三组正整数解：，；，；，． 所以只有下列三种情形： 方案1：A纸片1张，纸片4张，纸片3张 方案2：A纸片2张，纸片4张，纸片2张 方案3：A纸片3张，纸片4张，纸片1张 ． 【题型十一】多项式乘法中的规律性问题 例12．（24-25七年级下·浙江金华·期中）如图，在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，介绍了展开式的系数规律，称为“杨辉三角”．如第5行的5个数是1，4，6，4，1，恰好对应着展开式中的各项系数．利用上述规律计算关于x的多项式中x6项的系数为（　　） A．80 B．60 C．40 D．20 【答案】B 【知识点】多项式乘法中的规律性问题 【分析】本题考查对“杨辉三角”规律的运用以及多项式乘法法则，解题关键是利用“杨辉三角”得出展开式，再通过分析多项式乘积中项的构成来确定其系数． 由已知规律得，再利用多项式乘多项式法则求出项的系数即可． 【详解】根据“杨辉三角”的规律得： ， ， ，， 项的系数为：． 故答案为：B． 变式1．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）杨辉三角是二项式系数在三角形中的一种几何排列，是中国古代数学重要成就．观察如图各式及其展开式，请问展开式中，共有______项，含项的系数是______． 【答案】 【知识点】多项式乘法中的规律性问题 【分析】本题主要考查了多项式乘法中的规律探索，观察可知的展开式有项，的展开式中从左往右第二项的系数为，令，则的展开式中从左往右第二项的系数为，据此可得答案． 【详解】解：，展开式有2项， ，展开式有3项， ，展开式有4项， ，展开式有5项， ……， 以此类推可知，的展开式有项， ∴展开式中，共有项； ，展开式中从左往右第二项的系数为1， ，展开式中从左往右第二项的系数为2， ，展开式中从左往右第二项的系数为3， ，展开式中从左往右第二项的系数为4， ……， 以此类推可知，的展开式中从左往右第二项的系数为， 令，则的展开式中从左往右第二项的系数为， ∴的展开式中，含项的系数是， 故答案为：；． 变式2．（24-25七年级下·浙江金华·期中）观察下列各式的规律，解答下列问题． 第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． …… (1)观察：根据上述规律，请写出第5个等式：________． (2)猜想：________． (3)应用：当，时，求出的值． (4)延伸：试求的值． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】多项式乘法中的规律性问题 【分析】（）根据已知等式写成第5个等式即可； （）根据已知等式写出猜想即可； （3）根据规律进行解答即可； （4）根据（2）的结论求出，进而即可求解； 本题考查了多项式乘以多项式，根据已知等式找到规律是解题的关键 【详解】（1）解：第5个等式为： 故答案为： （2）猜想 故答案为： （3）当，时， 即 ∴ 即当，时，的值为． （4）∵， ∴ 【题型十二】整式乘法混合运算 例13．（24-25七年级下·浙江金华·期末）如图，正方形，点为延长线上一点，以为边向右作正方形，连结，，．若要求出的面积，只需知道（    ） A．的长 B．的长 C．的长 D．的长 【答案】D 【知识点】整式乘法混合运算 【分析】此题主要考查了正方形的性质，三角形的面积，准确识图，熟练掌握正方形的性质，三角形的面积公式是解决问题的关键．设正方形的边长为，正方形的边长为，则，再分别求出，，，进而得，据此即可得出结论． 【详解】解：设正方形的边长为，正方形的边长为， ，， ， ，， 又， ， 若要求出的面积，只需知道的长． 故选：D． 变式1．（23-24七年级下·浙江绍兴·期中）如图，有A，B，C三种不同型号的卡片，A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是相邻两边长分别为a、b的长方形，C型卡片是边长为b的正方形，现用x张A型卡片，100张B型卡片，y张C型卡片拼成一个正方形（无缝隙，不重叠），若，则x+y的最小值为_______． 【答案】8 【知识点】整式乘法混合运算 【分析】此题主要考查了整式的运算的应用，熟练掌握运算法则是解题的关键． 设拼成的正方形的边长为L，则面积为L2，则可得到即根据正方形的特征则可知：也为整数，最接近300的倍数为289，设则令进而即可求解． 【详解】解：设拼成的正方形的边长为L，则面积为， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵正方形的边长为L，它必须是整数．同时也为整数， ∴也为整数， ∵最接近300的平方数为， 。 ∴， ∴x+y的最小值为8， 故答案为：8． 变式2．（23-24七年级下·浙江衢州·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】整式乘法混合运算 【分析】本题考查了整式的乘法，解题的关键是掌握整式的乘法法则． （1）先算乘法，再合并同类项即可； （2）根据多项式乘多项式的乘法法则计算即可． 【详解】（1）解： 原式 （2） 原式 一、单选题 1．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查单项式乘多项式，解答的关键是注意符号的变化． 利用单项式乘多项式的运算法则进行运算即可． 【详解】 故选：C． 2．使展开整理后不含项，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查多项式乘多项式．根据多项式乘多项式的运算法则可进行把含x的多项式进行展开，然后再根据题意可求解． 【详解】解：， ∵展开后不含x项， ∴， 解得：； 故选：B． 3．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据积的乘方与幂的乘方的性质以及单项式乘以单项式求解即可求得答案． 【详解】解： = = 故选：B． 【点睛】此题主要考查了积的乘方与幂的乘方以及单项式乘以单项式，熟练掌握运算法则是解答此题的关键． 4．已知整式分解因式得，则的值分别（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查多项式乘以多项式，以及多项式相等时对应各项系数相等，正确利用公式计算是关键． 利用整式的乘法去括号合并同类项后，对比各项系数相等即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：A 5．如果单项式与是同类项，那么这两个单项式的积是（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查同类项的定义，单项式乘单项式，根据同类项的定义求出、的值，确定单项式后，再由单项式乘单项式的计算方法进行计算即可． 【详解】∵单项式与是同类项， ∴，， ∴单项式与的积是， 故选：A． 6．已知(x+a)(x+b)=x2-11x+18，则a+b的值为（    ） A．-11 B．11 C．-18 D．18 【答案】A 【分析】(x+a)(x+b)＝x2+（a＋b）x+ab，根据多项式相等则对应项的系数相同，据此即可求解． 【详解】解：(x+a)(x+b)＝x2+（a＋b）x+ab， ∵(x+a)(x+b)=x2-11x+18， ∴x2+(a＋b)x+ab=x2-11x+18， ∴a＋b＝−11，ab＝18． 故选：A． 【点睛】本题考查了多项式的乘法法则，理解多项式相等的条件是关键． 7．求和符号“”（其中，且和表示正整数），这个符号我们进行如下定义：表示从开始取数一直取到，全部加起来．如：当时，．若则的值为（   ） A．－4 B．4 C．－5 D．5 【答案】C 【分析】本题考查多项式乘多项式和整式加减，恒等式的问题．先根据中二次项系数为4，得出，然后列出代数式，进行化简，得出，即可求出结果．掌握求和符号的定义，是解题的关键． 【详解】解： ∵中二次项系数为4， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴，， ∴． 故选：C 8．长和宽分别为，和，的长方形与长方形如图摆放，其中点B、C、E三点在同一条直线上，图中空白部分面积记为，阴影部分面积记为，若想要得到的值，只需要测量的线段为（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】A 【分析】本题考查了多项式乘法与图形面积，熟练掌握长方形的性质，三角形的面积公式，整式的加减运算是解决问题的关键． 依题意得，根据三角形和长方形的面积公式得，进而得，，则，据此即可得出答案． 【详解】解：依题意得， ， ， ∵，     ， ， ∴想要得到的值，只需要测量的线段和的长即可． 故选：A． 9．如图，有正方形卡片类、类和长方形卡片类各若干张，如果要选用上述类卡片共张拼成一个大长方形（拼接时不可重叠，不可有缝隙）、且卡片全部用上，则下面选取方案不正确的是（    ） AI A．张类卡片，张类卡片，张 B．张类卡片，张类卡片，张 C．张类卡片，张类卡片，张 D．张类卡片，张类卡片，张 【答案】D 【分析】列出大长方形的长和宽，利用多项式乘多项式可得到答案． 【详解】解：、因为，所以张类卡片，张类卡片，张类卡片，共张，是正确的； 、因为，所以张类卡片，张类卡片，张类卡片，共张，是正确的； 、因为，张类卡片，张类卡片，张类卡片，共张，是正确的； 、因为，所以张类卡片，张类卡片，张类卡片，共张，是错误的． 故选：． 【点睛】本题考查了几何图形与整式乘法，多项式乘以多项式，注意数形结合的思想是解答本题的关键． 10．由多项式乘法可得：，即得等式：①，我们把等式①叫做多项式乘法的立方和公式，下列应用这个立方和公式进行的变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据多项式乘法的立方和公式判断即可． 【详解】解：A、（x+2y）（x2﹣2xy+4y2）＝x3+8y3，原变形错误，故此选项不符合题意； B、x3+27＝（x+3）（x2﹣3x+9），原变形正确，故此选项符合题意； C、（x+2y）（x2﹣2xy+4y2）＝x3+8y3，原变形错误，故此选项不符合题意； D、a3+1＝（a+1）（a2﹣a+1），原变形错误，故此选项不符合题意， 故选：B． 【点睛】本题主要考查学生的阅读理解能力及多项式乘法的立方和公式．透彻理解公式是解题的关键． 二、填空题 11．计算：﹣3x（2x2+4x﹣3）=_______． 【答案】 【分析】直接利用单项式乘以多项式的计算法则求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了单项式乘以多项式，解题的关键在于能够熟练掌握单项式乘以多项式的计算法则． 12．化简的结果是______． 【答案】 【分析】本题考查的是积的乘方运算，单项式乘以单项式，先计算积的乘方运算，再计算单项式乘以单项式即可. 【详解】解：； 故答案为： 13．已知二次三项式有一个因式是，则的值为______. 【答案】 【分析】设另一个因式为，得，根据整式的乘法运算法则即可求解． 本题考查因式分解的意义，解题关键是对题中所给解题思路的理解，同时要掌握因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式． 【详解】解：设另一个因式为，得， 则 ∴， 解得， ∴另一个因式为，的值为． 故答案为：． 14．若，则___________，___________． 【答案】 6 【分析】根据多项式乘多项式的乘法法则求得，从而可得，再根据等式两边对应项的系数相等，可得，，即可求解． 【详解】解：∵ ∵， ∴，，即， 故答案为：，6． 【点睛】本题考查多项式乘以多项式的乘法法则，根据对应项系数相等列方程是解题的关键． 15．定义一种新运算：．例如：，则的结果是______． 【答案】 【分析】根据新运算的定义，将和代入公式进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴； 故答案为： 16．若，则________． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方运算，整式的化简求值，先根据题意得出，再代入代数式，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 17．南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了（为自然数）展开式的各项的次数和系数规律，后人也将此称为“杨辉三角”．如图，请你仔细观察这两个规律，写出展开式中的第二项_____________． 【答案】 【分析】本题考查整式规律题，正确发现规律是解题的关键；根据二项式展开规律，的第二项为，代入，，计算即可． 【详解】解：由二项式展开规律可知，的第二项为； ，有，，， ∴代入得：第二项为． 故答案为：． 三、解答题 18．先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【知识点】本题考查整式运算中的化简求值，熟练掌握运算法则且正确求解是解答的关键．先根据单项式乘以多项式法则去括号，然后合并同类项化简，最后把代入求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 19．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】此题主要考查了积的乘方运算以及单项式乘以多项式以及合并同类项，正确掌握相关运算法则是解题关键． （1）直接利用积的乘方运算法则化简，再利用单项式乘以多项式运算法则计算得出答案； （2）利用单项式乘以多项式运算法则以及单项式乘以单项式运算法则计算得出答案； （3）直接利用积的乘方运算法则化简，再利用单项式乘以多项式运算法则计算得出答案； （4）利用单项式乘以多项式运算法则计算，再合并同类项得出答案． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式 ． 20．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了同底数幂的乘法，积的乘方和幂的乘方，多项式乘以多项式，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）首先计算同底数幂的乘法，积的乘方和幂的乘方，然后合并即可； （2）首先计算多项式乘以多项式，然后去括号合并即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 21．为响应汕头市“创建全国文明城市”号召，某村不断美化环境，拟在一块长为，宽为的长方形空地上修建如图所示的十字形花圃（非阴影部分），在花圃内种花，其余部分（阴影部分）种草． (1)求花圃的面积； (2)若建造花圃及种花的费用为每平方米100元，种草的费用为每平方米50元，则美化这块空地共需要多少元？ 【答案】(1) (2)元 【分析】（1）花圃的面积为两个长方形，宽都是，长分别是和 重合了一个边长为的正方形，计算可得面积． （2）分别求出花圃和种草区域的面积，对应乘上费用可计算出总费用． 【详解】（1）（），即花圃的面积为； （2） （元）． 答：美化这块空地共需要元． 【点睛】本题考查复合构图面积的计算及费用问题，计算时需要将复合图形拆解为可计算的图形的拼接，计算费用问题利用“总价=单价数量”，须理清楚对应关系． 22．我们在学习代数式求值时，遇到这样一类题：代数式的值与的取值无关，求的值． 通常的解题思路是：把，看作字母，看作系数，合并同类项，具体解题过程如下： 原式 ∵代数式的值与的取值无关， ∴， 解得： 【理解应用】 (1)若关于的多项式的值与的取值无关，则的值为 ； (2)已知，，且的值与的取值无关，求，的值； 【答案】(1) (2)， 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式，整式的化简求值，熟练掌握整式的混合运算顺序和法则及由题意得出相关的方程是解题的关键． （1）由题可知代数式的值与的取值无关，所以含项的系数为0，故将多项式整理为，令系数为0，即可求出； （2）先计算，结合多项式的值与的取值无关，即可求出答案． 【详解】（1）解：， ∵其值与的取值无关， ∴， 解得． 故答案为：． （2）解： ∵的值与的取值无关， ∴，， 解得，． 23．我们知道：． 类似的有：①；②；…… (1)验证上述②式成立； (2)再写出一个类似的等式； (3)计算：（结果用含3的幂表示）． 【答案】(1)验证过程见解析部分 (2) (3) 【分析】本题考查了多项式乘多项式，读懂题意，找出规律是解答本题的关键． （1）按多项式乘多项式展开，即可得到结果； （2）对照示例写出； （3）参照示例，看作是当时，所得到的等式，即可得到结果． 【详解】（1）解： ， 成立． （2）解：； （3）解：∵， ． 24．小兰和小玲玩纸片拼图游戏，发现利用图①中的三种材料各若干可以拼出一些长方形来解释某些等式．比如图②可以解释为：．    (1)图③可以解释为等式：_________； (2)请在虚线框中用图①中的基本图形若干块（每种至少用一次）拼成一个长方形，使拼出的长方形面积为，并标出此长方形的长和宽； (3)如图④，大正方形的边长为，小正方形的边长为，若用表示四个长方形的两边长，观察图案，指出以下关系式：①；②；③；④，其中正确的有（    ）． A．个    B．个    C．个    D．个 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据③中图形确定边长，可求出面积，根据①中图形的面积，因为面积相等，由此即可求解； （2）根据长方形面积可确定有个边长为的正方形，个长为、宽为的长方形，个边长为的正方形组成，由此即可求解； （3）根据题意可得，，，根据几何图形的面积计算方法，图形结合即可求解． 【详解】（1）解：根据图示可知，长方形的长为，宽为， ∴长方形的面积为， ∵根据①中图形的面积可知，③中图形的面积为：， ∴两种方式计算的长方形的面积相等，即， 故答案为：． （2）解：长方形面积为， ∴长方形的两边长为：，，如图为其中一种图形；    （3）解：大正方形的边长为，小正方形的边长为，用表示四个长方形的两边长， ∴①，故原命题正确； ②∵，， ∴，故原命题正确； ③∵，， ∴，故原命题正确； ④∵用表示四个长方形的两边长， ∴是每个长方形的面积，则四个长方形的面积为， ∵表示大正方形的面积减去小正方形的面积， ∴表示每个长方形的面积， ∴成立，故原命题正确； 故选：． 【点睛】本题主要考查整式运算与几何图形面积的关系，掌握整式乘除法的运算法则，几何图形面积的计算方法是解题的关键． 25．探索： ； ； ； ； … (1)第五个等式是 ； (2)求的值； (3)判断的值的个位数字是几． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据规律题中的已知条件得到规律即可求出第五个等式； （2）将代入代数式，且依据等式的规律列式即可计算得出答案； （3）先计算该代数式的值得到结果为，再探究得到个位数字的规律即可得到答案． 【详解】（1）解：第五个等式是， 故答案为：． （2）解： ； （3）解： ， ∵的个位数是，的个位数是， 的个位数是，的个位数是，的个位数是……， ∵ ∴的个位数是． 【点睛】此题考查整式的乘法规律的探究，能正确理解题中各代数式的结果得出的规律并运用规律进行计算是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第07讲 单项式与多项式的乘法（知识详解+12典例分析+习题巩固） 【知识点01】单项式与单项式相乘 1. 单项式与单项式相乘的法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式。简记为“两相乘，一不变” 简记为“两相乘，一不变” 2.单项式乘单项式的步骤： （1）确定积的系数:积的系数等于各项系数的积； （2）确定相同字母:同底数幂相乘，底数不变，指数相加； （3）确定单独字母:只在一个单项式里出现的字母，要连同它的指数一起作为积的因式。 示例1 单项式与单项式相乘 【知识点02】单项式与多项式相乘 单项式与多项式相乘的法则： 文字语言 字母表示 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。  𝑝（𝑎+𝑏+𝑐）=𝑝𝑎+𝑝𝑏+𝑝𝑐(𝑝，𝑎，𝑏，𝑐都是单项式)  实质上是利用分配律将其转化为几个单项式相乘的和的形式 示例2 单项式与多项式相乘 注意：多项式中的每一项都包含它前面的符号，同时还要注意单项式的符号。 敲黑板 （1）单项式与多项式相乘，实质上是利用分配律将其转化为单项式与单项式相乘。 （2）单项式与多项式相乘的结果仍是一个多项式，合并前，其项数与因式中多项式的项数相同。 【知识点03】多项式与多项式相乘 1.多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。 字母表示：(a+n)(b+m)=ab+am+nb+nm 。 示例 多项式乘多项式 注意：（1）多项式乘多项式时，要按照一定的顺序进行，做到不重不漏。 （2）不要漏乘不含字母的项，注意符号不能出错。 （3）多项式乘多项式，结果仍为多项式，若有同类项，则要合并同类项。在合并同类项之前，所得积的项数应是两个多项式的项数之积，可用此方法检验是否漏乘或多乘。 2.几何意义： 如图，将大长方形看作一个整体，则S=(a+n)(b+m);将大长方形看作由四个长方形拼成的，则S=ab+am+nb+nm。 所以(a+n)(b+m)=ab+am+nb+nm。 【题型一】计算单项式乘单项式 例1．（24-25七年级下·浙江杭州·月考）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 变式1．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）计算：______． 变式2．（2023七年级下·浙江·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8) ． 【题型二】利用单项式乘法求字母或代数式的值 例2．（22-23七年级·浙江金华·期中）如图，在正方形内，将2张①号长方形纸片和3张②号长方形纸片按图1和图2两种方式放置（放置的纸片间没有重叠部分），正方形中未被覆盖的部分（阴影部分）的周长相等．    （1）若①号长方形纸片的宽为2厘米，则②号长方形纸片的宽为_______ 厘米； （2）若①号长方形纸片的面积为40平方厘米，则②号长方形纸片的面积是_________ 平方厘米． 变式1．若，求的值． 【题型三】计算单项式乘多项式及求值 例3．（22-23七年级·浙江宁波·期中）将代数式去括号后，得到的正确结果是（    ） A． B． C． D． 例4．（23-24七年级下·浙江·期中）计算：______． 变式1．（24-25七年级下·浙江湖州·期末）若实数a，b满足，，则的值是____． 变式2．（2025·浙江金华·二模）先化简，再求值：，其中 【题型四】单项式乘多项式的应用 例5．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）如图，圆圆同学画了三个面积相等的大正方形和三个面积相等小正方形（两个大小不同的正方形不重合无间隙），她在三个图上分别画出了三块阴影面积．若图1，图2，图3的阴影面积分别记为，且，，则（   ） A． B． C． D． 变式1．（24-25七年级下·浙江杭州·月考）如图，小明的房间由小卧室和阳台组成，小明爸妈的房间由大卧室和露台组成大小卧室都是正方形，大卧室的边长和小明房间的长都是，露台的宽度为，阳台的宽度是露台宽度的． (1)用含，的代数式分别表示大卧室和阳台的面积； (2)若，，求的值． 【题型五】利用单项式乘多项式求字母的值 例6．要使成立，则，的值分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 变式1．（24-25七年级下·全国·课后作业）若，则__________． 变式2．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知中不含项，求a的值． 【题型六】计算多项式乘多项式 例7．（24-25七年级下·浙江衢州·期中）若，则m的值是（    ） A．2 B． C．1 D． 变式1．（23-24七年级下·浙江杭州·期中）已知，，则的值是 __． 变式2．（23-24七年级下·浙江金华·期中）聪聪计算一道整式乘法的题：将第一个多项式中的“”抄成“”，得到的结果为． (1)求，的值； (2)请你帮助聪聪算出这道题的正确结果． 【题型七】（x+p）（x+q）型多项式乘法 例8．（23-24七年级下·浙江温州·期末）若，则m为（    ） A．2 B． C．8 D． 变式1．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）已知，则______． 变式2．（2023七年级下·浙江·专题练习）计算： (1) (2) (3) (4) 【题型八】已知多项式乘积不含某项求字母的值 例9．（24-25七年级下·浙江绍兴·期中）若展开后不含x的一次项，则p与q的关系是（     ） A． B． C． D． 变式1．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）如果的乘积中不含的一次项，则的值为______． 变式2．（2024七年级下·浙江·专题练习）已知代数式化简后，不含项和常数项，求，的值． 【题型九】多项式乘多项式——化简求值 例10．（22-23七年级下·浙江杭州·期中）已知．则的值为（    ） A．6 B．2 C．0 D．1 变式1．（24-25七年级下·浙江台州·期中）已知，则的值为______． 变式2．（2024七年级下·浙江·专题练习）先化简，再求值：，其中． 【题型十】多项式乘多项式与图形面积 例11．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）下面四个备选答案所提供的整式中，表示图中阴影部分面积的是（   ） A． B． C． D． 变式1．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）图1是把两个边长为的正方形纸片和一个边长为的正方形纸片放置在长方形内，图2是把两个边长为的正方形纸片和一个边长为的正方形纸片放置在长方形内，阴影部分是未被这三张正方形纸片覆盖的部分．设图1阴影部分面积为，图2阴影部分面积为．若，，则________（用含m的代数式表示）． 变式2．（24-25七年级下·浙江金华·期中）用如图所示的正方形和长方形纸片进行拼图活动．请解决以下问题： (1)若要拼成一个长为，宽为的长方形，则需要A型纸片 张，B型纸片 张，C型纸片 张． (2)现有A型纸片1张，C型纸片4张，B型纸片若干张，恰好拼成一个正方形，求B型纸片的张数． (3)现有A，B，C三种型号的纸片共8张，恰好能拼成一个长方形（每种纸片都用上），若它的一边长为，则需要三种纸片各多少张？（求出所有可能的情况） 【题型十一】多项式乘法中的规律性问题 例12．（24-25七年级下·浙江金华·期中）如图，在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，介绍了展开式的系数规律，称为“杨辉三角”．如第5行的5个数是1，4，6，4，1，恰好对应着展开式中的各项系数．利用上述规律计算关于x的多项式中x6项的系数为（　　） A．80 B．60 C．40 D．20 变式1．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）杨辉三角是二项式系数在三角形中的一种几何排列，是中国古代数学重要成就．观察如图各式及其展开式，请问展开式中，共有______项，含项的系数是______． 变式2．（24-25七年级下·浙江金华·期中）观察下列各式的规律，解答下列问题． 第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． …… (1)观察：根据上述规律，请写出第5个等式：________． (2)猜想：________． (3)应用：当，时，求出的值． (4)延伸：试求的值． 【题型十二】整式乘法混合运算 例13．（24-25七年级下·浙江金华·期末）如图，正方形，点为延长线上一点，以为边向右作正方形，连结，，．若要求出的面积，只需知道（    ） A．的长 B．的长 C．的长 D．的长 变式1．（23-24七年级下·浙江绍兴·期中）如图，有A，B，C三种不同型号的卡片，A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是相邻两边长分别为a、b的长方形，C型卡片是边长为b的正方形，现用x张A型卡片，100张B型卡片，y张C型卡片拼成一个正方形（无缝隙，不重叠），若，则x+y的最小值为_______． 变式2．（23-24七年级下·浙江衢州·期中）计算： (1) (2) 一、单选题 1．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 2．使展开整理后不含项，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 4．已知整式分解因式得，则的值分别（   ） A． B． C． D． 5．如果单项式与是同类项，那么这两个单项式的积是（      ） A． B． C． D． 6．已知(x+a)(x+b)=x2-11x+18，则a+b的值为（    ） A．-11 B．11 C．-18 D．18 7．求和符号“”（其中，且和表示正整数），这个符号我们进行如下定义：表示从开始取数一直取到，全部加起来．如：当时，．若则的值为（   ） A．－4 B．4 C．－5 D．5 8．长和宽分别为，和，的长方形与长方形如图摆放，其中点B、C、E三点在同一条直线上，图中空白部分面积记为，阴影部分面积记为，若想要得到的值，只需要测量的线段为（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 9．如图，有正方形卡片类、类和长方形卡片类各若干张，如果要选用上述类卡片共张拼成一个大长方形（拼接时不可重叠，不可有缝隙）、且卡片全部用上，则下面选取方案不正确的是（    ） AI A．张类卡片，张类卡片，张 B．张类卡片，张类卡片，张 C．张类卡片，张类卡片，张 D．张类卡片，张类卡片，张 10．由多项式乘法可得：，即得等式：①，我们把等式①叫做多项式乘法的立方和公式，下列应用这个立方和公式进行的变形正确的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．计算：﹣3x（2x2+4x﹣3）=_______． 12．化简的结果是______． 13．已知二次三项式有一个因式是，则的值为______. 14．若，则___________，___________． 15．定义一种新运算：．例如：，则的结果是______． 16．若，则________． 17．南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了（为自然数）展开式的各项的次数和系数规律，后人也将此称为“杨辉三角”．如图，请你仔细观察这两个规律，写出展开式中的第二项_____________． 三、解答题 18．先化简，再求值：，其中． 19．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 20．计算： (1) (2) 21．为响应汕头市“创建全国文明城市”号召，某村不断美化环境，拟在一块长为，宽为的长方形空地上修建如图所示的十字形花圃（非阴影部分），在花圃内种花，其余部分（阴影部分）种草． (1)求花圃的面积； (2)若建造花圃及种花的费用为每平方米100元，种草的费用为每平方米50元，则美化这块空地共需要多少元？ 22．我们在学习代数式求值时，遇到这样一类题：代数式的值与的取值无关，求的值． 通常的解题思路是：把，看作字母，看作系数，合并同类项，具体解题过程如下： 原式 ∵代数式的值与的取值无关， ∴， 解得： 【理解应用】 (1)若关于的多项式的值与的取值无关，则的值为 ； (2)已知，，且的值与的取值无关，求，的值； 23．我们知道：． 类似的有：①；②；…… (1)验证上述②式成立； (2)再写出一个类似的等式； (3)计算：（结果用含3的幂表示）． 24．小兰和小玲玩纸片拼图游戏，发现利用图①中的三种材料各若干可以拼出一些长方形来解释某些等式．比如图②可以解释为：．    (1)图③可以解释为等式：_________； (2)请在虚线框中用图①中的基本图形若干块（每种至少用一次）拼成一个长方形，使拼出的长方形面积为，并标出此长方形的长和宽； (3)如图④，大正方形的边长为，小正方形的边长为，若用表示四个长方形的两边长，观察图案，指出以下关系式：①；②；③；④，其中正确的有（    ）． A．个    B．个    C．个    D．个 25．探索： ； ； ； ； … (1)第五个等式是 ； (2)求的值； (3)判断的值的个位数字是几． 1 学科网（北京）股份有限公司 $