第26章 反比例函数 章节（4知识详解+21典例分析）2025-2026学年沪教版五四制八年级数学下册同步讲义与测试

第26章 反比例函数 章节（4知识详解+21典例分析） 【知识点01】 反比例函数的概念 1. 定义 一般地，形如 的函数，叫做反比例函数。其中： x 是自变量，y 是 x 的函数； k 叫做比例系数，k≠0 是前提条件。 2. 三种等价形式（必考） 1.分式形式： 2.负指数形式： 3.乘积形式： 3. 自变量与函数值的取值范围 自变量 x：x≠0（分母不能为0，这是反比例函数的隐含条件）； 函数值 y：y≠0（由 k≠0、x≠0 可推导得出）。 4. 反比例关系与反比例函数的区别 反比例关系：两个变量的乘积为非零常数，即 ，仅强调两个变量的数量关系，不要求是函数关系； 反比例函数：是函数，必须满足“一个自变量 x 对应唯一的函数值 y”，解析式严格符合 的形式。 【知识点02】反比例函数的图像与性质 1. 定义与解析式 定义：形如（为常数，）的函数，叫做反比例函数，其中为比例系数。 等价形式：、（），三种形式可相互转化，方便解题时灵活运用。 自变量范围：（分母不能为0），函数值（分子，分母不为0，故函数值不为0）。 2. 图像（双曲线） 形态：由两支独立的曲线组成，两支曲线关于原点对称，且无限靠近x轴、y轴，但永不与坐标轴相交（因为、）。 对称性： 中心对称：关于原点对称，即若点在双曲线上，则点也在双曲线上。 轴对称：关于直线和对称，即若点在双曲线上，则点、也在双曲线上。 的意义：的大小决定双曲线的位置，越大，双曲线离原点越远；越小，双曲线离原点越近。 3. 性质（重点） 符号 象限分布 增减性（每个象限内） 第一、三象限 随的增大而减小 第二、四象限 随的增大而增大 易错警示：不能说“在整个定义域内单调递增或递减”，反比例函数的增减性仅在每个象限内成立，跨象限无单调性（例如时，第一象限的值恒为正，第三象限的值恒为负，无法比较跨象限的增减）。 4. 的几何意义（高频考点） 过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，垂足分别为A、B，连接OP，所得图形面积与的关系如下： 矩形面积：四边形OAPB为矩形，面积。 三角形面积：△OAP、△OBP的面积相等，均为。 【知识点03】反比例函数的应用 1. 建模思路 实际问题中，若两个变量、满足“乘积为定值”（即，为非零常数），则这两个变量成反比例关系，可设反比例函数解析式为（实际问题中，，且自变量，需符合实际意义）。 2. 常见模型 行程问题：路程一定时，速度与时间成反比例，即（此时，为定值）。 工程问题：工作量一定时，工作效率与工作时间成反比例，即（此时，为定值）。 几何问题：面积一定时，矩形的长与宽成反比例（）、三角形的底与高成反比例（）。 物理问题：压强与受力面积（压力一定）、杠杆原理（，定值）等，均符合反比例关系。 3. 解题步骤（核心） 1.审：审题，找出题目中的两个变量，判断它们是否成反比例关系（即乘积为定值）； 2.设：设反比例函数解析式为（），注明自变量的实际取值范围； 3.求：根据题目给出的一组对应值，代入解析式求出的值； 4.定：确定最终的函数解析式，并再次确认自变量的范围（符合实际意义，如长度、时间、速度等不能为负数）； 解：利用解析式解决题目所求的问题（如求变量的值、判断取值范围等）。 【知识点04】易错点总结 忽略这一前提，导致解析式书写错误（如漏写）； 描述反比例函数增减性时，不注明“每个象限内”，出现跨象限判断增减的错误； 解决实际问题时，忽略自变量的实际意义，未注明（如长度、时间等不能为负数）； 运用的几何意义时，只求出，忽略根据双曲线所在象限判断的符号，导致结果错误； 与一次函数综合时，联立方程组求解交点坐标出错，或不会用割补法求图形面积。 【题型一】用反比例函数描述数量关系 1．（24-25八年级下·上海崇明·期末）若和成反比例关系，当的值分别为时，的值如表所示，则表中的值是（　　） 3 2 A． B． C．3 D．2 【答案】A 【知识点】用反比例函数描述数量关系 【分析】本题考查了变量间成反比例关系，熟练掌握定义是解题的关键．根据反比例的定义，若和成反比例关系，则它们的乘积为定值，利用已知条件时，求出的值，再代入时的情况计算的值． 【详解】解：由反比例关系得：（为常数）， 当时，，代入得：， 当时，，代入关系式得：， 解得：， 因此，表中的值是， 故选：A． 2．已知经过闭合电路的电流（单位：）与电路的电阻（单位：）是反比例函数关系．根据下表判断和的大小关系为（    ） 5 … … … … … 1 20 30 40 50 60 70 80 90 100 A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用反比例函数描述数量关系 【分析】根据电流与电路的电阻是反比例函数关系，由反比例函数图像是双曲线，在同一象限内x和y的变化规律是单调的，即可判断 【详解】∵电流与电路的电阻是反比例函数关系 由表格：； ∴在第一象限内，I随R的增大而减小 ∵ ∴ 故选：A 【点睛】本题考查双曲线图像的性质；解题关键是根据表格判断出双曲线在第一象限，单调递减 【题型二】根据定义判断是否是反比例函数 3．（2024八年级·上海·专题练习）下列四个函数中，是反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据定义判断是否是反比例函数 【分析】本题考查了反比例函数，掌握理解定义是解题关键． 根据反比例函数的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、是正比例函数，故本选项错误； B、符合反比例函数的定义，故本选项正确； C、是一次函数，故本选项错误； D、不是反比例函数，故本选项正确． 故选：B． 4．（23-24八年级·上海普陀·月考）下列问题中，两个变量成反比例的是（    ） A．商一定时（不为零），被除数与除数； B．等腰三角形周长一定时，它的腰长与它底边的长； C．一个因数（不为零）不变时，另一个因数与它们的积； D．货物的总价一定时，货物的单价与货物的数量． 【答案】D 【知识点】根据定义判断是否是反比例函数 【分析】本题考查了反比例函数，正确区分正比例函数与反比例函数是解题关键．判断一个函数是否是反比例函数，首先看看两个变量是否具有反比例关系．两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系，两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系．根据定义分析即可． 【详解】解：A、商一定时（不为零），被除数和除数成正比例关系，故A错误； B、等腰三角形周长一定时，它的腰长与它底边的长成一次函数关系；故B错误； C、一个因数（不为零）不变时，另一个因数与它们的积成正比例关系；故C错误； D、货物的总价A一定时，货物的单价a与货物的数量x成反比例关系；故D正确． 故选D 5．（22-23八年级·上海·暑假作业）下列函数（其中是自变量）中，哪些是反比例函数？哪些不是，为什么？ (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)不是反比例函数，理由见解析 (2)是反比例函数 (3)不是反比例函数，理由见解析 (4)是反比例函数 (5)不是反比例函数，理由见解析 (6)不是反比例函数，理由见解析 【知识点】根据定义判断是否是反比例函数 【分析】（1）根据反比例函数的定义进行判断即可； （2）根据反比例函数的定义进行判断即可； （3）根据反比例函数的定义进行判断即可； （4）根据反比例函数的定义进行判断即可； （5）根据反比例函数的定义进行判断即可； （6）根据反比例函数的定义进行判断即可． 【详解】（1）解：不是反比例函数；理由如下： ∵中自变量的指数是不是，不符合反比例函数的定义， ∴不是反比例函数； （2）解：是反比例函数；理由如下： ∵中自变量x的指数是，符合反比例函数的定义， ∴不是反比例函数； （3）解：不是反比例函数； ∵中自变量的指数是1不是，属于正比例函数，不符合反比例函数的定义， ∴不是反比例函数； （4）解：是反比例函数；理由如下： ∵中自变量x的指数是，符合反比例函数的定义， ∴不是反比例函数； （5）解：不是反比例函数；理由如下： 表示的是于成反比，表示的不是与成反比，不是反比例函数． （6）解：不是反比例函数；理由如下： 可变为，因此此解析式表示的是与成反比，表示的不是与成反比，不是反比例函数． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的定义，解题的关键是熟练掌握反比例函数的定义，一般地，如果两个变量x、y之间的关系可以表示成 (k为常数，)的形式，那么称y是x的反比例函数． 【题型三】根据反比例函数的定义求参数 6．若x和y成反比例关系，则的值是（   ） x 2 a y 6 b A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【知识点】根据反比例函数的定义求参数 【分析】根据反比例关系得到求解即可； 【详解】 x和y成反比例关系，，， ， ，， ，， ． 7．（22-23八年级·上海·暑假作业）已知反比例函数，求的值，并求当时的函数值． 【答案】， 【知识点】求自变量的值或函数值、根据反比例函数的定义求参数 【分析】根据反比例函数的定义求得的值，进而求出当时的函数值． 【详解】解：∵是反比例函数， ∴， ∴． ∴函数解析式为：， 当时，． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的定义，熟记反比例函数的定义是解题的关键． 【题型四】求反比例函数值 8．（24-25八年级·上海·单元测试）下列点不在y= 的图象上的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求反比例函数值 【分析】由反比例函数图象上点的坐标特征分别对各个选项进行判断即可．本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，只要点在函数的图象上，则一定满足函数的解析式．反之，只要满足函数解析式就一定在函数的图象上． 【详解】解：A、当时，， 点，在的图象上； B、当时，， 点，在的图象上； C、当时，，无意义， 点不在的图象上； D、当时，， 点在的图象上； 故选：C． 9．（2025八年级·上海·专题练习）已知点，在反比例函数y＝的图象上，则________． 【答案】 【知识点】求反比例函数值 【分析】本题主要考查了反比例函数，根据反比例函数图象上点的坐标特征，将点代入函数解析式求出常数，再代入点求解． 【详解】解：点在反比例函数y＝的图象上， ， 解得：， 反比例函数的解析式是， 点在反比例函数的图象上， ． 故答案为：． 【题型五】由反比例函数值求自变量 10．（22-23八年级下·上海嘉定）以下选项中的各点，不在反比例函数图象上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由反比例函数值求自变量 【分析】分别计算出四点的横纵坐标之积，然后根据反比例函数图象上点的坐标特征进行判断． 【详解】解：由题意得：， A.，不符合条件； B.，不符合条件； C.，符合条件； D. ，不符合条件； 故选C． 【点睛】本题主要考查对反比例函数图象上点的坐标特征的理解和掌握，能根据反比例函数图象上点的坐标特征进行判断是解此题的关键． 11．若反比例函数的图象经过，则的值是________． 【答案】 【知识点】由反比例函数值求自变量 【分析】本题考查反比例函数图象与性质、解一元一次方程等，根据题意，将代入表达式得到方程，求解即可得到答案，熟记反比例函数图象与性质是解决问题的关键． 【详解】解：反比例函数的图象经过， ，解得， 故答案为：． 12．已知反比例函数． (1)说出这个函数的比例系数和自变量的取值范围． (2)求当时函数的值． (3)求当时自变量x的值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】由反比例函数值求自变量、求反比例函数值 【分析】（1）根据是反比例函数的比例系数，在分母上求出取值范围即可； （2）把，代入解析式，求出值，即可得解； （3）把，代入解析式，求出值，即可得解． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：把，代入得：； ∴当时函数的值为：； （3）解：把，代入得：，解得：； ∴当时的值为：． 【点睛】本题考查反比例函数的定义以及求自变量或函数值．熟练掌握反比例函数的定义，是解题的关键． 【题型六】判断（画）反比例函数图象 13．定义新运算：例如：，，则函数，的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断（画）反比例函数图象 【分析】根据定义的新运算可得，根据反比例函数的性质即可得到答案． 【详解】解：根据题意得， 函数的图像为反比例函数的图像， ∵当时，，当，， 故选：D． 【点睛】本题考查函数的新定义和反比例函数的性质，解题的关键是根据题意写出函数的表达式． 14．（23-24八年级·上海静安·期末）函数的图像经过的象限是______． 【答案】二、四 【知识点】判断（画）反比例函数图象 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数，当时，图象经过第一、三象限，当时，图象经过第二、四象限，即可得出答案，熟练掌握反比例函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：， ， 函数的图像经过的象限是二、四， 故答案为：二、四． 15．已知反比例函数，且当时，． (1)求a的值； (2)在图中画出该函数图象． 【答案】(1) (2)见解析 【知识点】判断（画）反比例函数图象、求反比例函数解析式 【分析】本题主要考查待定系数法求函数的解析式，反比例函数图象的画法： （1）将，代入解析式求解． （2）根据函数解析式及表格作图． 【详解】（1）解：把，代入得，， 解得； （2）解：由（1）知反比例函数的解析式为， ∴当时，， 描点，连线，则该函数图象如图所示． 【题型七】已知反比例函数的图象，判断其解析式 16．反比例函数（k为正整数）在第一象限的图象如图所示，已知图中点A的坐标为，则k的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【知识点】已知反比例函数的图象，判断其解析式 【分析】首先假设点A在该反比例函数图象上，即可求出此时k的值．再根据实际，即可判断k的取值范围，即可选择． 【详解】假设点A在该反比例函数图象上， ∴， ∵点A实际在该反比例函数图象上方， ∴． 选项中只有A选项的值小于2． 故选A． 【点睛】本题考查反比例函数的性质．利用数形结合的思想是解答本题的关键． 17．（22-23八年级上·上海闵行·月考）已知函数的图像经过点，那么k的值是____________． 【答案】4 【知识点】已知反比例函数的图象，判断其解析式 【分析】根据反比例函数的定义，，将点代入即可求得k的值． 【详解】解：依题意： 把代入得： 解得： 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查反比例函数图像上的点的坐标特征，熟练掌握图像上的坐标与解析式的关系是解答的关键． 18．如图，，两点在反比例函数的图象上，，两点在反比例函数的图象上，轴于点，轴于点，，，，求的值． 【答案】4 【知识点】已知反比例函数的图象，判断其解析式 【分析】设，，，，则，，然后根据，，列式求解即可． 【详解】解：设，，，， 则，， 则， ，得， 同理：，得， 又， ， 解得． 【点睛】考查反比例函数上点的坐标关系，根据坐标转化线段长是解题关键． 【题型八】由反比例函数图象的对称性求点的坐标 19．（24-25八年级下·上海静安·期中）已知一条过原点的直线与双曲线的一个交点为，则它们的另一个交点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由反比例函数图象的对称性求点的坐标 【分析】根据过原点的直线与反比例函数构成的是中心对称图形，利用关于原点对称的点的特点横坐标相反，纵坐标也相反，解答即可． 本题考查了图象是中心对称图形，熟练掌握关于原点对称的点的特点横坐标相反，纵坐标也相反是解题的关键． 【详解】解：根据过原点的直线与反比例函数构成的是中心对称图形，且一个交点为， 则另一个交点为， 故选：C． 20．如图，点A、C是反比例函数图象上的点，且关于原点对称．过点A作轴于点B，若的面积为7，则反比例函数的表达式为__________． 【答案】 【知识点】由反比例函数图象的对称性求点的坐标、求反比例函数解析式 【分析】设反比例函数的表达式为，点的坐标为，即可表示出点和点的坐标，那么的面积就可以表示为，即可求解． 【详解】解：设反比例函数的表达式为，点的坐标为，则点的坐标为，点的坐标为， ∴的面积可以表示为， ∵的面积为7，即， 解得， ∴反比例函数的表达式为， 故答案为：． 【点睛】本题考查反比例函数的图象与性质，掌握反比例函数的中心对称性，表示出点的坐标，是解决本题的关键． 21．如图是反比例函数的图像，在图像上任取一点，过点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为、，则四边形是一个矩形，这个矩形的面积为．根据下列要求画图，并写出理由． (1)试利用反比例函数的图像在图中画出面积为的平行四边形（不可为矩形）； (2)试利用反比例函数的图像在图中画出面积为的三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】由反比例函数图象的对称性求点的坐标、已知比例系数求特殊图形的面积 【分析】本题主要考查了反比例函数中的几何意义，反比例函数的图象与性质，平行四边形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）连接，过点作交轴于点，可知四边形是平行四边形，则有，从而，所以平行四边形即为所求； （2）连接并延长交反比例函数于，连接，由反比例函数的对称性可知，可得，所以即为所求． 【详解】（1）解：连接，过点作交轴于点，如图： 轴，， 四边形是平行四边形， ， ， 平行四边形即为所求； （2）解：连接并延长交反比例函数于，连接，如图： 由反比例函数图象的对称性可知，与关于点对称， ， ， ， ， ， 即为所求． 【题型九】已知双曲线分布的象限，求参数范围 22．（23-24八年级·上海宝山·期末）已知反比例函数的图象有一支在第四象限，点在正比例函数的图象上，那么点P在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【知识点】已知双曲线分布的象限，求参数范围、正比例函数的图象 【分析】本题考查的是反比例函数的性质及一次函数图象上点的坐标特征，熟知函数图象与系数的关系是解题的关键．先根据反比例函数的图象有一支在第四象限判断出的符号，再由一次函数图象上点的坐标特征解答即可． 【详解】解：反比例函数的图象有一支在第四象限， ， ， 正比例函数的图象经过一、三象限， 点在正比例函数的图象上， 点在第一象限． 故选：A． 23．（22-23八年级·上海青浦·期中）已知反比例函数的图象在第二、四象限，则m的取值范围是 _____． 【答案】 【知识点】已知双曲线分布的象限，求参数范围 【分析】对于反比例函数（1），反比例函数图象在一、三象限；（2），反比例函数图象在第二、四象限内，由此解答即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象在第二、四象限， ∴ ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是反比例函数中的正负性对双曲线所在象限的确定． 24．已知反比例函数的图象位于第一、三象限． (1)求k的取值范围； (2)若，反比例函数的图象过点，求m的值． 【答案】(1) (2)1 【知识点】已知双曲线分布的象限，求参数范围、求反比例函数解析式 【分析】（1）根据反比例函数图象位于第一、三象限即可得到，由此进行求解即可； （2）直接把点代入中进行求解即可． 【详解】（1）由题意，， 解得：； （2）∵， ∴反比例函数的表达式为， 把点代入，得：， ∴． 【点睛】本题主要考查了反比例函数图象与其比例系数之间的关系，求反比例函数解析式，解题的关键在于能够熟练掌握反比例函数图象与比例系数之间的关系． 【题型十】判断反比例函数的增减性 25．（22-23八年级·上海嘉定·期中）如果有点在反比例函数（）的图像上，如果，则、、的大小关系是（　　） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【知识点】判断反比例函数的增减性 【分析】先根据题意确定反比例函数图像所在象限，并确定每个象限内图像的增减性，再利用，判断出每个点所在象限，进而得出结论． 【详解】解：∵反比例函数， ∴函数图像在二、四象限，并且在每个象限内y随x的增大而增大， ， A、B两点在第四象限，C在第二象限， ，， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数图像的增减性，解题的关键是掌握反比例函数图像所在象限，并且在每个象限内的增减性． 26．（2024·上海松江·二模）已知反比例函数的图像经过点，那么在每个象限内，y随x的增大而____．（填“增大”或“减小”） 【答案】增大 【知识点】判断反比例函数的增减性 【分析】根据题意，先确定，再依据反比例函数性质解答本题即可．本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数性质是解答本题的关键． 【详解】解：反比例函数 的图象经过点， ，反比例函数图象分布在第二四象限，在每个象限内，随的增大而增大， 故答案为：增大． 27．著名数学教育家波利亚曾说：“类比就是一种相似．”具体地说，类比是一种推理形式，当已经建立两个对象在某些性质上的类似之处以后，可能推出它们在其他某些性质上的类似．请阅读以下有关“分数”和“分式”相关材料后完成各小问． 【阅读材料】分数可分为“真分数”和“假分数”．而假分数都可化为带分数，类似的，对于一个分式，如果分子的次数小于分母的次数，这样的分式称为真分式，例如就是真分式；如果分子的次数大于或等于分母的次数，称这样的分式为假分式，例如、就是假分式．假分式可化为“带分式”，即整式与真分式的和的形式，例如：①；②；③． (1)把假分式化为带分式的形式为______； (2)我们可以类比反比例函数的性质研究函数的性质：当时，y随着x的增大而______（填“增大”或“减小”）； (3)求函数的图象上横、纵坐标均为整数的点的坐标． 【答案】(1) (2)增大 (3)和 【知识点】判断反比例函数的增减性、分式加减混合运算 【分析】本题考查了分式的加减运算，反比例函数的性质： （1）根据题意逆用分式加法的法则将假分式化为带分式； （2）先将分式化为带分式，再根据反比例函数的性质即可求解； （3）将分式化为带分式，再根据横、纵坐标均为整数确定x的值，进一步确定y的值即可得到答案． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：， ， 当时，随着x的增大而增大， 当时，随着x的增大而增大， 故答案为：增大； （3）解：， 若纵坐标为整数，即为整数，且横坐标为整数，即x为整数， ， 或2， 当时，；当时，， 函数图象上横、纵坐标均为整数的点的坐标为和． 【题型十一】判断反比例函数图象所在象限 28．（24-25八年级·上海·月考）关于反比例函数的图像，下列说法错误的是（   ） A．y随着x的增大而增大 B．图像位于第二、四象限 C．图像关于直线对称 D．图像关于直线对称 【答案】A 【知识点】判断反比例函数的增减性、判断反比例函数图象所在象限 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，根据反比例函数的性质进行逐一判断即可，熟练掌握反比例函数的性质是解决此题的关键． 【详解】解：A、∵在同一象限内，y随x的增大而增大， 故A错误，符合题意； B、∵， ∴图象位于第二，四象限， 故B正确，不符合题意； C、∵图象关于直线对称， 故C正确，不符合题意； D、∵图象关于直线对称， 故D正确，不符合题意； 故选：A． 29．（24-25八年级上·上海·月考）如果点在正比例函数的图像上，那么反比例函数的图像所在的象限是________． 【答案】第二，四象限 【知识点】正比例函数的性质、判断反比例函数图象所在象限 【分析】本题主要考查了求正比例函数解析式，判断反比例函数图像经过的象限，先利用待定系数法求出k的值，结合在反比例函数中：当时，图象在一、三象限，当时，图象在二、四象限可得答案． 【详解】解：∵点在正比例函数的图像上， ∴， ∴， ∴反比例函数的图像所在的象限是第二，四象限， 故答案为：第二，四象限。 30．已知反比例函数y＝（k为常数，k≠0）的图象经过点A（2，3） (1)求k的值； (2)此函数图象在 象限，在每个象限内，y随x的增大而 ；（填“增大”或“减小”） (3)判断点B（﹣1，6）是否在这个函数的图象上，并说明理由； (4)当﹣3＜x＜﹣1时，则y的取值范围为 ． 【答案】(1)k=6； (2)一、三；减小 (3)点B（﹣1，6）不在这个函数的图象上，理由见解析 (4)﹣6＜y＜﹣2 【知识点】求反比例函数解析式、判断反比例函数的增减性、判断反比例函数图象所在象限 【分析】（1）利用待定系数法求出k的值即可； （2）利用反比例函数的性质进而得出答案； （3）利用函数图象上点的坐标特点得出即可； （4）利用x的取值范围，得出y得取值范围即可． 【详解】（1）解：∵点A（2，3）在反比例函数y=的图象上， ∴k=2×3=6； （2）解：∵k=6＞0， ∴此函数图象在一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小； 故答案为：一、三；减小； （3）解：∵k=6， ∴反比例函数的解析式为y=， ∵当x=-1时，y==-6， ∴点B（-1，6）不在这个函数的图象上； （4）解：当-3＜x＜-1时，x=-3时，y=-2；x=-1时，y=-6， 则y的取值范围为：-6＜y＜-2． 故答案为：-6＜y＜-2． 【点睛】此题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式以及反比例函数的性质等知识，熟练应用相关性质是解题关键． 【题型十二】已知反比例函数的增减性求参数 31．（2024·上海·中考真题）已知反比例函数y=（k≠0），且在各自象限内，y随x的增大而增大，则下列点可能在这个函数图象上的为（   ） A．（2，3） B．（-2，3） C．（3，0） D．（-3，0） 【答案】B 【知识点】已知反比例函数的增减性求参数 【分析】根据反比例函数性质求出k<0，再根据k=xy，逐项判定即可． 【详解】解：∵反比例函数y=（k≠0），且在各自象限内，y随x的增大而增大，, ∴k=xy<0， A、∵2×3>0，∴点（2，3）不可能在这个函数图象上，故此选项不符合题意； B、∵-2×3<0，∴点（2，3）可能在这个函数图象上，故此选项符合题意； C、∵3×0=0，∴点（2，3）不可能在这个函数图象上，故此选项不符合题意； D、∵-3×0=0，∴点（2，3）不可能在这个函数图象上，故此选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 32．（23-24八年级·上海长宁·期末）如果点、点都在函数的图像上，且，那么的取值范围是______． 【答案】 【知识点】已知反比例函数的增减性求参数 【分析】本题主要考查了反比例函数图象和性质，根据题意可得在每个象限内随增大而增大，据此可得，则． 【详解】解：∵点、点都在函数的图象上，且， ∴在每个象限内随增大而增大， ∴， ∴， 故答案为：． 33．已知反比例函数（k为常数），当时，y随x的增大而增大，求k的取值范围． 【答案】 【知识点】已知反比例函数的增减性求参数 【分析】本题考查的是反比例函数的性质：当时，图象在一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当时，图象在二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大． 先根据当时，y随x的增大而增大判断出的符号，求出k的取值范围即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象，当时，y随x的增大而增大， ∴， 解得：． 【题型十三】比较反比例函数值或自变量的大小 34．（2024八年级·上海·期中）若、、三点都在函数的图象上，则，，的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数值的大小比较，熟练掌握反比例函数图象上的点的坐标满足函数的解析式是解题的关键． 分别把各点代入反比例函数的解析式，求出，，的值，再比较出其大小即可 【详解】解：∵、、三点都在函数的图象上， ∴，，， ∵， ∴， 故选：C． 35．（24-25八年级·上海·期末）若是反比例函数图象上的两点，则____（填“”、“”或“”）． 【答案】 【知识点】比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，解题的关键是掌握反比例函数的图象和性质． 根据反比例函数性质，当时，在区间内，y随x增大而减小． 【详解】解：反比例函数中，，在时，y随x增大而减小． ∵点的横坐标满足， ∴． 故答案为：． 36．已知反比例函数的图象经过点 (1)求这个反比例函数的表达式； (2)请判断点与是否在这个函数的图像上，并说明理由． 【答案】(1)； (2)点不在，点在． 【知识点】比较反比例函数值或自变量的大小、求反比例函数解析式 【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． （1）直接把点代入反比例函数，求出k的值即可； （2）判断点是否在函数图像上 对于反比例函数 ​，满足关系 ：若点的横纵坐标乘积为，则点在函数图像上，反之不在． 【详解】（1）解：设反比例函数的解析式为， ∵反比例函数的图象经过点， ∴，解得， ∴这个反比例函数的解析式为； （2）解：对点：，因此点不在该函数图像上； 对点：，因此点在该函数图像上． 【题型十四】已知比例系数求特殊图形的面积 37．（22-23八年级·上海·期中）如图，点在反比例函数第一象限的图象上，垂直轴，垂足为，设的面积是，那么与之间的数量关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【知识点】已知比例系数求特殊图形的面积 【分析】本题考查了反比例函数的性质以及反比例函数系数的几何意义，根据题意得出，再结合反比例函数的图象在第一象限，得出，即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：点在反比例函数第一象限的图象上，垂直轴， ， ， 反比例函数的图象在第一象限， ， ， 故选：C． 38．（23-24八年级下·上海·二轮复习）已知在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过位于轴上方的点，点的坐标为，且的面积等于8，那么点的坐标为 _____． 【答案】 【知识点】已知比例系数求特殊图形的面积 【分析】本题考查了反比例函数的图象．设点的横坐标为，则其纵坐标为，再利用三角形的面积公式得出结论． 【详解】解：由反比例函数的图象经过位于轴上方的点， 设点的横坐标为，则其纵坐标为， 点的坐标为， ， ， 即，解得：， 则， ， 故答案为：． 39．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点B在函数y1＝（x＞0）的图象上，边AB与函数y2＝（x＞0）的图象交于点D．求四边形ODBC的面积． 【答案】3 【知识点】已知比例系数求特殊图形的面积 【分析】根据反比例函数k的几何意义可知：△AOD的面积为1，矩形ABCO的面积为4，从而可以求出阴影部分ODBC的面积． 【详解】解：∵点D是函数y2＝（x＞0）图象上的一点， ∴△AOD的面积为， ∵点B在函数y1＝（x＞0）的图象上，四边形ABCO为矩形， ∴矩形ABCO的面积为4， ∴阴影部分ODBC的面积＝矩形ABCO的面积-△AOD的面积＝4-1＝3， 故选：B． 【点睛】本题考查反比例函数的几何意义，解题的关键是正确理解k的几何意义． 【题型十五】根据图形面积求比例系数（解析式） 40．如图，平行四边形的顶点B在x轴上，点A在上，且轴，对角线的延长线交y轴于点E，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】本题考查了反比例函数k值的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征、三角形面积、平行四边形的性质，熟练掌握k值几何意义是关键． 设与x轴交于点，连接，根据，， 且，可得 ，再利用，，继而求出值． 【详解】解：设与x轴交于点，连接， ∵ ， ， 且， ， 又∵， ， ， 反比例函数在第二象限， . 故选：B. 41．（24-25八年级·上海青浦·期中）如图，点A在反比例函数图象上，轴，垂足为B，且，则___________． 【答案】 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】本题考查了反比例函数与几何应用，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题关键．设点的坐标为，则，先根据三角形的面积公式可得，再将点代入计算即可得． 【详解】解：设点的坐标为， ∵轴，且点在第二象限， ∴， ∵， ∴，即， 解得， 将点代入反比例函数得：， 故答案为：． 42．（25-26八年级下·上海·月考）如图，正方形、的顶点、、在坐标轴上，点在上，点、在函数的图像上，已知正方形的面积为． (1)求的值和直线的解析式； (2)求正方形的边长． 【答案】(1)，直线的解析式为 (2) 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式）、反比例函数与几何综合、求一次函数解析式、根据正方形的性质求线段长 【分析】（1）利用正方形的性质得到点坐标，再把点坐标代入即可得到的值；然后利用待定系数法求直线的解析式； （2）设正方形的边长为，利用正方形的性质易表示点的坐标为， 然后把点坐标代入反比例函数解析式中，再解关于的一元二次方程即可得到正方形的边长． 【详解】（1）解：正方形的面积为， ， 点坐标为， 把代入得，， ； 设直线的解析式为， 把代入得， ，解得， 直线的解析式为； （2）解：设正方形的边长为，则点的坐标为， 把代入得，， 解得，（负值，舍去）， 正方形的边长为． 【题型十六】一次函数与反比例函数图象综合判断 43．（25-26八年级·上海·月考）函数和在同一直角坐标系中的大致图像是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】一次函数与反比例函数图象综合判断 【分析】本题主要考查了反比例函数和一次函数的图象性质，熟练掌握反比例函数（的符号对应图象所在象限）、一次函数（系数对增减性和与坐标轴交点的影响）的图象特征是解题的关键． 根据，分别分析反比例函数的象限分布，以及一次函数的增减性和与坐标轴的交点，再匹配选项即可． 【详解】解：∵ ， ∴ 反比例函数的图象位于第一、三象限， ∵ ，一次函数， ∴ 一次函数中，随的增大而增大（图象从左到右上升）， 令，得， ∵ ， ∴ 一次函数与轴的交点为，位于轴负半轴， 结合选项，只有D符合上述特征． 故选：D． 44．一次函数分别与轴、轴交于A、两点，点为反比例函数（）图象上一点，过点作轴的垂线交直线交于，作交直线于若，则的值为______． 【答案】 【知识点】一次函数与反比例函数图象综合判断 【分析】设，则，，构建方程求出的值即可． 【详解】解：设． 过点作轴的垂线交直线交于，作交直线于， ∴PC轴,轴， 点的纵坐标为，点的横坐标为， 一次函数， ， ， ，， ， ， ， ． 故答案为：． 当双曲线在第四象限时，同理可得 故答案为： 注：在此两种情况中，P点位置可能不同，形成图形也有所不同，但是解题方法和结论不变，故不再一一列举． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是学会利用参数构建方程，属于中考填空题中的压轴题． 45．（24-25八年级·上海徐汇·月考）如图，已知正比例函数的图像与反比例函数的图像交于点． (1)求上述正比例函数和反比例函数的解析式； (2)根据图像，在第一象限内，当反比例函数值大于正比例函数值时，写出的取值范围． 【答案】(1)正比例函数的解析式为，反比例函数的解析式为 (2) 【知识点】正比例函数的性质、求反比例函数解析式 【分析】本题考查了正比例函数和反比例函数的交点问题，解题的关键是掌握相关知识，并数形结合． （1）分别代入和 中，求出、，即可求解； （2）根据图像求解即可． 【详解】（1）解：分别代入和 中， 得到：，， 解得：，， 正比例函数的解析式为，反比例函数的解析式为； （2）由图可知，在第一象限内，当反比例函数值大于正比例函数值时，． 【题型十七】一次函数与反比例函数的交点问题 46．（2025·上海徐汇·二模）已知正比例函数的图象与反比例函数的图象交于A,B两点，如果点的坐标是，那么点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题主要考查一次函数与反比例函数的综合．根据正比例函数与反比例函数图像的中心对称性，可得关于原点中心对称，进而即可求解． 【详解】解：∵反比例函数的图象与正比例函数的图象相交于两点， ∴关于原点中心对称， ∵点的坐标是， ∴点的坐标是． 故选：A． 47．（24-25八年级上·上海·月考）如图，函数，若，则的取值范围是________． 【答案】或 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的交点问题，根据图象找到直线在双曲线上面时的自变量的取值范围即可． 【详解】解：由图象可知：时，或； 故答案为：或． 48．（24-25八年级下·上海·月考）如图所示，直线与两坐标轴分别交于点A、B，双曲线的图象与该直线交于点C、D，已知，点C的横坐标为2． (1)求a，k的值； (2)点E在y轴上，满足，求点E的坐标； (3)点M在x轴上，满足，求点M的坐标． 【答案】(1)，； (2)点E的坐标为或； (3)点M的坐标为或． 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题、公式法解一元二次方程、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查反比例函数与一次函数的综合问题． （1）先求得和，利用待定系数法求得直线，再求得，据此求解即可； （2）联立求得，根据三角形面积公式列式得到，求得，据此求解即可； （3）设，利用勾股定理列式得到，据此求解即可． 【详解】（1）解：令，则， ∴，， ∵， ∴， ∴， 将代入， 得， 解得， ∴直线， 当，则， ∴， ∵双曲线的图象经过点， ∴； （2）解：由（1）得双曲线的解析式为， 联立得， 整理得， 解得或， ∴， ∵， ∴，即， 解得， ∵， ∴点E的坐标为或； （3）解：设， ∵，， ∴，，， ∵， ∴，即， 整理得， 解得或， ∴点M的坐标为或． 【题型十八】一次函数与反比例函数的其他综合应用 49．如图，已知在平面直角坐标系中，直线分别交x轴，y轴于点A和点B，分别交反比例函数，的图象于点C和点D，过点C作轴于点E，连结，若的面积与的面积相等，则k的值是（　　） A．2 B． C．1 D． 【答案】A 【知识点】一次函数与反比例函数的其他综合应用、根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的图象与性质，由反比例k的几何意义可得，设，所以，再由已知可得，求得，再将点D代入即可求k的值． 【详解】解：由题意可求， ∵直线与交于点C， ∴， 设， ∴， ∵的面积与的面积相等， ∴， ∴， ∴， ∵D点在直线上， ∴， ∴， 故选：A． 50．如图，是函数的图象上一点，直线分别交轴、轴于点、，过点作轴于点，交于点，作轴于点，交于点，当时，的值为______． 【答案】5 【知识点】一次函数与反比例函数的其他综合应用 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题以及反比例函数系数的几何意义，设点坐标为，用表示的坐标，再根据两点距离公式与已知，便可得的方程． 【详解】解：直线分别交轴、轴于点、， 则， 设点坐标为， ∵点分别是直线与的交点， 当时，， ， 当时，， ， ， ， ， 则， 解得，， ， ， 故答案为：5． 51．（23-24八年级·上海青浦·期中）已知点是反比例函数图形上的动点，轴，轴，分别交反比例函数的图像于点A、B，点C是直线上的一点．    (1)请用含m的代数式表示P、A、B三点坐标． (2)在点P的运动过程中，连接，的面积是否变化，若不变，请求出的面积，若改变，请说明理由． (3)在点P运动过程中，是否存在以为直角边的和全等，如果存在，请求出m的值． 【答案】(1)，，； (2)不变， (3)或 【知识点】一次函数与反比例函数的其他综合应用、全等三角形综合问题 【分析】本题考查了反比例函数和正比例函数综合问题，涉及了全等三角形的性质，掌握分类讨论的数学思想是解决第三问的关键． （1）根据题意可得点，由轴，轴，在反比例函数的图像上即可求解； （2）由题意得，分别表示出，即可求解； （3）由题意分类讨论，，两种情况，求出点的坐标即可． 【详解】（1）解：∵点是反比例函数图形上的动点， ∴， ∴点， ∵轴，轴， ∴，， ∵在反比例函数的图像上， ∴，， 即：点，点； （2）解：的面积不变，为，理由如下： ∵轴，轴， ∴， ∵，，， ∴，， ∴； （3）解：若以为直角边的和全等， ，，如图所示：    此时， 即：点， ∵点C是直线上的一点， ∴， 解得：，（舍）， ，，如图所示：    此时， 即：点， ∵点C是直线上的一点， ∴，解得：，（舍）， 综上所述：或时，以为直角边的和全等． 【题型十九】反比例函数与几何综合 52．如图，A、B两点在反比例函数的图像上，C、D两点在反比例函数的图像上，AC⊥y轴于点E，BD⊥y轴于点F，AC=2，BD=1，EF=3，则的值是（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【知识点】反比例函数与几何综合 【分析】设点的坐标为，点的坐标为，则，，，，先将点的坐标代入反比例函数可得，由此可得，再根据可得，从而可得，由此即可得出答案． 【详解】解：由题意，设点的坐标为，点的坐标为， 则，，，， 将点，代入得：， 解得， ， ，即， 解得， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数的图像，熟练掌握反比例函数图像上的点的坐标特征是解题关键． 53．（2024·上海浦东新·二模）如图，点A、C在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，且轴，轴，那么的面积等于________． 【答案】 【知识点】反比例函数与几何综合 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题关键．设点，根据轴，且点B在反比例函数的图象上，得出，进而得到，根据轴，点C在反比例函数的图象上，得到，进而得到，最后利用三角形面积公式即可求解． 【详解】解：点A在反比例函数的图象上， 设点， 轴， 点的纵坐标为， 点B在反比例函数的图象上， ， ， 轴， 点的横坐标为， 点C在反比例函数的图象上， ， ， ， 故答案为： 54．（24-25八年级·上海普陀·月考）如图，在平面直角坐标系内，函数的图像与反比例函数图像有公共点A，点A的坐标为轴，垂足为点B． (1)求反比例函数的解析式； (2)点C是第一象限内直线上一点，过点C作直线，与反比例函数的图像交于点D，，求点D的坐标和的面积． 【答案】(1) (2)或，的面积为6 【知识点】解分式方程（化为一元一次）、正比例函数的图象、反比例函数与几何综合 【分析】本题考查了反比函数与正比例函数的综合题，涉及待定系数法求函数解析式，反比例函数图像上点的坐标特征，解分式方程，三角形的面积问题，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）把的坐标为代入，求得，再利用待定系数法即可求解反比例函数的解析式； （2）设点坐标为，则点坐标为，当点在点上方时,可得，根据题意可得，解得，从而求得的坐标，再由即可求解面积，同理当点在点下方时，点坐标和的面积． 【详解】（1）解：点在函数的图像上，点的坐标为， ∴， 点坐标为． 点在反比例函数的图像上， ，解得． 反比例函数的解析式为； （2）解：如图，当点在点上方时， 轴，点坐标为， ． 点为第一象限内直线上一点， 设点坐标为， 又，且点在反比例函数的图像上， 设点坐标为． 可得． ， ， 解得或， 经检验，或都是方程的解， ， ． 点的坐标为，， ∴， ∴； 当点在点下方时，如图： 设点坐标为， 又，且点在反比例函数的图像上， 设点坐标为． 可得． ， ， 解得或， 经检验，或都是方程的解， ， ． 点的坐标为，， ∴， ∴ ， 综上所述，点的坐标为或，的面积为6． 【题型二十】实际问题与反比例函数 55．（25-26八年级下·上海浦东新·阶段检测）小星在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔槔的古代汲水工具（如图），有一横杆固定于桔槔上的点，并可绕点转动．在横杆处连接一竹竿，在横杆处固定的物体，且．若图中人物竖直向下施加的拉力为，当改变点与点的距离时，横杆始终处于水平状态，小星发现与有一定的关系，他记录了拉力的大小与的变化情况如图所示，下列说法错误的是（   ） A．拉力的大小与符合反比例函数关系 B．当的长增大时，拉力在减小 C．的长每增大，所施加的拉力就减小 D．当的长从增加到时，所施加的拉力减小了 【答案】C 【知识点】从函数的图象获取信息、实际问题与反比例函数 【分析】仔细观察图象，得出与的积为定值，从而得出满足反比例函数关系，利用函数的图象和性质逐项判断即可． 【详解】解：由图象中数据发现： ， 拉力与距离的乘积不变， 拉力的大小与之间满足反比例函数关系，故A正确，不符合题意； 由图象可得，当的长增大时，拉力在减小，故B正确，不符合题意； 由图象知，当时，，当时，，当时，， ， 的长每增大，所施加的拉力不一定减小，故C错误，符合题意； 当的长从增加到时，所施加的拉力减小了，故D正确，不符合题意． 56．近视眼镜的镜片是凹透镜，研究发现，近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）的关系近似满足．小宇原来佩戴400度近视眼镜，经过一段时间的矫正治疗，复查验光时，所配镜片焦距调整为米，则小宇的眼镜度数________（填“上涨”或“下降”）了________度． 【答案】 下降 150 【知识点】实际问题与反比例函数 【分析】根据眼镜的度数（度）与镜片焦距的关系式满足，小宇原来佩戴400度近视眼镜，矫正治疗后所配镜片焦距调整为，可求出现在小宇佩戴的眼镜度数，两次比较，即可求解． 【详解】解：根据题意得，矫正治疗后所配镜片焦距调整为， ∴，即矫正治疗后小宇佩戴的眼镜度数是，小宇原来佩戴400度， ∴，即下降了度 故答案为：下降；150 【点睛】本题主要考查反比例函数的实际运用，将矫正治疗后所配镜片焦距调整为代入反比例函数求出矫正后的度数，再与原来的度数比较是解题的关键． 57．（25-26八年级下·上海·月考）生物实践小组搜集了某种植园温室大棚智能控制系统测试阶段时的温度变化，并绘制出大棚内的温度随时间（时）变化的图象，如图所示，点表示智能控制系统在0时启动，此时大棚内的温度为，线段表示升温阶段，线段表示恒温阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段，点表示24时温度降到． (1)线段的函数解析式和定义域为______； (2)双曲线段的函数解析式和定义域为______； (3)求该大棚在时内，温度不低于的时长是______； (4)此地日出时间为，日落时间为，为保证该大棚中的植物至少有9小时的光照且在此期间大棚温度不低于，小组同学决定推迟智能控制系统的启动时间，至少推迟______小时，能满足上述要求． 【答案】(1)线段的函数解析式为，定义域为； (2)双曲线段的函数解析式为，定义域为； (3)12 (4)1 【知识点】从函数的图象获取信息、求一次函数解析式、求反比例函数解析式、实际问题与反比例函数 【分析】（1）将点与代入函数解析式，由待定系数法求解即可； （2）设出双曲线段的函数解析式，再将点代入函数解析式求解即可； （3）分别求解出升温阶段与恒温系统关闭阶段，温度为的时间，再计算时常即可； （4）求出现在符合光照和温度的时间，进而根据要求即可解答． 【详解】（1）解：设线段的函数解析式为， ∵点与在线段上， ∴，解得， ∴线段的函数解析式为，定义域为； 故答案为：，； （2）解：双曲线段的函数解析式为， ∵点在双曲线上， ∴，解得， ∴双曲线段的函数解析式为， ∵当时，可得，解得， ∴定义域为； 故答案为：，； （3）解：∵线段的函数解析式为， 令，可得，解得， 又∵双曲线段的函数解析式为， 令，可得，解得， ∴从3时开始到15时，温度不低于，即时长为时； 故答案为：12； （4）解：由题意，日照时间为，共10小时， 需保证植物至少有9小时的光照且在此期间大棚温度不低于， ∵该大棚在时内，温度不低于的时间为， 此时和光照时间重叠为8小时，不满足条件； 故推迟1小时时，温度不低于的时间为， 此时和光照时间重叠为9小时，满足条件 故至少推迟1小时，能满足上述要求． 故答案为：1． 【题型二十一】一次函数与反比例函数的实际应用 58．（22-23八年级下·上海闵行·期末）某药品研究所开发一种抗菌新药，临床实验中测得成人服药后血液中药物浓度y（微克/毫升）与服药时间x（小时）之间的函数关系图象由一条线段和一段曲线组成，如图（当时，y与x成反比例）．则血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间为（    ）    A．4小时 B．6小时 C．8小时 D．10小时 【答案】B 【知识点】一次函数与反比例函数的实际应用 【分析】分别求出线段与曲线的函数解析式，再求出函数值为4时对应的自变量x的值，即可求得此时持续时间． 【详解】解：时，设线段的解析式为， 由于线段过点，则有， 解得：， 即线段解析式为； 当时，设，把点代入中，得， 即， 当时，，得；当时，，得； ∴血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间为（小时）； 故选：B． 【点睛】本题是正比例函数与反比例函数的综合，考查了求函数解析式，已知函数值求自变量值，其中待定系数法求函数解析式是关键，注意数形结合． 59．如图1是某种呼气式酒精测试仪的电路原理图，电源电压保持不变，为气敏可变电阻，定值电阻．检测时，可通过电压表显示的读数换算为酒精气体浓度，设，电压表显示的读数与之间的反比例函数图象如图2所示，与酒精气体浓度的关系式为，当电压表示数为时，酒精气体浓度为______． 【答案】/0.5 【知识点】一次函数与反比例函数的实际应用 【分析】本题考查了反比例函数和一次函数的实际应用等知识．先求出与之间的反比例函数为，再根据求出，代入即可求出． 【详解】解：设电压表显示的读数与之间的反比例函数为， ∵反比例函数图象经过点， ∴， ∴与之间的反比例函数为， 当时，, ∵，， ∴， 把代入得， 解得． 故答案为： 60．（2023八年级·上海·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函数图像交于第一象限内的点，轴于点，． (1)求反比例函数的解析式； (2)在直线上是否存在点，使点到正比例函数直线的距离等于点到点的距离？若存在，求点坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)， 【知识点】一次函数与反比例函数的实际应用、含30度角的直角三角形 【分析】（1）已知正比例函数与反比例函数图像交于第一象限内的点，轴于点，，可知点的坐标，设反比例函数为，利用待定系数法即可求解； （2）设，设点到距离为，根据已知条件可知，则，，所以，即，由此即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，，则点的纵坐标为，且点在函数， ∴，解方程得，， ∴，设反比例函数解析式为， ∴，解方程得，， ∴反比例函数解析式为． （2）解：设，设点到距离为， ∵，， ∴， ∴，， ∴，即，解方程得，，， ∴，． 【点睛】考查平面直角坐标系中点坐标和特殊角的结合应用，注意距离要加绝对值．数形结合，根据点坐标的特点，找到等量关系是解题的关键. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第26章 反比例函数 章节（4知识详解+21典例分析） 【知识点01】 反比例函数的概念 1. 定义 一般地，形如 的函数，叫做反比例函数。其中： x 是自变量，y 是 x 的函数； k 叫做比例系数，k≠0 是前提条件。 2. 三种等价形式（必考） 1.分式形式： 2.负指数形式： 3.乘积形式： 3. 自变量与函数值的取值范围 自变量 x：x≠0（分母不能为0，这是反比例函数的隐含条件）； 函数值 y：y≠0（由 k≠0、x≠0 可推导得出）。 4. 反比例关系与反比例函数的区别 反比例关系：两个变量的乘积为非零常数，即 ，仅强调两个变量的数量关系，不要求是函数关系； 反比例函数：是函数，必须满足“一个自变量 x 对应唯一的函数值 y”，解析式严格符合 的形式。 【知识点02】反比例函数的图像与性质 1. 定义与解析式 定义：形如（为常数，）的函数，叫做反比例函数，其中为比例系数。 等价形式：、（），三种形式可相互转化，方便解题时灵活运用。 自变量范围：（分母不能为0），函数值（分子，分母不为0，故函数值不为0）。 2. 图像（双曲线） 形态：由两支独立的曲线组成，两支曲线关于原点对称，且无限靠近x轴、y轴，但永不与坐标轴相交（因为、）。 对称性： 中心对称：关于原点对称，即若点在双曲线上，则点也在双曲线上。 轴对称：关于直线和对称，即若点在双曲线上，则点、也在双曲线上。 的意义：的大小决定双曲线的位置，越大，双曲线离原点越远；越小，双曲线离原点越近。 3. 性质（重点） 符号 象限分布 增减性（每个象限内） 第一、三象限 随的增大而减小 第二、四象限 随的增大而增大 易错警示：不能说“在整个定义域内单调递增或递减”，反比例函数的增减性仅在每个象限内成立，跨象限无单调性（例如时，第一象限的值恒为正，第三象限的值恒为负，无法比较跨象限的增减）。 4. 的几何意义（高频考点） 过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，垂足分别为A、B，连接OP，所得图形面积与的关系如下： 矩形面积：四边形OAPB为矩形，面积。 三角形面积：△OAP、△OBP的面积相等，均为。 【知识点03】反比例函数的应用 1. 建模思路 实际问题中，若两个变量、满足“乘积为定值”（即，为非零常数），则这两个变量成反比例关系，可设反比例函数解析式为（实际问题中，，且自变量，需符合实际意义）。 2. 常见模型 行程问题：路程一定时，速度与时间成反比例，即（此时，为定值）。 工程问题：工作量一定时，工作效率与工作时间成反比例，即（此时，为定值）。 几何问题：面积一定时，矩形的长与宽成反比例（）、三角形的底与高成反比例（）。 物理问题：压强与受力面积（压力一定）、杠杆原理（，定值）等，均符合反比例关系。 3. 解题步骤（核心） 1.审：审题，找出题目中的两个变量，判断它们是否成反比例关系（即乘积为定值）； 2.设：设反比例函数解析式为（），注明自变量的实际取值范围； 3.求：根据题目给出的一组对应值，代入解析式求出的值； 4.定：确定最终的函数解析式，并再次确认自变量的范围（符合实际意义，如长度、时间、速度等不能为负数）； 解：利用解析式解决题目所求的问题（如求变量的值、判断取值范围等）。 【知识点04】易错点总结 忽略这一前提，导致解析式书写错误（如漏写）； 描述反比例函数增减性时，不注明“每个象限内”，出现跨象限判断增减的错误； 解决实际问题时，忽略自变量的实际意义，未注明（如长度、时间等不能为负数）； 运用的几何意义时，只求出，忽略根据双曲线所在象限判断的符号，导致结果错误； 与一次函数综合时，联立方程组求解交点坐标出错，或不会用割补法求图形面积。 【题型一】用反比例函数描述数量关系 1．（24-25八年级下·上海崇明·期末）若和成反比例关系，当的值分别为时，的值如表所示，则表中的值是（　　） 3 2 A． B． C．3 D．2 2．已知经过闭合电路的电流（单位：）与电路的电阻（单位：）是反比例函数关系．根据下表判断和的大小关系为（    ） 5 … … … … … 1 20 30 40 50 60 70 80 90 100 A． B． C． D． 【题型二】根据定义判断是否是反比例函数 3．（2024八年级·上海·专题练习）下列四个函数中，是反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级·上海普陀·月考）下列问题中，两个变量成反比例的是（    ） A．商一定时（不为零），被除数与除数； B．等腰三角形周长一定时，它的腰长与它底边的长； C．一个因数（不为零）不变时，另一个因数与它们的积； D．货物的总价一定时，货物的单价与货物的数量． 5．（22-23八年级·上海·暑假作业）下列函数（其中是自变量）中，哪些是反比例函数？哪些不是，为什么？ (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【题型三】根据反比例函数的定义求参数 6．若x和y成反比例关系，则的值是（   ） x 2 a y 6 b A．7 B．8 C．9 D．10 7．（22-23八年级·上海·暑假作业）已知反比例函数，求的值，并求当时的函数值． 【题型四】求反比例函数值 8．（24-25八年级·上海·单元测试）下列点不在y= 的图象上的是（　　） A． B． C． D． 9．（2025八年级·上海·专题练习）已知点，在反比例函数y＝的图象上，则________． 【题型五】由反比例函数值求自变量 10．（22-23八年级下·上海嘉定）以下选项中的各点，不在反比例函数图象上的是（    ） A． B． C． D． 11．若反比例函数的图象经过，则的值是________． 12．已知反比例函数． (1)说出这个函数的比例系数和自变量的取值范围． (2)求当时函数的值． (3)求当时自变量x的值． 【题型六】判断（画）反比例函数图象 13．定义新运算：例如：，，则函数，的图象大致是（　　） A． B． C． D． 14．（23-24八年级·上海静安·期末）函数的图像经过的象限是______． 15．已知反比例函数，且当时，． (1)求a的值； (2)在图中画出该函数图象． 【题型七】已知反比例函数的图象，判断其解析式 16．反比例函数（k为正整数）在第一象限的图象如图所示，已知图中点A的坐标为，则k的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 17．（22-23八年级上·上海闵行·月考）已知函数的图像经过点，那么k的值是____________． 18．如图，，两点在反比例函数的图象上，，两点在反比例函数的图象上，轴于点，轴于点，，，，求的值． 【题型八】由反比例函数图象的对称性求点的坐标 19．（24-25八年级下·上海静安·期中）已知一条过原点的直线与双曲线的一个交点为，则它们的另一个交点坐标是（   ） A． B． C． D． 20．如图，点A、C是反比例函数图象上的点，且关于原点对称．过点A作轴于点B，若的面积为7，则反比例函数的表达式为__________． 21．如图是反比例函数的图像，在图像上任取一点，过点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为、，则四边形是一个矩形，这个矩形的面积为．根据下列要求画图，并写出理由． (1)试利用反比例函数的图像在图中画出面积为的平行四边形（不可为矩形）； (2)试利用反比例函数的图像在图中画出面积为的三角形． 【题型九】已知双曲线分布的象限，求参数范围 22．（23-24八年级·上海宝山·期末）已知反比例函数的图象有一支在第四象限，点在正比例函数的图象上，那么点P在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 23．（22-23八年级·上海青浦·期中）已知反比例函数的图象在第二、四象限，则m的取值范围是 _____． 24．已知反比例函数的图象位于第一、三象限． (1)求k的取值范围； (2)若，反比例函数的图象过点，求m的值． 【题型十】判断反比例函数的增减性 25．（22-23八年级·上海嘉定·期中）如果有点在反比例函数（）的图像上，如果，则、、的大小关系是（　　） A． B． C． D．不能确定 26．（2024·上海松江·二模）已知反比例函数的图像经过点，那么在每个象限内，y随x的增大而____．（填“增大”或“减小”） 27．著名数学教育家波利亚曾说：“类比就是一种相似．”具体地说，类比是一种推理形式，当已经建立两个对象在某些性质上的类似之处以后，可能推出它们在其他某些性质上的类似．请阅读以下有关“分数”和“分式”相关材料后完成各小问． 【阅读材料】分数可分为“真分数”和“假分数”．而假分数都可化为带分数，类似的，对于一个分式，如果分子的次数小于分母的次数，这样的分式称为真分式，例如就是真分式；如果分子的次数大于或等于分母的次数，称这样的分式为假分式，例如、就是假分式．假分式可化为“带分式”，即整式与真分式的和的形式，例如：①；②；③． (1)把假分式化为带分式的形式为______； (2)我们可以类比反比例函数的性质研究函数的性质：当时，y随着x的增大而______（填“增大”或“减小”）； (3)求函数的图象上横、纵坐标均为整数的点的坐标． 【题型十一】判断反比例函数图象所在象限 28．（24-25八年级·上海·月考）关于反比例函数的图像，下列说法错误的是（   ） A．y随着x的增大而增大 B．图像位于第二、四象限 C．图像关于直线对称 D．图像关于直线对称 29．（24-25八年级上·上海·月考）如果点在正比例函数的图像上，那么反比例函数的图像所在的象限是________． 30．已知反比例函数y＝（k为常数，k≠0）的图象经过点A（2，3） (1)求k的值； (2)此函数图象在 象限，在每个象限内，y随x的增大而 ；（填“增大”或“减小”） (3)判断点B（﹣1，6）是否在这个函数的图象上，并说明理由； (4)当﹣3＜x＜﹣1时，则y的取值范围为 ． 【题型十二】已知反比例函数的增减性求参数 31．（2024·上海·中考真题）已知反比例函数y=（k≠0），且在各自象限内，y随x的增大而增大，则下列点可能在这个函数图象上的为（   ） A．（2，3） B．（-2，3） C．（3，0） D．（-3，0） 32．（23-24八年级·上海长宁·期末）如果点、点都在函数的图像上，且，那么的取值范围是______． 33．已知反比例函数（k为常数），当时，y随x的增大而增大，求k的取值范围． 【题型十三】比较反比例函数值或自变量的大小 34．（2024八年级·上海·期中）若、、三点都在函数的图象上，则，，的大小关系是（　　） A． B． C． D． 35．（24-25八年级·上海·期末）若是反比例函数图象上的两点，则____（填“”、“”或“”）． 36．已知反比例函数的图象经过点 (1)求这个反比例函数的表达式； (2)请判断点与是否在这个函数的图像上，并说明理由． 【题型十四】已知比例系数求特殊图形的面积 37．（22-23八年级·上海·期中）如图，点在反比例函数第一象限的图象上，垂直轴，垂足为，设的面积是，那么与之间的数量关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 38．（23-24八年级下·上海·二轮复习）已知在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过位于轴上方的点，点的坐标为，且的面积等于8，那么点的坐标为 _____． 39．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点B在函数y1＝（x＞0）的图象上，边AB与函数y2＝（x＞0）的图象交于点D．求四边形ODBC的面积． 【题型十五】根据图形面积求比例系数（解析式） 40．如图，平行四边形的顶点B在x轴上，点A在上，且轴，对角线的延长线交y轴于点E，若，则（   ） A． B． C． D． 41．（24-25八年级·上海青浦·期中）如图，点A在反比例函数图象上，轴，垂足为B，且，则___________． 42．（25-26八年级下·上海·月考）如图，正方形、的顶点、、在坐标轴上，点在上，点、在函数的图像上，已知正方形的面积为． (1)求的值和直线的解析式； (2)求正方形的边长． 【题型十六】一次函数与反比例函数图象综合判断 43．（25-26八年级·上海·月考）函数和在同一直角坐标系中的大致图像是（    ） A． B． C． D． 44．一次函数分别与轴、轴交于A、两点，点为反比例函数（）图象上一点，过点作轴的垂线交直线交于，作交直线于若，则的值为______． 45．（24-25八年级·上海徐汇·月考）如图，已知正比例函数的图像与反比例函数的图像交于点． (1)求上述正比例函数和反比例函数的解析式； (2)根据图像，在第一象限内，当反比例函数值大于正比例函数值时，写出的取值范围． 【题型十七】一次函数与反比例函数的交点问题 46．（2025·上海徐汇·二模）已知正比例函数的图象与反比例函数的图象交于A,B两点，如果点的坐标是，那么点的坐标是（   ） A． B． C． D． 47．（24-25八年级上·上海·月考）如图，函数，若，则的取值范围是________． 48．（24-25八年级下·上海·月考）如图所示，直线与两坐标轴分别交于点A、B，双曲线的图象与该直线交于点C、D，已知，点C的横坐标为2． (1)求a，k的值； (2)点E在y轴上，满足，求点E的坐标； (3)点M在x轴上，满足，求点M的坐标． 【题型十八】一次函数与反比例函数的其他综合应用 49．如图，已知在平面直角坐标系中，直线分别交x轴，y轴于点A和点B，分别交反比例函数，的图象于点C和点D，过点C作轴于点E，连结，若的面积与的面积相等，则k的值是（　　） A．2 B． C．1 D． 50．如图，是函数的图象上一点，直线分别交轴、轴于点、，过点作轴于点，交于点，作轴于点，交于点，当时，的值为______． 51．（23-24八年级·上海青浦·期中）已知点是反比例函数图形上的动点，轴，轴，分别交反比例函数的图像于点A、B，点C是直线上的一点．    (1)请用含m的代数式表示P、A、B三点坐标． (2)在点P的运动过程中，连接，的面积是否变化，若不变，请求出的面积，若改变，请说明理由． (3)在点P运动过程中，是否存在以为直角边的和全等，如果存在，请求出m的值． 【题型十九】反比例函数与几何综合 52．如图，A、B两点在反比例函数的图像上，C、D两点在反比例函数的图像上，AC⊥y轴于点E，BD⊥y轴于点F，AC=2，BD=1，EF=3，则的值是（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 53．（2024·上海浦东新·二模）如图，点A、C在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，且轴，轴，那么的面积等于________． 54．（24-25八年级·上海普陀·月考）如图，在平面直角坐标系内，函数的图像与反比例函数图像有公共点A，点A的坐标为轴，垂足为点B． (1)求反比例函数的解析式； (2)点C是第一象限内直线上一点，过点C作直线，与反比例函数的图像交于点D，，求点D的坐标和的面积． 【题型二十】实际问题与反比例函数 55．（25-26八年级下·上海浦东新·阶段检测）小星在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔槔的古代汲水工具（如图），有一横杆固定于桔槔上的点，并可绕点转动．在横杆处连接一竹竿，在横杆处固定的物体，且．若图中人物竖直向下施加的拉力为，当改变点与点的距离时，横杆始终处于水平状态，小星发现与有一定的关系，他记录了拉力的大小与的变化情况如图所示，下列说法错误的是（   ） A．拉力的大小与符合反比例函数关系 B．当的长增大时，拉力在减小 C．的长每增大，所施加的拉力就减小 D．当的长从增加到时，所施加的拉力减小了 56．近视眼镜的镜片是凹透镜，研究发现，近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）的关系近似满足．小宇原来佩戴400度近视眼镜，经过一段时间的矫正治疗，复查验光时，所配镜片焦距调整为米，则小宇的眼镜度数________（填“上涨”或“下降”）了________度． 57．（25-26八年级下·上海·月考）生物实践小组搜集了某种植园温室大棚智能控制系统测试阶段时的温度变化，并绘制出大棚内的温度随时间（时）变化的图象，如图所示，点表示智能控制系统在0时启动，此时大棚内的温度为，线段表示升温阶段，线段表示恒温阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段，点表示24时温度降到． (1)线段的函数解析式和定义域为______； (2)双曲线段的函数解析式和定义域为______； (3)求该大棚在时内，温度不低于的时长是______； (4)此地日出时间为，日落时间为，为保证该大棚中的植物至少有9小时的光照且在此期间大棚温度不低于，小组同学决定推迟智能控制系统的启动时间，至少推迟______小时，能满足上述要求． 【题型二十一】一次函数与反比例函数的实际应用 58．（22-23八年级下·上海闵行·期末）某药品研究所开发一种抗菌新药，临床实验中测得成人服药后血液中药物浓度y（微克/毫升）与服药时间x（小时）之间的函数关系图象由一条线段和一段曲线组成，如图（当时，y与x成反比例）．则血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间为（    ）    A．4小时 B．6小时 C．8小时 D．10小时 59．如图1是某种呼气式酒精测试仪的电路原理图，电源电压保持不变，为气敏可变电阻，定值电阻．检测时，可通过电压表显示的读数换算为酒精气体浓度，设，电压表显示的读数与之间的反比例函数图象如图2所示，与酒精气体浓度的关系式为，当电压表示数为时，酒精气体浓度为______． 60．（2023八年级·上海·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函数图像交于第一象限内的点，轴于点，． (1)求反比例函数的解析式； (2)在直线上是否存在点，使点到正比例函数直线的距离等于点到点的距离？若存在，求点坐标，若不存在，请说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $