专题12反比例函数概念及应用复习讲义(知识梳理+12大题型+突破题型)2025-2026学年沪教版五四制八年级数学下册

专题12反比例函数概念及应用复习讲义 (不含图象与性质) 知识目标 能力目标 应试目标 1.掌握反比例函数的定义，明确相关取值要求，分清各类函数区别。 2.认识生活中的反比例关系，学会建立反比例函数模型。 3.理解比例系数的几何含义，掌握图形面积相关计算。 4.熟悉反比例函数实际应用，以及与一次函数的综合基础内容。 1.会求解反比例函数解析式，能准确辨别函数类型。 2.能结合实际问题建模解题，合理确定自变量范围。 3.会结合图像分析问题，提升数形结合解题能力。 4.可解决反比例函数与几何、一次函数的基础综合题。 1.吃透基础概念，规避常见易错点，稳固基础题型得分。 2.规范应用题答题步骤，熟练掌握面积计算等高频考点。 3.掌握综合题型解题思路，提升中档题型解题能力。 题型01.用反比例函数描述数量关系 题型02.由定义判定反比例函数 题型03.由反比例函数的定义求参数 题型04.求反比例函数值 题型05.由反比例函数值求自变量 题型06.一次函数与反比例函数实际应用 题型07.反比例函数行程问题 题型08.反比例函数工程问题 题型09.反比例函数利润问题 题型10.反比例函数面积计算问题 题型11.反比例函数与几何综合 题型12.反比例的实际与跨学科应用 解答题4题 知识点01:反比例函数的概念 1.定义 一般地，形如 y=（k 为常数，k0）的函数，叫做反比例函数，其中 x 是自变量，y 是函数。 2.等价表达式（核心变形，判断依据） 1.分式形式：y= 2.负指数形式:y=kx−1（自变量 x 的指数为 −1，k0） 3.乘积形式:xy=k（x 与 y 的乘积为定值 k，k0） 3.取值范围 自变量 x：x0（分母不能为 0） 函数值 y：y0 4.判断方法 紧扣定义：① 形式为 ​；② k0；③ 自变量 x 次数为 −1。 知识点02:图象与基本性质 图象：双曲线，由两支曲线组成； 位置： k>0：双曲线在第一、三象限； k<0：双曲线在第二、四象限； 趋势：两支曲线无限靠近坐标轴，但永不与坐标轴相交。 知识点03:求反比例函数表达式 1.方法：待定系数法（仅需 1 组 x,y 对应值） 2.步骤 (1)设解析式：y=(k0) (2)代入：将已知点 (x0​,y0​) 代入，得 k=x0y0​ (3)回代：写出确定的解析式 知识点04:反比例函数的应用 1. 核心思想 实际问题中，若两个量的积为定值，则它们成反比例关系，可用y= 建模解决。 2. 常见实际模型（必掌握） 行程问题：路程 s 一定时，速度 v 与时间 t 成反比v=(s为定值) 工程问题：工作总量 W 一定时，效率 P 与时间 t 成反比P=(w为定值) 几何面积：矩形面积 S 一定时，长 a 与宽 b 成反比a= (S为定值) 物理关系（如压强、电学）： 压力 F 一定，压强 p 与受力面积 S 成反比：P= 电压 U 一定，电流 I 与电阻 R 成反比：I= 3. 解题一般步骤 1.审：找常量、变量，确认 “积为定值”； 2.设：设反比例函数y= 3.求：用已知条件求 k； 4.用：写出解析式，结合实际意义确定自变量取值范围，再求解问题。 高频易错点 1.忽略k0，误判反比例函数。 2.混淆正比例（比值一定）与反比例（乘积一定）。 3.错认为图象与坐标轴相交。 4.记反k正负对应的象限。 5.实际应用题忘记限制自变量取值范围。 6.计算面积时漏掉绝对值，符号出错。 题型01.用反比例函数描述数量关系 【典例】已知等腰三角形的底边长为x，底边上的高为y，面积为20，那么y与x之间的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了列反比例函数解析式，根据三角形面积公式，即可得到函数解析式． 【详解】解：由三角形面积公式，得：， 所以y与x之间的函数关系式为， 故选A． 【跟踪专练1】若点在反比例函数的图象上，则代数式的值为_______． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象上的点的坐标特点，代数式求值．熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特点是解题的关键． 由题意知，即，然后代入求值即可． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴，即， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练2】已知点是反比例函数上一点，则下列各点中在该图像上的点是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先把点（3，1）代入双曲线 ( k ≠0)，求出 k 的值，再对各选项进行判断即可． 【详解】解：∵点（3，1）是双曲线 ( k ≠0）上一点， ∴ k =3×1=3， A 、1×3=-3≠3，此点不在反比例函数的图像上，故本选项错误； B 、1×=≠3，此点不在反比例函数的图像上，故本选项错误； C 、×（-9）=-3≠3，此点不在反比例函数的图像上，故本选项错误； D 、6×=3，此点在反比例函数的图像上，故本选正确， 故选： D． 【点睛】本题考查了反比例函数，解题的关键是熟知反比例函数图像上各点的坐标一定适合此函数的解析式． 题型02.由定义判定反比例函数 【典例】下列选项中，表示y是x的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据反比例函数的定义：满足形式的函数是反比例函数，可知选项A是反比例函数； 选项B，C，D满足的形式，是一次函数， 故选：A． 【跟踪专练1】下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，是的反比例函数的有 ________ ．（填序号） 【答案】②④⑥ 【分析】本题主要考查了反比例函数的定义，根据反比例函数的定义，即形如（为常数，），或可转化为（）、（）形式的函数为反比例函数，逐一分析各函数即可． 【详解】解：①是一次函数，不是反比例函数， ②可变形为，符合反比例函数的定义，是反比例函数， ③中自变量的次数为，不符合反比例函数定义，不是反比例函数， ④可变形为，符合反比例函数的定义，是反比例函数， ⑤是二次函数，不是反比例函数， ⑥可变形为，符合反比例函数的定义，是反比例函数， ⑦是正比例函数，不是反比例函数， 综上所述，反比例函数有②④⑥． 故答案为：②④⑥． 【跟踪专练2】下列函数不是反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的定义，掌握反比例函数的定义是解答本题的关键；反比例函数的形式为，或，其中k为常数且，根据反比例函数的定义分别进行分析即可． 【详解】解：A、，是反比例函数，故此选项不符合题意； B、，即，是反比例函数，故此选项不符合题意； C、，即，是反比例函数，故此选项不符合题意； D、，为正比例函数，不是反比例函数，故此选项符合题意； 故选：D． 题型03.由反比例函数的定义求参数 【典例】反比例函数的图象经过点，则k的值为（      ） A．15 B． C．-15 D．- 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数的概念，熟练掌握反比例函数的概念是解题关键． 将点坐标代入反比例函数解析式，直接计算 k 的值． 【详解】∵ 点 在函数  的图象上， ∴ ， ∴ ． 故选C． 【跟踪专练1】若函数是反比例函数，则的值为__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数的定义，一般地，形如（其中k为常数，且）的函数叫做反比例函数，据此求解即可． 【详解】解：∵函数是反比例函数， ∴， 解得， 故答案为：． 【跟踪专练2】在平面直角坐标系中，对于点和，若时，；时，，则称点是点的“演绎点”．若点是反比例函数图象上点的“演绎点”，则的值为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查了函数的新定义，反比例函数的图象上点的坐标特征，由反比例函数解析式可设，分和两种情况，根据“演绎点”的定义解答即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：∵点在反比例函数上， ∴可设， ∵点是反比例函数图象上点的“演绎点”， 当时，， ∴， 解得； 当时，， ∴， 解得； 经检验，是分式方程的解， 综上，值为或， 故选：． 题型04.求反比例函数值 【典例】在平面直角坐标系中，若点在反比例函数的图象上，则m的值为（   ） A．4 B． C． D．2 【答案】B 【分析】将点的坐标代入解析式即可求出m的值． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴． 【跟踪专练1】如图，已知点在反比例函数的图像上，观察图像可知，当时，的取值范围是___________． 【答案】 【分析】直接根据函数图像以及P点坐标即可解答． 【详解】解：由P点坐标以及函数图像可知，当时，y的取值范围是． 【跟踪专练2】反比例函数 的图象有下述特征：图象与x轴没有公共点且与x轴无限接近．下列说明这一特征的理由中，正确的是（   ） A．自变量且的值可以无限接近 B．自变量且函数值可以无限接近 C．函数值且的值可以无限接近 D．函数值且函数值可以无限接近 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的图象，根据反比例函数的性质和题目条件，逐项分析判断即可 【详解】解：图象与轴没有公共点且与轴无限接近即函数值且函数值可以无限接近0， 故选：D． 题型05.由反比例函数值求自变量 【典例】若反比例函数的图象经过点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，掌握反比例函数图象上点的坐标满足其解析式是解题的关键．根据反比例函数图象上点的坐标特征，将点代入反比例函数，即可求得的值． 【详解】解：函数的图象经过点， ， 解得， 故选：D． 【跟踪专练1】如图，反比例函数经过点、点，则______． 【答案】 【分析】本题主要考查反比例函数的图像与性质，解题的关键是熟知待定系数法确定函数关系式．把点坐标代入解析式求出，进而求出反比例函数的解析式，然后将代入反比例函数的解析式即可． 【详解】解：由图可知，， 将代入， 得：， ， 将代入得：， 解得：， 故答案为：． 【跟踪专练2】反比例函数的图象一定经过的点是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了判断点是否反比例函数的图象上，把点逐一代入解析式即可，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：∵反比例函数的解析式为，则， 、当时，，图象一定经过点，符合题意； 、当时，，图象不经过点，不符合题意； 、当时，，图象不经过点，不符合题意； 、当时，，图象不经过点，不符合题意； 故选：． 题型06.一次函数与反比例函数实际应用 【典例】将的图象先向左平移个单位，再向下平移个单位，得到的新双曲线与直线相交于两点，其中一个交点的横坐标为，另一个交点的纵坐标为，则 ______ ． 【答案】 【分析】根据“左加右减，上加下减”得平移后解析式，与一次函数联立方程，由根与系数关系得出与的关系式，套入所求代数式即可得出结果． 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，联立方程得交点坐标，本题的关键是利用了根与系数的关系得出、的关系． 【详解】解：根据题意，平移后反比例函数解析式为：， 和一次函数联立得：， 整理得：， 由根与系数的关系得：， 有一根是，则， ， 当时，， ， ． 故答案为：． 【跟踪专练1】实验数据显示，一般成人喝毫升某品牌白酒后开始计时，血液中酒精含量（毫克/百毫升）与时间（时）变化的图象如图（图象由线段与部分双曲线组成）所示．国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于（毫克/百毫升）时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路． 参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上在家喝完毫升该品牌白酒，第二天早上最早几点可以上班（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题为一次函数和反比例函数的应用，涉及待定系数法等知识点．掌握自变量、函数值等知识是解题的关键． 首先求得线段所在直线的解析式，然后求得点A的坐标，得到求解反比例函数的解析式；把代入反比例函数解析式可求得时间，结合规定可进行判断． 【详解】解：设直线的解析式为， 直线过， ， ， 直线的解析式为， 当时，，即， 设双曲线的解析式为， 将点代入得：， ； 当时，， 从晚上经过9小时到第二天早上，即可以上班． 故选B． 【跟踪专练2】通过试验研究发现：一节40分钟的课堂，初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．如图，学生注意力指标y随时间x（分钟）变化的函数图象，当和时，图象是线段；当时，图象是反比例函数的一部分．    (1)求反比例函数解析式和点A、D的坐标； (2)陈老师在一节课上讲解一道数学综合题需要16分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于32？请说明理由． 【答案】(1)反比例函数的解析式为，， (2)陈老师能经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于32，理由见解析 【分析】本题主要考查了反比例函数和一次函数的实际应用： （1）设反比例函数的解析式为，由求出，可得坐标，从而求出的坐标； （2）求出解析式，得到时，，由反比例函数可得时，，根据，即可得到答案． 【详解】（1）解：设当时，反比例函数的解析式为，将代入得： ，解得， 反比例函数的解析式为， 当时，， ， ； （2）解：陈老师能经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于32，理由如下： 设当时，的解析式为，将、代入得： ， 解得， 的解析式为， 在中，当时，， 在中，当时，， 时，注意力指标都不低于32， ∵， 陈老师能经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于32． 【跟踪专练3】我省某化工厂2023年1月的利润为200万元，若设2023年1月为第一个月，第x个月的利润为y万元；由于污染问题，该厂决定从2023年1月底适当限产，同时投入资金进行新技术改造．从1月底到5月，y与x成反比例关系．到5月底，新技术改造任务顺利完成，从这时起，之后该厂每月利润比前月增加20万元（如图）． . (1)分别求出在新技术改造阶段及新技术改造后，y与x之间的函数表达式； (2)若设第3个月时该厂的利润为，第4个月时该厂的利润为，第7个月时利润为，则、和的大小关系为：________（用“>”连接）； (3)当月利润少于100万元时，为该厂资金紧张期，请求出该厂资金紧张期共有几个月？ 【答案】(1)当时，，当时， (2) (3)5 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的应用，正确得出函数关系式是解题的关键． （1）利用待定系数法求得反比例函数的解析式，再根据已知条件列出关系式，继而得出一次函数的解析式； （2）结合图象分别求出、4、7时该厂的利润，再进行从大到小的比较即可； （3）利用分别得出x的值，进而得出答案． 【详解】（1）解：当时，将代入得：， ∴在新技术改造阶段的函数关系式为：， 当时，将代入得：，则， 即新技术改造后y与x之间的函数关系式为：． （2）解：当时，该厂的利润在反比例函数上， ∴， 当时，该厂的利润在反比例函数上， ∴， 当时，该厂的利润在一次函数上， ∴， ∴， 故答案为：． （3）解：对于，当时，， 对于，当时，， ∴资金紧张期有第3、4、5、6、7这5个月， ∴该厂资金紧张期共有5个月． 题型07.反比例函数行程问题 【典例】小李驾驶汽车在早上从甲地出发到乙地，其行驶的平均速度（千米/时）与行驶所用的时间（时）之间的函数关系图象如图所示，已知全程限速120千米/时． （1）甲、乙两地之间的距离为______千米； （2）小李计划在当天不超过到达乙地，汽车行驶的平均速度的范围为______． 【答案】 540 / 【分析】本题考查反比例函数的应用，关键是列出函数解析式． （1）根据路程、速度、时间之间的关系列出y与t的函数解析式，由图象求出s即可； （2）根据，求出，再根据，得出v的取值范围． 【详解】解：（1）由题意得：， ， 甲、乙两地之间的距离为540千米， 故答案为：540； （2）小李计划在当天不超过到达乙地， ， ， 又， 汽车行驶的平均速度的范围为， 故答案为：． 【跟踪专练1】一辆汽车匀速通过某段公路，所需时间（单位：）与行驶速度（单位：）成反比例关系，函数图象如图所示．若该路段限速，则汽车通过该路段至少需要（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的应用，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系． 把点代入，求得k的值，再把代入，求出t的值即可． 【详解】解：设， 由题意得，函数经过点， 把代入，得， 则解析式为， 再把代入，得， 则汽车通过该路段最少需要． 故选：A． 【跟踪专练2】小王驾驶汽车从甲地走高速公路前往乙地办事，以80千米/小时的平均速度用6小时到达目的地，之后他按原路返回甲地． (1)求行驶时间（小时）与汽车的平均速度（千米/小时）之间的函数关系式； (2)根据规定：在高速公路上行驶时，最高车速不得超过120千米/小时，最低车速不得低于60千米/小时．求小王返程行驶时间的取值范围． 【答案】(1) (2)小王返程行驶时间的取值范围为 【分析】本题考查了反比例函数的应用． （1）根据路程不变得到速度与时间的函数关系式； （2）根据速度的范围计算返程时间． 【详解】（1）解：由题意得， 答：行驶时间（小时）与汽车的平均速度（千米/小时）之间的函数关系式为； （2）解：对于函数，，随的减小而增大， 当，， 当时，， ． 答：小王返程行驶时间的取值范围为． 题型08.反比例函数工程问题 【典例】某AI分拣机器人工作时，每小时可分拣包裹数50件，每工作3小时需暂停0.5小时校准，校准期间不工作．总分拣包裹数记为件，总耗时记为小时（含分拣与校准时间），机器人分拣的平均速度．则当_____时，恰为45件/小时． 【答案】或或． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找到相等关系是解题的关键．根据“恰为件/小时”列方程求解． 【详解】解：当时，， 解得； 当时，， 解得：， 当时，， 解得； 故答案为：或或． 【跟踪专练1】码头工人往一艘轮船上装载货物，装完货物所需时间与装载速度之间的函数关系如图： (1)求出y与x之间的函数关系式； (2)轮船到达目的地后开始卸货，如果以的速度卸货，需要多少时间才能卸完货物？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可得装完货物所需时间与装载速度的乘积是定值，即等于货物总重量，则可设，据此利用待定系数法求解即可； （2）根据（1）所得函数解析式，求出当时的函数值即可解答． 【详解】（1）解：∵装完货物所需时间等于货物总重量除以装载速度， ∴装完货物所需时间与装载速度的乘积是定值，即等于货物总重量， ∴可设y与x之间的函数关系式为， 把代入得，解得， ∴y与x之间的函数关系式为； （2）解：当，， 答：需要才能卸完货物． 【跟踪专练2】某工厂生产一种零件，计划在规定时间内完成个零件的加工任务，由于改进了技术，实际每天比原计划多加工个零件，结果提前天完成任务．设原计划每天加工个零件． (1)求原计划每天加工零件的个数； (2)若工厂实际加工时，每天至少要加工20个零件，求原计划完成任务的天数最多为多少天？ 【答案】(1)原计划每天加工零件25个 (2)原计划完成任务的天数最多为20天 【分析】（1）根据题意，列出分式方程，求解该方程即可得出答案； （2）不妨设原计划完成任务的天数为，那么，由题意判断出原计划的加工零件个数，结合反比例函数的性质，可得原计划完成任务的最多天数． 【详解】（1）解：设原计划每天加工个零件，根据题意得：， 解得，(舍去)， 经检验，是原分式方程的解， 答：原计划每天加工零件个． （2）解：不妨设原计划完成任务的天数为，那么，实际每天加工的零件个数为个， ∵实际每天至少要加工20个零件， ∴， ∴， ∵的图象在时，随的增大而减小， ∴当取最小值时，天数最多， 此时天数 (天) ， 答：原计划完成任务的天数最多为天． 题型09.反比例函数利润问题 【典例】根据某商场对一款运动鞋四天中的售价与销量关系的调查知销量y（双）是售价x（元/双）的反比例函数（统计数据如表所示）．已知该运动鞋的进价为180元/双，要使该款运动鞋每天的销售利润达到2400元，则其售价应定为______元/双． 售价x/（元/双） 200 240 250 400 销量y/双 30 25 24 15 【答案】300 【分析】本题考查的是反比例函数的实际应用，先求解，再由，再解方程并检验即可； 【详解】解：由题中表格数据，得， ∴， 由题意，得， 把代入，得， 解得， 经检验，是该方程的根， 所以其售价应定为300元/双． 故答案为：. 【跟踪专练1】某便利店售卖一种进价为2元/根的鸡肉串，在实际销售中发现此鸡肉串的日销售量y（根）与每根售价x（元）之间有如下关系： x/元 3 4 5 6 y/根 20 15 12 10 (1)以表中x、y的对应值为点的坐标，在平面直角坐标系中描点，猜想y与x之间具有怎样的函数关系． (2)根据上述猜想，进一步确定y与x之间的函数表达式． (3)设此鸡肉串的日销售利润为w元（日销售利润单件利润日销售量），试求w与x之间的函数表达式．若规定此鸡肉串的售价最高不超过8元/根，问售价定为多少时，能获得最大销售利润？ 【答案】(1)描点画图见解析，猜想：反比例函数 (2) (3)销售单价x定为8元时，才能获得最大日销售利润，最大日销售利润为 45元． 【分析】本题主要考查了反比例函数的定义，待定系数法以及利用反比例关系式求最大值的问题，解题的关键是知道两个变量的乘法是定值时是反比例关系． （1）建立坐标系直接描点画图，再猜想即可； （2）要确定y与x之间的函数关系式，通过观察表中数据，可以发现y与x的乘积是相同的，都是60，所以可知y与x成反比例，用待定系数法求解后再验证即可； （3）先确定与的函数关系式，然后根据售价最高不超过8元/根，利用函数的增减性即可得出答案． 【详解】（1）解：建立平面直角坐标系描点，如图所示： 猜想：y与x之间具有反比例函数关系． （2）解：由题意设y与x之间的函数关系式为（且k为常数）， 把代入，得， 将，，分别代入，均成立， 所以y与x之间的函数关系式为. （3）解：， 当时，w随x的增大而增大， 又因为， 所以当时，， 所以，销售单价x定为每根8元时，才能获得最大日销售利润，最大日销售利润为 45元． 【跟踪专练2】某农户共摘收草莓，为寻求合适的销售价格，进行了天试销，试销中发现这批草莓每天的销售量与售价（元/）之间成反比例关系，已知第天以元/的价格销售了．现假定在这批草莓的销售中，每天的销售量与销售价格（元/）之间都满足这一关系． (1)求与之间的函数表达式； (2)在试销期间，第天的销售价格比第天低了元/，但销售量却是第二天的倍，求第二天的销售价格； (3)试销天共销售草莓，该农户决定将草莓的售价定为元/，并且每天都按这个价格销售，问余下的草莓预计还需多少天可以全部售完？ 【答案】(1) (2)元/ (3)天 【分析】本题考查了反比例函数的应用以及分式方程的应用，正确得出反比例函数解析式是解答本题的关键． （1）根据“第天以元/的价格销售了”，得出函数解析式即可； （2）设第二天的销售价格是元/，根据“第天的销售价格比第天低了元/，但销售量却是第二天的倍”，列出分式方程，求解即可； （3）把代入得出的值，进而求出答案即可． 【详解】（1）解：设与之间的函数表达式为， 将，代入，得， 解得：， 与之间的函数表达式为； （2）解：设第二天的销售价格是元/，则 ， 解得：， 经检验是原分式方程的解， 答：第二天的销售价格为元/； （3）解：草莓的销售价格定为元/，每天的销售量为：（千克）， （天）， 答：余下的草莓预计还需天可以全部售完． 题型10.反比例函数面积计算问题 【典例】如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于点，点是反比例函数图象上一点，它的横坐标是3，连接，则的面积是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】把点代入和可求出、的值，即可得到正比例函数和反比例函数的解析式，过点作轴交于点，结合点的坐标即可得出点的坐标，再根据三角形的面积公式即可求出的面积． 【详解】解：正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于点， ，， ，， 正比例函数为，反比例函数为：， 如图，过点作轴交于点， 点是反比例函数图象上一点，它的横坐标是3， ， ， 点的纵坐标为， 可得， 解得， ， ． ． 【跟踪专练1】如图，直线与双曲线交于点 (1)求双曲线对应的函数表达式； (2)把直线向上平移3个单位长度，与双曲线交于点B，连接，求的面积． 【答案】(1) (2)6 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握该知识点是关键． （1）利用待定系数法求出双曲线对应的函数表达式即可； （2）先求出点B的坐标，再求出铅锤高，利用面积公式计算即可． 【详解】（1）解：∵直线与双曲线交于点， ， ， ， ∴双曲线对应的函数表达式为； （2）解：根据平移特征可知，平移后直线解析式为，联立方程组得： ，解得， ∴， 如图，过点作轴的垂线交于点， 在直线中，当时，， ∴， ∴ ∴． 【跟踪专练2】如图，已知点在函数的图像上，长方形的边在x轴上，函数的图像又经过点A，A的纵坐标为，且． (1)求k的值； (2)求的面积； (3)当时，求m的值． 【答案】(1)3 (2) (3) 【分析】（1）将点代入解析式可求k的值，即可求解； （2）先求出求出，再根据四边形是矩形，，求出点C，D两点坐标，可得结论； （3）当时，得出，构建方程即可求解． 【详解】（1）解：∵点在函数的图象上， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴反比例函数解析式为， ∵点A的纵坐标为， ∴， ∴ ∴， ∵四边形是长方形，， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，连接， ∵四边形是长方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 题型11.反比例函数与几何综合 【典例】如图，的直角顶点在轴上，反比例函数的图象经过的中点，且与边相交于点．若点的坐标为，则点的坐标是________． 【答案】 【分析】直接根据点D是的中点即可求出D点的坐标，即可求出反比例函数的解析式，继而得到点C的坐标． 【详解】解：∵D是的中点，点的坐标为， ∴D的坐标为，即， ∵点D在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数解析式为：， 根据题意得：轴， ∴点的横坐标为， 把代入得：， ∴点的坐标是． 【跟踪专练1】如图，一次函数的图象与坐标轴分别交于点，反比例函数的图象经过点，是等腰直角三角形，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数综合，全等三角形的判定和性质，先利用一次函数可得，，即得，，过点作轴于点，可证，得到，，进而求出点坐标即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：∵一次函数的图象与坐标轴分别交于点， ∴，， ∴，， 如图，过点作轴于点，则， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵反比例函数的图象经过点， ∴， 故选：． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点，连接，的面积为1． (1)求反比例函数的解析式； (2)点为第三象限内反比例函数图象上一点，且位于直线下方，过点作轴交直线于点，作轴于点，若，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，坐标与图形的性质，平行四边形的性质等知识，熟练掌握中点坐标公式是解题的关键． （1）过点作轴于，由的面积为1，可得的长，从而得出点的坐标，即可得出答案； （2）设，则，利用坐标与图形的性质表示出和的长，从而列出方程解决问题． 【详解】（1）解：过点作轴于点， 对于一次函数， 当时，， ∴， ∵的面积为1， ∴， ∴， 当时，， ∴， 将点代入反比例函数， 得， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：当时，解得或， 经检验，或都是原分式方程的根， 当时，， ∴， 设，则， ∴，， ∵， ∴， 解得或， 经检验，得或都是原分式方程的根， ∵点在直线下方的反比例函数图象上， ∴， ∴， ∴， ∴． 【跟踪专练3】在函数的学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合函数图象研究函数性质的过程．以下是研究函数性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各题： x …… 0 1 2 3 4 …… y …… a 2 5 b 5 2 1 …… (1)写出表中a、b的值：______，______；描点、连线，在答题卡上所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象． (2)结合函数图象，下列说法正确的有_______．（请填入所有正确结论的序号） ①该函数图象是轴对称图形，它的对称轴为y轴； ②该函数图象不经过第三象限； ③当时，y随x的增大而减小； ④若点，为该函数图象上不同的两点，则； ⑤该函数图象与直线、以及x轴围成区域的面积大于14． 【答案】(1), ，画图见解析 (2)①②④⑤ 【分析】（1）根据函数的表达式，代入计算即可．根据画图像的步骤画出图象即可． （2）结合图象逐一判断即可． 【详解】（1）解：在中，当时, ，即， 当 时, ，即； 函数图象如下所示： （2）解：①由函数图象可知，该函数图象是轴对称图形，它的对称轴为轴，原说法正确； ②该函数的图象在轴上方，即图象不过第三象限，原说法正确； ③由函数图象可知，当时，随的增大而增大，原说法错误； ④因为点，为关于轴对称，故，原说法正确； ⑤如图，图象与直线、以及x轴围成区域的面积大于黑色边框圈出的面积，即大于，原说法正确； 故说法正确的有①②④⑤． 题型12.反比例的实际与跨学科应用 【典例】密闭容器内有一定质量的气体，当容器的体积V（单位：）变化时，气体的密度（单位：）随之变化．已知密度与体积V是反比例函数关系，它的图象如图所示，则下列说法正确的有_______．（填序号） ①函数解析式为；②容器内气体的质量是；③当时，；④当时，． 【答案】①③/③① 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，正确求出反比例函数解析式是解题关键．利用待定系数法求出函数解析式为，再逐项求解即可． 【详解】解：密度与体积是反比例函数关系， 设， 由图象可知，反比例函数图象可知，当时，， ， ， 函数解析式为，故①正确； 质量密度体积， 容器内气体的质量，故②错误； 当时，， ∵, ∴由图象可得，在第一象限内，随着的增大而减小， ∴，故③正确； 当时，， 解得：，故④错误， 故答案为：①． 【跟踪专练1】小星在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔槔的古代汲水工具（如图），有一横杆固定于桔槔上的点，并可绕点转动．在横杆处连接一竹竿，在横杆处固定的物体，且．若图中人物竖直向下施加的拉力为，当改变点与点的距离时，横杆始终处于水平状态，小星发现与有一定的关系，他记录了拉力的大小与的变化情况如图所示，下列说法错误的是（   ） A．拉力的大小与符合反比例函数关系 B．当的长增大时，拉力在减小 C．的长每增大，所施加的拉力就减小 D．当的长从增加到时，所施加的拉力减小了 【答案】C 【分析】仔细观察图象，得出与的积为定值，从而得出满足反比例函数关系，利用函数的图象和性质逐项判断即可． 【详解】解：由图象中数据发现： ， 拉力与距离的乘积不变， 拉力的大小与之间满足反比例函数关系，故A正确，不符合题意； 由图象可得，当的长增大时，拉力在减小，故B正确，不符合题意； 由图象知，当时，，当时，，当时，， ， 的长每增大，所施加的拉力不一定减小，故C错误，符合题意； 当的长从增加到时，所施加的拉力减小了，故D正确，不符合题意． 【跟踪专练2】生物实践小组搜集了某种植园温室大棚智能控制系统测试阶段时的温度变化，并绘制出大棚内的温度随时间（时）变化的图象，如图所示，点表示智能控制系统在0时启动，此时大棚内的温度为，线段表示升温阶段，线段表示恒温阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段，点表示24时温度降到． (1)线段的函数解析式和定义域为______； (2)双曲线段的函数解析式和定义域为______； (3)求该大棚在时内，温度不低于的时长是______； (4)此地日出时间为，日落时间为，为保证该大棚中的植物至少有9小时的光照且在此期间大棚温度不低于，小组同学决定推迟智能控制系统的启动时间，至少推迟______小时，能满足上述要求． 【答案】(1)线段的函数解析式为，定义域为； (2)双曲线段的函数解析式为，定义域为； (3)12 (4)1 【分析】（1）将点与代入函数解析式，由待定系数法求解即可； （2）设出双曲线段的函数解析式，再将点代入函数解析式求解即可； （3）分别求解出升温阶段与恒温系统关闭阶段，温度为的时间，再计算时常即可； （4）求出现在符合光照和温度的时间，进而根据要求即可解答． 【详解】（1）解：设线段的函数解析式为， ∵点与在线段上， ∴，解得， ∴线段的函数解析式为，定义域为； 故答案为：，； （2）解：双曲线段的函数解析式为， ∵点在双曲线上， ∴，解得， ∴双曲线段的函数解析式为， ∵当时，可得，解得， ∴定义域为； 故答案为：，； （3）解：∵线段的函数解析式为， 令，可得，解得， 又∵双曲线段的函数解析式为， 令，可得，解得， ∴从3时开始到15时，温度不低于，即时长为时； 故答案为：12； （4）解：由题意，日照时间为，共10小时， 需保证植物至少有9小时的光照且在此期间大棚温度不低于， ∵该大棚在时内，温度不低于的时间为， 此时和光照时间重叠为8小时，不满足条件； 故推迟1小时时，温度不低于的时间为， 此时和光照时间重叠为9小时，满足条件 故至少推迟1小时，能满足上述要求． 故答案为：1． 【跟踪专练3】一款有能量回收功能的电动车的一次加速到停止加速后因能量回收产生的速度衰减过程大致趋势如图，轴为时间轴（单位：每个单位长度为一个单位时间），轴为速度轴（每个单位长度为一个单位速度），研究该车在较短的一段时间内（）的速度的大小关于时间的函数，该车加速的过程近似于一个一次函数图像的一部分，速度衰减过程近似于一个反比例函数图像的一部分． (1)根据图中信息，分别求出两段图像所对应的函数的解析式，并写出各自的定义域； (2)若有另一辆同款电动车，与原电动车同时以同样的起始速度启动加速，但在30个单位时间内都不停止加速，那么两车的速度差能否达到10个单位速度的差距？若可能，问经过多少个单位时间达到此速度差；若不可能，请说明理由． 【答案】(1)加速段：，自变量取值范围 ．衰减段： 解析式为，自变量取值范围 ． (2)两车的速度差能达到10个单位速度的差距，个单位时间达到此速度差． 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的解析式求解、函数自变量取值范围的确定及方程的应用，熟练掌握待定系数法求函数解析式、结合自变量取值范围分析实际问题是解题的关键． （1）加速段设一次函数，代入两点求解析式及定义域；衰减段设反比例函数，代入点求解析式及定义域． （2）另一辆车速度用延续的一次函数，分两段列速度差方程，验证解是否在对应定义域内． 【详解】（1）解：加速段：设解析式为，代入，得 ， 解得，， ∴，自变量取值范围 ． 衰减段：设解析式为，代入得 ， ∴解析式为，自变量取值范围 ． （2）解：由题意可得另一辆车速度函数：（）． 当 时，两车速度相同，速度差为0，无法达到10． 当 时，有， ， ， 解得或（舍去）， 经检验，是原分式方程的解． ∴两车的速度差能达到10个单位速度的差距，个单位时间达到此速度差． 【解答题】 1．某运输公司计划运输一批货物，每天运输的吨数与运输天数之间的关系如下表： 每天运输的吨数 500 250 100 50 …… 运输的天数 1 2 5 …… (1)这批货物共有多少吨？ (2)用表示运输天数，用表示每天运输的吨数，用式子表示它们的关系． (3)与成反比例关系吗？如果成，请求出表格中的值． 【答案】(1) 500吨 (2) (3) 成反比例关系， 【分析】本题考查了反比例关系的实际应用，解题的关键是根据“货物总量每天运输吨数运输天数”确定总量，并分析变量间的关系． （1）用每天运输吨数乘对应天数计算货物总量； （2）根据总量公式变形得到与的关系式； （3）依据反比例关系的定义判断，再代入总量求的值． 【详解】（1）解：（吨）． 答：这批货物共有500吨． （2）解：由，得. （3）解：∵（定值）， ∴与成反比例关系． 当时，． 2．已知函数是关于的反比例函数． (1)求的值； (2)当时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查求反比例函数的解析式，求反比例函数的函数值： （1）根据反比例函数的定义，得到，且，进行求解即可； （2）把代入函数解析式，求出的值即可． 【详解】（1）解：由题意，得：且， ． （2） ∴反比例函数的表达式为， ∴当时，． 3．已知，视力表上视力值和字母的宽度（mm）之间的关系是我们已经学过的一类函数模型，字母的宽度如图1所示，经整理，视力表上部分视力值和字母的宽度（mm）的对应数据如表所示： 位置 视力值 的值（mm） 第1行 0.1 70 第5行 0.25 28 第8行 0.5 14 第14行 2.0 3.5      (1)请你根据表格数据判断并求出视力值和字母的宽度（mm）之间的函数表达式，并说明理由； (2)经过测量，第4行和第7行两行首个字母E的宽度a（mm）的值分别是35mm和17.5mm，求第4行、第7行的视力值． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据表格数据可知，视力值和随着宽度减小而增大，且视力值和宽度的积为定值，即可判定视力值和宽度成反比例函数关系，待定系数法求解即可； （2）将，，分别代入，求解即可． 【详解】（1）解：根据表格数据可知，视力值和随着宽度减小而增大，且视力值和宽度的积为定值，故视力值和宽度成反比例函数关系， 设视力值和宽度的函数解析式为：， 将点，代入求得， 故视力值和宽度的函数解析式为：． （2）解：∵第4行首个字母E的宽度a（mm）的值是35mm， 即，将代入，求得； ∵第7行首个字母E的宽度a（mm）的值是17.5mm， 即，将代入，求得； 故求第4行、第7行的视力值分别是，． 【点睛】本题考查了求反比例函数解析式，求反比例函数值，熟练掌握求反比例函数解析式是解题的关键． 4．平面直角坐标系中，，，是反比例函数图象上的三点，且．若，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查反比例函数的图象上点的坐标特征，先根据，得出，再根据，，得出．然后把代入即可得出结论． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， ∵，是反比例函数图象上的点， ∴，， ∴． ∵， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12反比例函数概念及应用复习讲义 (不含图象与性质) 知识目标 能力目标 应试目标 1.掌握反比例函数的定义，明确相关取值要求，分清各类函数区别。 2.认识生活中的反比例关系，学会建立反比例函数模型。 3.理解比例系数的几何含义，掌握图形面积相关计算。 4.熟悉反比例函数实际应用，以及与一次函数的综合基础内容。 1.会求解反比例函数解析式，能准确辨别函数类型。 2.能结合实际问题建模解题，合理确定自变量范围。 3.会结合图像分析问题，提升数形结合解题能力。 4.可解决反比例函数与几何、一次函数的基础综合题。 1.吃透基础概念，规避常见易错点，稳固基础题型得分。 2.规范应用题答题步骤，熟练掌握面积计算等高频考点。 3.掌握综合题型解题思路，提升中档题型解题能力。 题型01.用反比例函数描述数量关系 题型02.由定义判定反比例函数 题型03.由反比例函数的定义求参数 题型04.求反比例函数值 题型05.由反比例函数值求自变量 题型06.一次函数与反比例函数实际应用 题型07.反比例函数行程问题 题型08.反比例函数工程问题 题型09.反比例函数利润问题 题型10.反比例函数面积计算问题 题型11.反比例函数与几何综合 题型12.反比例的实际与跨学科应用 解答题4题 知识点01:反比例函数的概念 1.定义 一般地，形如 y=（k 为常数，k0）的函数，叫做反比例函数，其中 x 是自变量，y 是函数。 2.等价表达式（核心变形，判断依据） 1.分式形式：y= 2.负指数形式:y=kx−1（自变量 x 的指数为 −1，k0） 3.乘积形式:xy=k（x 与 y 的乘积为定值 k，k0） 3.取值范围 自变量 x：x0（分母不能为 0） 函数值 y：y0 4.判断方法 紧扣定义：① 形式为 ​；② k0；③ 自变量 x 次数为 −1。 知识点02:图象与基本性质 图象：双曲线，由两支曲线组成； 位置： k>0：双曲线在第一、三象限； k<0：双曲线在第二、四象限； 趋势：两支曲线无限靠近坐标轴，但永不与坐标轴相交。 知识点03:求反比例函数表达式 1.方法：待定系数法（仅需 1 组 x,y 对应值） 2.步骤 (1)设解析式：y=(k0) (2)代入：将已知点 (x0​,y0​) 代入，得 k=x0y0​ (3)回代：写出确定的解析式 知识点04:反比例函数的应用 1. 核心思想 实际问题中，若两个量的积为定值，则它们成反比例关系，可用y= 建模解决。 2. 常见实际模型（必掌握） 行程问题：路程 s 一定时，速度 v 与时间 t 成反比v=(s为定值) 工程问题：工作总量 W 一定时，效率 P 与时间 t 成反比P=(w为定值) 几何面积：矩形面积 S 一定时，长 a 与宽 b 成反比a= (S为定值) 物理关系（如压强、电学）： 压力 F 一定，压强 p 与受力面积 S 成反比：P= 电压 U 一定，电流 I 与电阻 R 成反比：I= 3. 解题一般步骤 1.审：找常量、变量，确认 “积为定值”； 2.设：设反比例函数y= 3.求：用已知条件求 k； 4.用：写出解析式，结合实际意义确定自变量取值范围，再求解问题。 高频易错点 1.忽略k0，误判反比例函数。 2.混淆正比例（比值一定）与反比例（乘积一定）。 3.错认为图象与坐标轴相交。 4.记反k正负对应的象限。 5.实际应用题忘记限制自变量取值范围。 6.计算面积时漏掉绝对值，符号出错。 题型01.用反比例函数描述数量关系 【典例】已知等腰三角形的底边长为x，底边上的高为y，面积为20，那么y与x之间的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】若点在反比例函数的图象上，则代数式的值为_______． 【跟踪专练2】已知点是反比例函数上一点，则下列各点中在该图像上的点是（    ） A． B． C． D． 题型02.由定义判定反比例函数 【典例】下列选项中，表示y是x的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，是的反比例函数的有 ________ ．（填序号） 【跟踪专练2】下列函数不是反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 题型03.由反比例函数的定义求参数 【典例】反比例函数的图象经过点，则k的值为（      ） A．15 B． C．-15 D．- 【跟踪专练1】若函数是反比例函数，则的值为__________． 【跟踪专练2】在平面直角坐标系中，对于点和，若时，；时，，则称点是点的“演绎点”．若点是反比例函数图象上点的“演绎点”，则的值为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 题型04.求反比例函数值 【典例】在平面直角坐标系中，若点在反比例函数的图象上，则m的值为（   ） A．4 B． C． D．2 【跟踪专练1】如图，已知点在反比例函数的图像上，观察图像可知，当时，的取值范围是___________． 【跟踪专练2】反比例函数 的图象有下述特征：图象与x轴没有公共点且与x轴无限接近．下列说明这一特征的理由中，正确的是（   ） A．自变量且的值可以无限接近 B．自变量且函数值可以无限接近 C．函数值且的值可以无限接近 D．函数值且函数值可以无限接近 题型05.由反比例函数值求自变量 【典例】若反比例函数的图象经过点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，反比例函数经过点、点，则______． 【跟踪专练2】反比例函数的图象一定经过的点是（    ） A． B． C． D． 题型06.一次函数与反比例函数实际应用 【典例】将的图象先向左平移个单位，再向下平移个单位，得到的新双曲线与直线相交于两点，其中一个交点的横坐标为，另一个交点的纵坐标为，则 ______ ． 【跟踪专练1】实验数据显示，一般成人喝毫升某品牌白酒后开始计时，血液中酒精含量（毫克/百毫升）与时间（时）变化的图象如图（图象由线段与部分双曲线组成）所示．国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于（毫克/百毫升）时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路． 参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上在家喝完毫升该品牌白酒，第二天早上最早几点可以上班（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】通过试验研究发现：一节40分钟的课堂，初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．如图，学生注意力指标y随时间x（分钟）变化的函数图象，当和时，图象是线段；当时，图象是反比例函数的一部分．    (1)求反比例函数解析式和点A、D的坐标； (2)陈老师在一节课上讲解一道数学综合题需要16分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于32？请说明理由． 【跟踪专练3】我省某化工厂2023年1月的利润为200万元，若设2023年1月为第一个月，第x个月的利润为y万元；由于污染问题，该厂决定从2023年1月底适当限产，同时投入资金进行新技术改造．从1月底到5月，y与x成反比例关系．到5月底，新技术改造任务顺利完成，从这时起，之后该厂每月利润比前月增加20万元（如图）． . (1)分别求出在新技术改造阶段及新技术改造后，y与x之间的函数表达式； (2)若设第3个月时该厂的利润为，第4个月时该厂的利润为，第7个月时利润为，则、和的大小关系为：________（用“>”连接）； (3)当月利润少于100万元时，为该厂资金紧张期，请求出该厂资金紧张期共有几个月？ 题型07.反比例函数行程问题 【典例】小李驾驶汽车在早上从甲地出发到乙地，其行驶的平均速度（千米/时）与行驶所用的时间（时）之间的函数关系图象如图所示，已知全程限速120千米/时． （1）甲、乙两地之间的距离为______千米； （2）小李计划在当天不超过到达乙地，汽车行驶的平均速度的范围为______． 【跟踪专练1】一辆汽车匀速通过某段公路，所需时间（单位：）与行驶速度（单位：）成反比例关系，函数图象如图所示．若该路段限速，则汽车通过该路段至少需要（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】小王驾驶汽车从甲地走高速公路前往乙地办事，以80千米/小时的平均速度用6小时到达目的地，之后他按原路返回甲地． (1)求行驶时间（小时）与汽车的平均速度（千米/小时）之间的函数关系式； (2)根据规定：在高速公路上行驶时，最高车速不得超过120千米/小时，最低车速不得低于60千米/小时．求小王返程行驶时间的取值范围． 题型08.反比例函数工程问题 【典例】某AI分拣机器人工作时，每小时可分拣包裹数50件，每工作3小时需暂停0.5小时校准，校准期间不工作．总分拣包裹数记为件，总耗时记为小时（含分拣与校准时间），机器人分拣的平均速度．则当_____时，恰为45件/小时． 【跟踪专练1】码头工人往一艘轮船上装载货物，装完货物所需时间与装载速度之间的函数关系如图： (1)求出y与x之间的函数关系式； (2)轮船到达目的地后开始卸货，如果以的速度卸货，需要多少时间才能卸完货物？ 【跟踪专练2】某工厂生产一种零件，计划在规定时间内完成个零件的加工任务，由于改进了技术，实际每天比原计划多加工个零件，结果提前天完成任务．设原计划每天加工个零件． (1)求原计划每天加工零件的个数； (2)若工厂实际加工时，每天至少要加工20个零件，求原计划完成任务的天数最多为多少天？ 题型09.反比例函数利润问题 【典例】根据某商场对一款运动鞋四天中的售价与销量关系的调查知销量y（双）是售价x（元/双）的反比例函数（统计数据如表所示）．已知该运动鞋的进价为180元/双，要使该款运动鞋每天的销售利润达到2400元，则其售价应定为______元/双． 售价x/（元/双） 200 240 250 400 销量y/双 30 25 24 15 【跟踪专练1】某便利店售卖一种进价为2元/根的鸡肉串，在实际销售中发现此鸡肉串的日销售量y（根）与每根售价x（元）之间有如下关系： x/元 3 4 5 6 y/根 20 15 12 10 (1)以表中x、y的对应值为点的坐标，在平面直角坐标系中描点，猜想y与x之间具有怎样的函数关系． (2)根据上述猜想，进一步确定y与x之间的函数表达式． (3)设此鸡肉串的日销售利润为w元（日销售利润单件利润日销售量），试求w与x之间的函数表达式．若规定此鸡肉串的售价最高不超过8元/根，问售价定为多少时，能获得最大销售利润？ 【跟踪专练2】某农户共摘收草莓，为寻求合适的销售价格，进行了天试销，试销中发现这批草莓每天的销售量与售价（元/）之间成反比例关系，已知第天以元/的价格销售了．现假定在这批草莓的销售中，每天的销售量与销售价格（元/）之间都满足这一关系． (1)求与之间的函数表达式； (2)在试销期间，第天的销售价格比第天低了元/，但销售量却是第二天的倍，求第二天的销售价格； (3)试销天共销售草莓，该农户决定将草莓的售价定为元/，并且每天都按这个价格销售，问余下的草莓预计还需多少天可以全部售完？ 题型10.反比例函数面积计算问题 【典例】如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于点，点是反比例函数图象上一点，它的横坐标是3，连接，则的面积是（    ） A．2 B． C． D． 【跟踪专练1】如图，直线与双曲线交于点 (1)求双曲线对应的函数表达式； (2)把直线向上平移3个单位长度，与双曲线交于点B，连接，求的面积． 【跟踪专练2】如图，已知点在函数的图像上，长方形的边在x轴上，函数的图像又经过点A，A的纵坐标为，且． (1)求k的值； (2)求的面积； (3)当时，求m的值． 题型11.反比例函数与几何综合 【典例】如图，的直角顶点在轴上，反比例函数的图象经过的中点，且与边相交于点．若点的坐标为，则点的坐标是________． 【跟踪专练1】如图，一次函数的图象与坐标轴分别交于点，反比例函数的图象经过点，是等腰直角三角形，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点，连接，的面积为1． (1)求反比例函数的解析式； (2)点为第三象限内反比例函数图象上一点，且位于直线下方，过点作轴交直线于点，作轴于点，若，求点的坐标． 【跟踪专练3】在函数的学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合函数图象研究函数性质的过程．以下是研究函数性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各题： x …… 0 1 2 3 4 …… y …… a 2 5 b 5 2 1 …… (1)写出表中a、b的值：______，______；描点、连线，在答题卡上所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象． (2)结合函数图象，下列说法正确的有_______．（请填入所有正确结论的序号） ①该函数图象是轴对称图形，它的对称轴为y轴； ②该函数图象不经过第三象限； ③当时，y随x的增大而减小； ④若点，为该函数图象上不同的两点，则； ⑤该函数图象与直线、以及x轴围成区域的面积大于14． 题型12.反比例的实际与跨学科应用 【典例】密闭容器内有一定质量的气体，当容器的体积V（单位：）变化时，气体的密度（单位：）随之变化．已知密度与体积V是反比例函数关系，它的图象如图所示，则下列说法正确的有_______．（填序号） ①函数解析式为；②容器内气体的质量是；③当时，；④当时，． 【跟踪专练1】小星在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔槔的古代汲水工具（如图），有一横杆固定于桔槔上的点，并可绕点转动．在横杆处连接一竹竿，在横杆处固定的物体，且．若图中人物竖直向下施加的拉力为，当改变点与点的距离时，横杆始终处于水平状态，小星发现与有一定的关系，他记录了拉力的大小与的变化情况如图所示，下列说法错误的是（   ） A．拉力的大小与符合反比例函数关系 B．当的长增大时，拉力在减小 C．的长每增大，所施加的拉力就减小 D．当的长从增加到时，所施加的拉力减小了 【跟踪专练2】生物实践小组搜集了某种植园温室大棚智能控制系统测试阶段时的温度变化，并绘制出大棚内的温度随时间（时）变化的图象，如图所示，点表示智能控制系统在0时启动，此时大棚内的温度为，线段表示升温阶段，线段表示恒温阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段，点表示24时温度降到． (1)线段的函数解析式和定义域为______； (2)双曲线段的函数解析式和定义域为______； (3)求该大棚在时内，温度不低于的时长是______； (4)此地日出时间为，日落时间为，为保证该大棚中的植物至少有9小时的光照且在此期间大棚温度不低于，小组同学决定推迟智能控制系统的启动时间，至少推迟______小时，能满足上述要求． 【跟踪专练3】一款有能量回收功能的电动车的一次加速到停止加速后因能量回收产生的速度衰减过程大致趋势如图，轴为时间轴（单位：每个单位长度为一个单位时间），轴为速度轴（每个单位长度为一个单位速度），研究该车在较短的一段时间内（）的速度的大小关于时间的函数，该车加速的过程近似于一个一次函数图像的一部分，速度衰减过程近似于一个反比例函数图像的一部分． (1)根据图中信息，分别求出两段图像所对应的函数的解析式，并写出各自的定义域； (2)若有另一辆同款电动车，与原电动车同时以同样的起始速度启动加速，但在30个单位时间内都不停止加速，那么两车的速度差能否达到10个单位速度的差距？若可能，问经过多少个单位时间达到此速度差；若不可能，请说明理由． 【解答题】 1．某运输公司计划运输一批货物，每天运输的吨数与运输天数之间的关系如下表： 每天运输的吨数 500 250 100 50 …… 运输的天数 1 2 5 …… (1)这批货物共有多少吨？ (2)用表示运输天数，用表示每天运输的吨数，用式子表示它们的关系． (3)与成反比例关系吗？如果成，请求出表格中的值． 2．已知函数是关于的反比例函数． (1)求的值； (2)当时，求的值． 3．已知，视力表上视力值和字母的宽度（mm）之间的关系是我们已经学过的一类函数模型，字母的宽度如图1所示，经整理，视力表上部分视力值和字母的宽度（mm）的对应数据如表所示： 位置 视力值 的值（mm） 第1行 0.1 70 第5行 0.25 28 第8行 0.5 14 第14行 2.0 3.5      (1)请你根据表格数据判断并求出视力值和字母的宽度（mm）之间的函数表达式，并说明理由； (2)经过测量，第4行和第7行两行首个字母E的宽度a（mm）的值分别是35mm和17.5mm，求第4行、第7行的视力值． 4．平面直角坐标系中，，，是反比例函数图象上的三点，且．若，求证：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $