第13讲 平行四边形的性质（知识详解+6典例分析+习题巩固）2025-2026学年北师大版八年级数学下册同步讲义与测试

本讲义聚焦平行四边形的性质这一核心知识点，系统梳理从定义（两组对边分别平行的四边形）、基本元素（边、角、对角线）到边角性质（对边相等、对角相等、中心对称）、对角线性质（互相平分）的脉络，并延伸至梯形及等腰梯形的定义与性质，搭建由基础到应用的学习支架。 该资料通过6个典例分析与变式训练，涵盖性质求解、证明、坐标应用等题型，结合网格作图、面积关系探究等设计，培养学生几何直观与推理能力。课中辅助教师分层教学，课后通过多样化习题帮助学生巩固知识、查漏补缺，提升用数学语言解决实际问题的能力。

第13讲 平行四边形的性质（知识详解+6典例分析+习题巩固） 【知识点01】平行四边形的定义 1. 平行四边形的定义及表示方法 两组对边分别平行的四边形 叫作平行四边形 表示方法: 平行四边形用“▱ ”表示，如图 ，平行四边形 ABCD 记作“▱ABCD”，读作 “平行四边形 ABCD” . 2. 平行四边形的对角线 平行四边形不相邻的两个顶点连成的线段叫作它的对角线。 3. 平行四边形的基本元素 图示: 基本元素 主要内容 边 邻边 AD 和AB，AD 和DC，DC 和BC，BC 和AB，共有四对  对边 AB 和DC，AD 和BC，共有两对 角 邻角 ∠BAD 和∠ADC， ∠ADC 和∠DCB， ∠DCB 和∠ABC，∠ABC 和∠DAB，共有四对 对角 ∠BAD 和∠BCD，∠ADC 和∠ABC，共有两对  对角线 AC 和BD，共有两条 【知识点02】平行四边形的边角性质 1. 平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心 . 2. 平行四边形的边、角性质定理 图示: 类别 定理 符号语言 边 平行四边形的对边相等 ∵ 四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB=CD，AD=BC  角 平行四边形的对角相等 ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴∠A=∠C，∠B=∠D  【知识点03】平行四边形的对角线性质 1. 对角线的性质 平行四边形的对角线互相平分 . 符号语言： ∵四边形 ABCD 是平行四边形， 对角线AC 与BD 相交于点O， ∴ OA=OC= AC， OB=OD=  BD. 知识拓展：平行四边形中的面积关系 图示 条件 O 为    ABCD 对角线的交点 点P 在 ABCD 的边AD 上, 且不与端点重合 结论 === =  ABCD  +== S   ABCD  图示 条件 P 为ABCD 内任意一点 EF 经过 ABCD 对角线的交点O  结论 +=+= S   ABCD  【知识点04】梯形 1. 梯形的相关概念 一组对边平行、另一组对边不平行的四边形叫作梯形。如图6.1-5，平行的两边称为梯形的底，较短的底通常称为上底，较长的底通常称为下底。不平行的两边称为梯形的腰，两腰相等的梯形称为等腰梯形。 2. 等腰梯形的性质 等腰梯形是轴对称图形，等腰梯形的两底角相等。 【题型一】利用平行四边形的性质求解 例1．（25-26八年级下·湖南湘潭·期中）在平行四边形中，可能是（   ） A． B． C． D． 例2．（25-26八年级下·辽宁大连·期中）如图，四边形是平行四边形，若，则________°． 例3．（25-26八年级下·湖南邵阳·期中）如图，已知两个条件：①四边形是平行四边形，②P是上一点，且和分别平分和． (1)根据条件①与②，你能得到什么结论？写出一个结论并证明这个结论． (2)若，，求的长． 变式1．（25-26八年级下·内蒙古乌兰察布·期中）已知中，，则（    ） A． B． C． D． 变式2．（25-26八年级下·广东东莞·期中）如图，的对角线、相交于点O，的周长为29，且，则的长度为______． 变式3．（25-26八年级下·山东济南·期中）如图，在平面直角坐标系中，点B、C都在x轴上，，，，点C是线段的中点，直线交线段于点F，交x轴于点E． (1)写出点D的坐标________，点E的坐标________； (2)求直线的表达式； (3)平面内是否存在一点G，使以A、D、F、G为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由． 【题型二】利用平行四边形的性质证明 例4．（25-26八年级下·广东中山·期中）如图，在中，，要在平行四边形的边所在直线上找点E，F，使四边形为平行四边形，下面的两种方案中正确的方案是（   ） A．方案1 B．方案2 C．两种都正确 D．两种都不正确 例5．（22-23八年级下·重庆沙坪坝·月考）如图，在平行四边形中，对角线与相交于点O，经过点O，交于点E，交于点F．若四边形周长为12，，则____． 例6．（25-26八年级下·湖北武汉·期中）如图，平行四边形中，．求证：． 变式1．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，相交于点O．下列结论：①，②，③，④，⑤，其中正确的有（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式2．（22-23八年级下·湖北荆州·期中）如图，平行四边形中，E，F是对角线上的两点，有如下四个条件：①；②；③；④，如果从中选择一个作为添加条件，使四边形是平行四边形，那么这个添加的条件可以是________（填写序号）． 变式3．（25-26八年级下·广东珠海·期中）如图，平行四边形的对角线相交于点O，过点O且与分别交于点E、F．求证：． 【题型三】平行四边形性质的其他应用 例7．（25-26八年级下·新疆昌吉·期中） 平行四边形具备多种独特的几何性质，在普通平行四边形中，下列说法错误的一项是（    ） A．两组对边互相平行 B．两组对边长度相等 C．相邻两个内角角度相等 D．对角线互相平分 例8．（23-24八年级下·甘肃酒泉·期末）在平行四边形中，若一个角为其邻角的2倍，则这个平行四边形中两邻角的度数分别是________． 例9．（23-24八年级下·天津滨海新区·期中）作图题 如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题： (1)在网格中画出； (2)线段的长为______的长为______ 变式1．（23-24八年级下·广东东莞·期末）为更好地开展劳动教育课程，学校计划将一块空地（如图）修建一条笔直的小路（小路宽度忽略不计）．有两个要求：经过边上一点；分成面积相等的两部分．则小路除了经过点外，还经过（   ） A．点 B．的中点 C．的中点 D．边上的点，且 变式2．（23-24八年级下·广东江门·月考）平行四边形的一条对角线把平行四边形分成的两个三角形通过_____变换可使它们互相重合． 变式3．（22-23八年级下·四川成都·月考）在学习一元一次不等式与一次函数的过程中，小新在同一个坐标系中发现直线：与坐标轴相交于A，B两点，直线：与坐标轴相交于C，D两点，两直线相交于点E，且点E的横坐标为4．已知，点P是直线上的动点．    (1)求点E的坐标及直线的函数表达式； (2)过点P作x轴的垂线与直线和x轴分别相交于M，N两点，当点N是线段PM的三等分点时，求P点的坐标； (3)若点Q是x轴上的动点，是否存在以A，E，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有满足条件的P点坐标；若不存在，请说明理由． 【题型四】(等腰)梯形的定义 例10．（25-26八年级下·山东聊城·月考）四边形中，若，则这个四边形是（   ） A．一般梯形 B．等腰梯形   C．直角梯形 D．任意四边形 例11．（25-26八年级下·江苏徐州·期中）如图，正六边形中包含___________个等腰梯形． 例12．如图，是一个梯形，厘米，厘米，的面积是面积的，求的长 变式1．（25-26八年级下·江苏泰州·期中）如图，正六边形中包含六个全等的等边三角形，它包含的等腰梯形的个数为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 变式2．图中梯形的面积为______． 变式3．（2023八年级下·上海·专题练习）在梯形中，，，，，，点、分别在边、上，，点与在直线的两侧，，，射线、与边分别相交于点、，设，． (1)求边的长； (2)如图，当点P在梯形内部时，求y关于x的函数解析式，并写出定义域； (3)如果的长为2，求梯形的面积． 【题型五】等腰梯形的性质定理 例13．（23-24八年级下·上海闵行·期末）已知，如图，在梯形中，，，，，．有以下两个说法：①梯形的面积；②梯形的周长；对这两种说法的判断正确的是（    ） A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①、②均正确 D．①、②均错误 例14．（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）如图，小亮用六块形状、大小完全相同的等腰梯形拼成一个四边形，则图中的度数是______． 例15．（25-26八年级下·重庆江津·期中）如图，在四边形中，，，，，，点从点出发，以的速度向点运动：点从点同时出发，以的速度向点运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，若运动时，求运动时间的值？ 变式1．如图，四边形是等腰梯形，O是坐标原点，A，C的坐标分别是，，则B点坐标是（   ） A． B． C． D．无法确定 变式2．（23-24八年级下·上海·期末）在等腰梯形中，已知，，那么______． 变式3．（2026八年级下·山东·专题练习）如图，梯形 的对角线交于点 ， ．若______，则 ． 从① ，② ，③ 这三个选项中选择一个作为条件，使结论成立，并说明理由． 【题型六】数图形中平行四边形的个数 例16．（25-26八年级下·全国·课后作业）在中，，，则图中平行四边形的个数是（） A．13 B．14 C．15 D．18 例17．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在四边形中，，，则图中共有____个平行四边形，它们分别是_________________（有符号表示）． 变式1．（2023八年级下·江西·竞赛）如图所示的正方形网格中共有16个格点（组成网格的小正方形的顶点称为格点），若以A，B两个格点为顶点作格点平行四边形（顶点均为格点的四边形称为格点四边形），则这样的平行四边形共有（   ） A．5个 B．8个 C．9个 D．10个 变式2．（24-25八年级下·湖北恩施·期中）如图，线段相交于点，且图上各点把线段四等分，这些点可以构成的平行四边形的个数是______个． 变式3．（2024八年级下·全国·课后作业）已知（如图），将它沿方向平移，平移的距离为． (1)作出经平移后所得的图形． (2)写出与构成的图形中所有的平行四边形（不必证明）． 一、单选题 1．在中，若，，则的周长是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在等腰梯形中，，，对角线、相交于点，那么下列结论一定成立的是（   ） A． B． C． D． 3．在中，，则图中平行四边形的个数是（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 4．下列选项中，能与如图所示残缺的图形拼成一个梯形的是（   ） A． B． C． D． 5．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4，BD＝6，BD⊥AB，则AC的长为（    ） A．10 B． C． D． 6．在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于O，AC=10，BD=8，则AD的长度的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．如图四边形是一个等腰梯形，在边上作一个三角形，使四边形成为一个平行四边形，若，，则下面所给的量中可以求的是（   ） A．的周长 B．的长 C．等腰梯形与周长的差 D．与的差 8．如图，中，平分，，则等于（    ） A． B． C． D． 9．如图，在▱ABCD中，AD＝2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF，下列结论中：①∠DCF＝∠BCD；②∠DFE＝3∠AEF；③EF＝CF；④S△BEC＝S△CEF．一定成立的是（　　） A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④ 10．如图，四边形中，，，，M是上一点，且，点E从点A出发以的速度向点D运动，点F从点C出发，以的速度向B运动，当其中一点到达终点，另一点也随之停止，设运动时间为t秒，则当以A，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，（    ） A． B． C．或 D．或 二、填空题 11．已知平行四边形的周长是30，相邻两边的长相差3，则两条邻边中较长的边长为_____． 12．如图，在平行四边形ABCD中，，则______． 13．在四边形中，AD=BC,补充一个条件使其成为平行四边形，你补充的条件是_____只需填一个即可． 14．在中，，则__________． 15．在中，若，对角线，，则长为_________． 16．如图，在平行四边形ABCD中，∠B＝45°，AD＝8，E、H分别为边AB、CD上一点，将▱ABCD沿EH翻折，使得AD的对应线段FG经过点C，若FG⊥CD，CG＝4，则EF的长度为 _____． 17．在探索数学名题“尺规三等分角”的过程中，有下面的问题：如图，AC是▱ABCD的对角线，AD＝AE＝BE，∠D＝108°，则∠BAC＝___． 三、解答题 18．如图，▱ABCD的一个外角为38°，AD=10cm，求∠B，∠A，∠D的度数以及BC的长度． 19．如图：已知在平行四边形中，，于G，于H，求证：与互相平分．    20．如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，线段的端点，都在正方形网格的格点上． （1）请在下面的网格中画出，使（点，都在正方形网格的格点上，画出一个符合题意的图形即可）； （2）在（1）中所画出的的对角线的长是______． 21．如图，在正方形网格中，的顶点在边长为1的小正方形的顶点（格点）上，若坐标平面内的点的坐标分别为，．    (1)通过计算判断的形状， (2)若要使以四个点为顶点的四边形是平行四边形，则满足条件的D点的坐标是 ． 22．如图，在平行四边形ABCD中，AB＜BC． （1）在BC边上确定点P，使点P到边AB，AD的距离相等．（用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）中所作的图形中，若AB=3，AD=4，则CP= ． 23．如图，在中，，于点，延长到点，使．过点作交的延长线于点，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求的长． 24．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是：，． (1)画出关于原点的中心对称图形； (2)画出绕点顺时针旋转得到，并写出点的坐标_____； (3)若点在第二象限，且以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，则的坐标为_____． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第13讲 平行四边形的性质（知识详解+6典例分析+习题巩固） 【知识点01】平行四边形的定义 1. 平行四边形的定义及表示方法 两组对边分别平行的四边形 叫作平行四边形 表示方法: 平行四边形用“▱ ”表示，如图 ，平行四边形 ABCD 记作“▱ABCD”，读作 “平行四边形 ABCD” . 2. 平行四边形的对角线 平行四边形不相邻的两个顶点连成的线段叫作它的对角线。 3. 平行四边形的基本元素 图示: 基本元素 主要内容 边 邻边 AD 和AB，AD 和DC，DC 和BC，BC 和AB，共有四对  对边 AB 和DC，AD 和BC，共有两对 角 邻角 ∠BAD 和∠ADC， ∠ADC 和∠DCB， ∠DCB 和∠ABC，∠ABC 和∠DAB，共有四对 对角 ∠BAD 和∠BCD，∠ADC 和∠ABC，共有两对  对角线 AC 和BD，共有两条 【知识点02】平行四边形的边角性质 1. 平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心 . 2. 平行四边形的边、角性质定理 图示: 类别 定理 符号语言 边 平行四边形的对边相等 ∵ 四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB=CD，AD=BC  角 平行四边形的对角相等 ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴∠A=∠C，∠B=∠D  【知识点03】平行四边形的对角线性质 1. 对角线的性质 平行四边形的对角线互相平分 . 符号语言： ∵四边形 ABCD 是平行四边形， 对角线AC 与BD 相交于点O， ∴ OA=OC= AC， OB=OD=  BD. 知识拓展：平行四边形中的面积关系 图示 条件 O 为    ABCD 对角线的交点 点P 在 ABCD 的边AD 上, 且不与端点重合 结论 === =  ABCD  +== S   ABCD  图示 条件 P 为ABCD 内任意一点 EF 经过 ABCD 对角线的交点O  结论 +=+= S   ABCD  【知识点04】梯形 1. 梯形的相关概念 一组对边平行、另一组对边不平行的四边形叫作梯形。如图6.1-5，平行的两边称为梯形的底，较短的底通常称为上底，较长的底通常称为下底。不平行的两边称为梯形的腰，两腰相等的梯形称为等腰梯形。 2. 等腰梯形的性质 等腰梯形是轴对称图形，等腰梯形的两底角相等。 【题型一】利用平行四边形的性质求解 例1．（25-26八年级下·湖南湘潭·期中）在平行四边形中，可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用平行四边形的性质求解 【分析】利用平行四边形对边相等，即需要满足，，则对应比例位置满足第一项等于第三项，第二项等于第四项． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴中，第一项的值与第三项相等，第二项的值与第四项相等， 观察四个选项，只有D选项满足上述条件． 例2．（25-26八年级下·辽宁大连·期中）如图，四边形是平行四边形，若，则________°． 【答案】130 【知识点】利用平行四边形的性质求解 【分析】根据平行四边形的性质得到，再根据即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴． 例3．（25-26八年级下·湖南邵阳·期中）如图，已知两个条件：①四边形是平行四边形，②P是上一点，且和分别平分和． (1)根据条件①与②，你能得到什么结论？写出一个结论并证明这个结论． (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)8 【知识点】用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解、角平分线的有关计算 【分析】（1）根据平行四边形的性质及角平分线定义解答即可； （2）根据平行四边形及角平分线的性质推出，得到，同理，得到，由，根据勾股定理求出求的长． 【详解】（1）解：（1）（答案不唯一：1．；2．，；3．；4．；5．、均为等腰三角形等，任选其一给予证明即可．） 下面给出两个结论及证明． 结论：． 证明：因为四边形是平行四边形，所以， 所以（两直线平行，同旁内角互补）， 因为平分，平分， 所以，， 所以， 所以． 结论：． 证明：因为四边形是平行四边形，所以，， 因为平分，所以， 又，所以， 所以，，同理可证：， 因为，所以． （2）因为四边形是平行四边形，平分， 所以， 所以， 所以， 同理， 所以， 又因为（若第一问没有证明，此处必须证明）， 所以． 变式1．（25-26八年级下·内蒙古乌兰察布·期中）已知中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用平行四边形的性质求解 【分析】利用平行四边形对边相等即可推导得出结果． 【详解】∵ 四边形是平行四边形， ∴ ，， ∵ ， ∴ ． 变式2．（25-26八年级下·广东东莞·期中）如图，的对角线、相交于点O，的周长为29，且，则的长度为______． 【答案】11 【知识点】利用平行四边形的性质求解 【分析】根据平行四边形的性质得：，，，由的周长为29，得：，根据即可求出． 【详解】解：是平行四边形， ，，， 的周长为29，即：， , ， ， ， ， ． 变式3．（25-26八年级下·山东济南·期中）如图，在平面直角坐标系中，点B、C都在x轴上，，，，点C是线段的中点，直线交线段于点F，交x轴于点E． (1)写出点D的坐标________，点E的坐标________； (2)求直线的表达式； (3)平面内是否存在一点G，使以A、D、F、G为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)或或 【知识点】求一次函数解析式、利用平行四边形的性质求解、一次函数与几何综合 【分析】（1）结合四边形是平行四边形，，，，可得，，求解，可得． （2）设直线的关系式为：，再利用待定系数法可得直线的关系式：； （3）求解直线为，，分三种情况讨论：①如图所示，当为平行四边形的对角线时，②如图所示，当为平行四边形的对角线时，当为平行四边形的对角线时，进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形，，，， ∴，，， ∴，， ∵点C是线段的中点， ∴， ∴． （2）解：设直线的关系式为：， ∵直线经过点A，点E， ∴， 解得，， ∴直线的关系式：； （3）解：∵，设直线为， ∴， 解得：，即直线为， ∴，解得：， ∴， ①如图所示，当为平行四边形的对角线时， ，， ∴结合平移的性质可得：， ②如图所示，当为平行四边形的对角线时， 则，轴， 即点的坐标为：， ③当为平行四边形的对角线时， 同理可得：． 综上，点G的坐标为：或或． 【题型二】利用平行四边形的性质证明 例4．（25-26八年级下·广东中山·期中）如图，在中，，要在平行四边形的边所在直线上找点E，F，使四边形为平行四边形，下面的两种方案中正确的方案是（   ） A．方案1 B．方案2 C．两种都正确 D．两种都不正确 【答案】C 【知识点】利用平行四边形的性质证明 【详解】解：方案一：∵在四边形中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形BEDF是平行四边形． 方案二：∵四边形是平行四边形， ∴，即， ∵， ∴四边形是平行四边形． 综上所述，两个方案都正确． 例5．（22-23八年级下·重庆沙坪坝·月考）如图，在平行四边形中，对角线与相交于点O，经过点O，交于点E，交于点F．若四边形周长为12，，则____． 【答案】8 【知识点】利用平行四边形的性质证明、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质．证明，利用全等的性质得到，即可解答． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． 在和中 ， ∴， ∴， 则四边形的周长， ∴， 故答案为：8． 例6．（25-26八年级下·湖北武汉·期中）如图，平行四边形中，．求证：． 【答案】见解析 【知识点】用SAS证明三角形全等（SAS）、利用平行四边形的性质证明 【详解】证明：∵平行四边形， ∴， ∵， ∴． 变式1．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，相交于点O．下列结论：①，②，③，④，⑤，其中正确的有（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【知识点】利用平行四边形的性质证明 【分析】利用平行四边形的性质判断所给结论即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，，， 无法根据已知条件得到， 所以正确的是①②④⑤． 变式2．（22-23八年级下·湖北荆州·期中）如图，平行四边形中，E，F是对角线上的两点，有如下四个条件：①；②；③；④，如果从中选择一个作为添加条件，使四边形是平行四边形，那么这个添加的条件可以是________（填写序号）． 【答案】②（或③，或④） 【知识点】添一个条件成为平行四边形、利用平行四边形的性质证明 【分析】本题考查平行四边形的判定及性质，全等三角形的判定及性质． 若添加条件①，无法证明四边形是平行四边形．若添加条件②，连接，交于点O，根据平行四边形的性质得到，，进而得到，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得证；若添加条件③，根据平行四边形的性质可证得，得到，，进而得到，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可得证；若添加条件④，可根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得证． 【详解】解：若添加条件①，无法证明四边形是平行四边形． 若添加条件②，可得四边形是平行四边形． 理由如下： 连接，交于点O ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴，即， ∴四边形是平行四边形． 若添加条件③，可得四边形是平行四边形． 理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，即， ∴， ∴四边形是平行四边形． 若添加条件④，可得四边形是平行四边形． 理由如下： 连接，交于点O ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴，即， ∴四边形是平行四边形． 综上所述，添加的条件可以是②或③或④． 故答案为：②（或③，或④） 变式3．（25-26八年级下·广东珠海·期中）如图，平行四边形的对角线相交于点O，过点O且与分别交于点E、F．求证：． 【答案】见解析 【知识点】利用平行四边形的性质证明 【分析】先结合平行四边形的性质得，再证明，故，即可作答． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在和中 ∴， ∴． 【题型三】平行四边形性质的其他应用 例7．（25-26八年级下·新疆昌吉·期中） 平行四边形具备多种独特的几何性质，在普通平行四边形中，下列说法错误的一项是（    ） A．两组对边互相平行 B．两组对边长度相等 C．相邻两个内角角度相等 D．对角线互相平分 【答案】C 【知识点】平行四边形性质的其他应用 【分析】根据平行四边形的定义和性质，判断各选项说法的正误即可. 【详解】解：∵根据平行四边形的定义和性质，平行四边形的两组对边互相平行，两组对边长度相等，对角线互相平分， ∴选项A 、B 、D说法均正确. ∵平行四边形相邻两个内角互补，和为，普通平行四边形不满足相邻内角相等，只有特殊平行四边形才具备该性质， ∴选项C说法错误. 例8．（23-24八年级下·甘肃酒泉·期末）在平行四边形中，若一个角为其邻角的2倍，则这个平行四边形中两邻角的度数分别是________． 【答案】120°和60° 【知识点】平行四边形性质的其他应用 【分析】根据平行四边形的性质可以得到，，，即可得到，再根据，求解即可． 【详解】解：如图所示，， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：60°，120°，60°，120°． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，解题的关键在于能够熟练掌握平行四边形的性质． 例9．（23-24八年级下·天津滨海新区·期中）作图题 如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题： (1)在网格中画出； (2)线段的长为______的长为______ 【答案】(1)见解析 (2)， 【知识点】平行四边形性质的其他应用、平移(作图)、勾股定理与网格问题 【分析】本题考查了作图，网格作平行四边形，平行四边形性质，勾股定理等知识． （1）根据平行四边形性质作图即可； （2）利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求， （2）， ， 故答案为：，． 变式1．（23-24八年级下·广东东莞·期末）为更好地开展劳动教育课程，学校计划将一块空地（如图）修建一条笔直的小路（小路宽度忽略不计）．有两个要求：经过边上一点；分成面积相等的两部分．则小路除了经过点外，还经过（   ） A．点 B．的中点 C．的中点 D．边上的点，且 【答案】B 【知识点】平行四边形性质的其他应用 【分析】本题考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的性质即可得出答案，熟练掌握平行四边形的性质是解此题的关键． 【详解】解：由平行四边形的性质结合题意得：小路除了经过点外，还经过的中点， 故选：B． 变式2．（23-24八年级下·广东江门·月考）平行四边形的一条对角线把平行四边形分成的两个三角形通过_____变换可使它们互相重合． 【答案】旋转 【知识点】平行四边形性质的其他应用 【分析】根据平行四边形的中心对称性求解． 【详解】平行四边形的一条对角线把平行四边形分成的两个三角形通过旋转变换可使它们互相重合． 故答案为：旋转． 【点睛】本题考查平行四边形的中心对称性，理解中心对称的定义是解题的关键． 变式3．（22-23八年级下·四川成都·月考）在学习一元一次不等式与一次函数的过程中，小新在同一个坐标系中发现直线：与坐标轴相交于A，B两点，直线：与坐标轴相交于C，D两点，两直线相交于点E，且点E的横坐标为4．已知，点P是直线上的动点．    (1)求点E的坐标及直线的函数表达式； (2)过点P作x轴的垂线与直线和x轴分别相交于M，N两点，当点N是线段PM的三等分点时，求P点的坐标； (3)若点Q是x轴上的动点，是否存在以A，E，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有满足条件的P点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)或． (3)或或 【知识点】平行四边形性质的其他应用、求一次函数解析式、一次函数与几何综合 【分析】（1）先求出点的坐标，再利用待定系数法求解析式即可； （2）设点的坐标为，则点，，分情当点在点的左侧和右侧两种情况，分别列方程求解即可； （3）设点，，，分情况讨论：①以，为对角线时，②以，为对角线时，③以，为对角线时，分别列二元一次方程组求解即可． 【详解】（1）解：将点的横坐标4代入直线，得， 点， ， ， 将点和点坐标代入直线， 得，解得， 直线． （2）解：设点的坐标为，则点，， 当点在点的左侧时，如图所示：    则，， 点是线段的三等分点， 或， 当时，，解得， ∴； 当时，，解得（舍； 当点在点右侧时，如图所示：   ，， 点是线段的三等分点， 或， 当时，，解得（舍）； 当时，，解得； ． 综上，点的坐标为或． （3）解：存在以，，，为顶点的四边形是平行四边形， 设点，， ，， ①以，为对角线时， 得，解得， 点； ②以，为对角线时， 得，解得， ； ③以，为对角线时， 得，解得， ． 综上，点坐标为或或． 【点睛】本题主要考查了一次函数的综合应用、待定系数法求解析式、线段的三等分点、平行四边形的判定等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键． 【题型四】(等腰)梯形的定义 例10．（25-26八年级下·山东聊城·月考）四边形中，若，则这个四边形是（   ） A．一般梯形 B．等腰梯形   C．直角梯形 D．任意四边形 【答案】C 【知识点】(等腰)梯形的定义、多边形内角和问题 【分析】先根据四边形内角和定理求出四个内角的度数，再利用同旁内角互补判断对边的平行关系，进而确定四边形的形状． 【详解】解：∵四边形内角和为，且， 设，则， ∴， 解得， ∴，，，， ∵， ∴， 又∵， ∴不平行于，四边形是梯形， ∵梯形内角，符合直角梯形的特征， ∴这个四边形是直角梯形． 例11．（25-26八年级下·江苏徐州·期中）如图，正六边形中包含___________个等腰梯形． 【答案】 【知识点】(等腰)梯形的定义 【分析】根据等腰梯形的定义寻找即可． 【详解】解：如图所示共6种： 例12．如图，是一个梯形，厘米，厘米，的面积是面积的，求的长 【答案】31.4厘米 【知识点】(等腰)梯形的定义 【分析】本题主要考查梯形面积，分别求出梯形的面积和梯形的面积，根据的面积是面积的列式求解即可 【详解】解：设梯形和梯形的高为， 所以，梯形的面积， 梯形的面积, 又的面积是面积的， ∴, 解得，， ∵ ∴， 解得，（厘米） 变式1．（25-26八年级下·江苏泰州·期中）如图，正六边形中包含六个全等的等边三角形，它包含的等腰梯形的个数为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【知识点】(等腰)梯形的定义 【分析】根据正六边形的特性找全等腰梯形即可． 【详解】解：正六边形如图所示， 等腰梯形为，，，，，，共6个 ． 变式2．图中梯形的面积为______． 【答案】 【知识点】(等腰)梯形的定义、列代数式 【分析】根据梯形的面积公式求解即可． 【详解】解：由题意知，梯形的面积为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了梯形的面积，列代数式．解题的关键在于熟练掌握梯形的面积为． 变式3．（2023八年级下·上海·专题练习）在梯形中，，，，，，点、分别在边、上，，点与在直线的两侧，，，射线、与边分别相交于点、，设，． (1)求边的长； (2)如图，当点P在梯形内部时，求y关于x的函数解析式，并写出定义域； (3)如果的长为2，求梯形的面积． 【答案】(1)6 (2)y关于x的函数解析式为．定义域为 (3)或32 【知识点】一次函数与几何综合、(等腰)梯形的定义 【分析】（1）过作，与、分别相交于点、，从而判定四边形是矩形，在中求出的长，利用可得出的长． （2）首先确定，过点作，与、分别相交于、，根据，，可表示出、，继而可得出关于的函数解析式，也能得出定义域． （3）①当点在梯形内部时，由及（2）的结论得，，可求得梯形的面积，②当点在梯形外部时，由及与（2）相同的方法得：，，可求得梯形的面积． 【详解】（1）解：过作，与、分别相交于点、， 梯形中，， ， 又， 四边形是矩形， ， ， ， ． （2），， ， ， ， ，， ， ， 过点作，与、分别相交于、， ，， ，， ， ， 关于的函数解析式为．定义域为． （3）当点在梯形内部时，由及（2）的结论得，， ， 当点在梯形外部时，由及与（2）相同的方法得：，， ． 【点睛】本题考查梯形及有实际问题列一次函数关系式的知识，属于综合性较强的题目，难度较大，对于此类题目要学会由小及大，将所求的问题缩小，一步一步求解． 【题型五】等腰梯形的性质定理 例13．（23-24八年级下·上海闵行·期末）已知，如图，在梯形中，，，，，．有以下两个说法：①梯形的面积；②梯形的周长；对这两种说法的判断正确的是（    ） A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①、②均正确 D．①、②均错误 【答案】C 【知识点】用勾股定理解三角形、等腰梯形的性质定理 【分析】此题考查了梯形的性质，勾股定理等知识，解题的关键掌握以上知识点． 设，交于点O，根据题意得到，，，然后利用勾股定理求出，，，进而利用梯形的面积和周长公式求解即可． 【详解】如图所示，设，交于点O， ∵在梯形中，，， ∴，， ∵，， ∴，即 ∴ 同理可得， ∴ ∵ ∴梯形的面积； ∵，， ∴ ∴ ∴梯形的周长． 故选：C． 例14．（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）如图，小亮用六块形状、大小完全相同的等腰梯形拼成一个四边形，则图中的度数是______． 【答案】60°/60度 【知识点】等腰梯形的性质定理 【分析】根据四边形内角和，等腰梯形的两个底角相等，得到，求解即可； 【详解】解：根据题意，得四边形内角和， 由等腰梯形的两个底角相等，得到， 解得； 例15．（25-26八年级下·重庆江津·期中）如图，在四边形中，，，，，，点从点出发，以的速度向点运动：点从点同时出发，以的速度向点运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，若运动时，求运动时间的值？ 【答案】的值为或 【知识点】利用平行四边形的性质求解、等腰梯形的性质定理 【分析】本题考查平行四边形和等腰梯形的性质，当，存在两种情况：（1）四边形是平行四边形；（2）四边形是等腰梯形． 【详解】解：由题意可知：，，， 若，分两种情况： ①当四边形是平行四边形时， ， ， 解得：， ②当四边形是等腰梯形时， 过点作于， , , 解得：, 综上所述，当的值为或时，． 变式1．如图，四边形是等腰梯形，O是坐标原点，A，C的坐标分别是，，则B点坐标是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【知识点】等腰梯形的性质定理 【分析】此题考查等腰梯形的性质，根据等腰梯形的腰相等求解即可 【详解】解：四边形是等腰梯形，O是坐标原点，A，C的坐标分别是，， ∴， ∴， 故选∶C． 变式2．（23-24八年级下·上海·期末）在等腰梯形中，已知，，那么______． 【答案】130 【知识点】等腰梯形的性质定理 【分析】本题考查了等腰梯形的性质．由，根据两直线平行，同旁内角互补，即可求得的度数，又由四边形等腰梯形，即可求得的度数． 【详解】解：如图， ∵， ∴ ∵， ∴， ∵四边形是等腰梯形， ∴． 故答案为：130． 变式3．（2026八年级下·山东·专题练习）如图，梯形 的对角线交于点 ， ．若______，则 ． 从① ，② ，③ 这三个选项中选择一个作为条件，使结论成立，并说明理由． 【答案】①或② 【知识点】等腰梯形的性质定理、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，由梯形性质，三角形边的关系与角的关系得到三角形全等是解决本题的关键． 选择①：根据平行线的性质，即“两直线平行，内错角相等”可得，再由角边角的证明方法即可证明与全等，由此可得结论； 选择②：根据平行线的性质，即“两直线平行，内错角相等”可得，再由角角边的证明方法即可证明与全等，由此可得结论． 【详解】解：选择①，理由： ∵， ∴， ∵，且， 在与中， 由， ∴， ∴； 选择②，理由： ∵， ∴， ∵， 在与中， 由， ∴， ∴． 故答案为：①或②． 【题型六】数图形中平行四边形的个数 例16．（25-26八年级下·全国·课后作业）在中，，，则图中平行四边形的个数是（） A．13 B．14 C．15 D．18 【答案】D 【知识点】数图形中平行四边形的个数 【分析】这些线将大平行四边形分割成一个网格，任意两条横线与两条竖线相交，围成一个平行四边形 【详解】解：依题意，，， ∴最小平行四边形（）有：行列，共个 横向拼接（）有：每行个，共行，共个 纵向拼接（）有：每列个（连续两行），共列，共个 大小有：高度方向有种（行、行），宽度种，共个 整列高（）有：左列和右列各个，共个 整个图形（）有：，共个 综上所述，总数为：个 例17．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在四边形中，，，则图中共有____个平行四边形，它们分别是_________________（有符号表示）． 【答案】 3 ，， 【知识点】数图形中平行四边形的个数 【分析】本题考查了平行四边形的判定，解题的关键是掌握有两组对边分别平行的四边形是平行四边形． 根据平行四边形的判定数出平行四边形的个数即可． 【详解】解：，， ∴四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，四边形是平行四边形， 则图中共有个平行四边形，它们分别是，，， 故答案为：；，，． 变式1．（2023八年级下·江西·竞赛）如图所示的正方形网格中共有16个格点（组成网格的小正方形的顶点称为格点），若以A，B两个格点为顶点作格点平行四边形（顶点均为格点的四边形称为格点四边形），则这样的平行四边形共有（   ） A．5个 B．8个 C．9个 D．10个 【答案】D 【知识点】数图形中平行四边形的个数 【分析】此题考查了平行四边形的判定定理，根据平行四边形的判定和网格的特点求解即可． 【详解】解：如图所示， 以为边的格点平行四边形共有5个，以为对角线的格点平行四边形共有5个， ∴以A，B两个格点为顶点作格点平行四边形，这样的平行四边形共有10个． 故选：D． 变式2．（24-25八年级下·湖北恩施·期中）如图，线段相交于点，且图上各点把线段四等分，这些点可以构成的平行四边形的个数是______个． 【答案】4 【知识点】数图形中平行四边形的个数 【分析】本题考查了平行四边形的判定，先理解各点把线段四等分，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可作答． 【详解】解：如图所示： ∵线段相交于点，且图上各点把线段四等分， ∴ ∴四边形，四边形，四边形，四边形都是平行四边形， 故答案为：4 变式3．（2024八年级下·全国·课后作业）已知（如图），将它沿方向平移，平移的距离为． (1)作出经平移后所得的图形． (2)写出与构成的图形中所有的平行四边形（不必证明）． 【答案】(1)图见解析； (2)，，，，，． 【知识点】数图形中平行四边形的个数、平移(作图) 【分析】（1）根据图形平移的性质画出平移后的即可； （2）根据图形平移的性质以及平行四边形的判定定理即可得出结论． 【详解】（1）解：如图所示； （2）解：由图可知，与构成的图形中所有的平行四边形有：，，，，，． 【点睛】本题考查的是作图－平移变换，平行四边形的判定定理，熟知图形平移不变性的性质以及平行四边形的判定定理是解答此题的关键． 一、单选题 1．在中，若，，则的周长是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行四边形的性质，直接求解即可． 【详解】解：∵在中，AB=CD，BC=AD， ∴的周长=（5+3）×2=16， 故选B． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，掌握平行四边形的对边相等，是解题的关键． 2．如图，在等腰梯形中，，，对角线、相交于点，那么下列结论一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等腰梯形的性质证明，进而可以解决问题． 【详解】解：四边形是等腰梯形，， ，， 在和中， ∵， ， ， 结论一定成立的是． 故选D． 【点睛】本题考查了等腰梯形的性质和全等三角形判定和性质，熟练掌握等腰梯形的性质、全等三角形的判定和性质证明线段或角相等是解题的关键． 3．在中，，则图中平行四边形的个数是（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】D 【分析】首先根据已知条件找出图中的平行线，然后根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，来判断图中平行四边形的个数． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， , ， 根据平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形， 可得图中平行四边形有：, 共6个． 4．下列选项中，能与如图所示残缺的图形拼成一个梯形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据梯形只有一组对边平行的定义，利用两直线平行同旁内角互补的性质，计算出与残缺图形已知角互补的两个拼接角，匹配对应角度的选项即可． 【详解】解：∵梯形的定义为只有一组对边平行的四边形，且平行线的性质为：两直线平行，同旁内角互补， ∴要使残缺图形与选项图形拼接成梯形，拼接后需形成一组平行对边，对应拼接的同旁内角需互补， ∵与角互补的角为， 与角互补的角为， ∴选项C中的图形有可能与上面残缺的图形拼成一个梯形． 5．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4，BD＝6，BD⊥AB，则AC的长为（    ） A．10 B． C． D． 【答案】A 【分析】令对角线交点为，根据平行四边形对角线相互平分的性质得到，在中，利用勾股定理求得即可得到长． 【详解】解：令对角线交点为，如图所示： 在中，， 在中，AB＝4，BO＝3，BD⊥AB，则， ， 故选：A． 【点睛】本题考查平行四边形背景下利用勾股定理求线段长，涉及到平行四边形性质和勾股定理，熟练掌握相关知识点是解决问题的关键． 6．在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于O，AC=10，BD=8，则AD的长度的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行四边形性质可知，平行四边形的对角线互相平分，则AO，DO，与AD三边组成三角形，然后再利用三角形三边关系解题即可． 【详解】解：设AC，BD交于点O，平行四边形对角线平分， 则有AO=CO=5，BO=DO=4， 再根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边， 可得：1＜AD＜9． 故选：B． 【点睛】本题结合三角形的三边关系，考查了平行四边形的对角线互相平分这一性质，解题时注意数形结合． 7．如图四边形是一个等腰梯形，在边上作一个三角形，使四边形成为一个平行四边形，若，，则下面所给的量中可以求的是（   ） A．的周长 B．的长 C．等腰梯形与周长的差 D．与的差 【答案】A 【分析】求出，，得到的周长即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，（平行四边形的对边平行且相等），（平行四边形的对角相等）， ， 四边形是一个等腰梯形， ， ， ， ， 的周长为， 无法求出边上的高、等腰梯形与周长的差、与的差， 故选：． 8．如图，中，平分，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行四边形的性质，三角形内角和定理，由角平分线的定义及平行四边形的性质可得，进而根据三角形内角和定理即可求解，掌握平行四边形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：． 9．如图，在▱ABCD中，AD＝2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF，下列结论中：①∠DCF＝∠BCD；②∠DFE＝3∠AEF；③EF＝CF；④S△BEC＝S△CEF．一定成立的是（　　） A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④ 【答案】B 【分析】分别利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质得出△AEF≌△DMF（ASA），得出对应线段之间关系进而得出答案． 【详解】解：∵F是AD的中点， ∴AF=FD， ∵在▱ABCD中，AD=2AB， ∴AF=FD=CD， ∴∠DFC=∠DCF， ∵AD∥BC， ∴∠DFC=∠FCB， ∴∠DCF=∠BCF， ∴∠DCF=∠BCD，故①正确； 延长EF，交CD延长线于M， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠A=∠MDF， ∵F为AD中点， ∴AF=FD， 在△AEF和△DFM中， ， ∴△AEF≌△DMF（ASA）， ∴FE=MF，∠AEF=∠M， ∵CE⊥AB， ∴∠AEC=90°， ∴∠AEC=∠ECD=90°， ∵FM=EF， ∴CF=EF，故③正确； 设∠FEC=x，则∠FCE=x， ∴∠DCF=∠DFC=90°-x， ∴∠EFC=180°-2x， ∴∠EFD=90°-x+180°-2x=270°-3x， ∵∠AEF=90°-x， ∴∠DFE=3∠AEF，故②正确； ∵EF=FM， ∴S△EFC=S△CFM， ∵MC＞BE， ∴S△BEC＜2S△EFC， 故④错误； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，得出△AEF≌△DMF是解题关键． 10．如图，四边形中，，，，M是上一点，且，点E从点A出发以的速度向点D运动，点F从点C出发，以的速度向B运动，当其中一点到达终点，另一点也随之停止，设运动时间为t秒，则当以A，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了动点问题，平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质，合理分类是解题的关键．分F在M的右侧和左侧两种情况讨论即可． 【详解】解∶∵，， ∴， ∵， ∴当以A，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，， 当F在M的右侧时，， 又， ∴， ∴； 当F在M的左侧时，， 又， ∴， ∴； 综上， 当以A，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，t的值为或， 故选：D． 二、填空题 11．已知平行四边形的周长是30，相邻两边的长相差3，则两条邻边中较长的边长为_____． 【答案】9 【分析】根据平行四边形的对边相等，设较长的边长为，则较短的边长为，根据周长是30，建立一元一次方程解方程求解即可． 【详解】解：设较长的边长为，则较短的边长为， 解得 故答案为： 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，平行四边形的性质是解题的关键． 12．如图，在平行四边形ABCD中，，则______． 【答案】120° 【分析】根据平行四边形的性质得出，求出∠A＋∠B＝180°，解方程组求出答案即可． 【详解】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴， ∴∠A＋∠B＝180°． ∵∠A−∠B＝60°， ∴∠A＝120°，∠B＝60°， 故答案为：120°． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的对边平行是解此题的关键． 13．在四边形中，AD=BC,补充一个条件使其成为平行四边形，你补充的条件是_____只需填一个即可． 【答案】AB=CD（答案不唯一） 【分析】接利用平行四边形的判定方法一组对边平行且相等的四边形是平行四边形或者两组对边分别相等的四边形是平行四边形，进而得出答案． 【详解】解：∵在四边形ABCD中，AD=BC，要使四边形ABCD是平行四边形， 还需添加一个条件是：AB=CD，ADBC，∠A+∠B=180°， 故答案为：AB=CD（答案不唯一）． 【点睛】 此题主要考查了平行四边形的判定，正确掌握判定方法是解题关键． 14．在中，，则__________． 【答案】 【分析】本题考查平行四边形性质．根据题意可知平行四边形对角相等，继而得到本题答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 15．在中，若，对角线，，则长为_________． 【答案】或 【分析】当是钝角时，过作交的延长线于，解直角三角形得到，根据平行四边形的性质得到，根据勾股定理得到，于是得到结论．当是锐角时，同理可得． 【详解】解：如图，过作交的延长线于， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， 当是锐角时，同法可得，， 综上所述，的长为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 16．如图，在平行四边形ABCD中，∠B＝45°，AD＝8，E、H分别为边AB、CD上一点，将▱ABCD沿EH翻折，使得AD的对应线段FG经过点C，若FG⊥CD，CG＝4，则EF的长度为 _____． 【答案】 【分析】延长CF与AB交于点M，由平行四边形的性质得BC长度，GM⊥AB，由折叠性质得GF，∠EFM，进而得FM，再根据△EFM是等腰直角三角形，便可求得结果． 【详解】解：延长CF与AB交于点M， ∵FG⊥CD，AB∥CD， ∴CM⊥AB， ∵∠B=45°，BC=AD=8， ∴CM=4， 由折叠知GF=AD=8， ∵CG=4， ∴MF=CM-CF=CM-（GF-CG）=4-4， ∵∠EFC=∠A=180°-∠B=135°， ∴∠MFE=45°， ∴EF=MF=（4-4）=8-4． 故答案为：8-4． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，折叠的性质，解直角三角形的应用，关键是作辅助线构造直角三角形． 17．在探索数学名题“尺规三等分角”的过程中，有下面的问题：如图，AC是▱ABCD的对角线，AD＝AE＝BE，∠D＝108°，则∠BAC＝___． 【答案】24° 【分析】根据平行四边形的性质得到∠ABC＝∠D＝108°，AD＝BC，根据等腰三角形的性质得到∠EAB＝∠EBA，∠BEC＝∠ECB，根据三角形外角的性质得到∠ACB＝2∠CAB，由三角形的内角和定理即可得到结论． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠ABC＝∠D＝108°，AD＝BC， ∵AD＝AE＝BE， ∴BC＝AE＝BE， ∴∠EAB＝∠EBA，∠BEC＝∠ECB， ∵∠BEC＝∠EAB＋∠EBA＝2∠EAB， ∴∠ACB＝2∠CAB， ∴∠CAB＋∠ACB＝3∠CAB＝180°−∠ABC＝180°−108°， ∴∠BAC＝24°， 故答案为：24°． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，正确的识别图形是解题的关键． 三、解答题 18．如图，▱ABCD的一个外角为38°，AD=10cm，求∠B，∠A，∠D的度数以及BC的长度． 【答案】∠B=38°，，∠D=38°，BC=10cm． 【分析】利用平行四边形的性质推导对边平行且相等，再用平行线的性质求角即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是▱ABCD， ∴BC=AD=10cm，ABDC，ADBC， ∵ABDC， ∴∠B=∠DCE=38°． ∵ADBC， ∴∠D=∠DCE=38°，∠A+∠B=180°， ∴． 综上所述：∠B=38°，，∠D=38°，BC=10cm． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，平行线的性质，难度较小，利用两直线平行求角度是解题的关键． 19．如图：已知在平行四边形中，，于G，于H，求证：与互相平分．    【答案】见解析 【分析】连接，，利用判定定理可得，进而可得，，利用平行线的判定定理可得，进而可证得四边形是平行四边形，由此结论可证． 【详解】证明：如图，连接，， 在平行四边形中，， ， ∴在与中， ， ，， ， ， 四边形是平行四边形， 与互相平分． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，平行四边形的判定及性质，平行线的判定，熟练掌握其判定定理及性质是解题的关键． 20．如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，线段的端点，都在正方形网格的格点上． （1）请在下面的网格中画出，使（点，都在正方形网格的格点上，画出一个符合题意的图形即可）； （2）在（1）中所画出的的对角线的长是______． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】（1）根据平行四边形的判定以及数形结合的思想解决问题即可． （2）利用勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）如图，平行四边形ABCD即为所求． （2）BD=， 故答案为：． 【点睛】本题考查作图-应用与设计作图，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型． 21．如图，在正方形网格中，的顶点在边长为1的小正方形的顶点（格点）上，若坐标平面内的点的坐标分别为，．    (1)通过计算判断的形状， (2)若要使以四个点为顶点的四边形是平行四边形，则满足条件的D点的坐标是 ． 【答案】(1)直角三角形 (2)或或 【分析】（1）利用勾股定理可分别求得的长，再利用勾股定理的逆定理可判定为直角三角形； （2）分别过A作的平行线，过B作的平行线，过C作的平行线，这些线的交点即为满足条件的点D，则可求得答案． 【详解】（1）解：小正方形的边长为1， ， ， 为直角三角形； （2）解：的坐标分别为， 点为坐标原点， 如图，分别过作的平行线，过作的平行线，过作的平行线，    当为对角线时，从点A先向左平移一个单位，再向上平移两个单位得点C；相应的点B先向左平移一个单位，再向上平移两个单位得点； 当为对角线时，从点C先向右平移一个单位，再向下平移两个单位得点A；相应的点B先向右平移一个单位，再向下平移两个单位得点； 当为对角线时，从点B先向左平移四个单位，再向下平移两个单位得点C；相应的点A先向左平移四个单位，再向下平移两个单位得点； 满足条件的点的坐标为或或． 【点睛】本题主要考查平行四边形的判定和勾股定理，确定出D点的位置是解题的关键． 22．如图，在平行四边形ABCD中，AB＜BC． （1）在BC边上确定点P，使点P到边AB，AD的距离相等．（用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）中所作的图形中，若AB=3，AD=4，则CP= ． 【答案】（1）见解析；（2）1． 【分析】（1）根据角平分线上的点到角的两边距离相等知作出∠A的平分线即可； （2）根据平行四边形的性质可知AD＝BC＝4，AD∥BC，再根据角平分线的性质和平行线的性质得到∠BAP＝∠BPA，再根据等腰三角形的性质和线段的和差关系即可求解． 【详解】（1）如图所示：P为所求的点． （2）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC＝4，AD∥BC， ∴∠DAP＝∠APB， ∵AP是∠A的平分线， ∴∠DAP＝∠BAP， ∴∠BAP＝∠BPA， ∴BP＝BA＝3， ∴CP＝BC−BP＝1． 故答案是：1． 【点睛】考查了作图−复杂作图，关键是作一个角的角平分线，同时考查了平行四边形的性质，角平分线的性质，平行线的性质和等腰三角形的性质等知识点． 23．如图，在中，，于点，延长到点，使．过点作交的延长线于点，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】（1）证，得，再由平行四边形的判定即可得出结论； （2）由平行四边形的性质得，再由等腰三角形的性质得，则，进而由勾股定理得的长即可． 【详解】（1）证明：， ， 在和中， ， ， ， 四边形是平行四边形； （2）解：由（1）可知，四边形是平行四边形， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． 24．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是：，． (1)画出关于原点的中心对称图形； (2)画出绕点顺时针旋转得到，并写出点的坐标_____； (3)若点在第二象限，且以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，则的坐标为_____． 【答案】(1)见解析 (2)见解析， (3)或 【分析】本题考查作中心对称图形，旋转作图，图形与坐标，数形结合是解决问题的关键． （1）先作出，关于原点的中心对称点，画出图形即可； （2）先画出绕点顺时针旋转的对应点，再连接即可，得到点的坐标； （3）根据题意作出图形，即可求解． 【详解】（1）解：，， ，如图：即为所求； （2）解：如图：即为所求； ； （3）解：当以为对角线时，点的坐标为， 当以为对角线时，点的坐标为， 若点在第二象限，且以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，则的坐标为或． 故答案为：或． 1 学科网（北京）股份有限公司 $