精品解析：湖南湘潭市韶山学校2026届高三下学期五月测试数学试题

2026届高三五月测试 数学 2026.5 本试卷共4页，时间120分钟，满分150分 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，监考员将试卷、答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，且，则（ ） A. 4 B. 1 C. D. 4. 若，，则（ ） A. B. C. D. 5. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯.”意思是:一座 7 层塔共挂了 381 盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2 倍，则塔的顶层共有（ ）盏灯. A. 1 B. 3 C. 7 D. 192 6. 已知双曲线的左､右焦点分别为为右顶点，是上一点，若，则的离心率为（ ） A. 2 B. C. D. 3 7. 已知二面角的大小为，且为内异于的任意一点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数是奇函数，则的最大值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知等比数列的公比为q，．若，，则下列说法正确的有（ ）． A. B. C. D. 10. 在中，，，，则（ ） A. B. 的面积为6 C. D. 11. 在三棱锥中，，顶点在底面上的投影为（在内部，不含边界），点在上，则下列说法正确的有（ ） A. 为的垂心 B. 若，则是等边三角形 C. 可能是直角三角形 D. 直线与直线的夹角可能为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，则______. 13. 若曲线与圆有公共点，且在点处的切线相同，则实数________. 14. 设正整数，其中，．记．从集合中随机抽取一个数，则的概率为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 记的内角的对边分别为，已知的面积为. （1）求； （2）若，求边上的中线长. 16. 如图，直角梯形ABCD中，，，，E为AB的中点，以DE为折痕把折起，使点A到点P的位置，且． （1）设平面PBC与平面PDE的交线为l，证明：. （2）证明：平面； （3）求二面角的正切值． 17. 已知函数，直线与曲线相切． （1）求实数a的值； （2）若是函数的极大值点，求实数b的取值范围； （3）若，且在上有且只有一个零点，求b的取值范围． 18. 定义：若一个数列满足其首项为0，且对于可取或的概率均为0.5，则我们称该数列为“可取数列”．已知数列为“可取数列”． （1）求证：； （2）在“可取数列”中，设随机变量是的值，求： ①的概率分布； ②的期望． 19. 已知椭圆的左顶点为，过右焦点且斜率不为0的直线与交于，两点．当为的上顶点时，，． （1）求的方程； （2）过点、分别作直线的垂线，垂足分别为、，与交于点 ①求与面积之比； ②若直线与直线交于点，求点的轨迹方程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高三五月测试 数学 2026.5 本试卷共4页，时间120分钟，满分150分 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，监考员将试卷、答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据并集的定义求解即可. 【详解】由题意可得. 2. 复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的运算法则，可得z，根据虚部的定义，即可得答案. 【详解】因为， 所以的虚部为． 3. 已知，，且，则（ ） A. 4 B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意得，解得， ，. 4. 若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据同角三角函数关系求，再根据结合两角和差公式运算求解. 【详解】因为，，则， 可得， 所以. 5. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯.”意思是:一座 7 层塔共挂了 381 盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2 倍，则塔的顶层共有（ ）盏灯. A. 1 B. 3 C. 7 D. 192 【答案】B 【解析】 【分析】由等比数列求和公式列方程求解. 【详解】设塔的顶层共有盏灯，7层塔共有盏灯，列方程 ， 由等比数列求和公式得：，解得. 6. 已知双曲线的左､右焦点分别为为右顶点，是上一点，若，则的离心率为（ ） A. 2 B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【详解】如图，过点做轴于点. 由. 由为中点. 又，，所以，所以. 在中，. 在中，， 整理得：. 因为，所以. 又，所以. 即所求双曲线的离心率为2. 7. 已知二面角的大小为，且为内异于的任意一点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作出二面角的平面角，根据最小角定理，利用线面角求最小值即可. 【详解】过作，垂足为，于，连接，如图， 则，平面， 所以平面，平面，所以, 所以为二面角的平面角，故， 由最小角定理知，当为与所成线面角时，最小， 此时，重合，取得最小值， 设，则，又，则， 所以，即的最小值为. 8. 已知函数是奇函数，则的最大值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据奇函数性质求出，然后利用和差公式化简即可得解. 【详解】因为是定义在上的奇函数，所以， 即，解得或， 因为，即，所以，可得， 则， 显然为奇函数，满足题意， 当时，取得最大值. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知等比数列的公比为q，．若，，则下列说法正确的有（ ）． A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】由等比数列的性质结合已知条件计算，即可判断各个选项. 【详解】由已知，，C正确； 则，B正确； 又，则，A正确； 则，D错误. 10. 在中，，，，则（ ） A. B. 的面积为6 C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】由余弦定理解出的长，确定为直角三角形，结合向量的模长计算与数量积公式即可求解. 【详解】由余弦定理得， 解得，因为，所以为直角三角形，， 对于A，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C， ，故C正确； 对于D， ，故D错误. 11. 在三棱锥中，，顶点在底面上的投影为（在内部，不含边界），点在上，则下列说法正确的有（ ） A. 为的垂心 B. 若，则是等边三角形 C. 可能是直角三角形 D. 直线与直线的夹角可能为 【答案】AB 【解析】 【分析】对于A，连接并延长交于，连接并延长交于，然后根据已知条件分析判断，对于B，结合勾股定理和三角形的外心分析判断，对于C，结合选项A分析判断，对于D，利用线面垂直的判定和性质分析判断. 【详解】对于A：连接并延长交于，连接并延长交于，因为平面，平面，所以， 因为，，平面，所以平面， 因为平面，所以，同理可得， 所以为的垂心，所以A正确； 对于B：因为平面，平面，所以， 所以， 因为，所以，所以为的外心， 由选项A知为的垂心，所以是等边三角形，所以B正确； 对于C：由选项A知为的垂心，若是直角三角形，则垂心为直角顶点，与在内部矛盾，所以C错误； 对于D：连接并延长交于，由选项A知为的垂心，则， 因为平面，平面，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以，所以直线与直线夹角为，所以D错误. 故选：AB. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，则______. 【答案】 【解析】 【详解】因为，所以， 可得， 因为，所以，化简得． 13. 若曲线与圆有公共点，且在点处的切线相同，则实数________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用导函数在某点处的切线的斜率与圆在某点处切线斜率之间的关系分析求解即可. 【详解】由知定义域为，则， 此时曲线在点处的切线斜率为：， 又圆的圆心与点所在直线的斜率为：， 所以圆在点处的切线斜率为：， 由题意知，① 又在圆上所以：，② 将①代入②中得：， 化简得：，解得：或（舍去）， 又由题意知，所以，此时，所以， 将代入中有：，解得：. 14. 设正整数，其中，．记．从集合中随机抽取一个数，则的概率为________． 【答案】 【解析】 【详解】因为，所以表示的二进制数最多有11位，即， 而为的二进制表示中1的个数，又，且， 当时，取得最大值为 ，故满足条件的均不超过 2000， 所以，对应的的个数为，，对应的的个数为，，对应的的个数为， 综上，满足条件的的个数为， 所以的概率为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 记的内角的对边分别为，已知的面积为. （1）求； （2）若，求边上的中线长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理和面积公式可得； （2）利用正弦定理求出，结合（1）求出，即可求出，利用可得. 【小问1详解】 因为以及余弦定理可得，，即， 因为的面积为，所以，即， 得，因为，所以； 【小问2详解】 由（1）可得，， 由正弦定理可得，， 因为，所以，， 则由可得， 设线段的中点为， 则 ， 得，得， 故边上的中线长为 16. 如图，直角梯形ABCD中，，，，E为AB的中点，以DE为折痕把折起，使点A到点P的位置，且． （1）设平面PBC与平面PDE的交线为l，证明：. （2）证明：平面； （3）求二面角的正切值． 【答案】（1）证明过程见解析； （2）证明过程见解析； （3） 【解析】 【分析】（1）作出辅助线，得到线面平行，进而得到线线平行； （2）由勾股定理逆定理得线线垂直，进而得到线面垂直； （3）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，进而得到二面角的余弦值和正切值 【小问1详解】 因为，E为AB的中点，所以， 因为，所以四边形为平行四边形，故， 因为平面，平面，所以平面， 又平面与平面的交线为l，平面，所以 【小问2详解】 因为，E为AB的中点，所以， 因为，，所以平行四边形为正方形，⊥， 故， 又，故，由勾股定理逆定理可得， 折叠过程中，⊥，又，平面， 所以平面； 【小问3详解】 由（2）知，两两垂直， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， ， 设平面的一个法向量为， 则， 令，则，故， 设平面的一个法向量为， 则， 令，则，故， 则， 设二面角的夹角为，由图可知为钝角，故， 所以，所以. 17. 已知函数，直线与曲线相切． （1）求实数a的值； （2）若是函数的极大值点，求实数b的取值范围； （3）若，且在上有且只有一个零点，求b的取值范围． 【答案】（1）； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）求定义域，求导，根据切线斜率得到方程，求出实数a的值； （2）求导，分，，和四种情况，分类讨论，得到答案； （3）分和两种情况，分类讨论，解方程，求出答案 【小问1详解】 的定义域为， ， 直线与曲线相切，设切点为， 则，故，， 又，将代入可得， 解得； 【小问2详解】 ， 定义域为， ， 显然， 若，则恒成立，令得，令得， 故为的极小值点，不合要求； 若，当时，令得或， 令得， 故是函数的极大值点，满足要求； 当时，令得或，令得， 故是函数的极小值点，不满足要求； 当时，恒成立，所以在上单调递增， 无极值点，不满足要求，舍去； 综上，； 【小问3详解】 ，定义域为， 若，此时恒成立，不合要求； 若，令得，解得，函数在上只有一个零点，满足要求， 综上，即可 18. 定义：若一个数列满足其首项为0，且对于可取或的概率均为0.5，则我们称该数列为“可取数列”．已知数列为“可取数列”． （1）求证：； （2）在“可取数列”中，设随机变量是的值，求： ①的概率分布； ②的期望． 【答案】（1）证明见解析 （2）①，；② 【解析】 【分析】（1）由条件可得或，结合独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式求结论； （2）①设，可得，结合古典概型概率公式求结论； ②由①，，结合期望公式和组合数性质求结论. 【小问1详解】 解：当时概率为， 当时概率为， 所以的概率为． 【小问2详解】 ①设， 则对任意正整数取或的概率均为，且， 设．显然， 再设此时，，，中有个，个，则， 因此只能取之间的偶数值， 所以， 其中 对于偶数， 事件相当于在个数，，，中，有个取1，个取， 所以的概率分布可表示为，. ②． 所以，， 则 19. 已知椭圆的左顶点为，过右焦点且斜率不为0的直线与交于，两点．当为的上顶点时，，． （1）求的方程； （2）过点、分别作直线的垂线，垂足分别为、，与交于点 ①求与面积之比； ②若直线与直线交于点，求点的轨迹方程． 【答案】（1） （2）①2；②或． 【解析】 【分析】（1）由题意可得，求出即可求解； （2）①设：，，，联立椭圆方程，利用韦达定理表示出，根据直线的点斜式方程求出直线方程，求出点的坐标，结合三角形面积公式计算即可求解；②表示出直线、方程，联立直线、方程，表示点的坐标，代入椭圆方程，化简整理即可求解. 【小问1详解】 由题意知，的方程为：． 【小问2详解】 ①设直线方程为：，，，，， ， 直线方程为：①， 直线方程为：②， 联立①② ，， 而 ， ， ， ，； ②直线方程为：，直线方程为：. ， ， 直线， 联立， 在椭圆上， ， 的轨迹方程为：． 直线的斜率不为0，且为有限点 点的完整的轨迹方程为或)． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $