精品解析：湖南湘潭市第一中学等校2026届高三下学期四月预测卷数学试题

2026年高三四月预测卷 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知为虚数单位，则（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的模求解即可. 【详解】 故选：B. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据交集的定义计算可得. 【详解】因为， 所以. 故选：A 3. 在某次太空游行中，宇航员们负责的科学实验要经过5道程序，其中，两道程序既不能放在最前，也不能放在最后，则该实验不同程序的顺序安排共有（ ） A. 18种 B. 36种 C. 72种 D. 108种 【答案】B 【解析】 【分析】先排，两道程序，再排剩余的3道程序，按照分步乘法计数原理计算可得. 【详解】先排，两道程序，其既不能放在最前，也不能放在最后， 则在第2，3，4道程序中选两个放，，共有种安排方法； 再排剩余的3道程序，共有种安排方法， 所以一共有种不同的顺序安排方法. 故选：B. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二倍角的余弦公式及同角三角函数的基本关系求解. 【详解】因为， 所以， 故选：B 5. 某校组织全体学生参加了主题为“建党百年，薪火相传”的知识竞赛，随机抽取了200名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 直方图中的值为0.004 B. 在被抽取的学生中，成绩在区间[70，80）的学生数为15人 C. 估计全校学生成绩的样本数据的80%分位数约为93分 D. 估计全校学生的平均成绩为84分 【答案】D 【解析】 【分析】由概率总和为1可得，由百分位数定义计算80%分位数，由频率分布直方图的频率计算人数，均值判断各选项． 【详解】由得，A错； 成绩在区间[70，80）的频率为，人数为，B错； 低于90分的频率为，设样本数据的80%分位数约为分， 则，解得，C错； 平均成绩为，D正确． 故选：D． 6. 抛物线上一点与焦点间的距离是10，则点到轴的距离是（ ） A. 10 B. 9 C. 8 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】 先求出抛物线准线方程，再利用抛物线的定义转化求解M到准线的距离，即求得点到轴的距离． 【详解】抛物线的焦点，准线为，因为M到焦点的距离为10， 由定义可知，M到准线的距离也为10，所以到M到轴的距离是9. 故选:B． 7. 南宋时期，秦九韶就创立了精密测算雨量、雨雪的方法，他在《数书九章》载有“天池盆测雨”题，使用一个圆台形的天池盆接雨水．观察发现体积一半时的水深大于盆高的一半，体积一半时的水面面积大于盆高一半时的水面面积，若盆口半径为，盆底半径为，根据如上事实，可以抽象出的不等关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】补全圆台为圆锥，可得到以为底面半径的圆锥体积与以为底面半径的圆锥体积之比为，再结合题意分析即可. 【详解】经圆台形的天池盆补形为圆锥，则以为底面半径的圆锥体积与以为底面半径的圆锥体积之比为，如图所示， 设以为底面半径的圆锥体积为，则以为底面半径的圆锥体积为， 以为底面半径的圆锥体积为， 则由题意，即. 故选：D. 8. 若正项等比数列的前n项和为，且，则的最小值为（ ） A. 10 B. 15 C. 20 D. 25 【答案】C 【解析】 【分析】根据是等比数列，由，即，可得，，也是等比数列，结合基本不等式的性质即可求出的最小值. 【详解】因为是正项等比数列，，即， 所以，，也是等比数列，且， 所以， 则， 当且仅当，即取等号，所以的最小值为，故C正确. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，是双曲线的左、右焦点，过的直线交C的右支于A，B两点，若，，则（     ） A. C的离心率为2 B. C. 的面积为 D. 的周长为18 【答案】ABD 【解析】 【分析】由双曲线方程可得，由，可得，据此可得题中所涉线段长度，即可判断选项正误. 【详解】如图所示，不妨设在第一象限，由双曲线可得， 则，由于，得，， 由于，， 所以， 故，可得，故， 而，故， 由，得，所以的离心率； 由以上分析可知，在中，，，， 故， 的周长为． 故选：ABD 10. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. 为偶函数 D. 在区间的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】先由正弦展开式，五点法结合图象求出，可得A正确，B错误；由诱导公式可得C正确；整体代入由正弦函数的值域可得D正确. 【详解】由题意得， 由图象可得， 又，所以， 由五点法可得， 所以. A：由以上解析可得，故A正确； B：由以上解析可得，故B错误； C：，故C正确； D：当时，， 所以最小值为，故D正确； 故选：ACD. 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 当时，曲线在点处的切线方程为 B. 在定义域内为增函数的充要条件是 C. 当时，既存在极大值又存在极小值 D. 当时，恰有3个零点，且 【答案】BC 【解析】 【分析】A按照导数几何意义解决；B证明导数为正值即可；C以极值定义去判定；D 构造函数去证明. 【详解】选项A: 当时，曲线, 则，切线斜率 又， 故曲线在点处的切线方程为. A选项错误； 选项B: 令， 则 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 在处取得最小值 当时，对任意恒成立， 则对任意恒成立， 故当时，在定义域内为增函数.B选项正确； 选项C: 由以上分析知道： 在处取得最小值 当时，必有二根， 不妨设为 则当时，，，为增函数， 当时，，，为减函数， 当时，，，为增函数， 故既存在极大值又存在极小值. C选项正确； 选项D: 由上面分析可知既存在极大值又存在极小值， 不妨设的极大值点为m，极小值点为n,且， 在上单调递减，又 故极大值为正值，极小值为负值， 当时，；当时， 故函数有三个零点，不妨设为， 又 故有，则 即当时，恰有3个零点，且，故D错误. 故选：BC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 数列满足，，则数列的前8项和______. 【答案】502 【解析】 【详解】因为，所以，易知，故， 又因为，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列， 所以数列的通项公式为，则， 所以数列的前8项和 . 13. 在中，已知且，则面积的最大值是 __． 【答案】## 【解析】 【分析】设，可得的面积的表达式，再由余弦定理可得的表达式，进而可得三角形面积的最大值． 【详解】因为且， 设，则， 又因为， 所以． 当，即时取等号． 故答案为：． 14. 已知，，则______. 【答案】## 【解析】 【详解】由， 因为，所以，则， 由，解得，， 则. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某鲜花批发店每天早晨以每支2元的价格从鲜切花生产基地购入某种玫瑰，经过保鲜加工后全部装箱（每箱500支，平均每支玫瑰的保鲜加工成本为1元），然后以每箱2000元的价格整箱出售.由于鲜花的保鲜特点，制定了如下促销策略：若每天下午3点以前所购进的玫瑰没有售完，则对未售出的玫瑰以每箱1200元的价格降价处理.根据经验，降价后能够把剩余玫瑰全部处理完毕，且当天不再购进该种玫瑰，由于库房限制每天最多加工6箱. （1）若某天该鲜花批发店购入并加工了6箱该种玫瑰，在下午3点以前售出4箱，且当天售出的全部6箱被6位不同的顾客购买.现从这6位顾客中随机选取2人赠送优惠卡，则恰好一位是以2000元价格购买的顾客，另一位是以1200元价格购买的顾客的概率是多少？ （2）该鲜花批发店统计了100天内该种玫瑰在每天下午3点以前的销售量t（单位：箱），统计结果如下表所示（视频率为概率）： t/箱 4 5 6 频数 30 x y ①估计接下来的一个月（30天）内该种玫瑰每天下午3点以前的销售量不少于5箱的天数是多少？ ②若批发店每天在购进5箱数量的玫瑰时所获得的平均利润最大（不考虑其他成本），求x的取值范围. 【答案】（1） （2）①21天；②， 【解析】 【分析】（1）列举出所有的情况，再根据古典概型的概率公式求解即可； （2）①由题设可得，进而结合题意求解即可； ②分别求出购进4箱玫瑰、5箱玫瑰、6箱玫瑰时的平均利润，进而列不等式求解即可. 【小问1详解】 设这6位顾客是A，B，C，D，E，F， 其中3点以前购买的顾客是A，B，C，D，3点以后购买的顾客是E，F. 从这6位顾客中任选2位有15种选法：，，，，， ，，，，，，，，，， 其中恰好一位是以2000元价格购买的顾客，另一位是以1200元价格购买的顾客的有： ，，，，，，，，共8种， 则恰好一位是以2000元价格购买的顾客，另一位是以1200元价格购买的顾客的概率是. 【小问2详解】 ①依题意，则， 所以估计接下来的一个月（30天）内该种玫瑰每天下午3点以前的销售量不少于5箱的天数是天； ②批发店每天在购进4箱数量的玫瑰时所获得的平均利润为： 元； 批发店每天在购进5箱数量的玫瑰时所获得的平均利润为： 元； 批发店每天在购进6箱数量的玫瑰时所获得的平均利润为： ， 由，解得，又，，则， 即x的取值范围为，. 16. 椭圆（）的离心率为，其左焦点到点的距离是. （1）求椭圆E的方程； （2）若直线被圆截得的弦长为3，且l与椭圆E交于A，B两点，求面积S的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题设可得，，进而求出即可求解； （2）由题设结合圆的几何性质可得到直线的距离为，进而结合点到直线的距离公式可得，联立直线与椭圆方程，结合弦长公式求出，进而表示出，再根据基本不等式求解即可. 【小问1详解】 由题意可得，， 解得，，则， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 由圆，圆心为，半径为， 则到直线的距离为， 则，即． 联立，得， 则， 设，，则，， ∴ ， 则， 当且仅当，即时，． 17. 在四棱锥中，平面，，，，，E为的中点，点F在上，且，设点G是线段上（含端点）的一动点. （1）求证：平面； （2）设与平面所成角为，求的范围； （3）若Q为中点，求的面积取值范围. 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的性质定理和判定定理证明即可； （2）建立空间直角坐标系，求出的方向向量和平面的法向量，利用夹角公式结合换元法即可求解； （3）由题可得，设，再根据，结合二次函数求范围即可． 【小问1详解】 证明：因为平面平面，所以， 又因为平面平面， 所以平面； 【小问2详解】 解：在底面中，过作，交于， 由题意可知，又平面， 则以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，      则， ，可知. , 设， 则， 设平面的法向量为， 则，即， 令，有，故. 故 ， 令，则 ， 而， 故； 【小问3详解】 解：由题可知， 设， ，， ，， ． 18. 已知a为实数，记. （1）当时，定义在上的奇函数满足：当时，，求的解析式； （2）若函数为偶函数，且对于任意，关于x的不等式恒成立，求实数t的取值范围； （3）求证：“”是“存在正数，使得函数在处取到最小值”的充要条件. 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）当，利用函数奇偶性可知，代入求得时的解析式，从而得到分段函数解析式； （2）根据函数的单调性、奇偶性化简不等式得，利用分离常数法，求导求出的单调性求得的取值范围； （3）先证明充分性，通过求导得出，，由于的图像是连续曲线，由零点存在性定理可知函数有且只有一个零点，再证明函数在处取到最小值，最后再证明必要性． 【小问1详解】 当时，， 所以当时，. 所以. 【小问2详解】 当函数为偶函数时，， 则，即，则， 所以，显然函数在上为增函数，且， 故时，，时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 结合函数为偶函数，所以等价于， 则或，即或对恒成立. 设，，则，所以在上单调递增， 则，， 可知或，解得或， 则实数t的取值范围为. 【小问3详解】 充分性：当时，在上为增函数， 且， ，设在时恒大于零， 故在为增函数，故，故. 又由于的图象是连续曲线， 由零点存在性定理，可知存在，使得，由在上为增函数， 可知函数有且只有一个零点， 且当时，为减函数， 当时，为增函数， 则函数在处取到最小值. 必要性：当存在正数，使得函数在处取到最小值，必有， 当时，在上为增函数，不存在最小值，故， 所以在上为增函数， 由于，所以，即，故. 因此，“”是“存在正数，使得函数在处取到最小值”的充要条件. 19. 定义：给定一个正整数m，把它叫做模．如果用m去除任意的两个整数a与b所得的余数相同，我们就说a，b对模m同余，记作．如果余数不同，我们就说a，b对模m不同余，记作． 设集合． （1）求； （2）①将集合A中的元素按从小到大顺序排列后构成数列，并构造， ②将集合B中的元素按从小到大顺序排列后构成数列，并构． 请从①②中选择一个，若选择_____． 证明：数列单调递增，且有界（即存在实数M，使得数列中所有的项都不超过M）． 注：若①②都作答，按第一个计分． 【答案】（1） （2） 若选择①， 将集合中的元素按从小到大排列构成的数列为等差数列，其通项公式为： 设，， 由二项式定理得： ； ； 显然， 所以数列为单调递增数列， 同时， 当时， ， 则， 且， 所以数列有界； 若选择②， 将集合中的元素按从小到大排列构成的数列为等比数列，其通项公式为 设， 显然， 所以数列单调递增， 其中， ， 所以， 所以数列有界. 【解析】 【分析】（1）由已知定义求出集合，然后结合集合交集运算即可解题； （2）结合所选条件，先求出，在适当放缩后，用等差等比数列，以及求和计算，然后结合单调性以及二项式定理即可判断. 【小问1详解】 当成立时，则能被整除，得， 即， 当成立时，则能被整除，得， 即，则， 显然集合为全体正偶数组成的集合，集合中所有的元素都是奇数， 所以. 【小问2详解】 略 【点睛】知识点点睛：本题以新定义为载体，主要考查集合交集运算，二项式定理，等差等比数列通项应用和求和方法，还考查了数列与函数单调性综合应用，属于难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高三四月预测卷 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知为虚数单位，则（ ） A. B. C. 1 D. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 在某次太空游行中，宇航员们负责的科学实验要经过5道程序，其中，两道程序既不能放在最前，也不能放在最后，则该实验不同程序的顺序安排共有（ ） A. 18种 B. 36种 C. 72种 D. 108种 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 某校组织全体学生参加了主题为“建党百年，薪火相传”的知识竞赛，随机抽取了200名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 直方图中的值为0.004 B. 在被抽取的学生中，成绩在区间[70，80）的学生数为15人 C. 估计全校学生成绩的样本数据的80%分位数约为93分 D. 估计全校学生的平均成绩为84分 6. 抛物线上一点与焦点间的距离是10，则点到轴的距离是（ ） A. 10 B. 9 C. 8 D. 5 7. 南宋时期，秦九韶就创立了精密测算雨量、雨雪的方法，他在《数书九章》载有“天池盆测雨”题，使用一个圆台形的天池盆接雨水．观察发现体积一半时的水深大于盆高的一半，体积一半时的水面面积大于盆高一半时的水面面积，若盆口半径为，盆底半径为，根据如上事实，可以抽象出的不等关系为（ ） A. B. C. D. 8. 若正项等比数列的前n项和为，且，则的最小值为（ ） A. 10 B. 15 C. 20 D. 25 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，是双曲线的左、右焦点，过的直线交C的右支于A，B两点，若，，则（     ） A. C的离心率为2 B. C. 的面积为 D. 的周长为18 10. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. 为偶函数 D. 在区间的最小值为 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 当时，曲线在点处的切线方程为 B. 在定义域内为增函数的充要条件是 C. 当时，既存在极大值又存在极小值 D. 当时，恰有3个零点，且 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 数列满足，，则数列的前8项和______. 13. 在中，已知且，则面积的最大值是 __． 14. 已知，，则______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某鲜花批发店每天早晨以每支2元的价格从鲜切花生产基地购入某种玫瑰，经过保鲜加工后全部装箱（每箱500支，平均每支玫瑰的保鲜加工成本为1元），然后以每箱2000元的价格整箱出售.由于鲜花的保鲜特点，制定了如下促销策略：若每天下午3点以前所购进的玫瑰没有售完，则对未售出的玫瑰以每箱1200元的价格降价处理.根据经验，降价后能够把剩余玫瑰全部处理完毕，且当天不再购进该种玫瑰，由于库房限制每天最多加工6箱. （1）若某天该鲜花批发店购入并加工了6箱该种玫瑰，在下午3点以前售出4箱，且当天售出的全部6箱被6位不同的顾客购买.现从这6位顾客中随机选取2人赠送优惠卡，则恰好一位是以2000元价格购买的顾客，另一位是以1200元价格购买的顾客的概率是多少？ （2）该鲜花批发店统计了100天内该种玫瑰在每天下午3点以前的销售量t（单位：箱），统计结果如下表所示（视频率为概率）： t/箱 4 5 6 频数 30 x y ①估计接下来的一个月（30天）内该种玫瑰每天下午3点以前的销售量不少于5箱的天数是多少？ ②若批发店每天在购进5箱数量的玫瑰时所获得的平均利润最大（不考虑其他成本），求x的取值范围. 16. 椭圆（）的离心率为，其左焦点到点的距离是. （1）求椭圆E的方程； （2）若直线被圆截得的弦长为3，且l与椭圆E交于A，B两点，求面积S的最大值. 17. 在四棱锥中，平面，，，，，E为的中点，点F在上，且，设点G是线段上（含端点）的一动点. （1）求证：平面； （2）设与平面所成角为，求的范围； （3）若Q为中点，求的面积取值范围. 18. 已知a为实数，记. （1）当时，定义在上的奇函数满足：当时，，求的解析式； （2）若函数为偶函数，且对于任意，关于x的不等式恒成立，求实数t的取值范围； （3）求证：“”是“存在正数，使得函数在处取到最小值”的充要条件. 19. 定义：给定一个正整数m，把它叫做模．如果用m去除任意的两个整数a与b所得的余数相同，我们就说a，b对模m同余，记作．如果余数不同，我们就说a，b对模m不同余，记作． 设集合． （1）求； （2）①将集合A中的元素按从小到大顺序排列后构成数列，并构造， ②将集合B中的元素按从小到大顺序排列后构成数列，并构． 请从①②中选择一个，若选择_____． 证明：数列单调递增，且有界（即存在实数M，使得数列中所有的项都不超过M）． 注：若①②都作答，按第一个计分． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $