精品解析：湖南湘潭市2026届高三下学期学情检测数学试题

高三数学 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据交集的定义判断即可. 【详解】因为， 则． 2. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】. 3. 已知是定义在上的奇函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由奇函数的性质可知，解得. 4. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则的形状是（ ） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 无法确定的 【答案】B 【解析】 【分析】通过正弦定理将角化为边得，再结合余弦定理即可得结果. 【详解】由，可得，则， 则，则A为钝角， 故的形状是钝角三角形. 5. 将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则下列区间中，单调递减的区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平移变换得到解析式，结合正弦型函数性质求解判断即可. 【详解】由题意知，， 令，得， 则的单调递减区间为． 对于A：当时，，A正确. 对于BCD：无满足条件，故BCD错误. 6. 现有甲､乙等五名学生参加“弘扬中华文化”的演讲比赛，已知甲既不在第一个出场，又不在最后一个出场，且乙不在第三个出场，则不同的出场顺序共有（ ） A. 120种 B. 96种 C. 72种 D. 60种 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，分甲在第三个出场和甲不在第一个、第三个和最后一个出场两种情况讨论求解即可. 【详解】若甲在第三个出场，则不同的出场顺序有种； 若甲不在第一个、第三个和最后一个，则不同的出场顺序有种． 根据分类加法计数原理可知，不同的出场顺序共有种． 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由，可判断大小，构造函数，求导确定单调性，可判断大小，即可求解. 【详解】因为，所以，则． 令，则， 当时，单调递增， 当时，，单调递减， 则， 则，即．故． 8. 如图，在三棱锥中，和都是等腰三角形，且，二面角的大小为，则三棱锥外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】如图，设外接圆的圆心为，设三棱锥外接球的球心为，连接，，设，过点作的平行线，与的延长线交于点，连接，利用题中条件分别求得，,4，进而，，由，列式，解得，再根据球的表面积公式即可得答案． 【详解】如图，设外接圆的圆心为， 因为都是等腰三角形，，， 所以，是的中点． 设三棱锥外接球的球心为，连接，，则平面． 过点作交的延长线于点． 设在平面内的射影为，连接， 因为二面角的大小为, 所以． 因为是等腰三角形，且， 所以， 所以 ． 过点作的平行线，与的延长线交于点，连接， 则,4，， ． 设，则由，可得， 解得， 故三棱锥外接球的表面积为． 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. PM2.5是空气中的细小污染物，其浓度（单位：）越高，空气质量越差，浓度越低，空气质量越好.我国现行PM2.5国家标准规定：若PM2.5日平均浓度不超过35，则当天空气质量等级为“优”；若PM2.5日平均浓度超过35但不超过75，则当天空气质量等级为“良”.某城市一周内PM2.5日平均浓度如下表，则（ ） 星期 一 二 三 四 五 六 日 PM2.5日平均浓度 34 27 43 23 45 26 19 A. 该城市这周共有5天的空气质量等级为“优” B. 该城市这周PM2.5日平均浓度数值的分位数为27 C. 该城市这周PM2.5日平均浓度数值的极差为28 D. 该城市这周PM2.5日平均浓度数值的平均数为31 【答案】AD 【解析】 【详解】由题可知，该城市这周共有5天的空气质量等级为“优”，A正确. 该城市这周PM2.5日平均浓度的数值按从小到大的顺序排列为， 因为，所以该城市这周PM2.5日平均浓度数值的分位数为26，极差为，B不正确，C不正确. 该城市这周PM2.5日平均浓度数值的平均数为，D正确. 10. 已知，且，则下列结论正确的是（ ） A. “”是“”的充要条件 B. 的取值范围为 C. 若，则的最大值为 D. 的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】选项：将转化为三角恒等式，结合在内的三角函数单调性判断两个条件是否互为充要条件；选项：将已知两式相加得到的三角表达式，通过辅助角公式化简后结合角的取值范围计算值域判断正误；选项：在的条件下替换，化简的表达式，利用三角恒等变换和最值公式求最大值，验证等号成立条件判断正误；选项：将已知两式分别平方后相加，化简得到的表达式，结合余弦差角公式的有界性和角的范围求最大值判断正误. 【详解】选项，若，则显然；若，则，整理得，由，得，则，则正确． 选项,，由，得，则，则的取值范围为，正确． 选项,由，得，则，不正确． 选项,，当且仅当时，等号成立，正确． 11. 已知是曲线上的动点，点，内切圆的圆心记为，直线与直线交于点，则（ ） A. 关于直线对称 B. 存在点，使得（为坐标原点） C. 为定值 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对曲线方程中互换，得出方程不变，从而得出，判断选项A；对曲线方程进行变形，利用基本不等式结合两点间距离公式计算判断选项B；根据两点间距离公式计算得出，从而判断选项C；利用选项C结论，结合内心的性质求出比例关系，判断选项D． 【详解】对于A，由方程中互换后方程不变可得曲线关于直线对称，故A正确； 对于B，设，由，得， 当且仅当时，等号成立， ，从而，故B错误； 对于C， ，故4，是定值，故C正确； 由选项C可知，是以为焦点，4为长轴长，为焦距的椭圆， 是的内心，在上， 由三角形内角平分线定理得，变形得， 是的角平分线，则，令， 在中，，即，① 在中，，即，② 三点共线，则， 则， 将①除以②，可得， ，由等比性质，可得， 即，故D正确． 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若曲线在点处的切线与直线平行，则__________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据导数的几何意义及直线平行的关系求解即可. 【详解】由，可得．当时，． 因为曲线在点处的切线与直线平行， 所以． 13. 已知F是椭圆和抛物线的公共焦点，是的另一个焦点，是与的交点，若是等腰直角三角形，则的离心率为____________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用椭圆与抛物线的定义及几何性质，结合等腰直角三角形的边角关系推导椭圆参数的数量关系，进而求解离心率. 【详解】如图，因为是，的公共焦点，是的另一个焦点，所以的准线经过点. 根据对称性，不妨令在第一象限，因为是等腰直角三角形，所以. 过作准线的垂线，垂足为，则是等腰直角三角形，则. 又，所以. 设，则，则的离心率为. 14. 已知平面内有5个互不相等的单位向量．若这5个向量中恰有1对向量互相平行，恰有3对向量互相垂直，则的最大值为__________． 【答案】 【解析】 【详解】因为这5个单位向量互不相等，且恰有1对向量互相平行，所以这2个向量互为相反向量，不妨令，则． 若中有2个或3个向量与垂直，则这些向量也与垂直，所以这5个向量中，至少有4对向量互相垂直，不符合题意． 若，均不与垂直，也不与垂直，则两两垂直，不符合平面向量的性质． 故中恰有1个向量同时与垂直，不妨令，则由题可知，从而，则，当且仅当与同向时，等号成立，经检验，此时满足题设条件． 故的最大值为． 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤． 15. 如图，在正方体中，E，F分别为，的中点. （1）证明：平面. （2）求二面角的正弦值. 【答案】（1）证明：连接，与交于点O，可知O为的中点. 连接.因为E是的中点，所以. 又平面，平面，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面平行判定定理证明线面平行； （2）利用正方体的性质，结合已知条件，利用几何法或向量法，求出二面角的余弦值，进而求出二面角的正弦值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 不妨设正方体的棱长为2，则由E，F分别为，的中点，可得. 连接，则，，所以即为二面角的大小. ，则. 连接，，则，. 在中，， 则二面角的正弦值为. 16. 为促进消费，某商场面向顾客开展抽奖活动，规则如下：现有10个不透明的箱子，每个箱子内装有4个除颜色外其他完全相同的小球，其中5个箱子各装有2个白球和2个红球，另外5个箱子各装有1个白球和3个红球，顾客从10个箱子中随机地选取1个箱子，记所选的箱子中红球的个数为m，顾客可从选中的箱子中一次性取出个球，若取出的均是红球，则顾客可获得奖金元，否则无法获得奖金. （1）当时，求顾客可以获得奖金的概率； （2）当n取何值时，顾客获得奖金金额的期望更大？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用全概率公式计算即可； （2）利用离散型随机变量的分布列分别计算期望比较大小即可. 【小问1详解】 当时， 记事件A为“顾客所选的箱子中有2个白球和2个红球”，事件B为“顾客可以获得奖金”， 则 . 【小问2详解】 当时，记顾客获得的奖金为X元，则X的所有可能取值为0，30，40， 且，，， 则. 当时，记顾客获得的奖金为Y元，则Y的所有可能取值为0，60，80， 且，，， 则. 因为，所以当时，顾客获得奖金金额的期望更大. 17. 已知数列和满足． （1）若，求的值； （2）若，且恒成立，求的取值范围； （3）设，若，证明：． 【答案】（1） （2） （3）证明如下： 由， 可得， 则， 两式相减得． 由，得， 则． 由，得， 则，即． 【解析】 【分析】（1）由，，分别求得求解； （2）由，得到，从而，再利用裂项相消法求解； （3）由，得到，再由，得到，然后递推求解. 【小问1详解】 因为， 所以， 所以． 【小问2详解】 因为， 所以， 则， 所以， 由恒成立，可得， 则，得， 则，即的取值范围为． 【小问3详解】 略 18. 已知双曲线的实轴长与虚轴长相等，且C的焦距为. （1）求C的方程. （2）对于C上的任意两点，定义：. （i）若A，B是C右支上两个不同的点，证明：. （ii）若，，是C右支上三个不同的点，且存在常数t，使得，证明为定值，并求该定值（用t表示）. 【答案】（1） （2）（i）证明见解析；（ii）证明见解析， 【解析】 【分析】（1）利用条件及双曲线的性质计算即可； （2）（i）设直线AB方程及点坐标，利用韦达定理及点的位置、新定义计算即可；（ii）设，，，利用新定义及上问结论结合同解方程确定，分类讨论的取值，结合韦达定理计算即可. 【小问1详解】 由题可知，， 解得， 则C的方程为. 【小问2详解】 （i）依题可设直线的方程为，， 由，可得， 则，且， ，， 所以 . 因为A，B是C右支上两个不同的点，所以. 又，所以. . 由，，得， 则，故. （ii）设，，. 由和（i）可得， 且则，均在直线上. 若，则，l的方程为，由 可得，则，则. 若，则l的方程可化为， 由可得. 因为，所以上式可化为， 此时， 且， ， 则 . 综上所述，为定值，且该定值为. 19. （1）求函数在上的最值． （2）证明：． （3）若，求的值． 【答案】（1）最大值为，最小值为 ； （2）证明：． 因为，所以由（1）可知，，则． 又，所以， 则，故，． （3） ． 【解析】 【分析】（1）求出函数的导函数，判断导函数在给定区间内的符号确定函数单调性，再结合区间端点的函数值得到最值. （2）需先利用两角和与差的余弦公式展开左侧表达式，结合第（1）问得到的的范围结论，以及给定区间内三角函数、指数式的符号特征，完成不等式证明. （3）先通过构造函数，结合区间端点的函数值与零点存在定理初步缩小参数的取值范围，再利用第（2）问的证明结论验证参数取对应值时两个不等式均恒成立，最终确定的值. 【详解】（1）解：由，得． 令，则． 因为，所以，则在上恒成立，则在上单调递减． 又，所以，即在上恒成立，则在上单调递减， 则在上的最大值为，最小值为． （2）略 （3）解：由题可知，． 令，则． 若，则，根据函数零点存在定理可知，，不符合题意，故． 同理可得． 令，则， 若，则，根据函数零点存在定理可知，，不符合题意，故． 综上所述，是原不等式成立的必要条件，下面证明当时，原不等式成立，即． 对于左侧不等式， 由，可得，且， 则由（2）可得，不等式成立． 对于右侧不等式， 设常数，令， 则． 令， 则． 由，可得，则，从而在上单调递增，则在上恒成立，即在上恒成立，则在上单调递增，所以． 令，满足，代入，即可得，不等式成立． 综上所述，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知是定义在上的奇函数，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则的形状是（ ） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 无法确定的 5. 将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则下列区间中，单调递减的区间是（ ） A. B. C. D. 6. 现有甲､乙等五名学生参加“弘扬中华文化”的演讲比赛，已知甲既不在第一个出场，又不在最后一个出场，且乙不在第三个出场，则不同的出场顺序共有（ ） A. 120种 B. 96种 C. 72种 D. 60种 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在三棱锥中，和都是等腰三角形，且，二面角的大小为，则三棱锥外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. PM2.5是空气中的细小污染物，其浓度（单位：）越高，空气质量越差，浓度越低，空气质量越好.我国现行PM2.5国家标准规定：若PM2.5日平均浓度不超过35，则当天空气质量等级为“优”；若PM2.5日平均浓度超过35但不超过75，则当天空气质量等级为“良”.某城市一周内PM2.5日平均浓度如下表，则（ ） 星期 一 二 三 四 五 六 日 PM2.5日平均浓度 34 27 43 23 45 26 19 A. 该城市这周共有5天的空气质量等级为“优” B. 该城市这周PM2.5日平均浓度数值的分位数为27 C. 该城市这周PM2.5日平均浓度数值的极差为28 D. 该城市这周PM2.5日平均浓度数值的平均数为31 10. 已知，且，则下列结论正确的是（ ） A. “”是“”的充要条件 B. 的取值范围为 C. 若，则的最大值为 D. 的最大值为 11. 已知是曲线上的动点，点，内切圆的圆心记为，直线与直线交于点，则（ ） A. 关于直线对称 B. 存在点，使得（为坐标原点） C. 为定值 D. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若曲线在点处的切线与直线平行，则__________． 13. 已知F是椭圆和抛物线的公共焦点，是的另一个焦点，是与的交点，若是等腰直角三角形，则的离心率为____________. 14. 已知平面内有5个互不相等的单位向量．若这5个向量中恰有1对向量互相平行，恰有3对向量互相垂直，则的最大值为__________． 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤． 15. 如图，在正方体中，E，F分别为，的中点. （1）证明：平面. （2）求二面角的正弦值. 16. 为促进消费，某商场面向顾客开展抽奖活动，规则如下：现有10个不透明的箱子，每个箱子内装有4个除颜色外其他完全相同的小球，其中5个箱子各装有2个白球和2个红球，另外5个箱子各装有1个白球和3个红球，顾客从10个箱子中随机地选取1个箱子，记所选的箱子中红球的个数为m，顾客可从选中的箱子中一次性取出个球，若取出的均是红球，则顾客可获得奖金元，否则无法获得奖金. （1）当时，求顾客可以获得奖金的概率； （2）当n取何值时，顾客获得奖金金额的期望更大？ 17. 已知数列和满足． （1）若，求的值； （2）若，且恒成立，求的取值范围； （3）设，若，证明：． 18. 已知双曲线的实轴长与虚轴长相等，且C的焦距为. （1）求C的方程. （2）对于C上的任意两点，定义：. （i）若A，B是C右支上两个不同的点，证明：. （ii）若，，是C右支上三个不同的点，且存在常数t，使得，证明为定值，并求该定值（用t表示）. 19. （1）求函数在上的最值． （2）证明：． （3）若，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $