第10章 三角恒等变换 综合拔高练（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第二册（苏教版）

综合拔高练 高考真题练 考点1　两角和与差的三角函数公式的应用 1.(2024新课标Ⅰ,4)已知cos(α+β)=m,tan αtan β=2,则cos(α-β)①=(　　)  A.-3m　　　　B.-　　　　D.3m ①心中有“数”两角和与差的余弦公式;对点突破P376定点2 2.(2024全国甲理,8)已知,则tan=(　　) A.2-1　　　　 C. 3.(2022新高考Ⅱ,6)若sin(α+β)+cos(α+β)=2sin β,则(　　) A.tan(α-β)=1　　　　B.tan(α+β)=1 C.tan(α-β)=-1　　　　D.tan(α+β)=-1 4.(2025北京,8)设函数f(x)=sin ωx+cos ωx(ω>0).若f(x+π)=f(x)恒成立①,且f(x)在上存在零点,则ω的最小值为(　　) A.8　　　　B.6　　　　C.4　　　　D.3 ①解题关键判断出f(x)的最小正周期T的k(k∈Z)倍为π,即=π,k∈Z. 5.(2025北京,13)已知α,β∈[0,2π],且sin(α+β)=sin(α-β),cos(α+β)≠cos(α-β).写出满足条件的一组α,β的值:α=　　　　,β=　　　　.  6.(2025全国二卷,15)已知函数f(x)=cos(2x+φ)(0≤φ<π), f(0)=. (1)求φ; (2)设函数g(x)=f(x)+f ,求g(x)的值域和单调区间. 考点2　二倍角的三角函数公式的应用 7.(2025全国二卷,8)已知0<α<π,cos ,则sin=(　　) A. 8.(2023新课标Ⅱ,7)已知α为锐角,cos α=,则sin =(　　) A.　　　　C. 9.(2021新高考Ⅰ,6)若tan θ=-2,则①=(　　)  A.- ①心中有“数”统一三角函数名称. 10.(2022北京,5)已知函数f(x)=cos2x-sin2x,则　(　　) A. f(x)在上单调递减 B. f(x)在上单调递增 C. f(x)在上单调递减 D. f(x)在上单调递增 11.(2023全国乙理,12)已知☉O的半径为1,直线PA与☉O相切于点A,直线PB与☉O交于B,C两点,D为BC的中点.若|PO|=,则的最大值为(　　) A. 学科竞赛 12.(2024第四届英才杯数学竞赛)计算:+tan 22.5°+2sin 45°-|(2-)(2+tan 60°)|+(cos 11°+sin 22°)0=　　　　.  13.(2024全国高中数学联赛北京赛区预赛)已知函数f(x)=cos4x+sin4x+asin 4x-b,且f 为奇函数,若方程f(x)+m=0在[0,π]上有四个不同的实数解x1,x2,x3,x4,则f 的平方值为　　　　.  高考模拟练 应用实践 1.(2025江苏新高考基地学校质量监测)当x∈[0,2π]时,方程sin=sin x+sin的解的个数为(　　) A.0　　　　B.1　　　　C.2　　　　D.3 2.(2025山东淄博实验中学月考)已知cos(β-α)=,tan αtan β=,则cos 2(α+β)=(　　) A.- 3.(2024陕西咸阳模拟)当函数y=3sin x+4cos x取得最小值时,sin=(　　) A.-　　　　C. 4.(2025江西南昌模拟)已知角α,β的终边不重合,sin α-3cos β=sin β-3cos α,则tan(α+β)=(　　) A. 5.(2024山东淄博模拟)已知tan α,tan β是方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根,有以下四个命题: 甲:tan(α+β)=-; 乙:tan αtan β=; 丙:; 丁:tan αtan βtan(α+β)-tan(α+β)=. 如果其中只有一个假命题,则该命题是(　　) A.甲　　　　B.乙　　　　C.丙　　　　D.丁 6.(多选题)(2025江苏启东中学月考)记fn(x)=sin2nx+cos2nx,n∈N*,则(　　) A.fn=fn(x)　　　　B.f2(x)的最小值为 C.f3(x)的最小值为　　　　D.fn(x)≥fn+1(x) 7.(2025江苏南京期末)如图所示,已知角α,β0<α<β<的始边为x轴的非负半轴,终边分别与单位圆交于点A,B,M为线段AB的中点,射线OM与单位圆交于点C,则以下结论正确的是　　　　.(填序号)  ①∠AOB=β-α;②OM=cos ; ③点C的坐标为; ④点M的坐标为cos cos ,sin ·sin . 8.(2025江苏镇江实验高级中学期中)已知函数f(x)=sinsin xcos x. (1)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间; (2)若f,且<α<π,求sin α的值; (3)在△ABC中,若f=1,求sin B+sin C的取值范围. 迁移创新 9.(2025江苏南通海安期中)设单位圆O上三点A1,A2,A3等分圆周,P为圆O上一点,定义:||·||·||为“Π距积”,||为“Γ距和”. (1)为便于解答(2)、(3),请你选择合适的变量表示出||; (2)求“Γ距和”的最大值; (3)求“Π距积”的最大值. 答案与分层梯度式解析 综合拔高练 高考真题练 1.A　 真题降维 关键信息 信息处理 求cos(α-β) 利用公式将待求式展开,将cos αcos β,sin αsin β的值代入即可得解 cos(α+β)=m, tan αtan β=2 根据两角和的余弦公式,及切化弦求解cos αcos β,sin αsin β 解析　由cos(α+β)=m,得cos αcos β-sin αsin β=m, 由tan αtan β=2,得sin αsin β=2cos αcos β, 故cos αcos β-2cos αcos β=m,即cos αcos β=-m, 从而sin αsin β=-2m, 故cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=-3m. 2.B　 =,∴tan-1. 3.C　因为sin(α+β)+cos(α+β)=sin αcos β+cos αsin β+cos αcos β-sin αsin β,2sin β=(2cos α-2sin α)sin β=2cos αsin β-2sin αsin β,所以sin α·cos β+cos αsin β+cos αcos β-sin αsin β=2cos αsin β-2sin αsin β,即sin αcos β-cos αsin β+cos αcos β+sin αsin β=0,进而得sin(α-β)+cos(α-β)=0,易知cos(α-β)≠0,所以tan(α-β)=-1. 4.C　 真题降维 关键信息 信息处理 f(x)=sin ωx+cos ωx(ω>0) 由辅助角公式化简得到f(x)= f(x+π)=f(x) f(x)是周期函数,且最小正周期T的k(k∈Z)倍为π,即=π,k∈Z f(x)在上存在零点,求ω的最小值 确定ωx+的范围,结合f(x)的零点情况得结果 解析　f(x)=sin ωx+cos ωx=, 由f(x+π)=f(x)恒成立知,π是最小正周期的k(k∈Z)倍,则=π(k∈Z),即ω=2k(k∈Z).(*) 由x∈0,得ωx+, 又f(x)在0,上存在零点, 所以≥π,解得ω≥3,结合(*)式可知ω的最小值为4. 5.答案　 解析　由 则　 由α,β∈[0,2π],可得 故满足条件的一组α,β可以为(答案不唯一). 6.解析　(1)由f(0)=得cos φ=, ∵φ∈[0,π),∴φ=. (2)由(1)得f(x)=cos, 所以g(x)=cos =cos+cos 2x =cos 2x-sin 2x+cos 2x =cos 2x-sin 2x =, 所以g(x)的值域为[-]. 令2kπ≤2x+≤2kπ+π,k∈Z,解得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z, 所以g(x)的单调递减区间为(k∈Z); 令2kπ-π≤2x+≤2kπ,k∈Z, 解得kπ-≤x≤kπ-,k∈Z, 所以g(x)的单调递增区间为(k∈Z). 一题多解　(2)g(x)=,其值域为[-], 令2kπ+≤2x-≤2kπ+,k∈Z, 得kπ+≤x≤kπ+,k∈Z,所以g(x)的单调递增区间为(k∈Z), 令2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z,得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z, 所以g(x)的单调递减区间为kπ-(k∈Z). 7.D　解法一:∵0<α<π,∴0<,又∵cos , ∴sin , ∴sin α=2sin cos ,cos α=cos2, ∴sin(sin α-cos α)=. 解法二:∵cos ,∴cos α=2cos2, ∵0<α<π,∴sin α=, ∴sin(sin α-cos α)=. 8.D　∵cos α=1-2sin2, ∵α为锐角,∴为锐角,∴sin. 小题速解　∵α为锐角, ∴为锐角,sin. 9.C　 真题降维 关键信息 信息处理 1+sin 2θ 利用二倍角的正弦公式转化为(sin θ+cos θ)2 约分,构造齐次式,弦化切 解析　 ==sin θ(sin θ+cos θ) =sin2θ+sin θcos θ= =. 10.C　f(x)=cos2x-sin2x=cos 2x,令2kπ<2x<2kπ+π,k∈Z,解得kπ<x<kπ+,k∈Z,则f(x)的单调递减区间为,k∈Z;令2kπ-π<2x<2kπ,k∈Z,解得kπ-<x<kπ,k∈Z,则f(x)的单调递增区间为,k∈Z. 对于A, f(x)在上单调递增,故A错误; 对于B, f(x)在上单调递增,在上单调递减,故B错误; 对于C, f(x)在上单调递减,故C正确; 对于D, f(x)在上单调递减,在上单调递增,故D错误. 11.A　连接OA,OD,由题意得|OA|=1,∠OAP=90°, 又|PO|=,∴|AP|=1,∴∠OPA=. 设∠APD=θ,则cos θ=, 当且仅当θ=时取等号,故. 12.答案　3+2 解析　原式=4+)|+1 =4+-|4-3|+1 =4+-1+1 =3+2. 13.答案　 解析　f(x)=+asin 4x-b=(cos 2x)2+asin 4x-b=+asin 4x-b=asin 4x+cos 4x+-b, ∵f为奇函数,∴f(x)的图象关于点对称, 则解得a=, ∴f(x)=sin 4x+cos 4x=, ∵x∈[0,π],∴4x+, ∵方程f(x)+m=0即方程f(x)=-m在[0,π]上有四个不同的实数解x1,x2,x3,x4, ∴f(0)<-m<f(x)max或f(x)min<-m<f(0),即或-, 当,即-时,4x1+, ∴f =, 当-,即-时,4x1+, ∴f, 故f. 高考模拟练 1.D　由sin=sin x+sin,得sin x+cos x=sin x+,即-sin x+cos x=, 所以sin(*), 解得x-+2kπ,k∈Z或x-+2kπ,k∈Z, 则x=2kπ,k∈Z或x=-+2kπ,k∈Z,因为x∈[0,2π], 所以当x=2kπ,k∈Z时,x=0(k=0)或x=2π(k=1), 当x=-+2kπ,k∈Z时,x=(k=1),因此共有3个解. 2.B　由已知得cos(β-α)=cos βcos α+sin βsin α=, tan αtan β=,则2sin αsin β=cos αcos β, 所以sin αsin β=,cos αcos β=, 所以cos 2(α+β)=2cos2(α+β)-1=2(cos αcos β-sin αsin β)2-1=2×. 3.A　由辅助角公式可得y=3sin x+4cos x=5sin(x+θ),其中cos θ=,sin θ=, 当x+θ=-+2kπ,k∈Z时,y取得最小值,此时x=-θ-+2kπ,k∈Z, 故cos x=-sin θ=-,sin x=-cos θ=-, 故sin=sin xcos+cos xsinsin x+cos x=. 4.D　因为sin α-3cos β=sin β-3cos α,所以sin α-sin β=3(cos β-cos α), 即sin α-sin β=sin =, cos β-cos α=cos =, 所以2cos, 因为角α,β的终边不重合,所以α-β≠2kπ(k∈Z),则≠kπ(k∈Z), 所以sin≠0,则3sin,所以tan, 因此tan(α+β)=. 5.B　因为tan α,tan β是方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根,所以tan α+tan β=-,tan αtan β=, 则tan(α+β)=, .　 若乙、丁都是真命题,则tan αtan β=, 所以tan α+tan β=-, 则甲、丙均为假命题,与题意不符,所以乙、丁一真一假,甲、丙都是真命题. 由甲、丙都是真命题得 解得 所以tan αtan β=,tan αtan βtan(α+β)-tan(α+β)=,故乙为假命题,丁为真命题. 6.ABD　对于A,fn=cos2nx+(-sin x)2n=sin2nx+cos2nx=fn(x),故A正确; 对于B,f2(x)=sin4x+cos4x=(sin2x+cos2x)2-2sin2xcos2x=1-sin22x≥,当且仅当sin 2x=±1时等号成立,故f2(x)的最小值为,故B正确; 对于C,f3(x)=sin6x+cos6x=(sin2x+cos2x)3-3sin4xcos2x-3sin2xcos4x=1-3sin2xcos2x=1-sin22x≥1-,当且仅当sin 2x=±1时等号成立,故f3(x)的最小值为,故C错误; 对于D,由fn(x)-fn+1(x)=sin2nx+cos2nx-sin2n+2x-cos2n+2x =sin2nx(1-sin2x)+cos2nx(1-cos2x) =sin2nx·cos2x+cos2nx·sin2x≥0,得fn(x)≥fn+1(x),故D正确. 7.答案　①②③ 解析　由已知得∠AOx=α,∠BOx=β,0<α<β<,故∠AOB=β-α,①正确; 因为M为AB的中点,OA=OB,所以OM⊥AB,则∠AOM=∠AOB=(β-α),故OM=OAcos∠AOM=cos ,②正确; 易知C为劣弧AB的中点,所以∠COx=α+, 又OC=1,所以点C的坐标为,③正确; 因为OM=cos ,∠MOx=∠COx=, 所以点M的坐标为,④错误. 8.解析　(1)由题意得f(x)=sinsin xcos x=sin 2x =cos 2x+sin 2x=sin, 所以f(x)的最小正周期T==π, 令-+2kπ≤2x++2kπ,k∈Z,则-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z, 所以f(x)的单调递增区间为,k∈Z. (2)由f,得sin α+cos α=-,所以cos α=-sin α-, 又sin2α+cos2α=1,所以sin2α+=1,即sin α+=1,故12sin2α+4sin α-5=0, 又<α<π,所以sin α=. (3)由f=1,0<A<π,可得A=, 则sin B+sin C=sin B+sinsin B+cos B=,　 又0<B<,所以,故≤1, 所以sin B+sin C∈. 9.解析　(1)以圆心O为坐标原点,的方向为x轴的正方向建立如图所示的平面直角坐标系, 则A1(1,0),A2, 设点P(cos θ,sin θ),θ∈[0,2π), 则|, | =,　 | =.　 (2)由对称性不妨设0≤θ≤,则,则, 所以|, |, 同理可得|, 所以|, 因为,所以, 故当,即θ=时,“Γ距和”取得最大值4. (3)由对称性,设0≤θ≤, 由(2)得||·||·|·2cos·2cos =2sin =2sin, 所以(||·||·|×23=4, 即||·||·||≤2,当且仅当8sin2,即sin,即θ=时,“Π距积”取得最大值,为2. 18 学科网（北京）股份有限公司 $