6.1.1 空间向量的线性运算课件-2025-2026学年高二下学期数学苏教版选择性必修第二册

6.1 空间向量及其运算 6.1.1 空间向量的线性运算 1 【课标要求】 1.了解由平面向量推广到空间向量的过程,了解空间向量的概念. 2.掌握空间向量的线性运算及其法则. 3.理解空间向量共线的充要条件. 2 要点深化·核心知识提炼 3 知识点1.空间向量的概念 1.空间向量的定义及表示 定义 在空间,我们把像位移、力、速度、加速度这样既有大小又有方向的量,叫作空间向量 长度 或模 空间向量的大小叫作空间向量的长度或模 表示 方法 几何表示 与平面向量一样,空间向量也可用有向线段表示 符号 表示 表示空间向量的有向线段,若以为起点,为终点,则记作 ,其模记作 空间向量常用一个小写字母表示.如：向量,,其模分别记为, 4 2.几类特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 规定长度为0的向量称为零向量,记作 单位向量 长度等于1个单位长度的向量,叫作单位向量 相反向量 与向量长度相等,方向相反的向量,叫作的相反向量,记作 相同的向量 所有长度相等且方向相同的向量都看作相同的向量,向量与 是相同 的向量,也称与 相等 名师点睛 （1）平面向量是一种特殊的空间向量. （2）两个向量相等的充要条件为两个向量长度相等,方向相同. （3）向量不能比较大小. 5 知识点2.空间向量及其线性运算 1.空间向量的加法、减法与数乘运算的意义（如图）: ； ； . 6 2.空间向量的加法和数乘运算满足如下运算律： ； ； . 向量的加法、减法和数乘运算统称为向量的线性运算. 名师点睛 （1）向量减法是向量加法的逆运算,减去一个向量等于加上这个向量的相反向量. （2）当首尾相连的若干向量构成封闭图形时,它们的和向量为零向量. 7 知识点3.共线向量及共线向量定理 1.共线向量（平行向量） 如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,那么这些向量叫作共 线向量或平行向量.向量与平行,记作 . 规定零向量与任意向量共线. 2.共线向量定理 对空间任意两个向量,,与共线的充要条件是存在实数 ,使 . 8 名师点睛 对向量共线的充要条件的理解,应从以下几个方面正确把握： （1）在此充要条件中,要特别注意,若不加 ,则该充要性不一定成立.例 如,若,,则,但 不存在,该充要性也就不成立了. （2）该充要条件包含两个命题： ① 存在唯一的实数 ,使 ； ②存在唯一的实数 ,使 . 9 题型分析·能力素养提升 10 【题型一】空间向量的概念 例1（1） 下列关于空间向量的说法,正确的是( ) D A.单位向量都相等 B.若,则, 的长度相等且方向相同或相反 C.若向量,满足,则 D.相同的向量其方向必相同 [解析] A中,单位向量长度相等,方向不确定; B中,只能说明, 的长度相等,但方向不确定; C中,向量不能比较大小; 易知D正确. 11 （2）（多选题）下列命题为真命题的是( ) BC A.若空间向量,满足,则 B.在正方体中,必有 C.若空间向量,,满足,,则 D.任一向量与它的相反向量均不相等 [解析] A为假命题,根据向量相等的定义知,两向量相等,不仅模要相等,还要方向相同, 而A中向量与的方向不一定相同;B为真命题,与 的方向相同,模也相等,故 ; C为真命题,向量的相等满足传递性; D为假命题,零向量的相反向量仍是零向量. 题后反思 空间向量的概念与平面向量的概念相类似,平面向量的其他相关概念,如向量的 模、相同的向量、平行向量、相反向量、单位向量等都可以拓展为空间向量的相关概念. 12 跟踪训练1 如图所示,在以长方体 的八个顶点的 两点为起点和终点的向量中. （1）试写出所有与 相等的向量； 解 与向量相等的向量（除它自身之外）有,, . （2）试写出 的相反向量； 解 向量的相反向量为,,, . （3）若,,求向量 的模. . 13 【题型二】空间向量及其线性运算 例2 如图,,分别是长方体的棱, 的中点, 化简下列表达式,并在图中标出化简结果的向量. （1） ； 解 如图, ； 14 （2） ； ； （3） ； 解 ； （4） . 解 . 题后反思 （1）向量加法的三角形法则和向量减法的定义是解决空间向量加法、减法 运算的关键,灵活应用相反向量可使向量间首尾相接. （2）利用向量加法的三角形法则和平行四边形法则进行向量的运算时,务必要注意和 向量、差向量的方向,必要时可采用空间向量的自由平移获得更准确的结果. 15 跟踪训练2 如图,已知四面体,,分别是, 的中点,化简 下列表达式,并在图中标出化简结果的向量. （1） ； 解 如图, ； 16 （2） ； 解 ； （3） . 解 . 17 【题型三】共线向量（或平行向量） 例3 如图所示,在正方体中,在上,且, 在对角线 上,且.求证：,, 三点共线. 18 证明 设 ,, . , , , . , . . 19 又 , . 与有公共点,,, 三点共线. 规律方法 向量共线的判定及应用 （1）判断或证明两向量,共线,就是寻找实数 ,使 成立,为此常结 合题目图形,运用空间向量的线性运算法则将目标向量化简或用同一组向量表达. （2）判断或证明空间中的三点（如,,）共线的方法：是否存在实数 ,使 . 跟踪训练3（1） 如图,四边形,都是平行四边形且不共面,,分别是, 的中点,判断与 是否共线. 21 解 因为,分别是,的中点,且四边形, 都是平行四边形,所以 . 又 , 所以 . 所以 , 即,所以与 共线. 22 （2）在正方体中,点在对角线上,且,点 在棱 上,若,,三点共线,,求 的值. 解 因为正方体中, , 设,又 , 所以,即 . 因为,,三点共线,所以,解得,即.故 . 23 $