11.3 余弦定理、正弦定理的应用 课件-2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册

第11章　解三角形 11.3　余弦定理、正弦定理的应用 苏教版 必修第二册 【课标要求】 1.利用余弦定理、正弦定理解决生产实践中有关距离的测量问题. 2.能运用正弦定理、余弦定理解决测量角度的实际问题. 3.能运用正弦定理、余弦定理解决相关力学问题. 要点深化·核心知识提炼 知识点一　实际测量中的距离问题 1.测量中的常用角 名称 定义 示例 方位角 从指北方向线顺时针转到目标方向线的角 点A的方位角为225° 方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角 点A的方向角为南偏西45°(或称西南方向) 名称 定义 示例 坡角与 坡比 坡面与水平面所成的锐二面角叫坡角(θ为坡角);坡面的垂直高度与水平长度之比叫坡比(坡度),即i==tan θ 2.距离问题 类型 简图 测量 两点A, B均可达 先选定适当的位置C,用测角器测出角α,再分别测出AC,BC的长b,a,则可求出A,B两点间的距离,即AB= 两点A,B可视,但有一 点不可达 在A所在的岸边选定一点C,可以测出AC的距离m,再借助仪器,测出∠ACB=α,∠CAB=β,那么在△ABC中,已知两角及一边,运用正弦定理就可以求出AB 类型 简图 测量 两点A,B 可视,均不 可达 测量者可以在河岸选定两点C,D,测得CD=a,同时在C,D两点分别测得∠BCA=α,∠ACD=β,∠CDB=γ,∠BDA=δ.在△ADC和△BDC中,由正弦定理计算出AC和BC后,再在△ABC中,应用余弦定理计算出A,B两点间的距离 知识点二　实际测量中的高度问题 类型 简图 测量方案 底部可达 测得BC=a,∠BCA=α,AB=a·tan α 底 部 不 可 达 点B与C, D共线 测得CD=a及C与∠ADB的度数. 先由正弦定理求出AC或AD,再解直角三角形得AB的值 点B与C, D不共线 测得CD=a及∠BCD,∠BDC,∠ACB的度数.在△BCD中由正弦定理求得BC,再解直角三角形得AB的值 自主诊断 判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)在测量学中,要计算一个无法直接到达的两点A和B之间的距离,如果可以在另一点C同时看到A和B,并测量出AC,BC的长度以及∠ACB的大小,那么使用余弦定理是解决此问题的最佳方法.(　　) (2)在导航问题中,已知两个灯塔相对于船只的方位角差和船只到其中一个灯塔的距离,求船只到另一个灯塔的距离,使用正弦定理是可行的.(　　) √ √ 题型分析·能力素养提升 【题型一】测量距离与高度问题 例 1 (1)如图,某区域地面有四个5G基站,分别为A,B,C,D.已知C,D两个基站建在河的南岸,距离为20 km,基站A,B在河的北岸,测得∠ACB=60°, ∠ACD=105°,∠ADC=30°,∠ADB=60°,则A,B两个基站的距离为(　　) A.10 km B.30(-1)km C.15 km D.10 km A 解析 在△ACD中,∠CAD=180°-105°-30°=45°,由正弦定理,得,则AD= =10(+1)(km). 在△BCD中,∠BCD=∠ACD-∠ACB=45°,∠BDC=∠ADC+∠ADB=90°,所以∠CBD=45°,则BD=CD=20 km. 在△ABD中,由余弦定理可得 AB==10(km). (2)如图,一栋建筑物AB的高为10(-1)米,在该建筑物的正东方向有一个通信塔CD.在它们之间的地面点M(B,D,M三点共线)处测得楼顶A和塔顶C的仰角分别是15°和60°,在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30°,则通信塔CD的高为(　　) A.10米 B.30米 C.20米 D.60米 C 解析 依题意知,sin 15°=sin(45°-30°) =sin 45°cos 30°-cos 45°sin 30° =, 在Rt△ABM中,AM==20(米), 在△AMC中,∠AMC=180°-15°-60°=105°,∠MAC=30°+15°=45°,∠ACM=180°-105°-45°=30°.由正弦定理,得CM==40(米), 在Rt△CDM中,CD=CMsin∠CMD=40sin 60°=20(米), 所以通信塔CD的高为20米.故选C. 题后反思　1.求距离问题的注意事项 (1)选定或确定要创建的三角形,首先确定所求量所在的三角形,若其他量已知,则直接求解;若其他量未知,则把未知量放在另一确定的三角形中求解. (2)确定是正弦定理还是余弦定理,如果都可以,那么就选更便于计算的定理. 2.求解高度问题需要注意的两个方面 (1)在处理有关高度问题时,要理解仰角、俯角(在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(在水平面上所成的角)是关键. (2)在实际问题中,可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题,这时最好画两个图形,一个空间图形,一个平面图形,这样处理起来既清楚又不容易搞错. 跟踪训练1 (1)如图所示,要在两山顶M,N间建一索道,需测量两山顶M,N间的距离.现选择与山脚B,C在同一平面的点A为观测点,从A点测得M点的仰角∠MAC=60°,N点的仰角∠NAB=30°以及∠MAN=45°.若AC=100米, AB=50米,则MN=　　　　米.  100 解析 在Rt△ACM中,∠MAC=60°,AC=100米, 所以AM==200(米). 在Rt△ABN中,∠NAB=30°,AB=50米, 所以AN==100(米). 在△AMN中,∠MAN=45°,AM=200米,AN=100米. 由余弦定理,得MN2=AM2+AN2-2AN·AMcos 45° =2002+1002×2-2×200×100=1002×4+1002×2-1002×4=1002×2,所以MN=100(米).故答案为100 (2)测量河对岸的塔高AB时,可选取与塔底B在同一水平面内的两个观测点C与D,现测得∠BCD=75°,∠BDC=60°,CD=s,并在点C处测得塔顶A的仰角为30°,则塔高AB=　　　　.  s 解析 在△BCD中,∠CBD=180°-75°-60°=45°, 由正弦定理,得, 所以BC=s. 在Rt△ABC中,AB=BC·tan∠ACB=s·tan 30°=s, 故塔高AB为s. 【题型二】测量角度问题 例 2 [链接教材例2]如图所示,当甲船位于A处时,获悉在其正东方向相距20 n mile的B处有一艘渔船遇险等待营救.甲船立即前往救援,同时把消息告知在甲船南偏西30°,相距10 n mile的C处的乙船,试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援?(角度精确到1°,参考数据:sin 41°≈) 解如图所示,连接BC.在△ABC中,∠CAB=90°+30°=120°. 由余弦定理得,BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos 120°. 又AC=10 n mile,AB=20 n mile, 所以BC2=202+102-2×20×10, 所以BC=10 n mile. 由正弦定理得,sin∠ACB= 又∠ACB为锐角,所以∠ACB≈41°. 作CM⊥BA,交BA的延长线于点M, 则∠BCM=30°+∠ACB≈71°.故乙船应朝北偏东约71°的方向沿直线前往B处救援. 题后反思　测量角度问题需要注意的三个方面 (1)测量角度时,首先应明确方位角及方向角的含义; (2)求角的大小时,先在三角形中求出其正弦值或余弦值; (3)在解应用题时,要根据题意正确画出示意图,通过这一步可将实际问题转化为可用数学方法解决的问题,解题过程中也要注意体会正弦定理、余弦定理综合使用的优点. 跟踪训练2 如图,AD是某防汛抗洪大坝的坡面,大坝上有一高为20米的监测塔BD,若某科研小组在坝底A点测得∠BAD=15°,沿着坡面前进40米到达E点,测得∠BED=45°,则大坝的坡角(∠DAC)的余弦值为　　　　.  -1 解析 因为∠BAD=15°,∠BED=45°, 所以∠ABE=30°, 在△ABE中,由正弦定理得,BE=, sin 15°=sin(45°-30°)=,解得BE=20()米,在△BED中,由正弦定理得,所以sin∠BDE= -1,又∠ACD=90°,所以sin∠BDE=sin(∠DAC+90°)=cos∠DAC,即cos∠DAC=-1. 【题型三】正弦定理、余弦定理在平面几何中的运用 例 3 [链接教材例4]已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且asin2+bsin2=ccos(B+C)+. (1)求A; (2)如图所示,D在△ABC外,且AD=DC=2,若a=b,求四边形ABCD面积的最大值. 解 (1)由asin2+bsin2=ccos(B+C)+, 整理得2ccos(B+C)+acos B+bcos A=0. 由正弦定理可得,2sin Ccos(B+C)+sin Acos B+sin Bcos A=0, 所以2sin Ccos(B+C)+sin(A+B)=0,则2sin Ccos(π-A)+sin(π-C)=0, 即-2sin Ccos A+sin C=0. 因为sin C>0,所以cos A= 因为0°<A<180°,所以A=60°. (2)设∠ADC=θ,则等腰三角形ADC的面积可表示为S△ADC=AD·DCsin θ =2sin θ. 在△ADC中,由余弦定理得AC2=AD2+DC2-2AD·DCcos θ=8-8cos θ, 由(1)结合a=b知△ABC为等边三角形,得S△ABC=AC2sin 60°=2(1-cos θ),则四边形ABCD的面积S=2(1-cos θ)+2sin θ=2sin θ-2cos θ+2= 4(sin θ-cos θ)+2=4sin(θ-60°)+2, 当θ-60°=90°,即θ=150°时,S取得最大值,为4+2 跟踪训练3 已知四边形ABCD的内角A与C互补,AB=1,BC=3,CD=DA=2. (1)求C和BD; (2)求四边形ABCD的面积. 解 (1)连接BD(图略),则由题设及余弦定理得, 在△BCD中,BD2=CB2+CD2-2CB·CDcos C=13-12cos C,　① 在△ABD中,BD2=AB2+AD2-2AB·ADcos A=5-4cos A=5-4cos(π-C) =5+4cos C.　② 由①②得13-12cos C=5+4cos C,即cos C=,故C=60°,BD= (2)S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD=AB·ADsin A+CB·CDsin C =1×2×sin 120°+2×3×sin 60°=2 $