11.3 余弦定理、正弦定理的应用（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第二册（苏教版）

该高中数学课件聚焦正余弦定理的实际应用，涵盖测量距离、高度的类型及解法，结合坡角、方向角等名词定义，通过实际测量问题导入，连接已学定理，构建从理论到应用的学习支架。 其亮点在于以航海救援、汽车与快艇相遇等真实情境为典例，通过知识辨析和数学建模四步骤（审题、建模、求解、检验），发展数学眼光（抽象问题为三角形模型）、数学思维（推理计算）和数学语言（定理表达），帮助学生提升应用能力，教师可高效开展情境教学。

实际测量中的有关名词 11.3 余弦定理、正弦定理的应用 必备知识 清单破 知识点 1 名词 定义 图示 铅垂面 与水平面垂直的平面   坡角 坡面与水平面的夹角   坡比 坡面的垂直高度与水平宽度 之比   第11章　解三角形 高中同步 视角 观察物体时,从物体两端(上 下或左右)引出的光线在人眼 光心处形成的角   仰角 在同一铅垂面内,视线在水平 线上方时与水平线的夹角   俯角 在同一铅垂面内,视线在水平 线下方时与水平线的夹角   第11章　解三角形 高中同步 方向角 指定方向线与目标方向线所 成的角(指定方向线一般指正 北或正南方向线,方向角小于 90°)   方位角 从指北方向线顺时针转到目 标方向线形成的角   第11章　解三角形 高中同步 测量距离的类型及解法 知识点 2 类型 图形 解法 A,B两点间不可达又不可视   测出两边及其夹角:BC=a,AC =b,角C,运用余弦定理得AB=   A,B两点间可视但不可达(如 人与点B在河的同侧,点A在 河的另一侧)   测出两角及其夹边:BC =a,B,C,根据正弦定理得  = = =  = ,则AB=   第11章　解三角形 高中同步 A,B两点都不可达(如点A与B 在河的同侧,人在河的另一 侧)   先在△ADC和△BDC中分别 求出AD,BD(或AC,BC)的长, 再在△ABD(或△ABC)中运 用余弦定理求解. 在△ADC中,由正弦定理可得 AD= . 在△BDC中,由正弦定理可得 BD= . 在△ABD中,由余弦定理可得 AB=   第11章　解三角形 高中同步 测量高度的类型及解法 知识点 3 类型 图形 解法 底部可达   利用直角三角形的边角关系求解,则AB=atan C 底部 不可达   在直角三角形ABD中,BD= ,在直角三角形ABC 中,BC= ,则a=CD=BC-BD= - , ∴AB=     在△BCD中,BC= ,∵AB⊥CD,∴∠CAB= -∠ACD,∴在△ABC中,AB= = , ∴AB=  第11章　解三角形 高中同步 知识辨析 1.在方向角中,始边一定是正南或正北方向线,旋转方向一定是顺时针吗? 2.在仰角或俯角中,视线与水平线的关系实质是斜线与斜线在水平面内射影的关系吗? 3.若A在B的北偏东44°方向上,则B在A的东偏北44°方向上吗? 第11章　解三角形 高中同步 一语破的 1.不一定.方向角是从正南或正北方向到目标方向所形成的小于90°的角,旋转方向可以是顺 时针,也可以是逆时针. 2.是. 3.不是.B在A的南偏西44°方向上. 第11章　解三角形 高中同步 关键能力 定点破 定 点 用正、余弦定理解决实际应用问题 　　用正、余弦定理解决实际应用问题时,需把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的 已知和未知的边、角,通过建立数学模型来求解.具体步骤如下: 第11章　解三角形 高中同步 典例1 如图,A,B是海面上位于东西方向相距5(3+ )海里的两个观测点,现位于A点北偏东45° 方向,B点北偏西60°方向的D点有一艘轮船发出求救信号,位于B点南偏西60°方向且与B点相 距20 海里的C点的救援船立即前往营救,其航行速度为30海里/时,该救援船到达D点需要 多长时间?   第11章　解三角形 高中同步 解析    由题意知AB=5(3+ )海里,∠DBA=90°-60°=30°,∠DAB=45°,∴∠ADB=105°. 在△DAB中,由正弦定理得 = , ∴DB= =  =  = =10 (海里). 又∠DBC=∠DBA+∠ABC=30°+(90°-60°)=60°,BC=20 海里, ∴在△DBC中,由余弦定理得CD2=BD2+BC2-2BD·BC·cos∠DBC=300+1 200-2×10 ×20 ×  =900,∴CD=30海里, ∴该救援船到达D点需要的时间为 =1小时. 第11章　解三角形 高中同步 典例2 如图,一辆汽车从A市出发,沿海岸一条笔直公路以100 km/h的速度向东匀速行驶,汽车 开动时,在A市南偏东方向距A市5 km且距海岸3 km的海上的B处有一艘快艇与汽车同时出 发,要把一份文件交给这辆汽车的司机. (1)快艇至少以多大的速度行驶才能把文件送到司机手中? (2)求快艇以最小速度行驶时的行驶方向与AB所成角的大小; (3)若快艇每小时最快行驶75 km,则快艇应如何行驶才能尽快把文件交到司机手中?最快需 要多长时间?   第11章　解三角形 高中同步 解析    如图①所示,设快艇以v km/h的速度从B处出发,沿BC方向行驶,t h后与汽车在C处相 遇.   (1)易知AB=5 km,AC=100t km,BC=vt km,BD=3 km. 设∠BAC=α,则sin α= ,cos α= . 由余弦定理,得BC2=AC2+AB2-2AB·ACcos α, 即v2t2=(100t)2+52-2×5×100t× , 第11章　解三角形 高中同步 整理,得v2= - +10 000 =25 +10 000-6 400 =25 +3 600. 当 =16,即t= 时,(v2)min=3 600, ∴vmin=60. 故快艇至少以60 km/h的速度行驶才能把文件送到司机手中. (2)当v=60 km/h时,AC=100× =6.25(km),BC=60× =3.75(km). 由余弦定理,得cos∠ABC= = =0,∴∠ABC=90°. 故快艇以最小速度行驶时的行驶方向与AB所成的角为90°. 第11章　解三角形 高中同步 (3)如图②所示,设快艇以75 km/h的速度沿BE行驶,t1 h后与汽车在E处相遇.   在△ABE中,AB=5 km,AE=100t1 km,BE=75t1 km,cos∠BAE= , 由余弦定理,得(75t1)2=52+(100t1)2-2×5×100t1× , 整理,得175 -32t1+1=0, 解得t1= 或t1= (舍去), ∴当t1= 时,AE=4 km,BE=3 km, 第11章　解三角形 高中同步 ∴AB2=AE2+BE2, ∴快艇应垂直于海岸向北行驶才能尽快把文件交到司机手中,最快需要  h. 第11章　解三角形 高中同步 素养解读 　　解三角形源于测量,即将现实生活中的测量问题抽象为解三角形的数学模型,通过解三 角形找到测量问题的解决方法,最后回到现实中去.具体表现为:①明确问题,进行数据分析,抓 住长度和角度数据;②掌握对象的图形特点;③抽象出数学示意图;④在三角形中利用相关知 识(正、余弦定理,三角函数的定义等)求解;⑤回归问题,把求出的解叙述为实际问题. 在三角测量问题中发展数学建模的核心素养 学科素养 情境破 素养 第11章　解三角形 高中同步 典例呈现 例题　魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作,其中第一题是测量海岛的 高.如图,点E,H,G在水平线AC上,DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆,其高度称 为“表高”,EG称为“表距”,GC和EH都称为“表目距”,GC与EH的差称为“表目距的 差”,则海岛的高AB= (　    )   A A. +表高　　　    B. -表高 C. +表距　　　    D. -表距 第11章　解三角形 高中同步 主编点评    本题是关于测量的问题,分析题意,抓住关键信息,通过作辅助线构造三角形,进而 抽象为解三角形问题,在三角形中选择合适的参数将所求量与已知的三个量联系起来,再结 合三角函数的定义求解. 第11章　解三角形 高中同步 解题思路    连接FD并延长,交AB于点M,则AB=AM+BM,MF∥AC. 设∠BDM=α,∠BFM=β, 则 - =MF-MD=DF. 又tan β= ,tan α= , 所以 - =MB· =MB· , 因为GF=ED,所以 - = , 所以 - =MB· =DF, 又易知DF=EG,所以MB= = = , 第11章　解三角形 高中同步 所以海岛的高AB= +表高.   第11章　解三角形 高中同步 思维升华 　　解三角形问题是一种重要的数学模型,处理解三角形相关的实际问题的思路是:分析数 据关系,画出相应的示意图,构建三角形模型,最后运用三角形知识解决问题.另外,从实际测量 问题中抽象出数学问题,除了正、余弦定理可作为解决手段之外,还有向量可作为有效工具. 第11章　解三角形 高中同步 $