精品解析：河北沧州市沧衡八县联考2025-2026学年高二下学期5月期中考试数学试题

机密★启用前 河北5月高二期中考试 数学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，请将答题卡上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 河北人文厚重，山水壮美，拥有众多5A景区和世界文化遗产，甲、乙、丙三人计划暑假去河北旅游，每人从承德避暑山庄、白洋淀景区、白石山景区、野三坡景区、南湖·开滦旅游景区这5个景点中随机任选1个去游玩，则不同的选择方法种数为（ ） A. 125 B. 60 C. 25 D. 10 2. 已知随机变量X的分布列为： X 1 2 3 4 P 则（ ） A. B. C. D. 3. 已知随机变量X服从正态分布，若，，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 4. 一个不透明的盒子中有质地、大小均相同的10个小球，其中有5个红球，3个白球，2个黑球，现采取不放回的方式每次从盒中随机抽取一个小球，则第二次抽到红球的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 6. 从含甲的5名候选人中选派出3人参加A，B，C三项活动，且每项活动有且仅有1人参加，若选派甲，则甲只参加A项活动，则不同的选派方案有（ ） A. 6种 B. 10种 C. 12种 D. 36种 7. 为了解喜爱钓鱼是否与性别有关，某同学随机在人群中抽取了若干人进行调查，抽取男性人数与女性人数相同，男性喜爱钓鱼的人数占男性人数的，女性喜爱钓鱼的人数占女性人数的，若有的把握认为是否喜爱钓鱼与性别有关，则被调查的男性中不喜爱钓鱼的至少有（ ） 附：，其中． A. 人 B. 人 C. 人 D. 人 8. 将个编号为的小球放入个编号为的盒子中，若一个球的号码与放入该球的盒子的号码恰好相同，我们称之为一个“完美归位”，设“完美归位”的个数为，则 （ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列结论中正确的是（ ） A. 在回归模型中，决定系数越大，则模型的拟合效果越好 B. 根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到 ，根据小概率值的独立性检验（ ），可判断X与Y有关联，且此时推断犯错误的概率不大于 C. 具有线性相关关系的变量，其经验回归方程为，若样本点中心为，则 D. 若一组样本数据的对应样本点都在直线 上，则这组样本数据的相关系数为 10. 已知2≤m＜n，，则下列排列组合数关系式正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知一个袋子中放有个不同的红球和个不同的黄球，现从中逐个摸取个小球．方案一：有放回地摸球，记取得红球个数为；方案二：不放回地摸球，记取得红球个数为．下列说法中，正确的有（ ） A. B. C. ，其中 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 下列关系中，属于相关关系的是______（填序号）． ①球的体积与该球的半径之间的关系； ②农作物的产量与施肥量之间的关系； ③一般情况下，一个人的身高和体重之间的关系． 13. 已知随机变量X，Y满足，且，，则______． 14. 在的展开式中任取其中1项，若取到的项中的x的指数是2，则取到的项中的y的指数大于等于2的概率是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 新型模型是近年来针对数据降噪任务研发的算法工具，通过创新神经网络结构，优化传统模型难以处理的高噪声数据．实验人员用含噪声的图像数据对一种新型降噪模型进行实验，对使用该模型后，图像中的噪声残留量y（单位：个/像素）进行检测，统计得到下表： 第x轮迭代 1 2 3 4 5 噪声残留量y（个/像素） 67 57 50 42 34 并计算得：． （1）计算变量x（迭代轮数）和变量y（噪声残留量）的样本相关系数r（r的值精确到0.001）； （2）若图像中的噪声残留量不高于10个/像素，则说明数据降噪完成．用最小二乘法求y关于x的经验回归方程，并预测该模型至少需要迭代多少轮才可以完成降噪？ 参考数据及公式：样本数据的相关系数，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计值分别为：，，． 16. 已知甲、乙、丙等6位同学站成一排照相． （1）若甲、乙2位同学站在两端，有多少种排法？ （2）若甲、乙必须相邻，且都不与丙相邻，有多少种排法？ （3）若甲站在乙的左边，乙站在丙的左边（其中甲、乙与乙、丙都不一定相邻），有多少种排法？（最后结果都用数字作答） 17. 已知． （1）求； （2）求； （3）求． 18. 某医院一科室共有包括甲、乙、丙在内的7名医生，其中男医生4人，女医生3人，现从中任选3名医生参加义诊． （1）求医生甲、乙、丙3人中至少有1人被选中的概率； （2）设选中的女医生人数为X，求X的分布列和数学期望； （3）已知甲为男医生，设“男医生甲被选中”为事件A，“至多有m名女医生被选中”（）为事件B（当时，事件B即为“没有女医生被选中”），若，求的最小值． 19. 某小区内有两家超市A，B．小区的居民经常去这两家超市购物，经过一段时间的统计发现，第i天选择超市A的居民第（i＋1）天选择超市A和超市B的概率均为；第i天选择超市B的居民第（i＋1）天选择超市A和超市B的概率分别为和．已知居民第1天选择超市A的概率为，选择超市B的概率为． （1）求居民第2天选择超市A购物的概率； （2）若有3位居民第1天和第2天都去购物（3位居民的选择互不影响），记第2天选择超市A购物的人数为X，求X的分布列及数学期望； （3）若某居民每天都去超市购物，记第n天选择超市A的概率为，且有，数列的前n项和为，求出，并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 机密★启用前 河北5月高二期中考试 数学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，请将答题卡上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 河北人文厚重，山水壮美，拥有众多5A景区和世界文化遗产，甲、乙、丙三人计划暑假去河北旅游，每人从承德避暑山庄、白洋淀景区、白石山景区、野三坡景区、南湖·开滦旅游景区这5个景点中随机任选1个去游玩，则不同的选择方法种数为（ ） A. 125 B. 60 C. 25 D. 10 【答案】A 【解析】 【详解】因为从5个景点中任选一个，每人均有5种独立选法， 所以共有种不同的选法． 2. 已知随机变量X的分布列为： X 1 2 3 4 P 则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由随机变量分布列性质得：，解得， 所以． 3. 已知随机变量X服从正态分布，若，，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【详解】因为X服从正态分布，所以正态曲线关于对称， 又因为，则， 且，即， 可知a与3是关于对称的，所以． 4. 一个不透明的盒子中有质地、大小均相同的10个小球，其中有5个红球，3个白球，2个黑球，现采取不放回的方式每次从盒中随机抽取一个小球，则第二次抽到红球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】设第一次抽到红球为事件，第二次抽到红球为事件，第一次抽到白球为事件，第一次抽到黑球为事件， 则，，，，， 所以． 5. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为 所以． 6. 从含甲的5名候选人中选派出3人参加A，B，C三项活动，且每项活动有且仅有1人参加，若选派甲，则甲只参加A项活动，则不同的选派方案有（ ） A. 6种 B. 10种 C. 12种 D. 36种 【答案】D 【解析】 【分析】分类讨论甲是否参加活动，再根据特殊元素法结合排列数分析求解即可. 【详解】当甲参加活动时，因为甲只参加A项活动， 先把甲安排到A项活动，然后再从剩下的4人中任选2人，再安排到B，C两项活动， 共有种方案； 当甲不参加活动时，因为其他人都没有要求， 先从剩下的4人中任选3人，然后再安排到A，B，C三项活动中， 共有种方案； 由加法计数原理，共有种方案． 7. 为了解喜爱钓鱼是否与性别有关，某同学随机在人群中抽取了若干人进行调查，抽取男性人数与女性人数相同，男性喜爱钓鱼的人数占男性人数的，女性喜爱钓鱼的人数占女性人数的，若有的把握认为是否喜爱钓鱼与性别有关，则被调查的男性中不喜爱钓鱼的至少有（ ） 附：，其中． A. 人 B. 人 C. 人 D. 人 【答案】C 【解析】 【分析】设被调查的男性有人，则女性有人，列出列联表，根据独立性检验的基本思想可得出关于的不等式，结合可得出的值，即可得出被调查的男性中不喜爱钓鱼的人数至少为. 【详解】设被调查的男性有人，则女性有人，根据题意，可得列联表如下： 钓鱼 性别 男性 女性 总计 喜爱钓鱼 不喜爱钓鱼 总计 则， 本次调查得出“有的把握认为是否喜爱钓鱼与性别有关”的结论， 可得 ，解得 ， 又因为列联表中相关人数需为整数，则， 所以，被调查的男性中不喜爱钓鱼的至少有人． 8. 将个编号为的小球放入个编号为的盒子中，若一个球的号码与放入该球的盒子的号码恰好相同，我们称之为一个“完美归位”，设“完美归位”的个数为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意得，的可能取值为，分别计算其概率，然后利用方差的公式计算即可. 【详解】的可能取值为， ，， ，， 所以 ， 则 ， 所以 ，故D正确． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列结论中正确的是（ ） A. 在回归模型中，决定系数越大，则模型的拟合效果越好 B. 根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验（ ），可判断X与Y有关联，且此时推断犯错误的概率不大于 C. 具有线性相关关系的变量，其经验回归方程为，若样本点中心为，则 D. 若一组样本数据的对应样本点都在直线 上，则这组样本数据的相关系数为 【答案】AC 【解析】 【详解】对于A选项，决定系数越大，模型的拟合效果越好，故A正确； 对于B选项，，故不能在的小概率值下判断与有关联，故B错误； 对于C选项，经验回归方程过样本中心点，将代入得 ，解得，故C正确； 对于D选项，样本点都在直线 上，则完全正相关，所以相关系数为，D项错误．故选AC． 10. 已知2≤m＜n，，则下列排列组合数关系式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【详解】对于A，，，，A错误； 对于B，，，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，，D错误． 11. 已知一个袋子中放有个不同的红球和个不同的黄球，现从中逐个摸取个小球．方案一：有放回地摸球，记取得红球个数为；方案二：不放回地摸球，记取得红球个数为．下列说法中，正确的有（ ） A. B. C. ，其中 D. 【答案】AD 【解析】 【详解】方案一中，有放回地摸球，每次取到红球的概率为， 摸次球，则取得红球个数， ∴，； 方案二中，不放回地摸球，取得红球个数服从超几何分布， 则，， 所以，，故A，D正确； 当时， ， ，即，故C错误； ， ∵ ，； ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 故，故B错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 下列关系中，属于相关关系的是______（填序号）． ①球的体积与该球的半径之间的关系； ②农作物的产量与施肥量之间的关系； ③一般情况下，一个人的身高和体重之间的关系． 【答案】②③ 【解析】 【详解】在①中，球的体积与该球的半径之间是函数关系，不是相关关系； 在②中，农作物的产量与施肥量之间不具有严格的函数关系，但具有相关关系； 在③中，一般情况下，一个人的身高和体重是正相关关系． 13. 已知随机变量X，Y满足，且，，则______． 【答案】8 【解析】 【分析】根据二项分布的概率公式可得，进而可得，结合方差的性质运算求解即可. 【详解】因为，则， 即，且，解得， 则，可得， 又因为，所以． 14. 在的展开式中任取其中1项，若取到的项中的x的指数是2，则取到的项中的y的指数大于等于2的概率是______． 【答案】 【解析】 【详解】的展开式每一项的形式如：，其中a为该项的系数， ，且 ①， 所以此方程共有＝66组自然数解，即的展开式共有66项； 若m＝2时，即n＋p＝8②，所以此方程②共有组自然数解； 若再有n≥2，则方程②有＝7组解．设为“取到的项中的x的指数是2”，为“取到的项中的y的指数大于等于2”， 则，，所以． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 新型模型是近年来针对数据降噪任务研发的算法工具，通过创新神经网络结构，优化传统模型难以处理的高噪声数据．实验人员用含噪声的图像数据对一种新型降噪模型进行实验，对使用该模型后，图像中的噪声残留量y（单位：个/像素）进行检测，统计得到下表： 第x轮迭代 1 2 3 4 5 噪声残留量y（个/像素） 67 57 50 42 34 并计算得：． （1）计算变量x（迭代轮数）和变量y（噪声残留量）的样本相关系数r（r的值精确到0.001）； （2）若图像中的噪声残留量不高于10个/像素，则说明数据降噪完成．用最小二乘法求y关于x的经验回归方程，并预测该模型至少需要迭代多少轮才可以完成降噪？ 参考数据及公式：样本数据的相关系数，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计值分别为：，，． 【答案】（1） （2） ，8 【解析】 【小问1详解】 由题可得：， ， 样本相关系数 ； 【小问2详解】 噪声残留量y的取值为67，57，50，42，34， 所以， 根据题意可得 ， 所以y关于x的经验回归方程为， 要使图象中的噪声残留量不高于10个/像素，则， 即，所以该AI模型至少需要迭代8轮才可以完成降噪． 16. 已知甲、乙、丙等6位同学站成一排照相． （1）若甲、乙2位同学站在两端，有多少种排法？ （2）若甲、乙必须相邻，且都不与丙相邻，有多少种排法？ （3）若甲站在乙的左边，乙站在丙的左边（其中甲、乙与乙、丙都不一定相邻），有多少种排法？（最后结果都用数字作答） 【答案】（1）48 （2）144 （3）120 【解析】 【小问1详解】 第1步：先安排甲、乙2人，有种方法， 第2步：再安排余下的4人，有种方法，所以共有种方法； 【小问2详解】 第1步：先排余下的3人，有种方法； 第2步：捆绑插空．产生了4个空位，将甲、乙2位同学捆绑在一起，看成一个元素，再与丙插到4个空位中的2个空位，有种方法； 第3步：松绑．将甲、乙2位同学松绑，甲、乙2位同学内部再全排列，有种方法； 所以共有种方法； 【小问3详解】 第1步：先从6个位置中任取3个位置，有种方法， 第2步：把甲、乙、丙这3人安排到这3个位置中去，因为这3个人顺序一定，所以只有一种方法； 第3步：将剩下的3个人安排到剩下的3个位置，共有种方法， 所以共有＝20×6＝120种方法． 17. 已知． （1）求； （2）求； （3）求． 【答案】（1）8 （2）－2 （3）－64 【解析】 【小问1详解】 令，则，则原式转化为， 则，所以； 【小问2详解】 令，得， 令，得，所以＝－2； 【小问3详解】 由（2）得：①， 令，得：②， ①＋②得：，即＝8， ①－②得：，即＝－8， 所以. 18. 某医院一科室共有包括甲、乙、丙在内的7名医生，其中男医生4人，女医生3人，现从中任选3名医生参加义诊． （1）求医生甲、乙、丙3人中至少有1人被选中的概率； （2）设选中的女医生人数为X，求X的分布列和数学期望； （3）已知甲为男医生，设“男医生甲被选中”为事件A，“至多有m名女医生被选中”（）为事件B（当时，事件B即为“没有女医生被选中”），若，求的最小值． 【答案】（1） （2）分布列见解析，数学期望为 （3）2 【解析】 【分析】（1）利用对立事件概率计算公式求得正确答案. （2）利用超几何分布的分布列求法求得分布列并计算出数学期望. （3）对进行分类讨论，结合条件概率计算公式求得正确答案. 【小问1详解】 医生甲、乙、丙3人均未被选中的概率为， 所以医生甲、乙、丙3人至少有1人被选中的概率为； 【小问2详解】 X的可能取值为0，1，2，3，从7人中任选3人，共有＝35种选法， ，， ，， 则X的分布列为： X 0 1 2 3 P 所以； 【小问3详解】 当时，，， ； 当时，，， ； 当时，，， ， 当时，，， ，故m的最小值为2． 19. 某小区内有两家超市A，B．小区的居民经常去这两家超市购物，经过一段时间的统计发现，第i天选择超市A的居民第（i＋1）天选择超市A和超市B的概率均为；第i天选择超市B的居民第（i＋1）天选择超市A和超市B的概率分别为和．已知居民第1天选择超市A的概率为，选择超市B的概率为． （1）求居民第2天选择超市A购物的概率； （2）若有3位居民第1天和第2天都去购物（3位居民的选择互不影响），记第2天选择超市A购物的人数为X，求X的分布列及数学期望； （3）若某居民每天都去超市购物，记第n天选择超市A的概率为，且有，数列的前n项和为，求出，并证明． 【答案】（1） （2）分布列 X 0 1 2 3 P ，数学期望为 （3），证明见解析 【解析】 【小问1详解】 记小区居民第天选择超市A，B分别为事件． 根据题意，， 则， 所以由全概率公式，得居民第2天选择超市A购物的概率为； 【小问2详解】 记第2天选择超市A购物的人数为X，X的可能取值为0，1，2，3，则由（1）得， 则，， ，， 则X的分布列为： 0 1 2 3 故X的数学期望为； 【小问3详解】 当第n天选择超市A时，第天选择超市A的概率为， 当第n天选择超市B时，第天选择超市A的概率为， 所以．由此可得， 又，于是数列是首项为，公比为的等比数列． 因此，所以． 所以， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $