精品解析：河北石家庄精英中学2025～2026学年第二学期第一次调研考试高二数学

石家庄精英中学2025~2026学年第二学期第一次调研考试 高二数学 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3．非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 函数在区间上的平均变化率为（ ） A. 1 B. C. D. 2. 若曲线在处的切线与直线垂直，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 3. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 1 5. 若和是函数的两个极值点，则（ ） A. B. C. D. 6. 曲线上的点到直线的最短距离为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，若且，都有，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 若函数在区间存在最大值与最小值，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图是函数的导函数的图像，下列说法正确的是（ ） A. 函数在区间上单调递增 B. 函数在区间上单调递减 C. 函数在处取得极大值 D. 函数有两个极小值点 10. 已知定义域为的函数的导函数为，且有，则下列正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 时，是函数的极小值点 B. 若，则函数的图像关于点对称 C. 当或时，函数有且仅有3个零点 D. 若函数有3个零点，则实数a的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则__________． 13. 已知函数在时取得极大值，则的极小值为__________． 14. 若存在实数a，b，使直线是函数和函数的公切线（其中e为自然对数的底数），则实数a的最小值是__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字声明、证明过程及演算步骤. 15. 某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料．瓶子的制造成本是分，其中r（单位：cm）是瓶子的半径．已知每出售1mL的饮料(忽略瓶壁厚度），制造商可获利1分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为3cm． （1）瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？ （2）瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？ 16. 已知函数． （1）求曲线经过点的切线方程； （2）若曲线在点处的切线的倾斜角的取值范围为，求实数a的取值范围． 17. 已知函数． （1）若函数在区间上存在单调递增区间，求实数a的取值范围； （2）当时，函数在区间上的最小值为，求a的值． 18. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若有两个零点，求实数a的取值范围． 19. 已知函数，． （1）若是函数的极值点，求函数的单调区间； （2）当时，证明：； （3）当时，若恒成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 石家庄精英中学2025~2026学年第二学期第一次调研考试 高二数学 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3．非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 函数在区间上的平均变化率为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由平均变化率的定义即可求解． 【详解】函数在区间上的平均变化率为． 故选：C 2. 若曲线在处的切线与直线垂直，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】由导数的几何意义求解即可． 【详解】因为曲线在处的切线与直线垂直， 所以，由，有，得． 3. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】令，可得：当时，，当时，， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为， 当时，恒成立，又， 可知函数仅有一个零点，即B选项正确． 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【详解】由，可得． 5. 若和是函数的两个极值点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用极值点的性质列出方程得到参数值求解即可. 【详解】由， 因为和是的极值点，所以是方程的两个实根. 由韦达定理得，解得， 此时, 当或时，,时，, 故为的极大值点，为的极小值点， 故． 6. 曲线上的点到直线的最短距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】曲线上的点到直线的最短距离为曲线上平行于直线的切线与该直线间的距离， 即相应切点到直线的距离. 由，得，所以直线的斜率为. 由，得. 令，可得， 又，所以曲线上平行于直线的切线相应的切点为. 因为点到直线的距离为， 所以曲线上的点到直线的最短距离为. 7. 已知函数，若且，都有，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】不妨设，构造函数，可得其单调性，根据在R上恒成立求解. 【详解】不妨设，由可得， 即， 则函数在R上单调递增， 则在R上恒成立， 故，可得． 故实数m的取值范围为. 8. 若函数在区间存在最大值与最小值，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由， 当或时；当时 则的单调递减区间为，单调递增区间为， 又由， 结合函数在区间存在最大值与最小值, 有,解得， 故实数m的取值范围为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图是函数的导函数的图像，下列说法正确的是（ ） A. 函数在区间上单调递增 B. 函数在区间上单调递减 C. 函数在处取得极大值 D. 函数有两个极小值点 【答案】ACD 【解析】 【详解】由导函数的图象可知函数的单调递减区间为，单调递增区间为， 所以函数在处取得极小值，在处取得极大值，在处取得极小值， 可知A、C、D选项正确，B选项错误． 10. 已知定义域为的函数的导函数为，且有，则下列正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】令，可得在上单调递增，取自变量的值可得结果. 【详解】令，由，可得函数在上单调递增． 由，有，有，可得，故A正确，B错误； 又由，有，有，可得，故C正确，D错误. 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 时，是函数的极小值点 B. 若，则函数的图像关于点对称 C. 当或时，函数有且仅有3个零点 D. 若函数有3个零点，则实数a的取值范围为 【答案】BCD 【解析】 【分析】先对函数求导，根据导数性质分析函数单调性，极值点，零点情况，再通过构造新函数研究方程零点问题. 【详解】由题意可得：， 令，解得：或， 当时，，函数在R上单调递增， 当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为，， 当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为，， 对于A选项，当时，由函数在区间上单调递增， 在区间上单调递减，可得是函数的极大值点，故A选项错误， 对于B选项，若，，有， 有， 可得函数的图象关于点对称，故B选项正确， 对于C选项，当时，有， 可知函数的单调递减区间为，单调递增区间为，， 又由，，可得函数有3个零点， 当时，有，可知函数的单调递减区间为，单调递增区间为，， 又由，，可得函数有3个零点，故C选项正确， 对于D 选项，， 令，有，令，有， 令，解得：，， 可得函数的单调递增区间为，，单调递减区间为， 当时，，当时，， 又由，，可得若函数有3个零点， 有，可得，故D选项正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则__________． 【答案】0.5## 【解析】 【详解】由可得， 可得． 13. 已知函数在时取得极大值，则的极小值为__________． 【答案】0 【解析】 【分析】对函数求导，根据极大值求出的值，然后求出极小值即可. 【详解】由， 由，有，可得或6． 当时，， 当或时，;当时，, 可得函数的单调递减区间为，单调递增区间为，， 可得是函数的极小值点，不合题意； 当时，， 同理可得函数的单调递减区间为，单调递增区间为，， 可得是函数的极大值点，符合题意． 可得的极小值为． 14. 若存在实数a，b，使直线是函数和函数的公切线（其中e为自然对数的底数），则实数a的最小值是__________． 【答案】4 【解析】 【分析】根据和的图象分析并构造函数利用导数求其最值即得. 【详解】分别作出和的图象， 由题意可知，若，可得， 即有，由，当且仅当时，取得最小值4， 由的导数为，令，得，令，得， 所以在处取得极大值，且为最大值4， 可得的最小值为4． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字声明、证明过程及演算步骤. 15. 某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料．瓶子的制造成本是分，其中r（单位：cm）是瓶子的半径．已知每出售1mL的饮料(忽略瓶壁厚度），制造商可获利1分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为3cm． （1）瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？ （2）瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？ 【答案】（1）3 cm （2）1 cm 【解析】 【分析】（1）由题意建立利润与半径间的函数关系，利用导数分析其单调性，可得利润最大时的半径； （2）由（1）可知利润最小时的半径. 【小问1详解】 由题意可知，记每瓶饮料的利润是，则. 所以，令，解得； 当时，；当时，. 因此，在上单调递减，在上单调递增. 又当时，；. 所以当半径为3 cm时，利润最大，最大利润为分. 【小问2详解】 由（1）知，在上单调递减，在上单调递增. 所以当半径为1 cm时，利润最小，此时，表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润是负值. 16. 已知函数． （1）求曲线经过点的切线方程； （2）若曲线在点处的切线的倾斜角的取值范围为，求实数a的取值范围． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）求导，利用导数的几何意义得出斜率，列出切线方程，代入点，解方程求出参数，进而得出切线方程； （2）根据已知条件列不等式，解不等式求实数a的取值范围． 【小问1详解】 设切点的坐标为， 由，可得过点Q的切线方程为, 代入点坐标有:， 整理得：， 因式分解得：，解得或， 当时，切线方程为，即； 当时，切线方程为，即； 故曲线经过点的切线方程为：或． 【小问2详解】 已知点处的切线的倾斜角的取值范围为， ，即， 解得或， 实数a的取值范围为． 17. 已知函数． （1）若函数在区间上存在单调递增区间，求实数a的取值范围； （2）当时，函数在区间上的最小值为，求a的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知得出当时，有解，进而求解即可； （2）由导数分析得出函数在的单调性及最小值，列出方程即可求解． 【小问1详解】 ， 若在区间上存在单调递增区间， 可得当时，有解，即在有解， 因为当时，函数， 所以． 【小问2详解】 令，即， 因为当时，一元二次方程的根的判别式， 所以一元二次方程有两个不相等的实数根，分别设为， 又由，可得， 又由及，可得， 所以和时，，当时，， 可得函数的单调递减区间为，单调递增区间为， 可得函数在区间上单调递增，在区间上单调递减， 又由，且函数在区间上的最小值为， 所以，可得． 18. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若有两个零点，求实数a的取值范围． 【答案】（1）时，函数在上单调递减； 时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为． （2） 【解析】 【分析】（1）求导，根据分情况讨论，利用导数分析函数单调性； （2）根据分情况讨论，利用导数研究单调性，结合零点存在性定理及的零点个数求解实数a的取值范围． 【小问1详解】 （1）函数的定义域为， 由， ①当时，恒成立，可得函数在上单调递减， ②当时，令，可得，令，可得， 函数的单调递增区间为，单调递减区间为； 综上，时，函数在上单调递减； 时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为． 【小问2详解】 ①当时，函数在上单调递减，最多只有一个零点，不合题意； ②当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为； 若函数有两个零点， 必有， 设函数，求导得， 在上单调递增，且， 当时，，，即； 又当时，，故； 当时，，故； 在和各有一个零点，共2个； 当时，，，此时只有一个零点， 不合题意； 当时，，即， 故无零点，不符合题意； 综上，若函数有两个零点，可得实数a的取值范围为． 19. 已知函数，． （1）若是函数的极值点，求函数的单调区间； （2）当时，证明：； （3）当时，若恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）的单调递减区间为，单调递增区间为 （2）当时，，不等式可化为. ①当时，，可得不等式恒成立； ②当时，令，有， 设，在时，， 则在单调递增，， 即不等式恒成立； 同理令，当时，，恒成立， 所以，则， 可得函数在上单调递增，可得，可得， 由①②知，当时，不等式成立. （3） 【解析】 【小问1详解】 由，有，可得. 当时，， 由于函数在上单调递增，且， 可得当时；当时，． 可得函数的单调递减区间为，单调递增区间为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 当时，恒成立可化为， 令，有， 令， ①当时，，函数单调递增，且，可得， 可得函数单调递增，又由，可得. ②当时，，由，令，可得 （i）当时，，函数单调递增， 又由，可得， 可得函数单调递增，又由，可得. （ⅱ）当时，，可得函数的单调递减区间为，单调递增区间为． 又由，可得当时，，可得函数单调递减，又由，可得当时，，不合题意. 综上知，若当时，恒成立，则实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $