精品解析：广东茂名市田家炳中学2025-2026学年高一第二学期期中考试数学试题

茂名市田家炳中学2025—2026学年第二学期高一级期中考试 数学试卷 本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由交集的定义即可求解. 【详解】由，， 则. 2. 若，是平面内的一组基底，则下面的四组向量中不能作为一组基底的是（  ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】B 【解析】 【详解】因为向量，是平面内的一组基底，可得向量，为平面内不共线的向量， 对于A中，设，可得，此时方程组无解， 所以向量和不共线，可以作为平面的一组基底； 对于B中，设，可得，解得， 所以向量和为共线向量，不能作为平面的一组基底； 对于C中，设，可得，此时方程组无解， 所以向量和不共线，可以作为平面的一组基底； 对于D中，设，可得，此时方程组无解， 所以向量和不共线，可以作为平面的一组基底. 3. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，，，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【详解】由正弦定理可得， 且，则 ,故 或 . 4. 已知某圆锥的底面积为，轴截面为等边三角形，则该圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆锥的底面积求出底面半径，再由轴截面为等边三角形求得圆锥的母线长，再代入圆锥的侧面积公式求解. 【详解】因为底面积为，所以圆锥的底面半径为2，轴截面为等边三角形， 所以该圆锥的母线长为4， 所以. 5. 已知，，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由对数函数的性质可得，由幂函数的性质可得，由三角函数的性质可得，即可得答案. 【详解】因为，，， 所以. 6. 已知函数是上的减函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分段函数单调递减则各段均为递减函数，且左边函数的右端点值不小于右边函数的左端点值，由此建立不等式，求得的取值范围. 【详解】为上的减函数， 时，单调递减，即，则； 时，单调递减，即， 且，即. 综上，的取值范围是， 故选：D. 7. 把函数的图象向左平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变.得到函数的图象，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】向左平移​个单位，原函数，左移对加，得  横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得  8. 已知函数在区间上单调递增，且在区间上只取得一次最大值，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用正弦函数的单调性推得；再利用正弦函数的最大值推得，从而得解. 【详解】因为函数在上单调递增， 由，， 所以且，解得且，所以； 又因为在区间上只取得一次最大值， 即时，； 所以，解得； 综上，，即的取值范围是． 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 B. 函数在区间上存在零点 C. 不等式对一切实数恒成立的充要条件是 D. 若，，，则的最小值为4 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A ，根据复合函数定义域 “内层函数的值域等于外层函数的定义域”，由的定义域列不等式求解的定义域；对B ，利用零点存在性定理，通过判断连续函数 在区间端点处函数值的符号，证明区间内存在零点；对C，由一元二次不等式恒成立问题，结合二次函数图像性质，通过判别式求解参数的取值范围；对D ，利用 “1 的代换” 构造可应用基本不等式的形式，通过均值不等式求的最小值. 【详解】对于A：由的定义域为， 对应，令，得，则的定义域为，A正确； 对于B：因为函数在上连续，且，， 则，根据零点存在性定理， 函数在区间上存在零点，B正确； 对于C：由对一切实数恒成立， 则，解得，C错误； 对于D：由，，， 则， 当且仅当，即时等号成立， 则的最小值为4，D正确. 10. 已知函数（，，）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的最小正周期是 B. 点是函数图象的一个对称中心 C. 直线是函数图象的一条对称轴 D. 函数在区间单调递增 【答案】ACD 【解析】 【分析】先通过五点作图法可得函数解析式，再通过代入验证判断BC选项，及整体代入判断单调性可得. 【详解】由函数图象及五点作图法可得，，，解得，. 所以函数的最小正周期，所以A正确； 因为，所以点不是函数图象的对称中心，故B错误； 又因为， 所以直线是函数图象的一条对称轴，故C正确； 因为，所以，正弦函数在上单调递增， 所以函数在区间单调递增，故D正确； 11. 点是所在平面内的一点，下列说法正确的有（ ） A. 若则为的重心 B. 若，则点为的垂心 C. 在中，向量与满足，且，则为等边三角形 D. 若，，分别表示，的面积，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】（1）由向量关系可以判断出为中线的三等分点，可知为重心； （2）由向量关系可以判断出为边与边垂直平分线的交点，可知不是垂心； （3）由判断出三角形为等腰三角形，由判断出，可知为等边三角形； （4）令，，则为的重心，由此求出面积比即可. 【详解】 对于A，如图，取边中点，连接边上的中线，则， 又∵由，∴，∴， ∴为的重心，故选项A正确； 对于B，如图，取边中点，边中点，连接，， 则，， ∵，∴， ∴，∴，，∴，， ∴，分别是，边上的垂直平分线， ∴，为的外心，故选项B错误； 对于C，作角的内角平分线与边交于点， ∵为方向的单位向量，为方向的单位向量， ∴（），∴（）， ∴，∴，∴，为等腰三角形， 又∵，且，∴， ∴为等边三角形，故选项C正确； 对于D，设，，由得， 则由选项A可知，为的重心，设的面积， ∴， 又∵，， ∴，，， ∴， ∴，故选项D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 是边长为2的正三角形，用斜二测画法得到的水平直观图是，则的面积是________. 【答案】 【解析】 【分析】由等边三角形面积公式求的面积，进而根据的直观图的面积，可得答案． 【详解】已知原图是边长为2的正三角形， 所以的面积， 所以的面积为. 13. 已知复数（其中为虚数单位），则其共轭复数的虚部为______. 【答案】 【解析】 【分析】先将复数转化为的形式，然后得到其共轭复数，进而得出的虚部. 【详解】因为，所以； 所以的虚部为. 故答案为：. 14. 在锐角中，角的对边为，为的面积，且，则的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】首先利用余弦定理和三角形面积公式得到，再通过正弦定理以及三角函数的转化得到，由三角函数性质可得结果. 【详解】由，则， 所以，即， 即，解得或（舍去），可得， ， 因为是锐角三角形，则有，所以， ，，则，有， 由于, 所以，可得的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题关键点在于，由是锐角三角形，确定，由，得，从而可求的取值范围. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知复数． （1）求； （2）若z是关于x的方程的一个根，求实数a，b的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据复数的除法求，进而求模长； （2）将代入方程，根据复数相等列式求解. 【小问1详解】 因为， 所以． 【小问2详解】 由（1）可得：， 将代入方程得：， 则，解得：． 16. 已知平面向量，，且．求： （1）向量在向量上的投影向量； （2）的值； （3）向量与夹角的余弦值． 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）由已知及数量积的运算律得，再由投影向量的定义求向量在向量上的投影向量； （2）应用向量数量积的运算律求向量的模长； （3）应用向量数量积的运算律及夹角公式求向量与夹角的余弦值. 【小问1详解】 由，得，即， 向量在向量上的投影向量是； 【小问2详解】 由； 【小问3详解】 ， 所以. 17. 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且. （1）求； （2）若，且的面积为，求的周长. 【答案】（1）. （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理角化边将已知关系式转化为边的二次式，再利用余弦定理求A； （2）由面积公式求出，再利用余弦定理求出，进而求出周长. 【小问1详解】 ， 变形为， 整理得 由正弦定理得：， 由余弦定理得：， 因为，所以. 【小问2详解】 由，，得. 由余弦定理得， 则 ， 所以，则 ， 即的周长为. 18. 如图，在中，点满足，是线段的中点，过点的直线与线段分别交于点． （1）若，请用向量来表示向量； （2）若，求的最小值． 【答案】（1）; （2） 【解析】 【分析】（1）根据图形，利用向量的加减数乘运算即可得到向量关于的表达式； （2）由推得，结合题设条件和基本不等式即可求得答案. 【小问1详解】 由图和题设条件可得： ； . 【小问2详解】 由图和可得：，即（*）， 因， 当时，点与点重合，显然不合题意，同理时，也不合题意.则， 由（*）可得：，即， 因三点共线，故， 又因， 当且仅当时，即时，等号成立， 即时，的最小值为. 19. 为锐角三角形，内角的对边分别为.已知为的外心，为上一点，且，. （1）求角； （2）若，求面积的取值范围； （3）若，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理和两角和的正弦公式即可求解； （2）由三角形的面积公式得，利用正弦定理得，又，由为锐角三角形得的范围，进而求解； （3）设为外接圆的半径，由正弦定理求，即，先求，，，又，即，利用三角函数先求的范围，即可求解. 【小问1详解】 因为，由正弦定理得：， 又， 所以，又，所以， 即，由， 所以； 【小问2详解】 由题意有， 由正弦定理有：，所以， 由（1）由，所以，所以， 又为锐角三角形，所以，所以，所以， 所以，，所以， 所以面积的取值范围为； 【小问3详解】 设为外接圆的半径，由正弦定理有，即， 所以，由余弦定理有， 所以， 同理， 又 ， 所以，所以 ， 又由正弦定理得， 所以 ， 又，所以，所以，所以， 所以，即， 所以的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 茂名市田家炳中学2025—2026学年第二学期高一级期中考试 数学试卷 本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，是平面内的一组基底，则下面的四组向量中不能作为一组基底的是（  ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 3. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，，，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 4. 已知某圆锥的底面积为，轴截面为等边三角形，则该圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数是上的减函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 把函数的图象向左平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变.得到函数的图象，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数在区间上单调递增，且在区间上只取得一次最大值，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 B. 函数在区间上存在零点 C. 不等式对一切实数恒成立的充要条件是 D. 若，，，则的最小值为4 10. 已知函数（，，）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的最小正周期是 B. 点是函数图象的一个对称中心 C. 直线是函数图象的一条对称轴 D. 函数在区间单调递增 11. 点是所在平面内的一点，下列说法正确的有（ ） A. 若则为的重心 B. 若，则点为的垂心 C. 在中，向量与满足，且，则为等边三角形 D. 若，，分别表示，的面积，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 是边长为2的正三角形，用斜二测画法得到的水平直观图是，则的面积是________. 13. 已知复数（其中为虚数单位），则其共轭复数的虚部为______. 14. 在锐角中，角的对边为，为的面积，且，则的取值范围为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知复数． （1）求； （2）若z是关于x的方程的一个根，求实数a，b的值． 16. 已知平面向量，，且．求： （1）向量在向量上的投影向量； （2）的值； （3）向量与夹角的余弦值． 17. 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且. （1）求； （2）若，且的面积为，求的周长. 18. 如图，在中，点满足，是线段的中点，过点的直线与线段分别交于点． （1）若，请用向量来表示向量； （2）若，求的最小值． 19. 为锐角三角形，内角的对边分别为.已知为的外心，为上一点，且，. （1）求角； （2）若，求面积的取值范围； （3）若，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $