精品解析：广东茂名市田家炳中学2025-2026学年第二学期高一年级4月月考数学试卷

茂名市田家炳中学2025-2026学年第二学期高一级4月月考 数学科 试卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知集合，，则中的元素个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，求出集合，进而求出交集中元素个数. 【详解】依题意，，， 所以，共4个元素. 故选：C 2. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用对数、指数函数的单调性，分别和，比较大小即可. 【详解】对数函数在上单调递增，且， 因为，所以，即； 因为指数函数在上单调递增，且， 因为，所以，即； 又因为，因此大小关系为：. 3. 化简后等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】应用向量加减法的运算律化简即可得. 【详解】. 故选：C 4. 已知点在角的终边上，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据三角函数的定义，求得，再结合诱导公式，即可求解. 【详解】由点在角的终边上，可得， 则. 5. 已知向量，满足，，，则在上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题可知，向量，满足，，， 所以， 则在上的投影向量为. 6. 函数的部分图象如图所示，则下列正确的是（    ） A. B. C. 为的一条对称轴 D. 若，则为奇数 【答案】D 【解析】 【分析】对于A，根据图像上两个零点间的距离求出周期，进而得出判断；对于B，由图象过点，结合图象在该点附近的单调性求解判断；对于C，将代入验证判断；对于D，由，解得，可知为奇数． 【详解】对于A：由图，，所以，，A错误； 对于B：图象过点，可得，可得， 解得，B错误； 对于C：由上可知，因为， 所以不是的一条对称轴，C错误； 对于D：若，即，可得，解得， 因为是偶数，是奇数，所以为奇数，D正确． 7. 在中，为边上一点，为边的中点，且与相交于点，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先结合得，再结合三点共线和三点共线，建立方程求解即可. 【详解】设，则， 又，所以. 设，， 则， 又， 所以，解得，所以 8. 若函数恰有3个零点，则正实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用对数函数与复合函数的性质结合零点存在性定理得到在上有1个零点，进而推出当时，有个零点，再结合正弦函数性质建立不等式组，求解参数范围即可. 【详解】由题意得，当时，， 结合对数函数与复合函数性质可得在上单调递减， 则在上单调递增， 由一次函数性质得在上单调递增， 可得在上单调递增， 而，，可得， 由零点存在性定理得存在作为零点， 当时，， 令，解得， 而，解得， 因为函数恰有3个零点，所以当时，有个零点， 则具有两个符合题意的，当时，，符合题意， 当时，，则，解得， 当时，，则，解得， 综上可得，即正实数的取值范围是，故A正确. 故选：A 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，至少有两个选项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全得3分. 9. （多选）下列叙述中错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则与的方向相同或相反 C. 若，，则 D. 对任一非零向量，是一个单位向量 【答案】ABC 【解析】 【分析】本题利用向量平行的定义、零向量的方向以及单位向量的定义即可求解. 【详解】对于A，因为是既有大小又有方向的量，所以向量不能比较大小，故A错误； 对于B，由于零向量与任意向量共线，且零向量的方向是任意的，故B错误； 对于C，若为零向量，则与可能不是共线向量，故C错误； 对于D，对任一非零向量，表示与同向的单位向量，故D正确． 故选：ABC． 10. 已知扇形的半径为，弧长为，若其周长为4，则下列说法正确的是（ ） A. 若该扇形的半径为1，则其面积为2 B. 该扇形面积的最大值为1 C. 当该扇形面积最大时，其圆心角弧度数的绝对值为2 D. 的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】由题意可知，，，直接利用公式可判断选项A，将扇形的面积表示为再利用二次函数的性质可判断选项BC，应用基本不等式计算判断选项D. 【详解】由题意知：，，， 对于选项A：当时，，可得，故选项A不正确； 对于选项B、C：，当时取等，该扇形面积的最大值为1，此时，，故选项B、C正确； 对于选项D： 当且仅当时，取最小值为，故选项D正确． 故选：BCD 11. 在△中，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】由可得点为的中点，然后根据平面向量的数量积运算结合图形分别计算，从而分析判断 【详解】解：对于A，因为所以点为的中点， 所以，所以A错误， 对于B，因为点为的中点，所以，所以B正确， 对于C，，所以C正确， 对于D，因为，所以 ，所以D正确， 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若向量与垂直，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用两向量垂直的坐标关系求出，再利用向量模长的计算公式求解. 【详解】因为，所以，所以，所以， 所以. 13. 计算：__________. 【答案】## 【解析】 【详解】原式 14. 已知，、为互相垂直的单位向量，向量与的夹角为锐角，则实数的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】分析可知且与不共线，即可得出实数的取值范围. 【详解】因为、为互相垂直的单位向量，则，， 因为向量与的夹角为锐角， 则，解得， 且与不共线， 当与共线时，设，则，所以，解得， 故当与不共线，， 因此实数的取值范围是. 四、解答题：本题共5小题，共77分. 15. 已知，，且与的夹角为60°. （1）求的值 （2）求的值； （3）若向量与平行，求实数的值． 【答案】（1）60 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由平面向量数量积的运算法则及向量模的计算式求值即可； （2）根据平面向量数量积的定义，运算法则及向量模的计算式求值即可； （3）由平面向量共线定理及平面向量基本定理列出方程组求解即可. 【小问1详解】 因为，， 所以. 【小问2详解】 因为，，且与的夹角为60°， 所以， 所以， 所以. 【小问3详解】 因为向量与平行，所以， 由平面向量基本定理可得， 解得或， 所以的值为. 16. 已知是定义在上的偶函数，当时， （1）求的值； （2）求的解析式； （3）画出简图；写出的单调递增区间，并写出的解集．（只需写出结果，不要证明单调性）． 【答案】（1），； （2）； （3）作图见解析，的增区间是，解集. 【解析】 【分析】（1）结合偶函数的性质代入求出函数值. （2）利用偶函数的性质求出函数解析式. （3）借助二次函数作出图象，再结合图象求出单调递增区间及不等式的解集. 【小问1详解】 当时，，则； 而函数是偶函数，则. 【小问2详解】 函数是定义在上的偶函数，当时，， 则当时，， 所以函数的解析式是. 【小问3详解】 由（2）知， 当时，，抛物线开口向上，对称轴方程为，顶点坐标， 当时，；当时，， 当时，，抛物线开口向上，对称轴方程为，顶点坐标， 当时，，于是函数的图象如下： 观察图象知，函数的增区间是； 不等式的解集为. 17. 如图，某公园里的摩天轮的旋转半径为米，最高点距离地面米，某游客在最低点的位置坐上摩天轮，此时摩天轮开始运行，运行一周的时间不低于分钟，在运行到分钟时，他距地面大约米． （1）摩天轮运行一周约需要多少分钟？ （2）该公园规定每次游玩摩天轮只能运行一周，则该游客距地面大约77.5米时，摩天轮运行的时间是多少分钟？ 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据题干可设游客距地面的高度与时间的解析式，再代入对应点解方程，进而可得摩天轮运行一周的时间； （2）由已知代入，解方程，解方程即可. 【小问1详解】 设游客坐上摩天轮的时间为，不妨设摩天轮逆时针旋转， 则游客距地面的高度， 又摩天轮的半径为，最高点距离底面高度为， 则，，则， 所以， 又当时，， 解得， 则， 又时，， 解得或，， 又运行一周的时间不低于分钟， 即，解得， 即， 所以运行一周所需时间分； 【小问2详解】 由（1）得， 由已知，令， 则或，， 又，则或. 18. 已知向量. （1）求函数的单调递增区间； （2）若函数在区间上恰有2个零点，求实数a的取值范围. 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【分析】（1）由三角恒等变换和辅助角公式化简，求出单调区间； （2）转化为两函数图象交点个数问题，从而得到不等式，求出实数a的取值范围. 【小问1详解】 由题可得， ， 令，， 解得，， 故单调递增区间为，； 【小问2详解】 由题意，函数在有两个不同的零点， 令，则在有两个不同的解，故， 故与的图象在上有两个不同的交点， 而在为增函数，在为减函数， 且，故，则，即. 19. 如图，点P，Q分别是矩形的边，上的两点，，. （1）若，，，求的范围； （2）若，求的最小值； 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）借助向量的线性运算及数量积公式计算即可得； （2）建立平面直角坐标系后借助三角函数与基本不等式计算即可得 【小问1详解】 由，，故，， 则， ， 由，故； 【小问2详解】 如图所示，以点为坐标原点，为轴，建立直角坐标系， 设，， 则，， ， 当且仅当，即时，等号成立， 即的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 茂名市田家炳中学2025-2026学年第二学期高一级4月月考 数学科 试卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知集合，，则中的元素个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 2. 设，则（ ） A. B. C. D. 3. 化简后等于（ ） A. B. C. D. 4. 已知点在角的终边上，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知向量，满足，，，则在上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 6. 函数的部分图象如图所示，则下列正确的是（    ） A. B. C. 为的一条对称轴 D. 若，则为奇数 7. 在中，为边上一点，为边的中点，且与相交于点，若，则（ ） A. B. C. D. 8. 若函数恰有3个零点，则正实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，至少有两个选项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全得3分. 9. （多选）下列叙述中错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则与的方向相同或相反 C. 若，，则 D. 对任一非零向量，是一个单位向量 10. 已知扇形的半径为，弧长为，若其周长为4，则下列说法正确的是（ ） A. 若该扇形的半径为1，则其面积为2 B. 该扇形面积的最大值为1 C. 当该扇形面积最大时，其圆心角弧度数的绝对值为2 D. 的最小值为 11. 在△中，，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若向量与垂直，则__________. 13. 计算：__________. 14. 已知，、为互相垂直的单位向量，向量与的夹角为锐角，则实数的取值范围为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分. 15. 已知，，且与的夹角为60°. （1）求的值 （2）求的值； （3）若向量与平行，求实数的值． 16. 已知是定义在上的偶函数，当时， （1）求的值； （2）求的解析式； （3）画出简图；写出的单调递增区间，并写出的解集．（只需写出结果，不要证明单调性）． 17. 如图，某公园里的摩天轮的旋转半径为米，最高点距离地面米，某游客在最低点的位置坐上摩天轮，此时摩天轮开始运行，运行一周的时间不低于分钟，在运行到分钟时，他距地面大约米． （1）摩天轮运行一周约需要多少分钟？ （2）该公园规定每次游玩摩天轮只能运行一周，则该游客距地面大约77.5米时，摩天轮运行的时间是多少分钟？ 18. 已知向量. （1）求函数的单调递增区间； （2）若函数在区间上恰有2个零点，求实数a的取值范围. 19. 如图，点P，Q分别是矩形的边，上的两点，，. （1）若，，，求的范围； （2）若，求的最小值； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $