精品解析：广东区珠海市紫荆中学2025-2026学年度第二学期期中考试初二年级数学试题

珠海市紫荆中学2025-2026学年度第二学期期中考试初二年级数学 一．选择题（共10小题，每题3分共30分） 1. 下列根式中，不是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 函数中，自变量的取值范围是（　　） A. B. C. D. 3. 在中，，则的度数为（ ） A. 60° B. 80° C. 100° D. 160° 4. 如图所示，一轮船以6海里/时的速度从港口出发向东北方向航行，另一轮船以8海里/时的速度同时从港口出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（ ） A. 20海里 B. 10海里 C. 30海里 D. 25海里 5. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，且DC＝AC，则∠B的度数是（　　） A. 25° B. 30° C. 45° D. 60° 6. 矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ ） A. 对角线相等 B. 对角线互相平分 C. 对角线互相垂直 D. 对角线平分对角 7. 用一条宽相等的足够长的纸条,打一个结,如下图1所示,然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图2所示的正五边形 ABCDE,则∠BAC的度数是（ ） A. 36° B. 30° C. 45° D. 40° 8. 如图，小明出去散步，从家走了20分钟到一个离家900米的报亭，他在报亭看报10分钟，然后用15分钟返回家，下面给出的图象中可以表示小明离家距离与时间的关系是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，点、分别为的边、的中点，连接、，点、分别为、的中点，连接、，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，，过点作于点，且．点是边上的一动点，连接，过点作所在直线的垂线，垂足为点，当点在边上运动时，则的最大值为（ ） A. 4 B. C. 5 D. 二．填空题（共5小题，每题3分共15分） 11. 若函数是关于的一次函数，则______． 12. 若一个多边形的内角和与外角和共，则这个多边形的边数是______． 13. 如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的对角线AC平行于x轴，边OA与x轴正半轴的夹角为30°，OC=2，则点A的坐标是______________． 14. 在中，，则_________． 15. 宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形．如图，黄金矩形中，，以宽为边在其内部作正方形，得到黄金矩形．依此作法，四边形、四边形也是黄金矩形．依次以点，，为圆心，以，，为半径画四分之一的圆，则称曲线叫作“黄金螺线”．若，则“黄金螺线”的长为________（结果保留）． 三．解答题（共3小题，每题7分共21分） 16. 计算：． 17. 如图，在中，点是的中点，连接并延长，与的延长线相交于点．求证：． 18. 如图正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，在如图的网格格点处取，，三点，使，，． （1）在图中画出满足条件的； （2）点到线段的距离为________． 四．解答题（共3小题，每题9分，共27分） 19. 如图，四边形为平行四边形，为对角线的中点，过点作分别交边，于点，，垂足为． （1）求证：四边形为菱形； （2）在的延长线上取一点，使，连接．若为的中点，且，，求的面积． 20. 在中，，分别以，，为边向形外作正方形，正方形，正方形． （1）如图1过点作的垂线，垂足为，交于，若矩形的面积为20，求正方形的面积． （2）如图2，在中，，分别以，，为边向形外作矩形，矩形，矩形，过点作的垂线，垂足为，交于，交的延长线于点．若记矩形的面积为，矩形的面积为，当时，直接写出与间的数量关系． 21. 比较两个数的大小，我们常采用作差或作商的方法，其实有时候用“平方法”来比较大小也会取得很好的效果．例如，比较和的大小，我们可以把和分别平方．，，则，． 阅读以上材料，解决下面问题： （1）已知，，则_______（填写“”“”或“”）． （2）比较，的大小，并说明理由． （3）判断，（，且为正整数）的大小，并说明理由． 五．解答题（共2小题，22题13分，23题14分，共27分） 22. 综合与实践课上，同学们以“折纸”为主题开展数学活动．将矩形对折，使点落在边上的点处，得到折痕，点和点分别在线段和线段上，折痕与对角线交于点．打开铺平，得到图． （1）若点与点重合，，，求折痕的长度； （2）若矩形变成边长为的正方形，其他条件不变，如图． 当点为的中点时，线段_______； 若，，请求出关于的函数，并求出自变量的取值范围． 23. 如图1，正方形中，点在线段上，连接交于点，过作于点，交于点． （1）求证：； （2）若，求证：； （3）如图2，当是的中点时，线段（点在点的左边）在直线上运动．连接、，若，，求出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 珠海市紫荆中学2025-2026学年度第二学期期中考试初二年级数学 一．选择题（共10小题，每题3分共30分） 1. 下列根式中，不是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式，解题的关键是掌握最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义逐一判断即可． 【详解】解：A、含有开得尽方的因数，故不是最简二次根式，故符合题意； B、是最简二次根式，故不符合题意； C、是最简二次根式，故不符合题意； D、是最简二次根式，故不符合题意； 故选：A． 2. 函数中，自变量的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据分式分母不为0的性质，列不等式求解，即可得到自变量的取值范围． 【详解】解：∵函数是分式，分式的分母不能为0， ∴， 解得， 因此自变量的取值范围是． 3. 在中，，则的度数为（ ） A. 60° B. 80° C. 100° D. 160° 【答案】C 【解析】 【分析】由平行四边形的对角相等即可求得． 【详解】在中，， 又， 所以， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质：对角相等，掌握此性质是关键． 4. 如图所示，一轮船以6海里/时的速度从港口出发向东北方向航行，另一轮船以8海里/时的速度同时从港口出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（ ） A. 20海里 B. 10海里 C. 30海里 D. 25海里 【答案】A 【解析】 【分析】如图（见解析），先求出，的长，再利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：如图，设向东北方向航行的轮船到达地为处，向东南方向航行的轮船到达地为处，连接， 由题意得：，（海里），（海里）， ∴， ∴在中，海里， 即两船相距20海里． 5. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，且DC＝AC，则∠B的度数是（　　） A. 25° B. 30° C. 45° D. 60° 【答案】B 【解析】 【分析】根据直角三角形的性质和等边三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点， ∴AD＝CD， ∵DC＝AC， ∴AD＝CD＝AC， ∴△ACD是等边三角形， ∴∠A＝60°， ∴∠B＝180°﹣90°﹣60°＝30°， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，准确计算是解题的关键． 6. 矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ ） A. 对角线相等 B. 对角线互相平分 C. 对角线互相垂直 D. 对角线平分对角 【答案】B 【解析】 【分析】此题综合考查了矩形、菱形、正方形的对角线的性质，熟练掌握矩形、菱形、正方形的性质是解题的关键． 因为正方形的对角线垂直平分且相等、矩形的对角线互相平分且相等、菱形的对角线互相垂直平分，可知正方形、矩形、菱形都具有的特征是对角线互相平分． 【详解】解：矩形、菱形、正方形的对角线相互平分， 故选：B． 7. 用一条宽相等的足够长的纸条,打一个结,如下图1所示,然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图2所示的正五边形 ABCDE,则∠BAC的度数是（ ） A. 36° B. 30° C. 45° D. 40° 【答案】A 【解析】 【详解】分析:根据多边形内角和公式和正五边形每个内角都相等可得∠ABC=108°,再根据等腰三角形和三角形内角和公式可得∠BAC=36°. 详解:因为正五边形 ABCDE, 所以∠ABC=108°, 因为三角形ABC是等腰三角形, 所以∠BAC=36°, 故选A. 点睛:本题主要考查正五边形的性质和等腰三角形的性质,解决本题的关键是要熟练运用正五边形和等腰三角形的性质. 8. 如图，小明出去散步，从家走了20分钟到一个离家900米的报亭，他在报亭看报10分钟，然后用15分钟返回家，下面给出的图象中可以表示小明离家距离与时间的关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将小明的行程分为三个阶段：①在分钟内，②在分钟内，③在分钟内，据此解答即可． 【详解】解：由题意可知，小明的行程分为三个阶段： 第一阶段：从家走到报亭， ∵从家走了20分钟到一个离家900米的报亭， ∴在分钟内，图象应为从原点出发上升至纵坐标为900的一条线段； 第二阶段：在报亭看报， ∵在报亭看报10分钟，此时离家的距离不变，且（分钟）， ∴在分钟内，图象应为平行于轴的一条水平线段； 第三阶段：返回家， ∵用15分钟返回家，且（分钟）， ∴在分钟内，图象应为从纵坐标下降至0的一条线段，且终点横坐标为45； 观察各选项图象，只有D选项符合． 9. 如图，点、分别为的边、的中点，连接、，点、分别为、的中点，连接、，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】易知是的中位线，可得，再由中点的性质可得． 【详解】解：点、是边、的中点， 是的中位线， ， 点是边的中点， ． 10. 如图，在中，，，过点作于点，且．点是边上的一动点，连接，过点作所在直线的垂线，垂足为点，当点在边上运动时，则的最大值为（ ） A. 4 B. C. 5 D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点作于点，连接，先根据平行四边形的性质和三角形的面积公式可得，进而转化为的最小值问题，再得出当点与点重合时，的值最小，由此即可得． 【详解】解：如图，过点作于点，连接， ∵在中，，， ∴，， ∵，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴要使得的值最大，则需的值最小， 又∵，，， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴点在的延长线上， ∴点在边上运动的过程中，当点与点重合时，的值最小，最小值为， ∴的最大值为． 二．填空题（共5小题，每题3分共15分） 11. 若函数是关于的一次函数，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据一次函数的定义可得，求解即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数的定义，掌握一次函数解析式的结构特征是解题的关键． 12. 若一个多边形的内角和与外角和共，则这个多边形的边数是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据多边形的外角和是，即可求得多边形的内角和的度数，依据多边形的内角和公式即可求解． 【详解】解：多边形的内角和是：， 设多边形的边数是， 则， 解得：． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了多边形的内角和定理以及多边形的外角和定理，注意多边形的外角和不随边数的变化而变化．多边形的内角和，多边形的外角和等于． 13. 如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的对角线AC平行于x轴，边OA与x轴正半轴的夹角为30°，OC=2，则点A的坐标是______________． 【答案】（3，）． 【解析】 【详解】试题分析：由矩形的性质得出∠AOC=90°，由平行线的性质得出，∠OAC=30°，由含30°角的直角三角形的性质得出OA，再求出OD、AD，即可得出结果． 解：如图所示： ∵四边形OABC是矩形， ∴∠AOC=90°， ∵AC∥x轴， ∴∠OAC=30°，∠ODA=90°， ∴OA=OC=2， ∴OD=OA=， ∴AD=OD=3， ∴点A的坐标是（3，）； 故答案为（3，）． 14. 在中，，则_________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，三角形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质与判定， ，过点A作于H，先求出，由含30度角的直角三角形的性质得到，则，再证明是等腰直角三角形，得到即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点A作于H， ∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形．如图，黄金矩形中，，以宽为边在其内部作正方形，得到黄金矩形．依此作法，四边形、四边形也是黄金矩形．依次以点，，为圆心，以，，为半径画四分之一的圆，则称曲线叫作“黄金螺线”．若，则“黄金螺线”的长为________（结果保留）． 【答案】 【解析】 【分析】利用矩形和正方形的性质求出，，的长，再利用圆的面积公式计算即可． 【详解】解：∵在黄金矩形中，，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 由题意可知，四边形和四边形都是正方形， ∴，， ∴“黄金螺线”的长为 ． 三．解答题（共3小题，每题7分共21分） 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解：原式 ． 17. 如图，在中，点是的中点，连接并延长，与的延长线相交于点．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质得出相等的线段和平行线，根据平行线的性质得出相等的角，证明，得出，即可得出结论． 【详解】证明：∵四边形为平行四边形， ∴， ∴，， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴． 18. 如图正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，在如图的网格格点处取，，三点，使，，． （1）在图中画出满足条件的； （2）点到线段的距离为________． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）借助网格，根据勾股定理画出合适的线段； （2）利用勾股定理的逆定理得出直角三角形，然后利用等面积法列出算式，最后利用二次根式的运算法则求解． 【小问1详解】 解：如图所示即为所求， 由勾股定理得，，； 【小问2详解】 解：∵，，，且， ∴为直角三角形，， 利用等面积可得，点到线段的距离为． 四．解答题（共3小题，每题9分，共27分） 19. 如图，四边形为平行四边形，为对角线的中点，过点作分别交边，于点，，垂足为． （1）求证：四边形为菱形； （2）在的延长线上取一点，使，连接．若为的中点，且，，求的面积． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】1）先证出，则，进而可得四边形为平行四边形，再根据菱形的判定即可得证； （2）过点作于点，先求出，，再求出的长，则可得的长，利用三角形的面积公式计算即可． 【小问1详解】 证明：∵四边形为平行四边形， ∴， ∴，， ∵为对角线的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵，即， ∴四边形为平行四边形， 又∵， ∴四边形为菱形． 【小问2详解】 解：如图，过点作于点， ∵为对角线的中点，为的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴在中，， ∴， ∴在中，，， ∴的面积为． 20. 在中，，分别以，，为边向形外作正方形，正方形，正方形． （1）如图1过点作的垂线，垂足为，交于，若矩形的面积为20，求正方形的面积． （2）如图2，在中，，分别以，，为边向形外作矩形，矩形，矩形，过点作的垂线，垂足为，交于，交的延长线于点．若记矩形的面积为，矩形的面积为，当时，直接写出与间的数量关系． 【答案】（1）20，见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）根据正方形和矩形的面积公式，设，，，则，，然后在中，利用勾股定理推导和的数量关系即可求解； （2）首先延长交于，把矩形的面积转化为的面积，进而把比较,的关系转化为比较的数量关系，问题得解． 【小问1详解】 解：如图1，设，，，则， ， ， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ，， ， ， ， ， ． ，， 正方形的面积为20； 【小问2详解】 解：． 提示：如图2，延长交于， 四边形是矩形， ． ， ， ． 四边形是矩形， ，，， ， ， ， ． ，， 四边形是平行四边形， ． ，且， ，即． 【点睛】本题综合考查了矩形、平行四边形以及勾股定理等知识．寻找让已知条件和结论之间建立连接的桥梁，把问题有效地进行转化是解决问题的关键． 21. 比较两个数的大小，我们常采用作差或作商的方法，其实有时候用“平方法”来比较大小也会取得很好的效果．例如，比较和的大小，我们可以把和分别平方．，，则，． 阅读以上材料，解决下面问题： （1）已知，，则_______（填写“”“”或“”）． （2）比较，的大小，并说明理由． （3）判断，（，且为正整数）的大小，并说明理由． 【答案】（1） （2），理由见解析 （3），理由见解析 【解析】 【分析】（1）先求出，再结合即可得； （2）先求出，再得出，结合即可得； （3）先求出，再计算可得，结合即可得． 【小问1详解】 解：∵，， ∴，， ∴， 又∵， ∴． 【小问2详解】 解：，理由如下： ∵，， ∴， ， 又∵，，且， ∴， ∴，即， 又∵， ∴． 【小问3详解】 解：，理由如下： ∵， ∴， ∵，， ∴， ， ∴ ， ∴， 又∵， ∴． 五．解答题（共2小题，22题13分，23题14分，共27分） 22. 综合与实践课上，同学们以“折纸”为主题开展数学活动．将矩形对折，使点落在边上的点处，得到折痕，点和点分别在线段和线段上，折痕与对角线交于点．打开铺平，得到图． （1）若点与点重合，，，求折痕的长度； （2）若矩形变成边长为的正方形，其他条件不变，如图． 当点为的中点时，线段_______； 若，，请求出关于的函数，并求出自变量的取值范围． 【答案】（1）折痕的长为； （2）；关于的函数关系式为． 【解析】 【分析】（）当点与点重合，此时与重合，连接，，由四边形是矩形，则，，，通过折叠性质可得，，设，则，由勾股定理得，即，然后求出的值即可； （）如图，过作于点，作于点，连接，则，证明四边形是正方形，则，证明，所以，可证是等腰直角三角形，通过勾股定理得，然后求出，，从而可得； 如图，过作于点，作于点，连接，则，由折叠性质可知，同得是等腰直角三角形，，由四边形是正方形，得，通过勾股定理得，，所以，通过勾股定理可得，则，从而得，故关于的函数关系式为． 【小问1详解】 解：当点与点重合，此时与重合， 如图，连接，， ∵四边形是矩形， ∴，，， 由折叠性质可得，，， ∴， ∴， 设，则， 由勾股定理得，， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∴折痕的长为； 【小问2详解】 解：如图，过作于点，作于点，连接，则， 由折叠性质可知，， ∵四边形是正方形， ∴，平分， ∴， ∴四边形是矩形， ∵平分，，， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 当点为的中点时， ∴， ∴， ∴； 如图，过作于点，作于点，连接，则， 由折叠性质可知，， 同得是等腰直角三角形，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴关于的函数关系式为． 23. 如图1，正方形中，点在线段上，连接交于点，过作于点，交于点． （1）求证：； （2）若，求证：； （3）如图2，当是的中点时，线段（点在点的左边）在直线上运动．连接、，若，，求出的最小值． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）先得出，再证出，则，由此即可得证； （2）连接，作，交于点，先证出，则，，进而可得，再得出，由此即可得证； （3）先得出，，再取的中点，连接，且与交于点，则，证出四边形是平行四边形，则，进而可得，然后根据两点之间线段最短可得当点与点重合时，的值最小，最小值为的长，由此即可得． 【小问1详解】 证明：∵四边形是正方形， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即． 【小问2详解】 证明：如图，连接，作，交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 由（1）已证：， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴在中，， ∴， ∵， ∴， ∴点是的中点（等腰三角形的三线合一）， ∴在中，， ∴． 【小问3详解】 解：∵在正方形中，， ∴，，垂直平分，， ∴，， 如图，取的中点，连接，且与交于点， ∴， ∴， ∵是的中点，点是的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 由两点之间线段最短可知，当点与点重合时，的值最小，最小值为， ∴的最小值为． 【点睛】本题的难点在于通过作辅助线，构造全等三角形和平行四边形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $