精品解析：广东省珠海市金鼎中学2024—2025学年下学期期中检测八年级数学试题卷

珠海市金鼎中学2024—2025学年第二学期期中检测试题卷 八年级数学 命题人：黄飞 审核人：吕尧华 说明：全卷共4页．考试用时120分钟，满分120分． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 式子在实数范围内有意义，则满足的条件是（ ） A. B. C. D. 2. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，为测量位于珠海那洲村某生态农庄中水塘旁的两点，间的距离，在地面上确定点，分别取，的中点，，量得，则，之间的距离是（ ）． A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 一个等腰直角三角形的腰长为，则斜边长为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，平分交边于点，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，点在数轴上表示的数为，过点作数轴的垂线段，且，以原点为圆心，为半径作弧，交数轴于点，则点表示的数是（ ） A. B. C. D. 8. 下列命题中正确的是（　　） A. 有一组邻边相等的四边形是菱形 B. 有一个角是直角的平行四边形是矩形 C. 对角线垂直的平行四边形是正方形 D. 一组对边平行的四边形是平行四边形 9. 菱形中，，，则对角线的长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在正方形中，已知边长，点是对角线上一点，，连接．过点作交于点，以，为邻边作矩形，连接．以下四个结论：；是等腰三角形；，两点间的距离为；矩形的面积为，正确的是（ ） A. 仅有 B. 仅有 C. 仅有 D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 一个正方形的边长为，它的面积与长为，宽为的矩形面积相等，则________． 12. 如图，图中所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形，已知最大的正方形的边长为6，则四个正方形的面积之和为________． 13. 如图，菱形的对角线，的长分别是6和8，是边的中点，则的长为________． 14. 已知，则代数式的值是________． 15. 如图，矩形中，，点在上，，连接，将矩形沿翻折，点恰好落在上的点处，则________cm． 三、解答题（一）（第16小题8分，第17,18小题各7分，共22分） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 已知如图，在四边形中，，求四边形的面积． 18. 如图，在中，经过A，C两点分别作，，E，F为垂足． （1）求证：； （2）求证：四边形是平行四边形． 四、解答题（二）（每小题9分，共27分） 19. 在平行四边形中，已知长为，长为，边上的高． （1）填空：若为正整数，为整数，则的最小值为________； （2）当时，计算平行四边形的面积； （3）计算平行四边形的周长． 20. 如图，和都是等腰直角三角形，，，的顶点在的斜边上，连接． （1）求证：； （2）若，，求的长． 21. 综合与实践 【问题情境】在数学课上，黄老师通过分组活动让同学们利用两个全等的含角的三角板进行拼图，并探究它们之间的关系．经测量，三角板斜边的长为． 【操作探究】 （1）如图1，逐梦组将三角板的边与三角板的边重合，得到的四边形．证明四边形是平行四边形． （2）如图2，追光组将三角板沿三角板的边平移一定距离时，得到四边形是矩形，且点在上，求三角板平移的距离． 五、解答题（三）（第22小题12分，第23小题14分，共26分） 22. 如图，以矩形的邻边，所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，已知，，过对角线中点的直线交，于点，． （1）求证：； （2）当时，直接判断四边形的形状，并求此时点的坐标； （3）在（2）的条件下，求线段的长． 23. 综合与实践 【问题情境】“臻美数学客栈”社团课上，小班以改编教材课后习题的方式提出一个问题：如图1，在正方形中，点E是边上的任意一点，，与正方形的外角的平分线交于点P，说明． 【思考尝试】（1）①张金发现：在边上截取，连接（如图2）便可以通过证明解决这个问题．其中，说明时，需先求得二者度数均为________； ②刘鼎有不一样的思路：延长至点，使，连接，（如图3），通过证明四边形是平行四边形后，巧妙地将证明的问题转化为证明．请写出刘鼎的证明过程． 【实践探究】（2）课后，张金受此问题启发，逆向思考这个题目，并提出新的问题：如图4，在正方形中，为边上一动点（点，不重合），是等腰直角三角形，，连接，的大小是否改变？若不变，其度数为多少？请你思考并写出解答过程． 【拓展迁移】（3）刘鼎深入研究张金提出的这个问题后，在此基础上提出新的探究点：如图4，连接．当正方形的边长确定时，可以确定的最小值．若记，请你用含的代数式表示的最小值（直接写出答案）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 珠海市金鼎中学2024—2025学年第二学期期中检测试题卷 八年级数学 命题人：黄飞 审核人：吕尧华 说明：全卷共4页．考试用时120分钟，满分120分． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 式子在实数范围内有意义，则满足的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了二次根式有意义的条件，解一元一次不等式，解题的关键是熟练掌握二次根式有意义的条件． 根据二次根式的二次根式有意义的条件即可求出的范围． 【详解】解：∵式子在实数范围内有意义， ∴， ∴， 故选：B． 2. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了最简二次根式，根据最简二次根式的定义：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；被开方数是整数，因式是整式，进行逐一判断即可，熟练掌握最简二次根式的定义是解本题的关键． 【详解】解：、不是最简二次根式，不符合题意； 、不是最简二次根式，不符合题意； 、不是最简二次根式，不符合题意； 、是最简二次根式，符合题意； 故选：． 3. 如图，为测量位于珠海那洲村某生态农庄中水塘旁的两点，间的距离，在地面上确定点，分别取，的中点，，量得，则，之间的距离是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的中位线定理，根据三角形的中位线定理即可求解，熟练掌握“三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半” 是解题的关键． 【详解】解：∵点，是中点， ∴是中位线， ∴， ∴， ∴，之间的距离是， 故选：． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式加减，二次根式的性质，二次根式的乘法，积的乘方，根据二次根式加减，二次根式的性质，二次根式的乘法，积的乘方法则逐一排除即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：、，原选项运算正确，符合题意； 、，原选项运算错误，不符合题意； 、与不是同类二次根式，不可以合并，原选项运算错误，不符合题意； 、，原选项运算错误，不符合题意； 故选：． 5. 一个等腰直角三角形的腰长为，则斜边长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的定义，勾股定理，根据等腰直角三角形的性质，利用勾股定理直接计算斜边长即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：设斜边长为， 根据勾股定理得， ∴， 故选：． 6. 如图，在中，平分交边于点，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，角平分线定义，平行线的性质，由四边形是平行四边形，则，，故有，然后通过角平分线定义可得，所以，从而求解，掌握平行四边形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 故选：． 7. 如图，点在数轴上表示的数为，过点作数轴的垂线段，且，以原点为圆心，为半径作弧，交数轴于点，则点表示的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理与无理数，数轴与实数，根据勾股定理计算即可，掌握勾股定理，数轴与实数的关系是解题的关键． 【详解】解：由作图可知， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点表示的数是， 故选：． 8. 下列命题中正确的是（　　） A. 有一组邻边相等的四边形是菱形 B. 有一个角是直角的平行四边形是矩形 C. 对角线垂直的平行四边形是正方形 D. 一组对边平行的四边形是平行四边形 【答案】B 【解析】 【分析】利用特殊四边形的判定定理对个选项逐一判断后即可得到正确的选项． 【详解】A、一组邻边相等的平行四边形是菱形，故选项错误； B、有一个角是直角的平行四边形是矩形，正确； C、对角线垂直的平行四边形是菱形，故选项错误； D、两组对边平行的四边形才是平行四边形，故选项错误． 故选：B． 【点睛】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 9. 菱形中，，，则对角线的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，设对角线与交于点，由菱形的性质可得，，，则有，然后通过勾股定理求出，再通过即可求解，掌握菱形的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，设对角线与交于点， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∴， 故选：． 10. 如图，在正方形中，已知边长，点是对角线上一点，，连接．过点作交于点，以，为邻边作矩形，连接．以下四个结论：；是等腰三角形；，两点间的距离为；矩形的面积为，正确的是（ ） A. 仅有 B. 仅有 C. 仅有 D. 【答案】C 【解析】 【分析】过作于点，延长交于点，过作于点，则，由正方形性质可得平分，，所以，，证明，即可判断；先得出，，则有，，由勾股定理得，然后通过面积即可判断；分别求出，，，即可判断；证明，则，，所以，然后连接，通过勾股定理即可判断． 【详解】解：如图，过作于点，延长交于点，过作于点， ∴， ∵四边形是正方形， ∴平分，， ∴，， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴，故正确； ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，， 由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴， ∴矩形的面积为，故正确， ∵，，， ∴不是等腰三角形，故不正确； ∵，四边形是矩形， ∴四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 连接， ∴，故正确； 综上可知：正确， 故选：． 【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，等腰三角形定义等知识掌握知识点的应用是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 一个正方形的边长为，它的面积与长为，宽为的矩形面积相等，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根的应用，先求出矩形的面积，再求出算术平方根即可． 【详解】解：根据题意：，即， 则（负值舍去） 故答案为：． 12. 如图，图中所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形，已知最大的正方形的边长为6，则四个正方形的面积之和为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了以直角三角形三边为边长的图形面积，设四个正方形的面积分别为：，由图可知：，即可求解； 【详解】解：设四个正方形的面积分别为：， 由图可知：， 故答案为： 13. 如图，菱形的对角线，的长分别是6和8，是边的中点，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 先由矩形的性质得到，，，根据勾股定理得到，进而可得． 【详解】解：∵菱形的对角线，的长分别是6和8， ∴，，， ∴， ∵是边的中点， ∴． 故答案为：． 14. 已知，则代数式的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查代数式求值，完全平方公式的应用及二次根式的乘法，解题的关键是熟知整体法的运用．利用完全平方公式将所求式子变形为，再将代入即可求解． 【详解】解：， ． 故答案为：． 15. 如图，矩形中，，点在上，，连接，将矩形沿翻折，点恰好落在上的点处，则________cm． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形与折叠问题，涉及了勾股定理，设，推出，根据即可建立方程求解． 【详解】解：设， 由题意得：，， ∴； ∵， ∴，解得：， 即： cm． 故答案为： 三、解答题（一）（第16小题8分，第17,18小题各7分，共22分） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，注意计算的准确性即可； （1）利用二次根式的混合运算法则即可求解； （2）利用二次根式的混合运算法则即可求解； 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 已知如图，在四边形中，，求四边形的面积． 【答案】 【解析】 【分析】连接，先根据勾股定理求出的长度，再根据勾股定理的逆定理判断出的形状，然后利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：如图：连接， ∵， ∴， 在中，， ∴是直角三角形， ∴． 18. 如图，在中，经过A，C两点分别作，，E，F为垂足． （1）求证：； （2）求证：四边形是平行四边形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行四边形的性质以及判定定理，掌握全等三角形的性质以及判定定理、平行四边形的性质以及判定定理是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质得，再根据，，可得，即可证明． （2）根据全等三角形的性质得，再根据，，可得，即可证明四边形是平行四边形． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 在和中 ∴； 【小问2详解】 证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是平行四边形． 四、解答题（二）（每小题9分，共27分） 19. 在平行四边形中，已知长为，长为，边上的高． （1）填空：若为正整数，为整数，则的最小值为________； （2）当时，计算平行四边形的面积； （3）计算平行四边形的周长． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，二次根式的应用，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． （1）利用二次根式的性质即可求解； （2）利用平行四边形的面积公式直接计算即可； （3）利用平行四边形的周长公式直接计算即可． 【小问1详解】 解：∵为正整数，为整数， ∴是完全平方数，且， ∴的最小值为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：当时，则边上的高， ∴平行四边形的面积为． 【小问3详解】 解：平行四边形的周长为． 20. 如图，和都是等腰直角三角形，，，的顶点在的斜边上，连接． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵和都是等腰直角三角形，， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． （1）由可证，即可证明结论； （2）由全等三角形的性质证明，再利用勾股定理即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴，， ∵， ∴； ∵， ∴， ∴． 21. 综合与实践 【问题情境】在数学课上，黄老师通过分组活动让同学们利用两个全等的含角的三角板进行拼图，并探究它们之间的关系．经测量，三角板斜边的长为． 【操作探究】 （1）如图1，逐梦组将三角板的边与三角板的边重合，得到的四边形．证明四边形是平行四边形． （2）如图2，追光组将三角板沿三角板的边平移一定距离时，得到四边形是矩形，且点在上，求三角板平移的距离． 【答案】（1） 证明：根据题意：， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2） 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质，平行四边形的判定，矩形的性质，直角三角形的性质，勾股定理． （1）根据全等三角形的性质可得，由两组对边分别相等的四边形为平行四边形即可证明； （2）利用直角三角形的性质求出，利用勾股定理求出，由矩形的性质得到，设，则，利用勾股定理得到，建立方程求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：根据题意：， ∴，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， 设，则， 在和中， ∵， ∴，即， 解得：， ∴三角板平移的距离． 五、解答题（三）（第22小题12分，第23小题14分，共26分） 22. 如图，以矩形的邻边，所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，已知，，过对角线中点的直线交，于点，． （1）求证：； （2）当时，直接判断四边形的形状，并求此时点的坐标； （3）在（2）的条件下，求线段的长． 【答案】（1） 证明：∵以矩形的邻边，所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，，， ∴，，， ∴， ∵点为中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2）四边形是菱形， （3） 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质及、两点坐标得出，，，可得，利用可证明，即可得出； （2）根据，可证明四边形是平行四边形，根据即可证明四边形是菱形；设，则，利用勾股定理求出的值即可得点坐标； （3）利用勾股定理求出，根据菱形面积得出，即可求出的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∵四边形是菱形，，， ∴设，则， ∵， ∴， 解得：，即， ∴． 【小问3详解】 解：∵，，， ∴， ∴，即， 解得：． 【点睛】本题考查矩形的性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、坐标与图形及勾股定理，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键． 23. 综合与实践 【问题情境】“臻美数学客栈”社团课上，小班以改编教材课后习题的方式提出一个问题：如图1，在正方形中，点E是边上的任意一点，，与正方形的外角的平分线交于点P，说明． 【思考尝试】（1）①张金发现：在边上截取，连接（如图2）便可以通过证明解决这个问题．其中，说明时，需先求得二者度数均为________； ②刘鼎有不一样的思路：延长至点，使，连接，（如图3），通过证明四边形是平行四边形后，巧妙地将证明的问题转化为证明．请写出刘鼎的证明过程． 【实践探究】（2）课后，张金受此问题启发，逆向思考这个题目，并提出新的问题：如图4，在正方形中，为边上一动点（点，不重合），是等腰直角三角形，，连接，的大小是否改变？若不变，其度数为多少？请你思考并写出解答过程． 【拓展迁移】（3）刘鼎深入研究张金提出的这个问题后，在此基础上提出新的探究点：如图4，连接．当正方形的边长确定时，可以确定的最小值．若记，请你用含的代数式表示的最小值（直接写出答案）． 【答案】（1）①； ②证明：∵， ∴， ∴， 由①知， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴； （2）不变，， 如图，在上截取，连接， 是等腰直角三角形， ，， 由（1）同理可得， ∵，， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵在正方形中，， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）①由正方形的性质结合角平分线的定义求出，即可解答；②求出，由①知，易证，再证明，进而证明，推出四边形是平行四边形，，即可证明结论； （2）在上截取，连接．由（1）同理可得．证明出，得到，即可得解； （3）过D作交的延长线于点H，连接、．由（2）知，则点P在与成的直线上运动，当A、P、H三点共线时，即最短，当与相等时，即A、D、P三点共线，即可求解． 【详解】解：（1）①∵正方形中，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴时，需先求得二者度数均为； ②略 （2）略 （3）如图，过D作交的延长线于点H，连接、． 由（2）知：， ∴点P在与成的直线上运动， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴点H与D关于对称，， ∴， ∴， 当A、P、H三点共线时，即最短， 此时， 在中，由勾股定理得：， ∴的最小值是． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，三角形全等的判定与性质，等腰直角三角形，平行四边形的判定与性质，对称的性质，熟练掌握三角形全等的判定定理是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $