精品解析：广东深圳外国语学校宝安学校2025-2026学年下学期八年级数学期中学情调研试题

2025-2026学年第二学期八年级数学学科期中学情调研 试卷说明： 1．答题前，务必将自己的姓名、考生号填写在答题卷规定的位置上． 2．考生必须在答题卷上按规定作答；凡在试卷、草稿纸上作答的，其答案一律无效． 3．全卷共4页，考试时间90分钟，满分100分． 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分） 1. 中华人民共和国第十五届运动会，简称“十五运会”，于2025年11月9日至21日在广东、香港、澳门三地成功举办，健身运动的热潮也席卷全国．下列关于体育运动的图标是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 2025年春晚《秧》的精彩呈现，是一系列关键技术的突破与创新．机器人采用了先进的驱动全身运动控制技术，最大关节扭矩可达，使其动作复杂而灵动．此款机器人的关节扭矩（）应满足的不等关系为（ ） A. B. C. D. 3. 下列因式分解正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 若，则下列不等式中，一定成立的是（ ） A. B. C. D. 1 5. 用反证法证明命题：“在中，对边是，若，则”的第一步应假设（ ） A. B. C. D. 6. 小明的骑行路线如图所示，他从O地出发，0.5小时后到达A地，若他骑行的速度保持不变，则他从A地骑行至B地所需时间为（ ） A. 0.5小时 B. 1小时 C. 1.5小时 D. 2小时 7. 某景点摊位要购进不倒翁和折扇两种纪念品，不倒翁的单价为20元，折扇的单价为10元．已知购买折扇的件数比购买不倒翁的件数的2倍少3件，如果购买不倒翁、折扇两种商品的总数量不少于35件，且购买这两种商品的总费用少于560元，设购买不倒翁x件，依题意可列不等式组得（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，，，分别是，边上一点，将沿折叠得，沿折叠得，若，则（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 9. 五边形的内角和为________． 10. 若点M（3，a），N（b，﹣5）关于原点对称，则a+b=____． 11. 如图，直线与直线交于点，当时，的取值范围是______． 12. 如图，在中，，于点，于点，于点，，则______cm． 13. 如图，在中，，，点是边的中点，线段绕点顺时针旋转得到对应线段，直线与边分别交于点．若是等腰三角形，则旋转角为__________． 三、解答题（共7小题） 14. 因式分解： （1）； （2）． 15. 解不等式组：，并写出所有整数解． 16. 在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为1个单位长度． （1）平移，点A的对应点的坐标为，画出平移后对应的，并直接写出点的坐标； （2）绕点C逆时针方向旋转90°得到，按要求作出图形； （3）如果通过旋转可以得到，请直接写出旋转中心P的坐标． 17. 如图，在中，，，垂足为点，点在的延长线上． （1）尺规作图：作的平分线交于点（按要求完成作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，若，求证：． 18. 为了进一步抓好“三农”工作，助力乡村振兴，某经销商计划从建档贫困户家购进A，B两种农产品．已知购进A种农产品3件，B种农产品2件，共需660元；购进A种农产品4件，B种农产品1件，共需630元． （1）A，B两种农产品每件的价格分别是多少元？ （2）该经销商计划用不超过5400元购进A，B两种农产品共40件，且A种农产品的件数不超过B种农产品件数的3倍．如果该经销商将购进的农产品按照A种每件160元，B种每件200元的价格全部售出，那么购进A，B两种农产品各多少件时获利最多？ 19. 阅读下面的材料： 我们把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解． 例如：，，都把一个多项式进行了因式分解． 现有图1中的A、B、C三种卡片若干，用这些卡片可以拼成各式各样的图形，根据这些图形的面积的不同表示可以将一些多项式因式分解． 例如：用1张A卡片，2张B卡片，1张C卡片拼成如图2的图形，用两种方法表示该图形的面积，可以得到等式，即多项式因式分解的结果为． 请回答下列问题： 【小试牛刀】 （1）根据图3拼图，多项式因式分解的结果是 ． 【自主探索】 （2）请利用图1中三种型号的卡片若干张，拼出一个面积为的长方形（无空隙，不重叠），在图4虚线框内画出你的拼接示意图，并根据拼图直接写出多项式因式分解的结果； 【拓展应用】 （3）①某草坪草皮铺设完工后，由于维护不当，草坪被走出了一条宽为的均匀泥路（如图5），你能求出剩余草皮面积吗？ ②公园为了更美观，打算购买一些新的草皮与剩余的草皮重新切割，设计成一个全新的正方形草坪，现有A、B、C三种型号的草皮可以购买（如图1），在不浪费草皮的情况下，请设计一种购买方案，并求出此时的正方形边长（边长必须为整式）． 20. 综合与探究 问题情境：数学活动课上，同学们以两张直角三角形纸片为背景进行探究性活动．在中，，，中，，，．将其按如图1位置摆放，使点在同一直线上，点与点重合，． 初步分析：（1）如图1，直接写出线段，线段的长； 操作探究：（2）如图2，将从图1位置开始，绕点F顺时针旋转得到，点的对应点为点，点的对应点为点，当线段经过点时，连接，判断的形状，并说明理由； （3）如图3，将从图1位置开始沿射线方向平移，平移过程中，始终保持，当为直角三角形时，直接写出平移的距离．（分母中可以保留根号） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期八年级数学学科期中学情调研 试卷说明： 1．答题前，务必将自己的姓名、考生号填写在答题卷规定的位置上． 2．考生必须在答题卷上按规定作答；凡在试卷、草稿纸上作答的，其答案一律无效． 3．全卷共4页，考试时间90分钟，满分100分． 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分） 1. 中华人民共和国第十五届运动会，简称“十五运会”，于2025年11月9日至21日在广东、香港、澳门三地成功举办，健身运动的热潮也席卷全国．下列关于体育运动的图标是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形的识别．将一个图形绕着某个点旋转180度后与原图形完全重合，那么这个图形就是中心对称图形．据此逐项判断即可． 【详解】解：A、它不是中心对称图形； B、它不是中心对称图形； C、它是中心对称图形； D、它不是中心对称图形． 故选：C． 2. 2025年春晚《秧》的精彩呈现，是一系列关键技术的突破与创新．机器人采用了先进的驱动全身运动控制技术，最大关节扭矩可达，使其动作复杂而灵动．此款机器人的关节扭矩（）应满足的不等关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵最大关节扭矩可达 ∴此款机器人的关节扭矩（）应满足的不等关系为． 3. 下列因式分解正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的因式分解，掌握因式分解的方法是解决问题的关键． 分解每一个整式，根据分解结果得结论． 【详解】解：A．，故选项A因式分解不正确； B．，故选项B因式分解不正确； C．，故选项C因式分解不正确； D．，故选项D因式分解正确． 故选：D． 4. 若，则下列不等式中，一定成立的是（ ） A. B. C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式的性质．①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或整式，不等号的方向不变；②不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的基本性质分析判断即可． 【详解】解：A、若，则有，原变形不成立，故本选项不符合题意； B、若，则有，原变形不成立，故本选项不符合题意； C、若，则有，原变形不成立，故本选项不符合题意； D、若，则有，进而可知成立，故本选项符合题意． 故选：D． 5. 用反证法证明命题：“在中，对边是，若，则”的第一步应假设（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】反证法，是假设某命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），然后推理出明显矛盾的结果，从而下结论说原假设不成立，原命题得证，根据反证法的证明方法即可求解． 【详解】解：原命题的条件是“在中，对边是，若”，结论是“”， ∴根据反证法的证明方法，在原命题的条件下，假设结论不成立，即， 故选：． 【点睛】本题主要考查反证法的证明方法，掌握命题的条件，结论，反证法的证明方法是解题的关键． 6. 小明的骑行路线如图所示，他从O地出发，0.5小时后到达A地，若他骑行的速度保持不变，则他从A地骑行至B地所需时间为（ ） A. 0.5小时 B. 1小时 C. 1.5小时 D. 2小时 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关性质． 根据含30度角的直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图所示，根据题意可得， ∴， ∵从O地出发，0.5小时后到达A地， ∴保持速度不变，从A到B行驶的时间为1小时， 故选：B． 7. 某景点摊位要购进不倒翁和折扇两种纪念品，不倒翁的单价为20元，折扇的单价为10元．已知购买折扇的件数比购买不倒翁的件数的2倍少3件，如果购买不倒翁、折扇两种商品的总数量不少于35件，且购买这两种商品的总费用少于560元，设购买不倒翁x件，依题意可列不等式组得（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的实际应用，设购买不倒翁x件，则购买折扇件，根据购买不倒翁、折扇两种商品的总数量不少于35件得到，根据购买这两种商品的总费用少于560元得到，据此可得答案． 【详解】解：设购买不倒翁x件，则购买折扇件， 由题意得，， 故选：A． 8. 如图，在中，，，，分别是，边上一点，将沿折叠得，沿折叠得，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点作于，设，根据含角的直角三角形的性质，结合勾股定理得出，，根据折叠的性质得出，，，利用含角的直角三角形的性质，结合勾股定理得出，，在中，利用勾股定理列方程求出的值即可得答案． 【详解】解：如图，过点作于，设， ∵，，， ∴，， ∵将沿折叠得，沿折叠得， ∴，，，，， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 在中，， ∵，， ∴， ∵，， ∴ ， 解得：， ∴． 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 9. 五边形的内角和为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据多边形内角和公式计算即可． 【详解】解：五边形的内角和为． 10. 若点M（3，a），N（b，﹣5）关于原点对称，则a+b=____． 【答案】2 【解析】 【分析】根据关于原点对称的点的坐标特征，得到a，b的值，进而求a+b即可求解． 【详解】解：∵点M（3，a），N（b，﹣5）关于原点对称， ∴b=-3，a=5， ∴a+b=-3+5=2． 故答案是： 2． 【点睛】本题主要考查关于原点对称的点的坐标特征，掌握关于原点对称的两点的横纵左边分别互为相反数，是解题的关键． 11. 如图，直线与直线交于点，当时，的取值范围是______． 【答案】## 【解析】 【分析】由图象结合点的坐标，判断的取值范围即可． 【详解】解：由图象可知，点的左侧，直线低于直线， ∴当时，的取值范围为． 12. 如图，在中，，于点，于点，于点，，则______cm． 【答案】10 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的中线性质、三角形的面积，利用不同的方式表示的面积是解题的关键． 首先根据在中，，于点，得到是的中线进而可以得到，再利用不同的方式表示的面积，化简即可得到与的关系，最后进行求解得到答案． 【详解】解：∵在中，，于点， ∴是的中线， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∴， 故答案为：10． 13. 如图，在中，，，点是边的中点，线段绕点顺时针旋转得到对应线段，直线与边分别交于点．若是等腰三角形，则旋转角为__________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了等边对等角，旋转的性质，三角形外角和的性质，掌握以上知识，数形结合分析是关键． 根据题意得到线段与所成角即为旋转角，分类讨论：当时，是等腰三角形；当时，时等腰三角形；结合等腰三角形定义，三角形外角和的性质即可求解． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵点是边的中点， ∴， ∴，， ∵线段绕点顺时针旋转得到对应线段， ∴线段与所成角即为旋转角， 当时，是等腰三角形， ∴，， ∴，即点与点重合， ∴旋转角为； 当时，是等腰三角形， 根据旋转得到， ∴， ∴， ∴， ∴旋转角为； 综上所述，旋转角为或； 故答案为：或 ． 三、解答题（共7小题） 14. 因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：． 15. 解不等式组：，并写出所有整数解． 【答案】，整数解为，，． 【解析】 【详解】解：， 由①得，； 由②得，， ∴不等式组的解为，其中整数解为，，． 16. 在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为1个单位长度． （1）平移，点A的对应点的坐标为，画出平移后对应的，并直接写出点的坐标； （2）绕点C逆时针方向旋转90°得到，按要求作出图形； （3）如果通过旋转可以得到，请直接写出旋转中心P的坐标． 【答案】（1）见解析，坐标为(2，-2) （2）见解析 （3）P 【解析】 【分析】（1）如图所示，的对应点的坐标为,沿横轴正方向平移6上单位，沿纵轴负方向平移6个单位；即得所求； （2）根据旋转定义处理； （3）根据旋转定义，确定两组对应点连线，两线段垂直平分线交点即是旋转中心． 【小问1详解】 （1）如图所示，的对应点的坐标为,沿横轴正方向平移6上单位，沿纵轴负方向平移6个单位； △即为所求． 点B的坐标，坐标为（2，－2） 【小问2详解】 如图所示，△即为所求 【小问3详解】 旋转中心P的坐标 【点睛】本题考查图形变换旋转、平移，理解旋转的定义及性质是解题的关键． 17. 如图，在中，，，垂足为点，点在的延长线上． （1）尺规作图：作的平分线交于点（按要求完成作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，若，求证：． 【答案】（1）图见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的尺规作图流程进行作图即可； （2）由等腰三角形的性质可得，，，结合角平分线的性质与题干条件可得，，从而证明，因此． 【小问1详解】 解：如图，即为所求， 【小问2详解】 证明：∵， ∴，， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 18. 为了进一步抓好“三农”工作，助力乡村振兴，某经销商计划从建档贫困户家购进A，B两种农产品．已知购进A种农产品3件，B种农产品2件，共需660元；购进A种农产品4件，B种农产品1件，共需630元． （1）A，B两种农产品每件的价格分别是多少元？ （2）该经销商计划用不超过5400元购进A，B两种农产品共40件，且A种农产品的件数不超过B种农产品件数的3倍．如果该经销商将购进的农产品按照A种每件160元，B种每件200元的价格全部售出，那么购进A，B两种农产品各多少件时获利最多？ 【答案】（1）种农产品每件的进价是120元，种农产品每件的进价是150元 （2）当购进20件种农产品、20件种农产品时，获利最多 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组，一元一次不等式组，一次函数的实际应用，正确的列出方程组，不等式组和一次函数解析式，是解题的关键： （1）设种农产品每件的进价是元，种农产品每件的进价是元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得解； （2）购进件种农产品，则购进件种农产品，根据题意列出一元一次不等式组，求出，设购进的、两种农产品全部售出后获得的总利润为元，则，再由一次函数的性质即可得解． 【小问1详解】 解：设种农产品每件的进价是元，种农产品每件的进价是元， 根据题意得：， 解得：， 答：种农产品每件的进价是120元，种农产品每件的进价是150元； 【小问2详解】 解：购进件种农产品，则购进件种农产品， 根据题意得：， 解得：． 设购进的、两种农产品全部售出后获得的总利润为元，则 ，即， ， 随的增大而减小， 当时，取得最大值，此时． 答：当购进20件种农产品、20件种农产品时，获利最多． 19. 阅读下面的材料： 我们把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解． 例如：，，都把一个多项式进行了因式分解． 现有图1中的A、B、C三种卡片若干，用这些卡片可以拼成各式各样的图形，根据这些图形的面积的不同表示可以将一些多项式因式分解． 例如：用1张A卡片，2张B卡片，1张C卡片拼成如图2的图形，用两种方法表示该图形的面积，可以得到等式，即多项式因式分解的结果为． 请回答下列问题： 【小试牛刀】 （1）根据图3拼图，多项式因式分解的结果是 ． 【自主探索】 （2）请利用图1中三种型号的卡片若干张，拼出一个面积为的长方形（无空隙，不重叠），在图4虚线框内画出你的拼接示意图，并根据拼图直接写出多项式因式分解的结果； 【拓展应用】 （3）①某草坪草皮铺设完工后，由于维护不当，草坪被走出了一条宽为的均匀泥路（如图5），你能求出剩余草皮面积吗？ ②公园为了更美观，打算购买一些新的草皮与剩余的草皮重新切割，设计成一个全新的正方形草坪，现有A、B、C三种型号的草皮可以购买（如图1），在不浪费草皮的情况下，请设计一种购买方案，并求出此时的正方形边长（边长必须为整式）． 【答案】（1）；（2）见解析，；（3）①；②见解析 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，因式分解的应用，解题关键是灵活运用因式分解的方法解决问题． （1）根据图形可得计算即可； （2）由题意可得图，再根据图可分解因式； （3）①②计算出剩余草皮面积，根据题意分情况分析即可． 【详解】解：（1）由图可知，图3是由1张A卡片，3张B卡片，2张C卡片拼成的， ∴图3的面积为， 又∵图3的面积又等于一个长为，宽为的长方形面积， ； （2）图形如下： ， （3）①由图可知：剩余草皮面积为 ， ②设计方案不唯一： 剩余草皮的面积为，设计成一个全新的正方形草坪， 草坪的长宽需要一样长， 方案一：购买4块C型，则， 正方形边长a，； 方案二：购买2块B型，5块C型， 正方形边长为， 方案三：购买3块A型，4块B型，5块C型， 正方形边长为． 20. 综合与探究 问题情境：数学活动课上，同学们以两张直角三角形纸片为背景进行探究性活动．在中，，，中，，，．将其按如图1位置摆放，使点在同一直线上，点与点重合，． 初步分析：（1）如图1，直接写出线段，线段的长； 操作探究：（2）如图2，将从图1位置开始，绕点F顺时针旋转得到，点的对应点为点，点的对应点为点，当线段经过点时，连接，判断的形状，并说明理由； （3）如图3，将从图1位置开始沿射线方向平移，平移过程中，始终保持，当为直角三角形时，直接写出平移的距离．（分母中可以保留根号） 【答案】（1）， （2）是等边三角形，理由见解析 （3）或 【解析】 【分析】（1）根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理得到，，，，由此即可求解； （2）根据旋转得到，，，当线段经过点时，，得到，则，由此得到，且，结合等边三角形的判定即可求解； （3）如图所示，将从图1位置开始沿射线方向平移得到，平移过程中，始终保持，过点作的平行线，可得在平移过程中，点在上运动，即即为平移距离，分类讨论：当时，是直角三角形（点与平移前的点对应，点与平移前的点对应），即；如图所示，当时，是直角三角形（点与平移前的点对应，点与平移前的点对应），即，过点作于点；数学结合分析即可求解． 【详解】解：（1）在中，， ∴， ∴， ∵点与点重合，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）是等边三角形，理由如下， 如图所示，设交于点， ∵将从图1位置开始，绕点F顺时针旋转得到， ∴，，， 当线段经过点时，， ∴， ∴， ∵， ∴，且， ∴是等边三角形； （3）如图所示，将从图1位置开始沿射线方向平移得到，平移过程中，始终保持，过点作的平行线， ∴，， ∴，即， ∴在平移过程中，点在上运动，即即为平移距离， 当时，是直角三角形（点与平移前的点对应，点与平移前的点对应），即， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形，， 由（1）可得，， ∴， ∴， ∴平移距离为； 如图所示，当时，是直角三角形（点与平移前的点对应，点与平移前的点对应），即，过点作于点， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∴， ∵， ∴，是等腰直角三角形， ∴，即， 解得，， ∴， 在中，， ∴， ∴平移距离为； 综上所述，平移距离为或． 【点睛】本题主要考查三角板中角度的计算，勾股定理，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，图形平移的性质等知识的综合，掌握图形变换的性质，数形结合分析，分类讨论思想是关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $