21.2.1 第1课时 平行四边形及其性质(1)-【名师学案】2025-2026学年八年级下册数学分层进阶学习法（人教版·新教材）

第二十一章四边形 21.1四边形及多边形 21.1.1四边形及其内角和 知识储备 1.首尾顺次线段公共端点2.两个顶点3.相邻延长线4.360°360 5.稳定性 基础练综合练素养练 1.B2.∠A,∠ABC,∠BCD和∠ADC∠DCE与∠EBF对角线3.② 4.二 180°360°5.486.B7.解：(1)由四边形内角和是360°，得4x°+3x°+ 100°+3x°=360°，解得x=26:(2)x°=180°-(360°-120°-75°-65°)=80°，即x 80.8.B9.D10.B11.360°12.140°13.解：(1)61°(2)∠D=140°，CE∥ AD,∴.∠D+∠DCE=180°.∴.∠DCE=180°-140°=40°.CE平分∠BCD,. ∠BCD=2∠DCE=80°.∴.∠B=360°-∠A-∠D-∠BCD=360°-98°-140°-80 =42°；(3)：∠A=98°，∠D=140°，∠A+∠ABC+∠BCD+∠D=360°，∴∠ABC +∠BCD=360°-98°-140°=122°..∠ABC和∠DCB的角平分线交于点E, ∠EBC=2∠ABC,∠BCE=号∠BCD.·∠EBC+∠BCE=(∠ABC+∠BCD) 61°.∠☑BEC+∠EBC+∠BCE=180,·∠BEC=18 14.解：(1).四边形ABCD的内角和为360°，∴.∠A+∠ABC+∠C+∠ADC 360°.，∠A=∠C=90°，∠ADC=130°，..∠ABC=360°-∠A-∠C-∠ADC=3601 -90°-90°-130°=50.：BE平分∠ABC,.∠CBE=号∠ABC=号X50°=25 (2)DF∥BE,理由如下：在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，∴.∠ABC+∠ADC 360°-90°-90=180.BE平分∠ABC,DF平分∠ADC,.∠ABE= 2∠ABC, ∠ADF=2∠ADC.·∠ABE+∠ADF=号（∠ABC+∠ADO)=?X180=90 1 .在Rt△ADF中，∠ADF+∠AFD=90°，∴.∠AFD=∠ABE...DF∥BE 21.1.2多边形及其内角和 知识储备 1.首尾顺次2.相等相等3.(n-3)(n-2)(n-2)·180°360 基础练综合练素养练 1.C2.五五233.D4.B5.C6.A7.150°8.解：(1)60°+x°+x°+ 90°=360°.解得x=105;(2)90°+x°+(2x+25)°+(3x-15)°+2x°=180°×(5- 2).解得x=55.9.六10.65°11.解：设这个多边形的边数为n,根据题意，得(n -2)×180°=360°×3一180°.解得n=7.答：这个多边形的边数是7.12.D13.72 14.7215.解：(1).∠3+∠4+∠5+∠6=360°，∠1+∠2+∠5+∠6=360°， ∠1十∠2=∠3十∠4；(2)四边形任意两个外角的和等于与它们不相邻的两个内角 的和；(3)由(2)知∠B+∠C=∠ADM+∠DAN=240°..'AE,DE平分∠DAN ∠ADM.∠DAE=3∠DAN,∠ADE= 2∠ADM,∠DAE+∠ADE= 2 （∠DAN+∠ADM)= 2×240°=120.∴.∠E=180°-（∠DAE+∠ADE)=180° 120°=60°.16.解：【建立模型】证明：延长BP交AC于点M.由三角形外角的性质 得：∠BPC=∠1+∠PMC,∠PMC=∠A+∠2，∴.∠BPC=∠1+∠A+∠2；【尝 试应用】180【拓展创新】解：延长CA与DG的延长线相交于点K..∠CAG=180 ∠KAG,∠DGA=180° ∠KGA,..∠CAG+∠DGA=360°-（∠KAG+ ∠KGA).在△KAG中，∠KAG+∠KGA=180°-∠K,∴.∠CAG+∠DGA=360° (180°-∠K)=180°+∠K.由【尝试应用】，得∠K+∠B+∠C+∠D+∠E=180°，. ∠CAG+∠B+∠C+∠D+∠E+∠DGA=∠CAG+∠DGA+∠B+∠C+∠D+ ∠E=180°+∠K+∠B+∠C+∠D+∠E=180°+180°=360°. 【提升思维】1080 21.2平行四边形 21.2.1平行四边形及其性质 第1课时平行四边形及其性质(1) 知识储备 1.平行□□ABCD2.相等相等3.互相平分 基础练综合练素养练 1… ∥2.63.(1)24(2)4cm(3)40°140°(4)60°120°(5)72°4.(1) 证明：四边形ABCD是平行四边形，.BC=AD,BC∥AD.,.∠F=∠DAF ∠FCD=∠D.又E是CD的中点，.CE=DE..△ADE≌△FCE.(2)解：由(1) 知BC=AD=5,△ADE≌△FCE,∴.CF=AD=5.∴.BF=CF+CB=10.5.45 146.1<AB<117.证明：，四边形ABCD是平行四边形，∴.OA=OC,OB=OD (OB=OD. ,AE=CF,∴.OE=OF.在△BOE和△DOF中， ∠BOE=∠DOF,.∴.△BOE≌ OE=OF, △DOF.∴.BE=DF.8.20或289.B10.D11.1012.(3,0)或(-1,2)或(1， -2)13.解：四边形ABCD是平行四边形，.BD=2OD=3cm,CD=AB=5cm, .CD=25..'BC=4cm,∴.BD2+BC=25..BD+BC=CD.∴.△DBC是直角 三角形，且∠CBD=90.°.SOABCD=BC·BD=4×3=12(cm).14.解：(1)4(2) S,十S的值不变.连接AF.:四边形ABCD是平行四边形，.OA=OC..S△ar S△acP.DE=OF,.S△wE=S△aAp=S△acr..S十S2=S△AEr=S△On.'四边形AB CD是平行四边形，.AD∥BC,OD=2BD=4.∴∠DAC=∠BCO=90°.又∠AOD =∠B0C=60,:∠AD0=30.0A=20D=2.在Rt△A0D中，AD VOD-OAT=23,S+S:=SAN=2AD.OA-2X23X2-23. 第2课时平行四边形及其性质(2) 知识储备 1.相等2.距离 基础练综合练素养练 1.证明：.四边形ABCD是平行四边形，.AB∥CD,OA=OC.∴.∠OAE=∠OCF .∠AOE=∠COF,∴△AOE≌△COF.∴.OE=OF.2.D3.2√24.7或17 5.B6.(1)解：BF∥DE,理由如下：四边形ABCD是平行四边形，.AD∥BC. ∠AFB=∠CBF.又∠AFB=∠CED,∴.∠CBF=∠CED.∴.BF∥DE:(2)证明： .'四边形ABCD是平行四边形，∴.∠A=∠C,AB=CD,AD=BC.又∠AFB ∠CED,∴.△ABF≌△CDE.∴.AF=CE.∴.AD-AF=CB-CE,即DF=BE. 7.解：(1)=(2)易证△BOF≌△DOE,△COF≌△AOE,△AOB≌△COD,∴.SA =SAoE,SAcr=S△MoE,S△n=S△MB.∴.S四边形AEFB=S四边形EF,即直线EF将□ABCD 的面积二等分.应用：连接AC,BD相交于点O,作直线OP,则直线OP两旁的四边形 面积相等 微专题四 1.B2.D3.24.85.22或20 微专题五 1.52.93.3 21.2.2平行四边形的判定 第1课时 平行四边形的判定(1) 知识储备 1.平行2.相等3.相等4.互相平分 基础练综合练素养练 1.5cm3cm2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形3.D4.证明：AB ∥CD,.∠B+∠C=180°，∠A+∠D=180°..∠B=∠D,∴.∠C=∠A.又∠B= ∠D,.四边形ABCD为平行四边形.5.36.证明：，AD∥BC,.∠DAC ∠ACB,∠ADB=∠CBD.又OA=OC,,∴.△AOD≌△COB.∴.OD=OB.又AO= CO,∴.四边形ABCD是平行四边形.7.C8.B9.24 10.(1)证明：.AB∥CD,∠B=45°，∴.∠C=135°.，AD⊥CD,DE=DA,∴.∠E= 45°.∴.∠C+∠E=180°..AE∥BC.又AB∥CD,∴.四边形ABCE是平行四边形.∴ AE=BC.(2)611.解：(1)如图，□ABEC即为所求；(2)设小正 方形方格的边长为1，则AC=√2，AB=√5，BE=√2，CE=√5..AC BE,AB=CE.'.四边形ABEC是平行四边形. 12.证明：(1)，□ABCD,..AB=CD,AD∥BC..∠DAE=∠AEB. 'AE平分∠BAD,∴.∠BAE=∠DAE.∴.∠BAE=∠AEB.∴.BA BE..BE=CD.(2).BE=BA,BF平分∠ABE,∴.AF=EF.又∠DAE ∠AEB,∠AFD=∠EFC,△AFD≌△EFC.∴.DF=CF.又AF=EF,∴.四边形 ACED是平行四边形.13.解：(1)出发前，EF与MN互相平分.理由如下：设EF MN交于点O.,四边形ABCD是平行四边形，出发前，EF,MN为□ABCD的对角 线，.EF与MN互相平分. (2)出发后，(1)中的结论仍然成立.理由如下：连接 EM,EN,FN,FM..四边形ABCD是平行四边形，.∠A=∠C,AD=BC.由题意 得AE=CF,DM=BN,,.AD-DM=BC-BN,即AM=CN.∴.△AEM≌△CFN (SAS)..EM=FN.同理可得EN=FM,.四边形EVFM是平行四边形.∴.EF与 MN互相平分 第2课时平行四边形的判定(2 知识储备 相等AB=CDAD=BC 基础练综合练素养练 1.D2.证明：.四边形ABCD是平行四边形，AD=BC,AD∥BC.又BE=DF,. AD一DF=BC-BE,即AF=CE..四边形AECF是平行四边形.3.证明：(1)， BE⊥AD,CF⊥AD,∴.∠AEB=∠DFC=90°.AB∥CD,.∠A=∠D.又AE= DF,∴.△AEB≌△DFC(ASA)..BE=CF:(2).BEAD,CF⊥AD,.EB∥ CF.又BE=CF,.四边形BECF是平行四边形.4.AB∥CD或AD=BC(答案不 唯一)5.C6.证明：，四边形ABCD是平行四边形，∴.AB=CD,AB∥CD. ∠ABE=∠CDF.:AE⊥BD,CF⊥BD,∴.∠AEB=∠CFD=90°，AE∥CF.: △ABE≌△CDF..AE=CF,又AE∥CF,∴.四边形AECF是平行四边形.7.A 8.(1)证明：连接BD交AC于点O.四边形ABCD是平行四边形，.AB=CD,AB ∥CD,OA=OC,OB=OD,∠ABC=∠CDA...∠BAE=∠DCF.'BE,DF分别平 分∠ABC,∠ADC,∠ABE=号∠ABC,∠CDF=月 ∠CDA.∴.∠ABE=∠CDF. 1721.2平行四边形 21.2.1平行四边形及其性质 第1课时 平行四边形及其性质(1) 知识储备 (5)【已知两邻角之比，求对角】在□ABCD 1.两组对边分别 的四边形叫作平行四边 中，若∠A:∠B=3:2,则∠D= A 形.平行四边形用符号“ ”表示，平行四边 4.(2025·宜宾)如图，E是平行四边形ABCD 形ABCD记作“ 边CD的中点，连接AE并延长交BC的延长 2.平行四边形的对边 ,对角 3.平行四边形的对角线 线于点F,AD=5. (1)求证：△ADE≌△FCE; 01基础练 必备知识梳理一 (2)求BF的长 知识点一平行四边形的概念 1.如图，在四边形ABCD中，.AB CD. AD BC,∴.四边形ABCD是平行四边 形（平行四边形的定义）. 第1题图 第2题图 2.【新情境·停车位】停车场的三个车位如图所 示，若四边形ABCD是平行四边形，AB∥EF ∥GH∥CD,则图中平行四边形共有 个 知识点二平行四边形边、角的性质 知识点三平行四边形对角线的性质 3.(教材P57练习T1改编) 一题多变 (1)【已知两邻边长，求周长】在□ABCD中，若 5.【教材P57练习T2变式】如图，☐ABCD的 AB=7,BC=5,则它的周长为 对角线AC,BD相交于点O,且AC=8,BD= (2)【已知周长与一边长，求另一边长】若 10,AB=5,OA=OC=,OB=OD= □ABCD的周长是24cm,AB=8cm,则 ,△OAB的周长为 BC等于 (3)【已知一角，求对角与邻角】在口ABCD 中，若∠A=40°，则∠C= ,∠B= 第5题图 第6题图 (4)【已知一对角的和，求邻角】在口ABCD 6.如图，在□ABCD中，对角线AC,BD相交于 中，若∠A+∠C=120°，则∠A 点O,AC=10,BD=12,则AB的取值范围为 ∠B= ； 41八年级数学·下册 7.如图，□ABCD的对角线AC,BD相交于点 13.【教材P57例1变式】如图，在□ABCD中， O,且AE=CF.求证：BE=DF. 对角线AC,BD相交于点O.若OD= 1.5cm,AB=5cm,BC=4cm,求□ABCD 的面积. 易错点无图时未分类讨论导致漏解 8.在□ABCD中，AB=6,∠A的平分线交直线 03素养练 BC于点E.若CE=2,则□ABCD的周长为 学科素养培育口 14.如图，O为□ABCD的对角线AC,BD的交 点，∠BCO=90°，∠BOC=60°，BD=8,E是 02综合练 个关能能力提升 OD上的一动点，F是OB上的一动点（点 9.如图，在□ABCD中，AB=3,BC=5,AC的 E,F不与端点重合)，且DE=OF,连接 垂直平分线交AD于E,则△CDE的周长是 AE,CF. (1)线段EF的长为 A.7 B.8 C.9 D.10 (2)若△OAE的面积为S1,△OCF的面积 0 为S2,S1+S2的值是否发生变化？若不 变，求出这个不变的值；若变化，请说明 随着DE的增大，S十S2的值是如何发 第9题图 第10题图 10.如图，在□ABCD中，CM⊥AD于点M, 生变化的 CN⊥AB于点N.若∠B=45°，则∠MCN的 度数为 () A.30°B.20° C.40° D.45 11.如图，P是□ABCD边AD上一点.已知 S△ABP=3,S△PDC=2,则SHABCD= 第11题图 第12题图 12.如图，在平面直角坐标系中，A(1,1),B(2, 一1)，且以A,B,O,C为顶点的四边形是平 行四边形，则点C的坐标为 助学助教优质高效42